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2 Geometria Espacial Orientações para estudo

Sólidos inscritos e circunscritos Esfera e cubo

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Comentários Diâmetro da esfera é igual à aresta do cubo

2r = a r = raio da esfera a = aresta do cubo

Diâmetro da esfera é igual à diagonal do cubo

2r = a 3

Esfera e octaedro regular

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Comentários O diâmetro da esfera é igual à diagonal do quadrado do octaedro

2r = a 2 r = raio da esfera a = aresta do octaedro

O raio da esfera inscrita é a altura OH do triângulo retângulo AOM. Aplicando no AOM a relação métrica: hipotenusa x altura = produto dos catetos:

H

a 2 a a 3  .r = 2 2 2  a 6 r= 6


Esfera e tetraedro regular

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Comentários Num tetraedro regular, a soma das distâncias de um ponto interior qualquer às quatro faces é igual à altura do tetraedro.

r+r+r+r=h 4r = h a 6 4r = 3 a 6 r= 12 h = altura do tetraedro =

a 6 3

r = raio da esfera

h . 4 Sabendo que R + r = h, e substituindo r h h por , encontramos R + =hR= 4 4 a 6 3h e substituindo h por , temos: 3 4

Sendo 4r = h, então r =

3. R=

a 6 3 R= a 6 4 4

h = altura do tetraedro =

a 6 3

r = raio da esfera inscrita R = raio da esfera circunscrita

Prisma e cilindro

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Comentários

O raio da base do cilindro é o raio da circunferência circunscrita à base do prisma.

O raio da base do cilindro é o raio da circunferência inscrita na base do prisma.


Pirâmide e cone

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O raio da base do cone é o raio da circunferência circunscrita à base da pirâmide.

O raio da base do cone é o apótema da base da pirâmide. A geratriz do cone é o apótema da pirâmide.

Cilindro e cone

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Comentários

Usando os elementos indicados nas figuras, temos:

Cilindro e esfera

ADE ~ ABC 

g r Hh   G R H

EFC ~ ABC 

Gg R r h   G R H

ADE ~EFC 

g r Hh   Gg R r h

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Comentários

--

O cilindro circunscrito a uma esfera é um cilindro eqüilátero cujo raio da base é igual ao raio da esfera.

--

O raio da base r e altura h de um cilindro inscrito numa esfera de raio R possuem a seguinte relação:

(2r) 2 + h2 = (2R)2


Esfera e cone reto

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Comentários

O é o centro da esfera inscrita (OC é bissetriz). E é o centro da circunferência segundo a qual a superfície cônica tangencia a esfera. D é o ponto de tangência.

x r Hr   H R G

ADO ~ ABC 

x é calculado no ADO retângulo em D:

x 2  (H  r ) 2  r 2

Do triângulo retângulo ABC temos:

g2 = 2R.h Que relaciona o quadrado do cateto (g2) com o produto da hipotenusa (2R) pela projeção do cateto g (h).

r2 = h(2R – h) Que relaciona o quadrado da altura (r2) com o produto da projeção h pela projeção (2R – h).

Esfera, cilindro eqüilátero e cone eqüilátero

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R=r --

H = 2r R é o raio da base do cilindro H a altura do cilindro r é o raio da esfera

(2y)2 = y2 + x2

--

y é o raio da base do cone x é a altura do cone 2y é a geratriz do cone O é o centro da esfera e o baricentro da seção meridiana do cone (que é um triângulo eqüilátero), então:

x = 3r 2

2

2

Substituindo em (2y) = y + x , temos:

(2y)2 = y2 + (3r)2 y2 = 9r2


Sólidos Inscritos e Circunscritos