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Col´ egio Militar de SM – Profs Augusto e Anchieta Lista de Sistemas Lineares – 2o ano Aluno(a): 9 de agosto de 2011 Vit´oria Empate Derrota 1.) Lu´ıs tem hoje o dobro da idade que Alexandre tinha Time A x y zero quando Lu´ıs tinha a idade que Alexandre tem. Quando Time B x + 3 z w Alexandre tiver a idade que Lu´ıs tem, a soma das idades de ambos ser´a 63 anos. Qual ´e a idade de cada um? N o de jogos: x+y =x+3+z+w Resolu¸c˜ao: N o de pontos: 3x + y = 3(x + 3) + z Devemos encontrar no problema algum valor constante. As ½ equa¸c˜oes tornam-se: Observando que a diferen¸ca de idades de Lu´ıs e Alexandre y = 3 + z + w (1) n˜ao muda em qualquer tempo, definimos a constante: y =9+z (2) p = (idade de Lu´ıs) - (idade de Alexandre) (1) = (2) : 3 + z + w = 9 + z ⇒ w=6 Definindo k anos a idade atual de Luis, teremos a idade de Alexandre como k − p, ou seja: 4.) (PUC - SP) Para dar R$1,80 de troco a um cliente, o caixa Lu´ıs: k anos; de um supermercado pretende usar exatamente 20 moedas. Alexandre: k − p anos. Se ele disp˜oe de moedas de 5 centavos, 10 centavos e 25 Analisando a frase: Luis tem hoje o dobro da idade que centavos, determine de quantos modos distintos ele pode Alexandre tinha quando Luis tinha a idade que Alexandre compor tal quantia. tem. 5.) (UNI-RIO) Num escrit´orio de advocacia trabalham apenas Na ´epoca em que Lu´ıs tinha a idade de Alexandre: dois advogados e uma secret´aria. Como o Dr. Andr´e e o Dr. Luis: (k − p) anos Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secret´aria, Alex: (k − 2p) anos. Cl´audia, coloca 1 grampo em cada processo do Dr. Andr´e e 2 grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenci´adobro da idade que los facilmente no arquivo. Sabendo-se que, ao todo, s˜ao 78 Lu´ıs tem hoje Alexandre tinha quando processos nos quais foram usados 110 grampos, podemos Lu´ıs tinha (k − p) anos concluir que o n´ umero de processos do Dr. Carlos ´e igual k = 2(k − 2p) a: k = 2(k − 2p); k = 2k − 4p ⇒ k = 4p (1) A( ) 64 B( ) 46 C( ) 40 Daqui a p anos Alexandre vai ter a idade de Luis, (k), e D( ) 32 E( ) 28 Luis vai ter (k + p). Resolu¸c˜ao: k + (k + p) = 63 ⇒ 2k + p = 63 (2) Grampos: A + 2C = 110 Processos: A + C = 78 (2) em (1) : 8p + p = 63 ⇒ p = 7. Escrevendo: A + C + C = 110 ⇒ 78 + C = 110. Luis: k = 4.7 = 28 C = 32 ⇒ A = 46. Alexandre: k − p = 28 − 7 = 21 umero inteiro de d´ uzias 2.) Uma companhia obt´em um lucro de 31900 reais antes de 6.) (UERJ) Um feirante separou um n´ de tangerinas (t), de ma¸ c a ˜ s (m) e de pˆ e ras (p). Observou pagar os impostos. Essa companhia concordou em fazer que, para cada ma¸c˜a arrumada, havia 2 tangerinas. Com uma doa¸c˜ao para o Hospital da Crian¸ca com Diabetes de 90 d´ uzias, ele fez lotes com 6 tangerinas, lotes com 6 ma¸c˜as Porto Alegre com 10% de seu lucro, descontados os impose lotes com 4 pˆeras. Colocou em cada lote, indistintamente, tos. A companhia deve pagar impostos estaduais de 5% de o pre¸ c o de R$ 0,50. Arrecadou R$ 105,00 na venda de todos seu lucro (descontada a doa¸c˜ao) e impostos federais de 40% eles. Calcule p. de seu lucro (descontada a doa¸c˜ao e depois do pagamento dos tributos estaduais). Determine: A( ) 40 B( ) 20 C( ) 30 D( ) 50 E( ) 35 a.) A quantia paga em impostos estaduais. b.) A quantia paga em impostos federais. c.) A contribui¸c˜ao ao hospital. d.) A quantia que permanece nos cofres da empresa. 3.) No campeonato brasileiro de futebol, cada vit´oria vale 3 pontos, cada empate, 1 ponto e cada derrota, 0 ponto. Ao fim do campeonato, os times A e B terminaram com o mesmo total de pontos. Se o time A nunca perdeu um jogo e se B tem mais 3 vit´orias que A, calcule quantas vezes B perdeu. Resolu¸c˜ ao:

Resolu¸c˜ ao: Lembrando que: (t) ,→ d´ uzias detangerinas; (m) ,→ d´ uzias de ma¸c˜as; (p) ,→ d´ uzias de pˆeras Para cada ma¸c˜ a, 2 tangerinas: t = 2m (1) Ao todo 90 d´ uzias: t + m + p = 90 (2) As frutas s˜ ao vendidadas em lotes de $0,50. Cada d´ uzia de tangerina ou ma¸c˜ a produz 2 lotes e cada d´ uzia de pˆera produz 3 lotes. Assim o total de lotes ´e dado por : 2t+3m+3p.


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Lista de Sistemas Lineares – 2o ano

  3x + 2y + z = m Como cada lote ´e vendido por $0,50; teremos que o total da 4x + 5y + z = 1 ser´a 11.) (UGF - RJ) O sistema venda ´e dada por:  x + 3y = 2 0, 50(2t + 3m + 3p). poss´ıvel para: Assim conclu´ımos que o faturamento do feirante ser´ a dado pela equa¸ca ˜o: A( ) m = −1 0, 50(2t + 3m + 3p) = 105, o que gera: 2t + 3m + 3p = B( ) m = 1 210 (3). C( ) m = 6 3 Temos a montagem do sistema:  D( ) m = 6 0 t + m + p = 90  E( ) qualquer que seja m t − 2m = 0  2t + 2m + 3p = 210 Resolu¸c˜ao: que resolvido gera p=30. Inicialmente ¯ podemos verificar que ∆ = 0, isto ´e: ¯ ¯ 3 2 1 ¯ ¯ ¯ ¯ 4 5 1 ¯ = 0, o que descarta a op¸c˜ao ( E ). 7.) (PUC) Est˜ao distribu´ıdos em 3 caixas 72 palitos. ¯ ¯ ¯ 1 3 0 ¯ Transferem-se da 1a para a 2a caixa tantos palitos quantos existem na 2a caixa. Transferem-se, ent˜ao, da 2a caixa Para dar prosseguimento `a  resolu¸c˜ao deve-se escalonar o 3 2 1 : m para a 3a caixa tantos palitos quantos existem na 3a . Finalmente, transferem-se da 3a para a 1a caixa tantos palitos sistema:  4 5 1 : 1 . Para facilitar os procedi1 3 0 : 2 quantos existem na 1a . Depois disto verifica-se que existe mentos, verificando  que h´a um coeficiente um n´ umero igual de palitos em cada caixa. O n´ umero de  de x igual a 1, 1 3 0 : 2 palitos que havia inicial mente na 1a caixa era: fazemos L1 ↔ L3 :  4 5 1 : 1 . Prosseguindo o 3 2 1 : m A( ) 11 B( ) 22 C( ) 33 escalonamento:   D( ) 44 E( ) 66 1 3 0 : 2 L3 → L3 − 3L2  0 −7 1 : −7  ∴ Resolu¸c˜ ao: L3 → L3 − 3L2 0 −7 1 : m − 8   A 1 3 0 : 2 L3 → L3 + L2  0 −7 1 : −7  8.) (PUC – MG) M ´e uma matriz real de ordem 3, e seu de0 0 0 : m −1 terminante ´e igual a 2. Determine o valor de Assim conclui-se que para o sistema ter solu¸ c˜ao ´e necess´ario det(M ) + det(2M ) + det(3M ) que m − 1 = 0 ⇒ m = 1. E neste caso a solu¸c˜ao ser´a indeterminada. A( ) 12 B( ) 15 C( ) 36 D( ) 54 Solu¸c˜ao ( B ). E( ) 72 9.) (UERJ) Em uma campanha de doa¸c˜ao de alimentos, dois amigos decidiram contribuir com o mesmo valor em cruzeiros reais. O primeiro fez a sua doa¸c˜ao em sacos de arroz com 5kg, cada um, e o outro com sacos de feij˜ao contendo 3kg, cada um. O pre¸co do quilograma de arroz era de 46 cruzeiros reais e o do feij˜ao 88 cruzeiros reais. O valor m´ınimo da contribui¸c˜ao de cada um em cruzeiros reais, foi: A( B( C( D( E(

) CR$ 30.360,-00 ) CR$ 20.240,00 ) CR$ 26.400,00 ) CR$ 4.940,00 ) CR$ 2.300,00

10.) (EsPCEx – 2006) Uma tropa realizou um exerc´ıcio em que soldados, sargentos e oficiais executaram m´odulos padronizados de tiro, consumindo, individualmente, o n´ umero de muni¸ca˜o estabelecido conforme seu n´ıvel hier´arquico. No primeiro dia atiraram 16 soldados, 8 sargentos e 4 oficiais, totalizando 96 muni¸c˜oes; no segundo dia, 5 soldados, 4 sargentos e 3 oficiais, totalizando 38 muni¸c˜oes; no terceiro dia, 16 soldados, 4 sargentos e 1 oficial, totalizando 78 muni¸c˜oes. Quantas muni¸c˜oes foram usadas no quarto dia, quando atiraram 14 soldados, 8 sargentos e 2 oficiais? A(

) 78

B(

) 80

C(

) 82

D(

) 84

E(

) 86

12.) (ITA  – 89)  Considere  a equa¸  c˜ao:   4 5 7 0 x  −16  + y  1  + z  0  =  0 , onde x, y e z 4 2 3 0 ´ verdade que: s˜ao n´ umeros reais. E A( B( C( D( E(

) A equa¸c˜ao admite somente uma solu¸c˜ao. ) Em qualquer solu¸c˜ao x2 = y 2 ) Em qualquer solu¸c˜ao, 16y 2 = 9z 2 ) Em qualquer solu¸c˜ao, 25y 2 = 16z 2 ) Em qualquer solu¸c˜ao, 9y 2 = 16z 2

Resolu¸c˜ao: A  equa¸c˜ao matricial equivale ao sistema linear:  4x + 5y + 7z = 0 −16x + y + 0z = 0  4x + 2y + 3z = 0 Como o sistema ´e homogˆeneo, ´e poss´ıvel. Basta escalon´a-lo para obter a rela¸c˜ao entre as inc´ognitas x e y, conforme 4 5 7 : 0 pede o enunciado:  −16 1 0 : 0  4 2 3 : 0   4 5 7 : 0 L3 → L3 − L1  0 21 28 : 0  L2 → L2 + 4L1 0 −3 −4 : 0  4 5 7 : 0 L2  0 3 4 : 0  L2 → 7 0 −3 −4 : 0


Col´egio Militar de SM – profs Augusto e Anchieta 

Lista de Sistemas Lineares – 2o ano

 4 5 7 : 0 15.) (ITA – 2008) Seja A ∈ M2x2 uma matriz real, sim´etrica e L3 → L2 + L3  0 3 4 : 0 . n˜ao nula, cujos elementos s˜ao tais que a11 , a12 e a22 for0 0 0 : 0 mam, nesta ordem, uma progress˜ao geom´etrica de raz˜ao Encontramos ent˜ ao 3y = −4z. Usando outras escolhas q > 1 e tr A = 5a11 . Sabendo-se que o sistema AX = X de combina¸c˜oes lineares entre as equa¸c˜oes, poder´ıamos admite solu¸c˜ao real n˜ao nula X ∈ M2x1 , pode-se afirmar ter encontrado 3y = −4z. Em qualquer caso a op¸c˜ao ( que a211 + q 2 ´e igual a: E ) satisfaz, bastando para isso elevar os dois lados da 101 121 49 igualdade encontrada ao quadrado. A( ) B( ) C( ) 5 D( ) 25 25 9 13.) (FGV) Discuta o sistema linear, nas inc´ognitas x e y, em 49 E( ) fun¸ ao do parˆametro real m:  c˜ 4  x − 2y = 7 2x + y = m  3x − y = 6 Resolu¸c˜ao: Excluindo ½ temporariamente a segunda equa¸c˜ao do sistema x − 2y = 7 temos que possui a solu¸c˜ao (1, 3). Para 3x − y = 6 o sistema ser poss´ıvel e determinado devemos substituir a solu¸c˜ao na segunda equa¸c˜ao: 2 − 3 = m ⇒ m = −1. O sistema ser´a imposs´ıvel para qualquer outro valor de m e nunca ser´a indeterminado.

14.) (ITA – 90) Dizemos que dois sistemas de equa¸c˜ oes lineares s˜ao equivalentes se, e somente se, toda solu¸c˜ao de um qualquer dos sistemas for tamb´em uma solu¸c˜ao do outro. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: I - Dois sistemas de equa¸c˜oes lineares 3x3, ambos homogˆeneos, s˜ao equivalentes. II - Dois sistemas de equa¸c˜oes lineares, 3x3, ambos indeterminados, n˜ao s˜ao equivalentes. III - Os dois sistemas de equa¸c˜oes lineares dados a seguir s˜ao equivalentes:  

x+y y+z  x+y+z

= 5 = 8 = 10

  x + 2y − z x−y+z e  4x − y + 2z

= = =

3 4 14

De acordo com a defini¸c˜ao dada podemos dizer que: A( B( C( D( E(

) As trˆes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras ) Apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; ) Apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras ) Apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; ) As trˆes afirma¸c˜oes s˜ao falsas.

Resolu¸c˜ao: I - ( F ). Dois sistemas homogˆeneos ser˜ao equivalentes se ambos forem determinados, pois ter˜ao a solu¸c˜ao trivial satisfeita. Dois sistemas homogˆeneos indeterminados n˜ao necessariamente possuem a mesma solu¸c˜ao. II - ( F ) Conforme o primeiro item, se forem indeterminados podem ou n˜ao possuir a mesma solu¸c˜ao. III - ( F ) No primeiro sistema ∆ = 1, logo ´e poss´ıvel e determinado. No segundo sistema ∆ = 0, o que o torna imposs´ıvel ou poss´ıvel e indeterminado, portanto n˜ao podem ser equivalentes.


Lista nr 2 - Sistemas Lineares