Para o estudo da Geometria e da Matemática, consideram-se dois tipos de proposições: os axiomas e os teoremas. Os axiomas, também chamados de postulados, são proposições aceitas sem demonstração. Os teoremas são todas as proposições que podem demonstradas a partir dos axiomas.
Alguns axiomas. Postulado da Determinação da reta
I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.
A
B Postulado da Determinação do plano
II) Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano. Prof. Elton Pereira
III) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem a esse plano. Nesse caso, dizemos que a reta está contida no plano.
B A
( A ∈α , B ∈α
e A ≠ B) ⇔ AB ⊂ α Prof. Elton Pereira
Perpendicularidade
Teorema fundamental da perpendicularidade Seja r uma reta secante a um plano α num ponto P e sejam a e b duas retas de α concorrentes em P. Se r é perpendicular a ambas as retas a e b, então r é perpendicular a todas as retas de α que passam por P.
r
a b
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Definição Uma reta r é perpendicular a um plano α num ponto P, se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P.
r
b
a
c
( r ⊥ α ) → r ⊥ a , r ⊥ b , r ⊥ c ,... Prof. Elton Pereira
Propriedade Fundamental Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta que r seja perpendicular a duas retas concorrentes.
r
b
a
(r ⊥ a, r ⊥ b) → r ⊥ α Prof. Elton Pereira
Teorema das três perpendiculares Uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta que passa por S e R é perpendicular à reta b.
a
R b O
α
c Prof. Elton Pereira
ExercĂcio 1
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Prismas
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Prisma Reto
Prisma OblĂquo
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CĂĄlculo da diagonal de um paralelepĂpedo reto retangular e de um cubo
c
D
b a D =
a +b +c 2
2
a +b 2
2
2 Prof. Elton Pereira
Diagonal de um cubo
D
D =
a2 + a2 + a2
D =
3a 2
D =a 3
a Prof. Elton Pereira
Área da superfície de um prisma Em todo prisma, consideramos: Superfície lateral: é formada pelas faces laterais Área lateral: é a área da superfície lateral
Al
Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases Área total: é a área da superfície total
At = Ab + Al
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At = 6 .
l
2
3 4
A=
l2
3 4
Ă rea da base de um prisma hexagonal regular Prof. Elton Pereira
ExercĂcio 2
c
D
b a
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Octaedro Regular
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Consideremos um plano α, uma região poligonal R contida em α e um ponto P não pertencente a α. O conjunto de todos os segmentos que ligam o ponto P a um ponto de R forma uma pirâmide.
P h
α Prof. Elton Pereira
Observação: Se todas as arestas laterais são congruentes, a pirâmide é reta, caso contrário, ela é oblíqua
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Pirâmide Regular Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular.
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Uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras é o tetraedro regular.
Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. Assim, o tetraedro é um caso particular de pirâmide regular. Prof. Elton Pereira
Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos quais aparecem:
Aresta da base Aresta lateral
Apótema da base a b
x
l
Apótema da pirâmide
Altura da pirâmide
h
ap
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2
x 2 l = + ap 2
V
2
a p = ab + h 2
2
2
O M A Prof. Elton Pereira
Área de uma superfície de uma pirâmide
Superfície lateral: é formada pelas faces laterais(triângulos) Área lateral: é a área da superfície lateral
Al
Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases Área total: é a área da superfície total
At = Ab + Al
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Pir창mide Hexagonal Regular
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Tetraedro Regular
A
a 3 2
B
D
θ
N C
M 1 a 3 . 3 2 Prof. Elton Pereira
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P h F'
E'
A'
D'
B' C '
H
E
F
A
D
C
B
A1 h = A2 H
2
V1 h = V2 H
3
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CILINDROS
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Fonte Figura: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm Prof. Elton Pereira
Cilindro Reto (revolução)
Al = 2πrh
(área lateral)
Ab = πr
(área da base)
Atb = 2πr
2
2
(área total da base)
At = 2πr + 2πrh 2
At = 2πr ( r + h ) (área total) Prof. Elton Pereira
V = Ab .h
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Cones
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h
Relação Importante
g
r 2 2 2 g =r +h Prof. Elton Pereira
Al = πrg Ab = πr
2
At = πrg + πr
2
At = πr ( g + r ) Prof. Elton Pereira
Ab .h V = 3
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Esferas
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4 3 V = πr 3 volume
A = 4πr
2
Área
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Published on Oct 23, 2012
Material da Aula de Geometria Espacial
