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Cap´ıtulo 9

L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES 9.1.

Introducci´ on

El concepto de l´ımite en Matem´ aticas tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una funci´ on en un determinado punto o en el infinito. Veamos un ejemplo: Consideremos la funci´ on dada por la gr´ afica de la figura y fij´emonos en el punto x = 2 situado en el eje de abscisas:

¿Qu´e ocurre cuando nos acercamos al punto 2 movi´endonos sobre el eje x? Tomemos algunos valores como 2’1, 2’01, 2’001. Vemos en la figura que en este caso las im´agenes de dichos puntos sobre la curva, f(2’1), f(2’01), f(2’001) se acercan a su vez a un valor situado en el eje y, el valor y = 3. Si nos acercamos a 2 por la otra parte, es decir, con valores como 1’9, 1’99, 1’999 en este caso las im´agenes f(1’9), f(1’99), f(1’999) se acercan tambi´en al mismo valor, y = 3. Concluimos que el l´ımite de la funci´ on f(x) cuando nos acercamos a x = 2 es 3, lo cu´al expresamos como: l´ım f (x) = 3 x→2

Intuitivamente, por tanto, podemos decir que el l´ımite de una funci´ on en un punto es el valor en el eje Oy al que se acerca la funci´on, f (x), cuando la x se acerca, en el eje Ox a dicho punto. 145


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Sin embargo la expresi´ on matem´atica rigurosa de l´ımite es algo m´as compleja: Definici´ on: Dada una funci´ on f (x) y un punto x = a, se dice que el l´ımite de f (x) cuando x se acerca a a es L, y se expresa como: l´ım f (x) = L x→a

cuando: Dado  > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − L| <  Lo que viene a expresar esta formulaci´ on matem´atica es que si x est´a “suficientemente cerca” de a, entonces su imagen f(x) tambi´en est´a muy pr´ oxima a L.

En la pr´ actica en muchas ocasiones es necesario calcular los llamados l´ımites laterales, que como recordaremos se definen de la siguiente forma: Definici´ on: Se define el l´ımite lateral por la derecha de a de la funci´ on f (x), y se expresa como: l´ım f (x)

x→a+

al l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores mayores que a. De igual modo, el l´ımite lateral por la izquierda de a de la funci´ on f (x) se expresa como: l´ım f (x)

x→a−

y se define como el l´ımite al que se acerca f (x) cuando x se acerca a a y toma valores menores que a. Propiedad: Para que una funci´ on f (x) tenga l´ımite en x = a es necesario y suficiente que existan ambos l´ımites laterales y coincidan, es decir: l´ım f (x) = l´ım f (x) = l´ım f (x)

x→a

x→a+

x→a−


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9.2.

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Tipos de l´ımites

Recordaremos algunos tipos de l´ımites que son conocidos: 1. L´ımites infinitos en un punto finito: En la situaci´ on del dibujo, se dice que el l´ımite cuando x se acerca por la derecha de a es +∞, pu´es a medida que la x se acerca a a, la funci´ on se hace cada vez mayor: l´ım f (x) = +∞ x→a+

(de igual forma se puede definir cuando nos acercamos por la izquierda. Intenta hacer el dibujo). De igual modo se define el l´ımite −∞ cuando nos acercamos a a (por la derecha o por la izquierda).(Dibuja el que falta)


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Puede ocurrir que uno de los l´ımites laterales sea finito y otro infinito, o cualquier combinaci´ on entre ellos, por ejemplo:

En la figura anterior se cumple que: l´ım f (x) = +∞

x→2+

y l´ım f (x) = 2

x→2−

2. L´ımites finitos en el infinito: Se dice que una funci´ on tiene l´ımite b cuando x tiende a +∞ cuando la funci´ on se acerca a b cuando la x se hace cada vez mayor, es decir: l´ım f (x) = b

x→∞

Gr´ aficamente:

En este caso el l´ımite es 2 cuando x tiende a +∞. De igual modo se define el l´ımite finito cuando x tiende a −∞.


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3. L´ımites infinitos en el infinito: Aparece este caso cuando si x tiende a +∞ la funci´ on se hace cada vez mayor o menor (lo mismo si x tiende a −∞). Un ejemplo gr´ afico de este tipo de l´ımites ser´ıa:

En este caso: l´ım f (x) = −∞

x→∞

(Intenta dibujar otros casos diferentes).

9.3.

C´ alculo de l´ımites

Recordaremos, dada su importancia, algunas de las reglas para el c´alculo de l´ımites cuando se presentan diferentes indeterminaciones:

9.3.1.

L´ımites en el infinito

1. L´ımites de polinomios: El l´ımite de cualquier polinomio cuando x tiende a ∞ siempre es +∞ o −∞, dependiendo del coeficiente del t´ermino de mayor grado del polinomio: l´ım (2x5 − 3x2 + 5) = +∞

x→∞

l´ım (−3x7 − 5x2 + 4x − 8) = −∞

x→∞

pues en el primer caso el coeficiente de x5 es positivo, y en el segundo caso el coeficiente de x7 es negativo. ∞ : Si tenemos un cociente de polinomios nos encontraremos con una indeter2. Indeterminaci´ on ∞ minaci´ on de este tipo. Para resolverla basta recordar la siguiente regla: Si tenemos:

 ±∞          p(x)  0 = l´ım x→∞ q(x)     a      b 

Ejemplos: a)

si grado(p(x)) > grado(q(x)), donde el signo depende de los coeficientes. si grado(p(x)) < grado(q(x)) si grado(p(x)) = grado(q(x)), siendo a y b los coeficientes de los t´erminos de mayor grado de cada polinomio. x3 − 5x2 + 6  ∞  = = −∞ x→∞ −x2 + 4 ∞ l´ım


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porque el grado del numerador es mayor, pero los respectivos coeficientes de mayor grado tienen signo diferente. b)

∞ x2 − 5 = =0 x→∞ x6 − x4 − 3x2 + 4 ∞ porque el grado del denominador es mayor. l´ım

c)

7 7x3 + 2x − 6  ∞  = =− x→∞ −3x3 + 6 ∞ 3 l´ım

porque los grados son iguales. Nota: La resoluci´on de l´ımites cuando x tiende a −∞ se reduce a estos casos, puesto que: l´ım f (x) = l´ım f (−x)

x→−∞

x→∞

es decir: x3 − 5x2 + 4 (−x)3 − 5(−x)2 + 4 −x3 − 5x2 + 4  ∞  = l´ ım = l´ ım = =∞ x→−∞ −x2 + 5x x→∞ −(−x)2 + 5(−x) x→∞ −x2 − 5x ∞ l´ım

La misma regla anterior sirve en el caso de que aparezcan ra´ıces, siempre que tengan sentido los l´ımites: d) l´ım

3+

x→∞

x3 − 5x  ∞  = =0 x2 + 4 ∞

3 puesto que el grado del denominador es 2 y en el numerador la mayor potencia de x es , que 2 es menor que 2. e)

−x + 1 + x3 = x→∞ 1 + x + 3x3 puesto que aunque los grados de numerador y denominador son iguales, cuando x tiende a +∞ (es positivo y muy grande) resulta que −x + 1 es negativo y como es bien conocido, la ra´ız cuadrada de un n´ umero negativo no existe en el cuerpo de los n´ umeros reales, por tanto el l´ımite anterior no tiene sentido. l´ım

f)  √ ∞ 1 −(−x) + 1 + (−x)3 −x + 1 + x3 x + 1 − x3 = = l´ ım = l´ ım = x→∞ 1 + (−x) + 3(−x)3 x→∞ 1 − x − 3x3 1 + x + 3x3 ∞ 3

√ l´ım

x→−∞

pues en este caso la ra´ız si tiene sentido y los grados son iguales, quedando el l´ımite el cociente de los coeficientes de los monomios de mayor grado. 3. Indeterminaci´ on ∞ − ∞: Cuando aparece esta indeterminaci´ on, si tenemos una resta de fracciones, simplemente se hace la resta para obtener un cociente de polinomios que ya sabemos resolver:  2 x2 − x + 1 x + 3 + x2 (x − x + 1)(x − 1) (x + 3 + x2 )(x + 1) − = (∞ − ∞) = l´ım − = l´ım x→∞ x→∞ x+1 x−1 (x + 1)(x − 1) (x − 1)(x + 1)  3 −4x2 − 2x − 4  ∞  x − 2x2 + 2x − 1 x3 + 2x2 + 4x + 3 − = l´ ım = = −4 = l´ım x→∞ x→∞ x2 − 1 x2 − 1 x2 − 1 ∞


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En caso de que aparezca una ra´ız, el proceso es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresi´on radical:

√ √ √

(2x − 1) − x + 1 · (2x − 1) + x + 1 √ = l´ım (2x − 1) − x + 1 = (∞ − ∞) = l´ım x→∞ x→∞ (2x − 1) + x + 1 √ (2x − 1)2 − ( x + 1)2 4x2 − 4x + 1 − x − 1 √ √ = l´ım = l´ım = x→∞ (2x − 1) + x + 1 x→∞ (2x − 1) + x + 1 ∞ 4x2 − 5x √ = = +∞ = l´ım x→∞ (2x − 1) + x + 1 ∞

9.3.2.

L´ımites en puntos finitos

Si queremos calcular el l´ımite de una funci´ on f (x) cuando x se acerca a cierto valor a, simplemente hemos de sustituir el valor de a en f (x): 2 · 9 − 3 · (−3) + 1 2x2 − 3x + 1 = = −28 x→−3 x+2 −3 + 2 l´ım

El problema que nos podemos encontrar en este caso es que el denominador se haga 0 al sustituir x por el valor que corresponda. Nos podemos encontrar, por tanto, varios tipos de indeterminaci´ on. k umero cualquiera 1. Indeterminaci´ on , (k = 0): Se presenta cuando en el numerador aparece un n´ 0 no nulo y el denominador es 0. En este caso el l´ımite el siempre ∞, pero para determinar su signo, se calculan los l´ımites laterales: a)

     

l´ım

1 − 2 · 1 0001 −1 1 − 2x = = − = +∞ 1 − x2 1 − (1 0001)2 0

l´ım

1 − 2 · 0 9999 −1 1 − 2x = = + = −∞ 2  2 1−x 1 − (0 9999) 0

x→1+

−1 1−2 1 − 2x = = = x→1 1 − x2  1−1 0     l´ım

b)

    

−7 −7 = = x→0 x  0   

x→1−

l´ım

−7 −7 −7 =  = + = −∞ x 0 0001 0

l´ım

−7 −7 −7 = = − = +∞ x −0 0001 0

x→0+

l´ım

c)

    

−2 −2 = = 2 x→−1 (x + 1)  0   

x→0−

l´ım

−2 −2 −2 = = + = −∞ 2  2 (x + 1) (−0 9999 + 1) 0

l´ım

−2 −2 −2 = = + = −∞ 2  2 (x + 1) (−1 0001 + 1) 0

x→−1+

l´ım

x→−1−

0 : En este caso tanto numerador como denominador se hacen 0. 0 Si tanto en el numerador como en el denominador tenemos polinomios, la forma de resolver la indeterminaci´ on es descomponer los polinomios en factores (mediante, por ejemplo, la regla de Ruffini) y simplificar para posteriormente volver a sustituir.  4 − 10 + 6 0 −1 x2 − 5x + 6 (x − 2)(x − 3) (x − 3) = = = l´ım = l´ım = l´ım x→2 x→2 (x − 2)(x + 2) x→2 (x − 2) x2 − 4 4−4 0 4

2. Indeterminaci´ on


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En caso de que tambi´en aparezcan ra´ıces cuadradas, el proceso es multiplicar y dividir por la expresi´ on radical conjugada con el fin de simplificar y luego sustituir: √ √ √  0 x+4−1 ( x + 4 − 1) · ( x + 4 + 1) √ = = = l´ım l´ım 2 x→−3 x + 2x − 3 x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) 0 √ ( x + 4)2 − 12 x+3 √ √ = l´ım = l´ım = x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) x→−3 (x2 + 2x − 3) · ( x + 4 + 1) 1 −1 (x + 3) 1 √ √ = l´ım = = = l´ım x→−3 (x + 3) · (x − 1) · ( x + 4 + 1) x→−3 (x − 1) · ( x + 4 + 1) (−4) · (1 + 1) 8

9.3.3.

L´ımites potenciales. Indeterminaci´ on 1∞

Cuando aparecen exponentes, hay que recordar algunas reglas b´ asicas. Si tenemos l´ım (f (x))g(x) x→a

o bien l´ım (f (x))g(x)

x→∞

se pueden presentar varios casos: 1. La base tiende a un n´ umero cualquiera no nulo y el exponente a otro n´ umero. En este caso el l´ımite es el n´ umero que resulta de realizar la operaci´on correspondiente: l´ım (x + 1)2x−3 = 2−1 =

x→1

1 2

2. La base tiende a un n´ umero positivo mayor que 1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite es tambi´en +∞.  2x + 1 2x−3 = 2∞ = +∞ l´ım x→∞ 1+x 3. La base tiene a un n´ umero no nulo comprendido entre -1 y 1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite es 0.  ∞  1 1 + x 2x−3 = =0 l´ım x→∞ 2x + 1 2 4. La base tiende a un n´ umero negativo menor o igual que -1 y el exponente a +∞. En este caso el l´ımite no existe, pues los productos son alternativamente de signo contrario:  l´ım

x→∞

−3x + 1 1+x

2x−3

= (−3)∞ = 

5. En el caso en que la base tiende a 1 y el exponente a +∞ tenemos una indeterminaci´ on que se resuelve aplicando la f´ ormula: l´ım (g(x) · (f (x) − 1)) l´ım (f (x))g(x) = (1∞ ) = (e)x→a

x→a


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O bien realizando los pasos para resolver tales l´ımites que recordamos: 2x+3 2x+3   x x 3 1+x 1+x ∞ 0 −1 = (1) = (1 ) = l´ım 1 + = l´ım se suma y se resta 1 a la base x→0 se hace la resta x→0 2x + 1 2x + 1 2x+3 2x+3   x x 1 + x − 2x − 1 −x = l´ım 1 + = l´ım 1 + = se baja el numerador dividiendo al denominador x→0 x→0 2x + 1 2x + 1 −x 2x+3 

· x

2x+3 2x+1  2x+1 x −x 1 1  = l´ım 1 + = l´ım  1 + = x→0

2x+1 −x

se pone el denominador como exponente

 l´ım

= se sustituye el corechete por

e

(e)x→0

−x 2x+1

·

2x+3 x

2x+1 −x

x→0



 l´ım

= (e)x→0

−2x−3 2x+1

 = e−3

Ejercicio: Resolver el l´ımite anterior utilizando la f´ ormula. Nota: El caso en que el exponente tiende a −∞ se reduce a este sin m´as que recordar las propiedades de las potencias:  a n  b −n = b a

9.4.

As´ıntotas

Una primera aplicaci´ on del c´ alculo de l´ımites consiste en el c´alculo de las as´ıntotas de una funci´ on. Hay tres tipos de as´ıntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas (aunque de hecho las as´ıntotas horizontales son un caso particular de ´estas).

9.4.1.

As´ıntotas verticales

Una as´ıntota vertical de una funci´ on f (x) es una recta vertical x = k tal que se cumple: l´ım f (x) = ±∞

x→k+

o bien l´ım f (x) = ±∞

x→k−

Las posibles as´ıntotas verticales de una funci´ on se encuentran entre los puntos que no est´ an en el dominio de la funci´ on, aquellos que anulan el dominador en las funciones racionales, etc... Para determinar si un punto constituye una as´ıntota vertical de la funci´ on, se tiene que cumplir que alguno de los l´ımites laterales de la funci´ on en el punto sea ±∞. En tal caso, se dir´a que la funci´ on posee una as´ıntota vertical en dicho punto por el lado en el cu´ al dicho l´ımite sea ±∞. Ejemplo: Estudiar las as´ıntotas verticales de las funciones: f (x) =

2x + 3 x−1

1 g(x) = √ x

a) Para la primera funci´ on, la posible as´ıntota estar´a en el punto x = 1, que es el u ´nico n´ umero real que no pertenece a su domino por anular el denominador. As´ı pues estudiamos el:  2 · 1 0001 + 3 5 2x + 3   l´ım = = + = +∞   + 1 0001 − 1 0 5  x→1 x − 1 2x + 3 = = l´ım x→1 x − 1 0      l´ım 2x + 3 = 2 · 0 9999 + 3 = 5 = −∞ 0 9999 − 1 0− x→1− x − 1


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Como ambos l´ımites laterales son infinitos, existe una as´ıntota vertical de la funci´ on en x = 1, y es m´as, conociendo el valor de los l´ımites podemos asegurar que en las cercan´ıas de la as´ıntota la funci´ on se comportar´a como en el dibujo:

√ 1 b) En cuanto a esta funci´ on,g(x) = √ , notemos que el denominador se anula cuando x = 0 =⇒ x x = 0, es decir la posible as´ıntota vertical estar´ a en x = 0. Analizando obtenemos:  1 1 1  l´ım √ = √ = + = +∞   + x 0 0 0001 1  x→0 1 l´ım √ = = x→0 x 0   1 1   l´ım √ = √ = − x x→0 −0 0001 puesto que no hay ra´ıces cuadradas de n´ umeros negativos. De modo que hay una as´ıntota vertical en x = 0 pero s´ olo por la derecha, es decir, la gr´ afica ser´a:


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

9.4.2.

155

As´ıntotas horizontales

Las as´ıntotas horizontales, si existen, indican el valor al que se acerca la funci´ on cuando la variable independiente x se hace muy grande o muy peque˜ na. Dicho en forma de l´ımites, una funci´ on tiene una as´ıntota horizontal en y = k cuando para alguno de los dos l´ımites: l´ım f (x) = k x→∞

o bien l´ım f (x) = k

x→−∞

Ejemplo: Calcular las as´ıntotas horizontales de las funciones: f (x) =

x2 + 1 x+1

1 g(x) = √ x

a) Para f (x) calculemos los l´ımites anteriores: x2 + 1 = +∞ x→∞ x + 1 l´ım

x2 + 1 (−x)2 + 1 x2 + 1 = l´ım = l´ım = −∞ x→−∞ x + 1 x→∞ (−x) + 1 x→∞ −x + 1 l´ım

de modo que la funci´ on f(x) no posee as´ıntotas horizontales. b) En cuanto a g(x), de igual modo: 1 l´ım √ = 0 x

x→∞

1 l´ım √ =  x

x→−∞

De modo que g(x) posee una as´ıntota horizontal en y = 0 cuando x tiende a ∞. De forma gr´afica:


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

9.4.3.

156

As´ıntotas Oblicuas

Una recta y = m · x + n es una as´ıntota oblicua de la funci´ on f(x) cuando existen y son finitos los l´ımites:  f (x) m = l´ım x→∞ x y n = l´ım (f (x) − m · x) x→∞

Las as´ıntotas horizontales son un caso particular de las oblicuas para el caso en que m = 0. Ejemplo: Estudiar las as´ıntotas oblicuas de f (x) = Calculemos m y n:  m = l´ım

x→∞

f (x) x

= l´ım

x→∞

x2 . x+1 x2 x+1

x

x2 =1 x→∞ x2 + x

= l´ım

 2 x2 x − 1 · x = l´ım −x = n = l´ım (f (x) − m · x) = l´ım x→∞ x→∞ x + 1 x→∞ x + 1  2  x − x2 − x −x = l´ım = −1 l´ım x→∞ x→∞ x + 1 x+1 

Por tanto f (x) tiene una as´ıntota oblicua en y = x − 1 cuando x tiende a +∞. Se puede comprobar que cuando x tiende a −∞, f (x) tiene esta misma as´ıntota. (Int´entalo). Gr´ aficamente se obtiene:

Figura 9.1: La as´ıntota oblicua es y = x − 1

Ejercicios: 1. Calcula las as´ıntotas de las funciones: f (x) =

x 2 x −1

g(x) = 1

2. Estudia las as´ıntotas de la funci´ on:f (x) = e x−2 .

x2 x+2

h(x) =

x2 − 4 x2 + 4


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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3. Calcula los l´ımites: x3 a) l´ım √ x→∞ x2 − 2  d) l´ım

x→1

9.5.

x2 + 4 x+4

x x−1

x3 b) l´ım √ x→−∞ x2 − 2

 c) l´ım

√ x2 + 5 − 3 e) l´ım √ x→2 x+7−3

x→∞

3x2 − 5 3x2 + x

x2 −1

2x2 − 2 x→1 x2 − 2x + 1

f ) l´ım

Continuidad

La idea intuitiva de funci´ on continua en un punto es bien sencilla. Una funci´ on continua en un punto es aquella que no “da saltos”, aquella que se puede dibujar sin levantar el l´ apiz del papel. Matem´aticamente la definici´ on de funci´ on continua es un poco m´ as compleja. Dice as´ı: Definici´ on: Una funci´ on f (x) es continua en un punto x = a si: Dado  > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f (x) − f (a)| <  Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las im´agenes se acercan a la imagen de a, f (a). Si f (x) no es continua en x = a se dice que f (x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en x = a. Propiedad: Para que una funci´ on sea continua en un punto a es necesario y suficiente que: a) Exista el valor de la funci´ on en el punto, f (a). b) Existan los l´ımites laterales, l´ım f (x) x→a+

y l´ım f (x)

x→a−

, y sean finitos e iguales entre s´ı e iguales a f (a), es decir: l´ım f (x) = l´ım f (x) = f (a)

x→a+

x→a−

Esta u ´ltima propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una funci´ on es continua o no en un punto. Ejemplo: Estudiar la continuidad de la funci´ on:  2x + 1 si x > 2 f (x) = 1 si x ≤ 2 x En primer lugar, se˜ nalemos que la mayor´ıa de las funciones que estudiamos son continuas en todos los puntos salvo en algunos. ¿Cu´ales son los posibles puntos de discontinuidad de una funci´ on?. Aquellos en los que no est´a definida la funci´ on (anulan el denominador, etc...) y aquellos en los que cambia la definici´ on de la funci´ on. En todos los dem´ as puntos las funciones son siempre continuas y no hace falta analizarlos. En nuestro caso, si nos fijamos en f (x) encontramos 2 posibles puntos de discontinuidad. El primero es aquel en el que cambia la definici´on de la funci´ on, x = 2. Adem´as, como hay un demominador, que se anula para x = 0, y adem´ as estamos en el tramo de funci´on para valores menores que 2, el punto x = 0 es otro posible punto de discontinuidad.


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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Analicemos si la funci´ on es continua o no en esos puntos. Continuidad en x = 2: 1 f (2) = 2 pues debemos sustituir en la parte inferior de f (x), que es donde est´ a el igual. L´ımites laterales: 1 1 l´ım f (x) = l´ım = − x→2 x 2 x→2 Por otra parte: l´ım f (x) = l´ım 2x + 1 = 5

x→2+

x→2

Como los l´ımites laterales existen pero son diferentes, concluimos que f (x) es discontinua en x = 2. Continuidad en x = 0: f (0) =  quedar´ıa un cero en el denominador. Con esto ya sabemos que la funci´ on no puede ser continua en x = 0. De todos modos calculamos los l´ımites laterales. Observemos que cuando nos acercamos a 0, da igual por la derecha que por la izquierda, estamos siempre en la parte inferior de la funci´on, luego: l´ım f (x) = l´ım

1 1 = − = −∞ x 0

l´ım f (x) = l´ım

1 1 = + = +∞ x 0

x→0−

x→0−

Por otra parte: x→0+

x→0+

Y f (x) tambi´en es discontinua en x = 0. Por tanto f (x) es continua en todos los n´ umeros reales salvo en x = 0 y x = 2.

9.6.

Tipos de discontinuidad

Analicemos los posibles casos que se pueden dar a la hora de estudiar la continuidad de una funci´ on en un punto. 1. Existe f (a) y los l´ımites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f (a). Una discontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. Gr´ aficamente:


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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Observamos que los l´ımites por la derecha y por la izquierda valen 1, ambos, mientras que f (0) = 0. Hay una discontinuidad evitable en x = 0. 2. Existe f (a) y los l´ımites laterales existen y son finitos, aunque distintos. Estamos ante una discontinuidad de salto finito. Gr´ aficamente:

−1 , hay una discontinuidad En este caso el l´ımite por la derecha es 1, el izquierdo es 0 y f (0) = 2 evitable en x = 0. 3. Existe f (a) y alguno de los l´ımites laterales es infinito. En este caso hay una discontinuidad de salto infinito. Gr´ aficamente:

Ahora f (0) = 1, el l´ımite por la izquierda vale 1 tambi´en y el l´ımite lateral por la derecha vale +∞. Discontinuidad de salto infinito en x = 0.


CAP´ITULO 9. L´IMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

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4. No existe f (a) o alguno de los l´ımites laterales. Se trata de una discontinuidad esencial. De forma gr´ afica:

Los l´ımites laterales, ambos, son +∞, pero f (0) no existe. Hay una discontinuidad esencial en x = 0.

Limites y Continuidad de Funciones  

apuntes de calculo.