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Prova da EsSA – 2009/2010 01. O resto da divisão de x3 + 4x por x2 + 1 é igual a: (A) 3x – 1 (B) 1 (C) 5x + 1 (D) 3x + 1 (E) 5x – 1 Solução: Utilizando o algoritmo da divisão, temos: x3 + 4x x2 + 1 3 –x – x x 3x O resto da divisão é 3x. Como não há nenhuma resposta, a questão será anulada.

02. Um cliente comprou um imóvel no valor de R$ 80.000,00, tendo pago como sinal R$ 30.000,00 no ato da compra. O restante deverá ser pago em 24 prestações mensais iguais e consecutivas. Sabendo que a primeira prestação será paga um mês após a compra e que o juro composto é de 10% ao ano, o valor total pago em reais pelo imóvel, incluindo o sinal, será de: (A) R$ 90.000,00 (B) R$ 95.600,50 (C) R$ 92.500,00 (D) R$ 90.500,00 (E) R$ 85.725,30 Solução: Valor do imóvel: R$ 80.000,00 Sinal: R$ 30.000,00 Restante: R$ 50.000,00 O restante deverá ser pago em 2 anos com juro composto de 10% ao ano. Então, no primeiro ano será pago 50.000 + 10% de 50.000, totalizando 55.000. No segundo ano será pago 55.000 + 10% de 55.000, totalizando 60.500. O valor total pago pelo imóvel, incluindo o sinal, será de 30.000 + 60.500, ou seja, R$ 90.500,00 Observação: Poderia ser resolvido utilizando a fórmula de juros compostos M = C(1 + i)t, onde: M é o montante C é o capital = 50.000,00 i é a taxa = 10% a.a. t é o tempo = 24 meses = 2 anos

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Porém, problemas que envolvem um tempo numericamente pequeno (2 anos), é mais viável resolver da forma apresentada anteriormente. Resposta: Letra D

03. Uma obra necessita de vigilantes para o turno da noite durante exatamente 36 noites. Se para cada noite são necessários 2 vigilantes, quantos devem ser contratados de modo que o mesmo par de vigilantes não se repita? (A) 9 (B) 16 (C) 8 (D) 14 (E) 18 Solução: Devemos ter n vigilantes, tomados dois a dois, sem repetição para o par de vigilantes tomados, ou seja, temos aqui uma combinação. Então:

Como a obra irá necessitar de vigilantes durante exatamente 36 noites, então: n.(n – 1) = 72 Sabendo que “n” é um número natural, temos que “n” vezes seu antecessor (n – 1) é igual a 72, logo, n = 9, pois somente 9 x 8 = 72. Resposta: Letra A

04. Numa progressão aritmética (PA) de nove termos, a soma dos dois primeiros termos é igual a 20 e a soma do sétimo e oitavo termos é 140. A soma de todos os termos desta PA é: (A) 405 (B) 435 (C) 320 (D) 395 (E) 370 Solução : Uma PA de nove termos: (a1, a2, ..., a8, a9) Temos que: 1) a soma dos dois primeiros termos é igual a 20: a1 + a2 = 20, como a2 = a1 + r, então: a1 + a1 + r = 20 2a1 + r = 20 Acompanhe: www.twitter.com (@prof_anchieta)


A

2) a soma do sétimo e oitavo termos é 140: a7 + a8 = 140, como a7 = a1 + 6r e a8 = a1 + 7r, então: a1 + 6r + a1 + 7r = 140 2a1 + 13r = 140

O E

Raio

Resolvendo o sistema:

Trocando o sinal da primeira e somando as equações:

U

Nota: Se o lado EU é o raio da circunferência, então o arco formado por este lado tem 60º, logo, o ângulo Â, que é inscrito à circunferência, tem 30º. “Determine a medida do ângulo AÊU em graus, sabendo que o lado AU é o maior lado do triângulo e tem como medida o produto entre a medida do lado EU e ”

Encontramos: 12r = 120  r = 10

A

Substituindo r = 10 em 2a1 + r = 20, encontramos a1 = 5. A soma de todos os termos (nove termos) desta PA é dada pela fórmula:

30º

E

a

Raio = R

O

U

Maior lado = R . 3

Sendo α a medida do ângulo AÊU e usando a lei dos senos, temos que:

a9 = a1 + 8r a9 = 5 + 8.10 a9 = 85 S9 = 45.9 = 405 Resposta: Letra A

05. Um triângulo AEU está inscrito em uma circunferência de centro O, cujo raio possui a mesma medida do lado EU. Determine a medida do ângulo AÊU em graus, sabendo que o lado AU é o maior lado do triângulo e tem como medida o produto entre a medida do lado EU e . (A) 120o (B) 60o (C) 30o (D) 90o (E) 150o Solução : “Um triângulo AEU está inscrito em uma circunferência de centro O”: A

O E

sen α = Na equação o ângulo α pode assumir dois valores, 60o e 120o. No triângulo, o ângulo α não pode ser 60o, pois o ângulo U seria 90o, o que tornaria o lado AE o maior lado, concluímos desta forma que o ângulo α é 120 o. Resposta: Letra A

06. Carlos é o caixa da bilheteria do cinema da cidade. Os ingressos custam R$ 8,00, sendo que algumas pessoas como estudantes, idosos e pessoas conveniadas ao cinema pagam a metade do valor. Ontem Carlos esqueceu de marcar o valor que cada pessoa pagou, mas ele sabe que 120 pessoas pagaram pela sessão e arrecadou um total de R$ 760,00. O número de pessoas que pagaram meia entrada foi: (A) 60 (B) 70 (C) 80 (D) 40 (E) 50 Solução:

U

“cujo raio possui a mesma medida do lado EU” Outras listas: www.issuu.com (prof.anchieta)

Questão muito simples, envolvendo conceito de sistema com duas equações, cada uma com duas variáveis. Acompanhe: www.twitter.com (@prof_anchieta)


Ingresso normal: R$ 8,00

11 2 2 2.(i  1) 2.(i  1) = = = 2 = = 11  i 1  i 1 i 1 i  12 2.(i  1) =  1.(i  1) 2

Logo:

Ingresso para estudantes, idosos e pessoas conveniadas ao cinema: R$ 4,00 Total de pessoas que pagaram o ingresso normal: x Total de pessoas que pagaram o ingresso com desconto: y

Nota: Tanto faz usar i + 1 ou 1 + i

120 pessoas pagaram pela sessão, então x + y = 120

08. A altura de um prisma hexagonal regular é de 5m.

A sessão e arrecadou um total de R$ 760,00, então 8.x + 4.y = 760,00

Sabe-se também que sua área lateral é o dobro da área de sua base. O volume desse prisma, em m³, é: (A) 200 3

Resposta: Letra B

Resolvendo o sistema:

(B) 285 3 (C) 250 3

Fazendo 4x + 4x + 4y = 760 4x + 4.(x + y) = 760 4x + 4.120 = 760 4x + 480 = 760 4x = 760 – 480 4x = 280 x = 70

(D) 270 3 (E) 220 3

5m

Como x + y = 120, então y = 50. Total de pessoas que pagaram o ingresso com desconto: 50

x

x x

Resposta: Letra E

x2 1 07. O valor da expressão 3 quando x = i (unidade x 1 imaginária) é: (A) i + 1 (B) – (i – 1) (i  1) (C) 2 (i  1) (D) 2 (i  1) 2 (E)

Área lateral = 6.x.5 Área da base = A área lateral é o dobro da área de sua base, então 6.x.5 = 2. 5x = 5=

10 = x=

Solução: Substituindo i na expressão, temos:

i2 1 i3  1

Sabendo que: i0 = 1 i1 = i 2 i = –1 i3 = –i

O volume do prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. A área da base é dada por Abase =

=

=

=

V = Abase x Altura V= x5 V= m3 Resposta: Letra C

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09. Considere um triângulo de vértice A(1, 1), B(2, 3) e

Solução:

C(5, 2). A mediatriz do lado AB encontra o eixo das abscissas no ponto de coordenadas: (A) (11/2, 0) (D) (–11/2, 0) (B) (5/2, 0) (E) (0, 11/2) (C) (1/2, 0)

Questão fácil. O domínio da função é dado por todos os valores de x possíveis, que possuem uma imagem. Desta forma, 92x – 1 – 3–2x + 4 > 0 92x – 1 > 3–2x + 4 (32)2x – 1 > 3–2x + 4 34x – 2 > 3–2x + 4 4x – 2 > –2x + 4 4x + 2x > 4 + 2 6x > 6 x>1

Solução : A(1, 1) mediana

ponto médio

A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio é: 2+3=5

B(2, 3)

C(5, 2)

Considerações: A mediatriz encontra o eixo das abscissas no ponto (x, 0). O ponto médio, por onde passa a mediatriz, é dado pelas coordenadas O coeficiente angular da reta suporte do lado AB é: y – y0 = m.(x – x0) 3 – 1 = m.(2 – 1) 2=m O coeficiente angular da reta suporte da mediatriz é dado por: mmediatriz x mreta AB = – 1 mmediatriz = –1/2 Encontrados: O ponto médio por onde passa a mediatriz: O coeficiente angular da reta suporte da mediatriz: –1/2 O ponto em que a mediatriz encontra o eixo das abscissas: (x, 0). A coordenada x do eixo das abscissas por onde passa a mediatriz é dado por: y – y0 = m.(x – x0) 2–0= . –4 = – x

Resposta: Letra D

11. Uma matriz B, de ordem 3, é tal que, em cada linha, os elementos são termos consecutivos de uma progressão aritmética de razão 2. Se as somas dos elementos da primeira, segunda e terceira linhas, valem 6, 3 e 0, respectivamente, o determinante de B é igual a (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) – 1 (E) 3 Solução : Seja a matriz de ordem 3: a+b+c=6 Como “a”, “b” e “c” são elementos de uma PA cuja soma é 6, então o termo “b” é dado por 6/3, ou seja, b = 2. Como a razão é 2, então a = 0 e c = 4. Da mesma forma, “d”, “e” e “f” são elementos de uma PA cuja soma é 3, então o termo “e” é dado por 3/3, ou seja, e = 1. Como a razão é 2, d = –1 e f = 3. Por último, “g”, “h” e “i” são elementos de uma PA cuja soma é 0, então o termo h é dado por 0/3, ou seja, h = 0. Como a razão é 2, g = –2 e f = 2. A matriz

=

Cujo determinante é –12 – (–8 – 4) = 0

x= +4 x=

Resposta: Letra A Resposta: Letra A

12. Um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, são 10. A soma dos dois primeiros números inteiros do domínio g ( x) 

(A) 1

da 1

função

é: 9 2 x 1  3  2 x  4 (B) – 1 (C) 3

definida

por

dados o ponto B(2, 1) e as retas s e t, cujas equações 4x y = 0 e 2x + y = 6, e respectivamente. Se o ponto P é a intersecção de s e t, a distâncias entre os pontos B e P é:

(A) (D) 5

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26

(B) 5

(C) 8

(D) 10 (E) 18

(E) 7 Acompanhe: www.twitter.com (@prof_anchieta)


Solução da prova da EsSA - 2009/2010