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Para o estudo da Geometria e da Matemática, consideram-se dois tipos de proposições: os axiomas e os teoremas. Os axiomas, também chamados de postulados, são proposições aceitas sem demonstração. Os teoremas são todas as proposições que podem demonstradas a partir dos axiomas.

Alguns axiomas. Postulado da Determinação da reta

I) Por dois pontos distintos A e B passa uma e uma só reta a.

A

B Postulado da Determinação do plano

II) Três pontos não colineares A, B e C determinam um único plano. Prof. Elton Pereira


III) Se dois pontos distintos de uma reta pertencem a um plano, então todos os pontos dessa reta pertencem a esse plano. Nesse caso, dizemos que a reta está contida no plano.

B A

( A ∈α , B ∈α

e A ≠ B) ⇔ AB ⊂ α Prof. Elton Pereira


Perpendicularidade

Teorema fundamental da perpendicularidade Seja r uma reta secante a um plano α num ponto P e sejam a e b duas retas de α concorrentes em P. Se r é perpendicular a ambas as retas a e b, então r é perpendicular a todas as retas de α que passam por P.

r

a b

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Definição Uma reta r é perpendicular a um plano α num ponto P, se r for perpendicular a todas as retas de α que passam por P.

r

b

a

c

( r ⊥ α ) → r ⊥ a , r ⊥ b , r ⊥ c ,... Prof. Elton Pereira


Propriedade Fundamental Para que uma reta r seja perpendicular a um plano α, basta que r seja perpendicular a duas retas concorrentes.

r

b

a

(r ⊥ a, r ⊥ b) → r ⊥ α Prof. Elton Pereira


Teorema das três perpendiculares Uma reta a é perpendicular a um plano α num ponto O. Uma reta b de α não passa por O e uma reta c de α passa por O e é perpendicular a b em R. Se S é um ponto qualquer da reta a, então a reta que passa por S e R é perpendicular à reta b.

a

R b O

α

c Prof. Elton Pereira


ExercĂ­cio 1

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Prismas

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Prisma Reto

Prisma OblĂ­quo

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CĂĄlculo da diagonal de um paralelepĂ­pedo reto retangular e de um cubo

c

D

b a D =

a +b +c 2

2

a +b 2

2

2 Prof. Elton Pereira


Diagonal de um cubo

D

D =

a2 + a2 + a2

D =

3a 2

D =a 3

a Prof. Elton Pereira


Área da superfície de um prisma Em todo prisma, consideramos: Superfície lateral: é formada pelas faces laterais Área lateral: é a área da superfície lateral

Al

Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases Área total: é a área da superfície total

At = Ab + Al

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At = 6 .

l

2

3 4

A=

l2

3 4

Ă rea da base de um prisma hexagonal regular Prof. Elton Pereira


ExercĂ­cio 2

c

D

b a

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Octaedro Regular

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Consideremos um plano α, uma região poligonal R contida em α e um ponto P não pertencente a α. O conjunto de todos os segmentos que ligam o ponto P a um ponto de R forma uma pirâmide.

P h

α Prof. Elton Pereira


Observação: Se todas as arestas laterais são congruentes, a pirâmide é reta, caso contrário, ela é oblíqua

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Pirâmide Regular Pirâmide regular é uma pirâmide reta cuja base é uma região poligonal limitada por um polígono regular.

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Uma pirâmide formada por quatro regiões triangulares congruentes e equiláteras é o tetraedro regular.

Nele, qualquer uma das faces pode ser considerada base. Assim, o tetraedro é um caso particular de pirâmide regular. Prof. Elton Pereira


Em toda pirâmide regular devemos destacar quatro importantes triângulos retângulos nos quais aparecem:

Aresta da base Aresta lateral

Apótema da base a b

x

l

Apótema da pirâmide

Altura da pirâmide

h

ap

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2

x 2 l =   + ap 2

V

2

a p = ab + h 2

2

2

O M A Prof. Elton Pereira


Área de uma superfície de uma pirâmide

Superfície lateral: é formada pelas faces laterais(triângulos) Área lateral: é a área da superfície lateral

Al

Superfície total: é formada pelas faces laterais e pelas bases Área total: é a área da superfície total

At = Ab + Al

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Pir창mide Hexagonal Regular

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Tetraedro Regular

A

a 3 2

B

D

θ

N C

M 1 a 3 . 3 2 Prof. Elton Pereira


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P h F'

E'

A'

D'

B' C '

H

E

F

A

D

C

B

A1  h  =  A2 H 

2

V1  h  =  V2 H 

3

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CILINDROS

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Fonte Figura: http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/geometria/cilindro/cilindro.htm Prof. Elton Pereira


Cilindro Reto (revolução)

Al = 2πrh

(área lateral)

Ab = πr

(área da base)

Atb = 2πr

2

2

(área total da base)

At = 2πr + 2πrh 2

At = 2πr ( r + h ) (área total) Prof. Elton Pereira


V = Ab .h

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Cones

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h

Relação Importante

g

r 2 2 2 g =r +h Prof. Elton Pereira


Al = πrg Ab = πr

2

At = πrg + πr

2

At = πr ( g + r ) Prof. Elton Pereira


Ab .h V = 3

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Esferas

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4 3 V = πr 3 volume

A = 4πr

2

Área

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Aula Geometria Espacial  

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