Issuu on Google+

ГЛАВА I. Рациональные дроби Рациональные дроби и их свойства. 1. Рациональные выражения №1. 1 2 a 2 − 2ab a b; (x − y )2 − 4 xy ; . 3 12 m+3 8 2 Дробными выражениями являются: ; ; (c + 3)2 + . m − 3 x2 + y2 c

Целыми выражениями являются:

№2. a 1 2 1 2 ; m − n . 9 4 3 a b 12 Дробными выражениями являются: , ,a (a − b ) − − 8. b 3a a + 3

Целыми выражениями являются: 7 x 2 − 2 xy ;

№3.

При y = 3 :

y −1 3 −1 2 = = ; y 3 3

При y = 1 :

y −1 1−1 = = 0; y 1

При y = −5 :

y − 1 −5 − 1 1 = =1 ; y −5 5

1 −1 1 y −1 2 При y = : = = −1; 1 2 y 2 y − 1 −1,6 − 1 При y = −1,6 : = = 1,625; y − 1,6

При y = 100 :

y − 1 100 − 1 = = 0 ,99; y 100

№4. При a = −2 : При b = 3 :

−2 − 8 −10 a −8 = = = −10; 20 + 5 2(− 2 ) + 5 − 4 + 5

b 2 + 6 32 + 6 9 + 6 1 = =2 ; = 2b 2⋅3 6 2

www.5balls.ru

1 1 8⋅2 1 1 8 1 8 : x+ = + = − = − 16 = −15 ; x −1 2 1 2 2 1⋅1 2 2 −1 2 y+3 y 1,5 + 3 1,5 4 ,5 1,5 При y = 1,5 : + = + = + = 3 + 1 = 4; y y−3 1,5 1,5 − 3 3 − 1,5

При x =

№5. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (разность квадратов):

(a + b)2 − 1 = (a + b − 1)(a + b + 1) ;

a2 +1 a2 +1 (− 3 − 1 − 1)(− 3 − 1 + 1) = (− 5)(− 3) = 15 = 1,5; 9 +1 10 (− 3)2 + 1

Воспользуемся формулой сокращенного умножения с разностью квадратов:

(1,5 + 0,5 − 1)(1,5 + 0,5 + 1) = 2

1,5 + 1

1⋅ 3 3 300 = = ≈ 0 ,92. 2 ,25 + 1 3,25 325

№6. x + 5 −13 + 5 −8 1 = = = ; x − 3 − 13 − 3 − 16 2 x + 5 −5 + 5 0 при x = −5 : = = = 0; x −3 −5−3 −8 x + 5 −0 ,2 + 5 4 ,8 при x = −0,2 : = = = −1,5; x − 3 − 0,2 − 3 − 3,2 x+5 0+5 2 при x = 0 : = = −1 ; x−3 0−3 3

1) при x = −13 : 2) 3) 4)

5) при

1 +5 18 86 50 86 ⋅ 17 86 36 1 x + 5 17 x= : = =− ÷ =− =− = −1 = −1 ; 1 17 17 50 ⋅ 17 50 50 25 17 x − 3 −3 17 x + 5 1+ 5 = = −3; x − 3 1− 3 2 5 +5 32 8 32 ⋅ 3 2 x+5 при x = 5 : = 4; = 3 = ÷ = 2 3 3 3⋅8 3 x−3 5 −3 3

6) при x = 1 :

7)

www.5balls.ru

8) при x = 7 : №7.

x+5 7+5 = = 3; x−3 7−3

1 1 1 = = ≈ 1 − α = 1 − 0,01 = 0,99; 1,01 1 + 0,01 1 + α 1 1 1 б) = = ≈ 1 − α = 1 − 0,002 = 0,998; 1,002 1 + 0,002 1 + α 1 1 1 в) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,01) = 1,01; 0 ,99 1 − 0,01 1 + α 1 1 1 г) = = ≈ 1 − α = 1 − (− 0,003) = 1,003. 0 ,997 1 − 0,003 1 + α

а)

№8. s t

Запишем формулу для средней скорости: v = ; получаем: 180 = 60 (км/ч); 3 225 = 90 (км/ч); б) t = 2 ,5; s = 225; тогда v = 2 ,5

а) t = 3; s = 180; тогда v =

№9. Исходя из условия задачи можно составить уравнения: v1t + v 2 t = s; t (v1 + v 2 ) = s; t =

s ; (v1 + v 2 )

а) s = 250 , v1 = 60, v 2 = 40; 250 250 = = 2 ,5 (ч); 60 + 40 100 б) s = 310 , v1 = 75, v 2 = 80; t=

t=

310 310 = = 2 (ч). 75 + 80 155

Ответ: а) t=2,5 часа; б) t=2 часа. №10. Соответствующими дробными выражениями будут: а)

xy ; x+ y

б)

a−b . ab

№11.

www.5balls.ru

Рациональное выражение имеет смысл, если его знаменатель отличен от нуля. а) При x − 2 ≠ 0, т.е. x ≠ 2; б) при b - любое число, т.к. b 2 + 7 > 0 всегда; в) при y ≠ 0; y ≠ 3; г) при a ≠ 0; a ≠ 1; №12. а) x - любое число; б) 6x − 3 ≠ 0; 6x ≠ 3; x ≠

3 1 ; x≠ ; 6 2

в) x - любое число; г) x ≠ 0; x ≠ −1; д) x - любое число; x 2 + 25 всегда больше; е) x ≠ −8; x ≠ 0. №13. 5y − 8 ; y - любое число 11 25 б) ; y − 9 ≠ 0, т.е. y ≠ 9; y−9

а)

в)

y2 + 1

=

y2 + 1 ; y( y − 2) ≠ 0 , т.е. y ≠ 0; y ≠ 2 ; y( y − 2)

y2 − 2y y − 10 г) 2 , y - любое число, посколько y 2 + 3 всегда больше нуля; y +3 y 15 д) + ; y − 6 ≠ 0, y + 6 ≠ 0, т.е. y ≠ −6; y ≠ 6; y−6 y+6

е)

32 y + 1 − ; y ≠ 0, y + 7 ≠ 0; т.е. y ≠ 0, y ≠ −7 y y+7

№14. 1 ; область определения: x ≠ 2; x−2 2x + 3 б) y = ; область определения: x ≠ 0; x ≠ −1; x(x + 1)

а) y =

в) y = x + №15.

1 ; область определения: x ≠ −5. x+5

www.5balls.ru

а)

x−3 x−3  = 1; 5 − 1 = 0 ⋅ 5;   5 5

5(x − 3) 5

− 5 = 0; x − 3 − 5 = 0; x = 8;

Ответ: x = 8; x−3  x − 3 = 0; 5  = 0 ⋅ 5;  5  5 x − 3 = 0; x = 3;

б)

Ответ: x = 3; x−3  x − 3 = −1; 5  = (−1) ⋅ 5;  5  5 x − 3 = −5; x = −2 ;

в)

Ответ: x = −2; x−3  x − 3 = 3; 5  = 3 ⋅ 5;  5  5 x − 3 = 15; x = 18;

г)

Ответ: x = 18; №16. y−5 = 0; y − 5 = 0; y = 5; Ответ: y = 5; 8 2y + 3 1 1 б) = 0; 2 y + 3 = 0; y = −1 ; Ответ: y = −1 ; 10 2 2 x(x − 1) в) = 0; x(x − 1) = 0; 1) x = 0; 2 ) x − 1 = 0; x = 1; x+4 при x = 0 и x = 1, x + 4 ≠ 0, получаем:

а)

Ответ: x = 0 ; x = 1. x(x + 3)

= 0; x(x + 3) = 0; 1) x = 0; 2 ) x + 3 = 0; x = −3; x−5 при x = 0 и x = −3, x − 5 ≠ 0, получаем:

г)

Ответ: x = 0 ; x = −2 №17. a > 0; b a б) < 0; b

а)

www.5balls.ru

a < 0; b a г) > 0; b

в)

№18. 3

а)

2

x +1 −5

б)

> 0, поскольку 3 > 0 и x 2 + 1 > 0 при всех x ; < 0, поскольку − < 0 и y 2 + 4 > 0 при всех y ;

y2 + 4

в)

(a − 1)2

г)

(b − 3)2

a 2 + 10 2

−b − 1

≥ 0, поскольку (a − 1) ≥ 0 и a 2 + 10 > 0 при всех a ; 2

(

)

≤ 0, поскольку (b − 3) ≥ 0 и − b 2 + 1 < 0 при всех b 2

№19. а) При

x = 2 ,47:

2 x − 3 2 ⋅ 2 ,47 − 3 4 ,94 − 3 1,94 = = = ≈ 0,20616365... ≈ 0,21; 3x + 2 3 ⋅ 2 ,47 + 2 7 ,41 + 2 9 ,41

б) При x = 318 , :

7 x + 9 7 ⋅ 318 , + 9 22 ,26 + 9 31,26 = = = ≈ 0,2790507... ≈ 0,28 8x − 1 8 ⋅ 318 , − 1 25,44 − 1 24 ,44

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №20. а) (x − 10)(x + 10) = = x 2 − 10x + 10x − 100 =

(

)

= x 2 − 100;

б) (2a + 3)(2a − 3) = = 4a 2 − 6a + 6a − 9 = 4a 2 − 9 ; в) ( y − 5b)( y + 5b) =

= y 2 + 5by − 5by − 25b 2 =

(y

2

)

− 25b 2 ;

г) ( y + 8x)( y − 8x) =

www.5balls.ru

= y 2 + 8xy − 8xy − 64 x 2 = = y 2 − 64 x 2 ;

д) (x + 7) = x 2 + 14 x + 49 ; 2

е) (b + 5) = b 2 + 10b + 25; 2

ж) (a − 2 x) = a 2 − 4ax + 4 x 2 ; 2

з) (ab − 1) = a 2 b 2 − 2ab + 1. 2

№21. а) 15ax + 20ay = 5a(3x + 4 y); б) 36by − 9cy = 9 y(4b − c); в) x 2 − xy = x(x − y); г) xy − y 2 = y(x − y); д) a 2 + 5ab = a(a + 5b); е) 15c − 10c 2 = 5c(3 − 2c) №22. а) x 2 − 25 = (x − 5)(x + 5); б) 16 − c 2 = (4 − c)(4 + c); в) a 2 − 6a + 9 = (a − 3) ; 2

г) ÷ 2 + 8 ÷ +16 = (÷ + 4) ; 2

(

) + 27 = (b + 3)(b − 3b + 9).

д) a 3 − 8 = (a − 2) a 2 + 2a + 4 ; е) b

3

№23.

2

2x 2 = ; 3x 3 15x 3x б) Общий множитель: 5; = ; 25y 5y

а) Общий множитель: x;

6a 1 = ; 24a 4 7ab a г) Общий множитель: 7b; = ; 21bc 3c

в) Общий множитель: 6a ;

www.5balls.ru

д) Общий множитель: xy;

−2 xy 2

5x y

е) Общий множитель: 8 xy;

=−

2 ; 5x

8 x 2 y 2 xy = 24 xy 3

№24. а) б)

10xz 2 x = ; 15yz 3y 6ab 2

=

2ab

; 3c 3 y3 y3 в) = =− ; 3 2ab −4a b −2ab −6 p 2 q 3 p 2 = 2 ; г) q −2 q 3

д) е)

9bc 2 2ay 3

ax − ax 2 =− ; xy y 3axy 6ay

ж) з)

3

x

=

2y2

;

24a 2 c 2 2ac = ; 36ac 3 63x 3 y 3

=

42 x 6 y 4

3 2x4 y

.

№25. а)

4a 2 b 3 4 2

2a b

б) в) г) д)

3xy 2 6x 3 y 3

= =

24 p 4 q 4 48 p 2 q 2

2b a2

;

1 2x2 y =

;

p2q 2 ; 2

36m 2 n = 2m; 18mn −32b 5 c 4 2

12b c

=

8b −8b =− ; 3c 3c

www.5balls.ru

е)

−6ax 1 = . −18ax 3

№26.

8b b = ; 24c 3c 5ay a б) = ; 15by 3b

а)

в) г)

4a 2 2a = ; 6ac 3c 7x 2 y 21xy

д) е) ж) з)

2

a 5b 3

=

3 5

a b x6 y4

=

x4 y6

35mn 5 25 p 4 q 5

100 p q

б)

a2

816 1612 8125 27 33

№28.

;

b2 x2

;

y2

56m 2 n 5

№27. а)

x ; 3y

=

8m 3 = 1 m; 5 5

=

1 . 4p

=

(2 ) = 2 = (2 ) 2 (3 )25 = 3 = (3 ) 3 3 16

4 12 4

a(b − 2)

б)

3( x + 4)

в)

ab( y + 3)

5(b − 2)

=

a ; 5

c( x + 4)

=

3 ; c

a b( y + 3) 2

48

100

3 33

а)

48

=

99

= 1;

= 31 = 3.

1 ; a

www.5balls.ru

г)

15a(a − b)

20b(a − b)

3a . 4b

=

№29.

3a + 12b 3(a + 4b) a + 4b = + ; 6ab 6ab 2ab 15b − 20c 5(3b − 4c) 3b − 4c = = ; б) 10b 10b 2b 2(a − 2) 2 2a − 4 в) = = ; 3(a − 2) (a − 2) 3

а)

г) д) е)

5x( y + 2) 6 y + 12 a − 3b

a 2 − 3ab

= =

5x( y + 2) 6( y + 2)

=

5x ; 6

a − 3b 1 = ; a(a − 3b) a

3x + 15xy 3x( x + 5y) = = 3x . x + 5y x + 5y

№30. а) б) в) г) д) е)

y 2 − 16 ( y − 4)( y + 4) y − 4 = = ; 3y + 12 3( y + 4) 3 5x − 15y

5( x − 3y)

=

=

5

;

(x − 3y)(x + 3y) x + 3y 2 (c + 2) (c + 2)2 c + 2 = = ; 7c 7c 2 + 14c 7c(c + 2) 6cd − 18c 6c(d − 3) 6c = = ; 2 2 −3 d (d − 3) (d − 3) (a + 5)2 a 2 + 10a + 25 a+5 = = ; 2 (a − 5)(a + 5) a − 5 a − 25 ( y − 3)( y + 3) y + 3 y2 − 9 = = . 2 y−3 y − 6y + 9 ( y − 3)2 2

x − 9y

2

№31. а)

a 2 − ab + b 2 3

a +b

3

=

a 2 − ab + b 2

(a + b)( a

2

− ab + b

2

)

=

1 ; a+b

www.5balls.ru

(

)

2 2 a 3 − b 3 (a − b) a + ab + b б) = = a 2 + ab + b 2 a−b a−b

№32. а) =

15a 2 − 10ab 3ab − 2b

2

=

5a(3a − 2b) b(3a − 2b)

5a 5(−2) −10 = = = 100; −0,1 −0,1 b

Ответ: 100; б)

=

9c 2 − 4d 2 2

2

=

18c d − 12cd 3c + 2d 1 1 = + = 6cd 2d 3c 1 2

(3c − 2d )(3c + 2d ) = 6cd (3c − 2d ) 1 1 2⋅ 2

+

1 1 1 1 = + =1 ; 2 1 2 2 3⋅ 3

Ответ: 1 ; в)

6x 2 + 12 xy

6x( x + 2 y)

=

5y( x + 2 y) 5xy + 10 y 2 6⋅ 6x 3 = 4 = −2 = = 5y 5(−0,4) −2 2

=

Ответ: -2; г) =

x 2 + 6xy + 9 y 2 4 x 2 + 12 xy

−0,2 + 3(−0,6) 4(−0,2)

=

=

( x + 3y) 2 = x + 3y = 4 x( x + 3y) 4x

−0,2 − 18 , −2 2 = = = 2 ,5 −0,8 −0,8 0,8

Ответ: 2,5. №33. а) б) в)

x( y − 7)

y( y − 7)

=

x ; y

10a − 15b 5(2a − 3b) 5 = = ; 16a − 24b 8(2a − 3b) 8 2m + 14 2

m − 49

=

2(m + 7) 2 = ; (m − 7)(m + 7) m − 7

www.5balls.ru

p 2 − 25q 2 ( p − 5q )( p + 5q ) p + 5q = = ; 2 p − 10q 2( p − 5q ) 2

г)

( x − 2) 2 x − 2 = ; x( x − 2) x x 2 − 2x 3y 2 + 24 y 3y( y + 8) 3y = = ; 2 2 +8 y y 16 y + 64 ( y + 8) x 2 − 4x + 4

д) е)

a2 + a + 1

ж) з)

3

a −1 b+2 b3 + 8

=

=

a2 + a + 1

(a − 1)( a

2

(b + 2)(b

2

)

+a +1

b+2

№34.

( (9 x =

=

− 2b + 4

)

=

=

1 ; a −1 1

b 2 − 2b + 4

) ) = (3x − y)(3x + y) = 3x − y;

а) 9 x 2 − y 2 : (3x + y) = 2

− y2

(3x + y) (3x + y) б) (2ab − a ): ( 4b 2 − 4b + 1) = a(2b − 1) 2ab − a a = = 2 = ; 2 2 b−1 4b − 4b + 1 (2b − 1)

(

)(

)

в) x 2 + 2 x + 4 : x 3 − 8 = =

x 2 + 2x + 4

(x − 2)( x

(

)

2

+ 2x + 4

)

=

1 ; x−2

г) 1 + a 3 : (1 + a ) =

(

)

2 1 + a 3 (1 + a ) 1 − a + a = = = 1− a + a2 . 1+ a (1 + a )

№35. а) =

2 x + bx − 2 y − by 2( x − y) + b( x − y) = = 7x − 7 y 7( x − y)

(x − y)(2 + b) = 2 + b ; 7( x − y) 7

www.5balls.ru

.

б)

8a + 4b

=

2

2ab + b − 2ad − bd

(2ab + b ) − (2ad + bd ) 2

=

4(2a + b) 4 ; = (2a + b)(b − d ) b − d 2 xy − x + y − y 2 ( xy − y ) − ( x − y) = = в) (x − y)(x + y) x2 − y2 y( x − y) − ( x − y) ( x − y)( y − 1) y − 1 = = = ; (x − y)(x + y) (x − y)(x + y) x + y (a + c)2 a 2 + 2ac + c 2 = = г) 2 a + ac − ax − cx ( a 2 + ac) − (ax + cx) =

=

4(2a + b)

4(2a + b)

b(2a + b) − d (2a + b)

=

(a + c)2 (a + c)2 a+c = = . a(a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x

№36. а) Ответ:

−x −x ; − ; −y y

б) Ответ:

−x x ; y − y.

№37. а) б) в) г)

a−b

=−

b−a = −1; b−a

(a − b)2 = (a − b)2 (b − a )2 (a − b)2 (a − b)2 (b − a )2 =

b−a a−b

(b − a )

b−a a−b

=

= 1; = b − a; =

1 ; a−b

(a − b) 2 (−a − b) ((−1)(a + b)) (−1)2 (a + b)2 2

2

2

д) е)

a+b

=

a+b

=

a+b

(a + b)2 (a + b)2 (a + b)2 = = (−a − b)2 ((−1)(a + b))2 (a + b)2

= 1.

www.5balls.ru

= a + b;

№38. а)

a ( x − 2 y)

б)

5x( x − y)

в) г) =

д) =

е)

b(2 y − x)

x ( y − x) 3

з)

=−

a ; b

=

5

5x( x − y)

=

7b − 14b 2 2

42b − 21b 7b(1 − 2b)

−21b(1 − 2b)

− x 3 ( x − y)

−x2

=−

5 x2

;

7b(1 − 2b)

=

21b(2b − 1)

=

1 1 =− ; −3 3

=

25 − a 2 (5 − a )(5 + a ) = = 3a − 15 3(a − 5)

−(a − 5)(a + 5) 3(a − 5)

3 − 3x x − 2x + 1 2

(x − 1)

=

a( x − 2 y)

−b( x − 2 y)

3(a − 12) 3a − 36 3(a − 12) 3 = = =− ; 12b − ab b(12 − a ) −b(a − 12) b

−3( x − 1)

ж)

=

2

=−

=

=−

3(1 − x)

(x − 1)2 3

(x − 1)

8b 2 − 8a 2 2

a − 2ab + b

5+ a ; 3

2

−8(a − b)(b + a )

=

;

=

(

8 b2 − a2

(a − b) 8(b + a ) 2

=−

(a − b)2 (b − 2)3 (b − 2)3 = (2 − b)2 (b − 2)2

a−b

) = 8(b − a)(b + a) = =

(a − b)2 8(b + a ) b−a

;

= b − 2.

№39. а) =

ax + bx − ay − by (ax − ay) + (bx − by) = = bx − by b( x − y)

a( x − y) + b( x − y) b( x − y)

=

(x − y)(a + b) a + b = ; b( x − y) b

www.5balls.ru

б) =

в)

ab − 3b − 2a + 6 (ab − 3b) − (2a − 6) = = 15 − 5a 5(3 − a )

b(a − 3) − 2(a − 3) 5(3 − a )

7 p − 35 7( p − 5) = = 15 − 3 p 3(5 − p)

=−

г) =

д) е)

=

7(5 − p)

=−

3(5 − p)

18a − 3a 2 8a − 48a

−3a(a − 6) 8a(a − 6)

3a(6 − a )

=

2

7 1 = −2 ; 3 3

б)

в)

г)

=

8a(a − 6)

3 =− ; 8

4 − x 2 (2 − x)(2 + x) 2 + x = = ; 10 − 5x 5(2 − x) 5

a 2 − 6a + 9 27 − a 3

(a − 3)2 = (3 − a )( 9 + 3a + a 2 )

=

(3 − a )2 3− a = . 2 (3 − a )(9 + 3a + a ) 9 + 3a + a 2

№40. а)

(a − 3)(b − 2) b − 2 2 − b = ; = 5 −5(a − 3) −5

=

x6 + x4 4

x +x

=

2

y6 − y8 4

y −y

=

2

b −b

2

c6 − c4 c3 + c2

x

2

(

)

x +1 2

)=x

(

y4 y2 1 − y2 y

2

(y

2

)

−1

2

;

) = −y

2

;

( ) = −b ; b (b − 1) c ( c − 1) =. =

b 7 − b 10 5

(

x2 x2 x2 + 1

=

b7 1 − b3 2

4

5

3

2

c 2 (c + 1)

www.5balls.ru

=

c 4 (c + 1)(c − 1) c 2 (c + 1)

№41. а)

a8 + a5 5

a +a

при a = −

( ) =a (a + 1)

a5 a3 + 1

=

2

= c 2 (c − 1) = c 3 − c 2

a

2

3;

3

1 получаем: 2 3

1  1 a3 = −  = − ;  2 8 1 8

Ответ: − ; б)

b 10 − b 8 8

b −b

=

6

( b (b

) =b − 1)

b8 b 2 − 1 6

2

2

, получаем: при b = −01

b 2 = (−01 , ) = 0,01; 2

Ответ: 0,01; №42. а) =

б) =

(2a − 2b)2 (2(a − b)) =

a−b

4(a − b)

2

2

= 4(a − b);

a−b

(3c + 9d )2 (3(c + 3d )) =

c + 3d

9(c + 3d ) c + 3d

=

a−b

2

2

=

c + 3d

= 9(c + 3d );

(3x + 6 y)2 (3(x + 2 y)) в) = 5x + 10 y 5( x + 2 y) 2 9( x + 2 y ) 9( x + 2 y) = = ; 5( x + 2 y) 5

2

=

www.5balls.ru

г)

4x 2 − y 2

=

(2 x − y)(2 x + y) = (5(2 x + y))2

(10x + 5y) (2 x − y)(2 x + y) 2 x − y = . 2 25(2 x + y) 25(2 x + y) 2

№43. а)

5b 8a 3 7a

=

5b ⋅ 3b 2 8a 3 ⋅ 3b 2 7a ⋅ 8a 3

=

15b 3 24a 3b 2 56a 4

;

= = ; 3b 2 3b 2 ⋅ 8a 3 24a 3b 2 1 12a 2 b 12a 2 b в) = = ; 2ab 2ab ⋅ 12a 2 b 24a 3b 2 2 2 ⋅ 24a 48a = . г) 2 2 = 2 2 a b a b ⋅ 24a 24a 3b 2

б)

№44.

2a + b (2a + b)b = ; 1 1 2a + b (2a + b)5 б) 2a + b = = ; 1 5 2a + b (2a + b)3a в) 2a + b = = ; 1 3a 2a + b (2a + b)(2a − b) г) 2a + b = = . 1 2a − b

а) 2a + b =

№45. а)

x(a − b) x(a − b) x ; = = a − b (a − b)(a − b) (a − b) 2

б)

y( x + a ) y( x + a ) y ; = = x − a ( x − a )( x + a ) x2 − a2

в)

2y x2 + x + 1 2y x2 + x + 1 2y = = ; x − 1 ( x − 1) x 2 + x + 1 x3 − 1

г)

(

3a a + ab + b 2

2

)

(

=

(a

(

(

)

3a(a − b)

2

)

)

+ ab + b 2 (a − b)

)

=

3a(a − b) a3 − b3

www.5balls.ru

;

д)

7 7 =− ; y−b b− y

a a =− ; a − 10 10 − a p(2 + p) p(2 + p) p ж) ; =− =− p−2 (2 − p)(2 + p) 4 − p2

е)

з)

a+3 a+3 =− = 6 − 2a 2(a − 3)

=−

(a + 3)(a + 3) (a + 3)2 =− . 2(a − 3)(a + 3) 2( a 2 − 9)

№46. а)

8 3xy

б)

b

2

= =

8 ⋅ 5x 2

3xy ⋅ 5x b ⋅ 5ac 2

=

40x 15x 2 y 2 =

;

5abc 2

7a 2 c 7a 2 c ⋅ 5ac 2 35a 3 c 3 a a⋅a a2 в) ; = = 2 a − 2 a(a − 2) a − 2a

;

г)

x2 − x + 1 x2 − x + 1 1 = = ; x + 1 ( x + 1) x 2 − x + 1 x3 + 1

д)

12 12 =− ; y−x x−y

е)

a(4 + a ) a 4a + a 2 . =− =− a−4 (4 − a )(4 + a ) 16 − a 2

(

)

УПРАЖНЕНИЯДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №47. −16 1 = −3 ; 5 5 1 1 б) x = :2 = ; 5 10 1 в) x = 4: = 12; 3

а) x =

www.5balls.ru

−2 1 =− ; 4 2 6 10 10 д) x = 3:0,6 = 3: = 3 ⋅ = = 5; 6 2 10 7 10 50 1 е) x = 5: (−0,7) = −5 = −5 ⋅ = − = −7 . 7 7 7 10

г) x =

№48. а) 6b 2 − (2b + 5)(3b − 7) =

(

)

= 6b 2 − 6b 2 + b − 35 = 2

2

= 6b − 6b − b + 35 = −b + 35;

б) 16x 2 − (4 x + 0,5)(4 x − 0,5) =

= 16x 2 − 16x 2 + 0,25 = 0,25; , x) − 5( x + 4 y)( y − x) = в) 2 y( y − 15

(

)

= 2 y 2 − 3xy − 5 4 y 2 − x 2 − 3xy =

= 2 y 2 − 3xy + 5x 2 + 15xy − 20 y 2 = = 5x 2 − 18 y 2 + 12 xy;

г) 3(a − 2b)(2b + a ) − 0,5b(a − 24b) =

(

)

= 3 a 2 − 4b 2 − 0,5ab + 12b 2 = 2

2

= 3a − 12b − 0,5ab + 12b 2 = 3a 2 − 0,5ab.

№49. а) 5bc − 5c = 5c(b − 1); б) 10n + 15n 2 = 5n(2 + 3n);

в) 8ab + 12bc = 4b(2a + 3c); г) 5y − 5x + y 2 − xy =

( )

= (5y − 5x) + y 2 − xy = 5( y − x) + y( y − x) = = ( y − x)(5 + y);

д) pq − 4 p + 12 − 3q =

= ( pq − 4 p) + (12 − 3q ) =

www.5balls.ru

= p(q − 4) + 3(4 − q ) = = p(q − 4) − 3(q − 4) = = (q − 4)( p − 3);

е) a 2 − 9 = (a − 3)(a + 3); ж) x 2 + 10x + 25 = = ( x + 5) = ( x + 5)( x + 5); 2

з) y 2 − 2 y + 1 = = ( y − 1) = ( y − 1)( y − 1); 2

(

)

и) a 3 + 64 = (a + 4) a 2 − 4a + 16 ;

(

)

к) b 3 − 1 = (b − 1) b 2 + b + 1 . №50.

5⋅ 7 < 0; 16 5 5 6 5⋅1 5 1 2) :6 = : = = ⋅ > 0; 16 16 1 6 ⋅ 16 16 6 5 5⋅1 5 1 3) ⋅ 0,1 = = ⋅ > 0; 16 16 ⋅ 10 16 10 5⋅ 7 5⋅1 5⋅1 Ответ: − , , . 16 10 ⋅ 16 6 ⋅ 16

1) −

2. Сумма и разность дробей 3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями №51. x y x+ y ; + = 3 3 3 a b a−b ; б) − = 5 5 5 a 2a 3a в) + = ; y y y

а)

г)

5b 2 13b 2 5b 2 − 13b 2 8b 2 − = =− ; a a a a

www.5balls.ru

x+ y x x+ y−x y − = = ; 9 9 9 9 2c − x x 2c − x − x е) − = = b b b 2c − 2 x 2(c − x) = . b b

д)

№52. а)

m m − p m (− m) + p − = + = p p p p

=

m−m+ p p = = 1; p p

a + b a − 2b a + b − a + 2b 3b b − = = = ; 6 6 6 6 2 x + 5 x + 2 x + 5− x − 2 3 1 − = = = ; в) 9 9 9 9 3 11x − 5 3x − 2 11x − 5 + 3x − 2 + = = г) 14 x 14 x 14 x 14 x − 7 2 x − 1 = = ; 14 x 2x 7 y − 13 2 y + 3 7 y − 13 − 2 y − 3 5y − 16 д) − = = ; 10 y 10 y 10 y 10 y

б)

8c + 25 5 − 2c 8c + 25 + 5 − 2c + = = 6c 6c 6c 6c + 30 c + 5 = = . 6c c

е)

№53. а)

2 x − 3y 11y − 2 x + = 4 xy 4 xy

=

2 x − 3y + 11y − 2 x 8 y 2 = = ; 4 xy 4 xy x

б) =

5a + b 5 5a − 7b 5 − = 8b 8b 5a + b 5 − 5a + 7b 5 8b 5 = = b4 ; 8b 8b

www.5balls.ru

в) =

3x − y 4 4y5

y 4 + 3x 4y5

3x − y 4 − y 4 − 3x 4y

5

=

=−

2y4 4y5

=−

1 ; 2y

a − 2 2a + 5 3 − a + − = 8a 8a 8a a − 2 + 2a + 5 − 3 + a 4a 1 = = = ; 8a 8a 2 7 y − 5 10 y − 19 10 − 15y д) − + = 12 y 12 y 12 y

г)

=

7 y − 5 − 10 y + 19 + 10 − 15y = 12 y

=

−18 y + 24 4 − 3y = ; 12 y 2y

11a − 2b 2a − 3b a − b + − = 4a 4a 4a 11a − 2b + 2a − 3b − a + b = = 4a 12a − 4b 4(3a − b) 3a − b = = . 4a 4a a

е)

№54. 17 − 12 x 10 − x + = x x 17 − 12 x + 10 − x 27 − 13x ; = = x x 12 p − 1 1 − 3 p б) − = 3p 2 3p 2 12 p − 1 − 1 + 3 p 15 p − 2 ; = = 3p 2 3p 2 6y − 3 y + 2 6y − 3 − y − 2 в) − = = 5y 5y 5y

а)

=

5y − 5 5( y − 1) y − 1 = = ; 5y 5y y

г)

b 3a − 2b b − 3a + 2b − = = 6 6 6

www.5balls.ru

3b − 3a 3(b − a ) b − a = = ; 6 6 2 3 p − q 2 p + 6q p − 4q д) − + = 5p 5p 5p 3 p − q − 2 p − 6q + p − 4q 2 p − 11q = ; 5p 5p 5c − 2d 3d d − 5c − + = 4c 4c 4c 5c − 2d − 3d + d − 5c 4d d = =− =− ; 4c 4c c 2a 1 − 6a 13 − 8a ж) − + = b b b 2a − 1 + 6a + 13 − 8a 12 = = ; b b 4b − 2 2b − 1 1 з) − + = 3b 3b 3b 4b − 2 − 2b + 1 + 1 2b 2 = = = . 3b 3b 3

е)

№55. 16 16 − x 2 x2 − = = x−4 x−4 x−4 −(4 − x)(4 + x) = = −(4 + x); 4−x

а)

25 25 − a 2 a2 − = = a+5 a+5 a+5 (5 − a )(5 + a ) = 5 − a; a+5 3a − 1 3b − 1 3a − 1 − 3b + 1 = = − 2 в) 2 2 2 a −b a −b a2 − b2 3(a − b) 3a − 3b 3 = 2 = = ; 2 (a − b)(a + b) a + b a −b

б)

г)

x−3 2

+

11 2

=

x − 3 + 11

x − 64 x − 64 x 2 − 64 x+8 1 = = ; (x − 8)(x + 8) x − 8

=

www.5balls.ru

д)

2a + b

+

2b − 5a

2a + b + 2b − 5a

=

=

(a − b) (a − b)2 3(b − a ) 3b − 3a 3 3 ; = =− =− = 2 b a b a a b b a − + − − ( )( ) (a − b)

е) =

(a − b)

2

13x + 6 y

( x + y)

2

2

11x + 4 y

=

( x + y) 2

13x + 6 y − 11x − 4 y

( x + y) 2( x + y) 2 = . = 2 ( x + y) x + y 2

2x + 2 y

=

( x + y) 2

=

№56. а)

(a + b)2 − (a − b)2

=

a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + 2ab − b 2 4ab = = 4; ab ab

ab

ab

=

(a + b)2 (a − b)2 (a + b)2 + (a − b)2

+ = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + 2ab + b 2 + a 2 − 2ab + b 2 = = a2 + b2

б)

=

2a 2 + 2b 2 2

a +b

2

=

(

2 a2 + b2 2

a +b

№57.

2

=

) = 2.

x2 + 1 10 x 2 + 1 − 10 − = = x−3 x−3 x−3 x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) = = = x + 3, x−3 x−3 при x = 97 получаем: x + 3 = 97 + 3 = 100;

а)

Ответ: 100; б) =

y+7 2

y − 25

2y + 2 2

y − 25

=

y + 7 − 2y − 2 y 2 − 25

=

5− y y−5 1 =− =− ; ( y − 5)( y + 5) ( y − 5)( y + 5) y + 5

при y = −51 , получаем:

www.5balls.ru

1 1 1 1 =− =− = = 10; y+5 (−51, ) + 5 −0,1 0,1`

Ответ: 10. №58. a 2 − 43 7 a 2 − 43 + 7 + = = a−6 a−6 a−6 a 2 − 36 (a − 6)(a + 6) = = = a + 6; a−6 a−6 при a = 10,25 получаем: a + 6 = 10,25 + 6 = 16,25; Ответ: 16,25; 9b − 1 6b − 10 9b − 1 − 6b + 10 = = − б) 2 b − 9 b2 − 9 b2 − 9 3(b + 3) 3b + 9 3 = = = ; b − 3 b + 3 b − 3 b + 3 b − 3 ( )( ) ( )( )

а)

при b = 3,5 получаем:

3 3 3 1 = = = 3: = 3 ⋅ 2 = 6; b − 3 3,5 − 3 0,5 2

Ответ: 6. №59. а)

x 5 x 5 x−5 + = − = ; y − 1 1− y y − 1 y − 1 y − 1

a a a+6 6 6 − = + = ; c − 3 3− c c − 3 c − 3 c − 3 2m 2n 2m 2n в) + = − = m−n n−m m−n m−n 2m − 2n 2(m − n) = = = 2; m−n m−n 5p 10 5p 10 г) + = − = 2q − p p − 2q 2q − p 2q − p

б)

=

д)

5( p − 2q ) 2q − p

=−

5(2q − p) 2q − p

= −5;

a 2 + 16 8a a 2 + 16 8a + = − = a−4 4−a a−4 a−4 a 2 − 8a + 16 (a − 4) = = a − 4; a−4 a−4 2

=

www.5balls.ru

е)

x 2 + 9 y 2 + (−6xy) x2 + 9y2 6xy + = = x − 3y 3y − x x − 3y

=

x 2 + 9 y 2 − 6xy x 2 − 6xy + 9 y 2 = = x − 3y x − 3y

=

( x − 3y ) 2 x − 3y

= x − 3y.

№60. а) =

10 p 3p 10 p 3p + = − = p−q q− p p−q p−q 10 p − 3 p 7p = ; p−q p−q

5a 5b 5a 5b + = − = a−b b−a a−b a−b 5a − 5b 5(a − b) = = = 5; a−b a−b x−3 x−3 2 2 в) − = + = x − 1 1− x x − 1 x − 1 x − 3+ 2 x −1 = = = 1; x−1 x−1 a 3a − b a 3a − b г) + = − = 2a − b b − 2a 2a − b 2a − b a − 3a + b b − 2a 2a − b = = =− = −1; 2a − b 2a − b 2a − b a a 3 3 + = 2 − 2 = д) 2 2 a −9 9−a a −9 a −9 a−3 1 ; = = (a − 3)(a + 3) a + 3

б)

е)

y2 y2 1 1 + = − = y − 1 1− y y − 1 y − 1

=

y 2 − 1 ( y − 1)( y + 1) = = y + 1. y−1 y−1

№61. а)

3x + 5 7 x + 3 3x + 5 7 x + 3 + = − = 2x − 1 1 − 2x 2x − 1 2x − 1

www.5balls.ru

3x + 5 − 7 x − 3 −4 x + 2 −2(2 x − 1) = = = −2 ; 2x − 1 2x − 1 2x − 1 не зависит от x; =

5x + 1 x + 17 5x + 1 x + 17 + = − = 5x − 20 20 − 5x 5x − 20 5x − 20 5x + 1 − x − 17 4 x − 16 4( x − 4) 4 = = = = ; 5x − 20 5( x − 4) 5( x − 4) 5

б)

не зависит от x. №62. а)

x2

25

+

10x

x2

=

25

10x

(5 − x) (x − 5) (x − 5)2 x 2 − 25 ( x − 5)( x + 5) x + 5 ; = = = (x − 5)2 (x − 5)(x − 5) x − 5

б)

(x − 5)

2

x 2 + 25

(x − 5)

2

=

2

x 2 + 25

(5 − x) (x − 5) (x − 5)3 2 x 2 − 10x + 25 ( x − 5) 1 = = = . 3 3 (x − 5) (x − 5) x − 5 3

№63. а) =

б) =

x2 x 2 − 16

3

8( x − 2) x 2 − 16

3

x 2 − 8x + 16

=

x 2 − 16

( x − 4) 2 x−4 = ; (x − 4)(x + 4) x + 4 64 − 2ab

(a − 8)2

+

2ab − a 2

(8 − a )2

64 − 2ab + 2ab − a 2

=

=

64 − 2ab

(a − 8)2

64 − a 2

(a − 8)2 (a − 8)2 (a − 8)(8 + a ) 8 + a = . (8 − a )(8 − a ) 8 − a

=

=

=

+

2ab − a 2

(a − 8)2

=

№64. а) подставим c = x: a+b a b = + ; x x x

www.5balls.ru

=

б) подставим c = x: 2a 2 + a 2a 2 a = + ; y y y

в) подставим c = x: x 2 + 6y 2 x2 6y 2 x 3y = + = + ; 2 xy 2 xy 2 xy 2 y x

г) подставим c = x: 12a + y 2 12a y 2 2 y = + = + . 6ay 6ay 6ay y 6a

№65. а)

x2 + y2 x4

=

x2

+

x4

y2 x4

=

1 x4

+

y2 x4

б)

2x − y 2x y = − ; b b b

в)

a2 + 1 a2 1 a 1 = + = + ; 2a 2a 2a 2 2a

г)

a 2 − 3ab a

3

=

a2 a

3

3ab a

3

=

;

1 3b − ; a a2

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ

№66. а) подставим a = 2:

www.5balls.ru

3a 2 3⋅ 22 12 = = = 4; 2a − 1 2 ⋅ 2 − 1 3

Ответ: 4; 1 3

б) подставим a = − : 2

 1 1 3⋅  −  3⋅  3 3a 9 = = = 2 2a − 1  1 2 ⋅ −  − 1 − − 1 3  3 2

=

1  5 1⋅ 3 1 =− ; : −  = − 3  3 3⋅ 5 5 1 5

Ответ: − . №67. а) 3(5x − 4) − 8x = 4 x + 9; 15x − 12 − 8x = 4 x + 9; 3x = 21; x = 7;

Ответ: x = 7; б) 19 x − 8( x − 3) = 66 − 3x; 19 x − 8x + 24 = 66 − 3x; 11x + 3x = 66 − 24;

www.5balls.ru

14 x = 42; x = 3;

Ответ: x = 3; в) 0,2(0,7 x − 5) + 0,02 = 1,4( x − 1,6); 014 , x − 1 + 0,02 = 1,4 x − 2 ,24; 014 , x − 0,98 = 1,4 x − 2 ,24; 1,26 = 126 , x; x = 1;

Ответ: x = 1; г) 2 ,7(01 , x + 3,2) + 0,6(1,3 − x) = 16,02; 0,27 x + 8,64 + 0,78 − 0,6x = 16,02; −0,33x = 16,02 − 8,64 − 0,78; −0,33x = 6,6; x = 6,6: (−0,33); x=−

66 100 660 ⋅ = = −20; 10 33 33

Ответ: x = −20. №68. а) 8 x 2 − 16 x 3 y = 8 x 3 (x − 2 y );

(

)

б) 15xy 5 + 10 y 2 = 5 y 2 3xy 3 + 2 ;

(

в) 8a − 50 y = 2 4a − 25 y 2

2

2

= 2(2a − 5 y )(2a + 5 y );

2

)=

www.5balls.ru

(

)

г) 18b 2 − 98a 2 = 2 9b 2 − 49a 2 = = 2(3b − 7a )(3b + 7a );

(

)

д) x 3 − 125 = (x − 5) x 2 + 5 x + 25 ;

(

)

е) y + 8 = ( y + 2 ) y − 2 y + 4 ; ж) ab + 8a + 9b + 72 = a (b + 8) + 9(b + 8) = 3

2

= (b + 8)(a + 9 ); з) 6m − 12 − 2n + mn = 6(m − 2 ) + n (m − 2 ) = = (m − 2 )(6 + n ).

№69. Достаточно выяснить, когда знаменатель дроби отличен от нуля. а) 2a + 25 ≠ 0; 2a ≠ −25; a ≠ −

25 ; a ≠ −12 ,5; 2

б) y − любое число, так как 9 + y 2 > 0 при всех y ; в) 3x (x + 12 ) ≠ 0; 1 ) 3x ≠ 0; x ≠ 0; 2 ) x + 12 ≠ 0; x ≠ −12; Итак: x ≠ 0; x ≠ −12; г) (a + 1)(a − 4 ) ≠ 0; 1 ) a + 1 ≠ 0; a ≠ −1; 2 ) a − 4 ≠ 0; a ≠ 4; Итак: a ≠ −1; a ≠ 4. 4. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями №70. а)

x y 3x + 2 y ; + = 2 3 6

б)

c d 3c − d ; − = 4 12 12

в)

p q p2 + q2 ; + = q p qp

г)

a b2 a 2 − b3 ; − = b a ab

www.5balls.ru

д)

3 2 9−4 5 − = = ; 2 x 3x 6x 6x

е)

a 3a 4a + 15a 19a + = = ; 5c 4c 20c 20c

ж)

5x x 5x + 2 x 7 x + = = ; 8y 4 y 8y 8y

з)

17 y 25y 51y − 50 y y − = = ; 24c 36c 72c 72c

и)

5a 7a 25a − 14a 11a − = = . 18b 45b 90b 90b

№71. а)

=

б)

=

в)

=

г)

5y − 3 y + 2 + = 6y 4y 2(5y − 3) + 3( y + 2)

=

13y 13 = ; 12 y 12

=

14 x 2 = ; 105x 15

12 y 3x + 5 x − 3 + = 35x 21x 3(3x + 5) + 5( x − 3) 105x b + 2 3c − 5 − = 15b 45c 3c(b + 2) − b(3c − 5) 45bc

=

6c + 5b ; 45bc

8b + y 6 y + b − = 40b 30 y

www.5balls.ru

=

24by + 3y 2 − 24by − 4b 2 3y 2 − 4b 2 = ; 120 y 120 y

№72. а)

3x 5x 27 x − 20x 7 x − = = ; 4 9 36 36

б)

6a 3a 24a − 15a 9a − = = ; 5 4 20 20

в)

7a 2a 35a − 8a 27a 9a ; − = = = 12b 15b 60b 60b 20b

г)

9 p 7 p 54 p − 35 p 19 p ; − = = 10 12 60 60

д)

15a − b a − 4b − = 12a 9a

=

45a − 3b − 4a + 16b 41a + 13b = ; 36a 36a

е)

7 x + 4 3x − 1 − = 8y 6y

=

21x + 12 − 12 x + 4 9 x + 16 = . 24 y 24 y

№73. а)

б)

b a2

1− x x3

1 b−a = 2 ; a a +

1 x2

=

1− x + x x3

=

1 x3

;

www.5balls.ru

в)

=

г)

1 2a 7

2a 10 a+b

д)

2

е)

8 − 3a 3

;

2a 10

ab + b 2 + a 2 − ab a 2b 2a − 3b 2

+

a2 + b2

=

4a − 5b ab 2

a 2b

a 2b 2 x − 2y 2

2y − x x2 y

;

=

2ab − 3b 2 + 4a 2 − 5ab

xy =

=

a−b = ab

+

a b =

=

a 10

a 3 + 8 − 4a 3

a =

4 − 2a 3

+

=

4a 2 − 3ab − 3b 2 a 2b 2

;

=

x 2 − 2 xy − 2 y 2 + xy 2 2

x y

x 2 − 2 y 2 − xy

=

x2 y2

.

№74. а)

2 xy − 1 4x

=

б)

3

3y − x 6x 2

=

6xy − 3 − 6xy + 2 x 2 12 x 3

=

2x 2 − 3 12 x 3

(

;

)

2 3 1 − b 2 2b 3 − 1 2b 1 − b + 2b − 1 + = = 3ab 6ab 2 6ab 2

www.5balls.ru

=

в)

г)

2b − 2b 3 + 2b 3 − 1 6ab 1 3a 3 b2 6x 5

2

2 5a 5 b 3x 6

=

=

=

2b − 1

5a 2 − 6 15a 5

6ab 2

;

;

xb 2 − 2b 6x 6

.

№75. а)

1 1 1 c b a a+b+c + + = + + = ; ab ac bc abc abc abc abc

б)

ab − b ab − a a 2 − b 2 − − = a b ab

=

b(ab − b) − a(ab − a ) − a 2 + b 2 ab

=

=

ab 2 − b 2 − a 2 b + a 2 − a 2 + b 2 = ab

=

ab 2 − a 2 b = b − a; ab

в)

b−a c−b c−a + − = ab bc ac

=

cb − ac + ac − ab − bc + ab = 0; abc

г)

3ab + 2b 2 a + 2b a − 2b − + = ab a b

www.5balls.ru

=

3ab + b 2 b(a + 2b) a(a − 2b) − + = ab ab ab

=

3ab + 2b 2 − ab − 2b 2 + a 2 − 2ab a 2 a = = . ab ab b

№76. а)

=

б)

в)

x − y x − z zx − zy − yx + yz − = = xy xz xyz zx − yx z − y = ; xyz yz a − 2b b − 2a a 2 − 2ab − b 2 + 2ab a 2 − b 2 − = = ; 3b 3a 3ab 3ab p−q p q

=

г)

д)

=−

p 3q 3 3m − n 2

2n − m 2mn

2

=

q2 + p2

2

2c − 5b 6bc 2

=

3m 2 − 2n 2 6m 2 n 2

;

=

6bc + 4c 2 − bc + 15b 2 18b 2 c 2

;

6m 2 n 2

6m 2 n 2 3b + 2c

p 3q 3

2m(3m − n) − 3m(2n − m)

6mn − 2n 2 − 6mn + 3m 2

9b c =

=

p2q3

qp − q 2 − p 2 − pq

3m n =

p+q

3 2

=

4c 2 + 15b 2 18b 2 c 2

;

www.5balls.ru

=

2x − 7 y

е)

2

2x y =

5y − 8x 5xy 2

=

10xy − 35y 2 − 10xy + 16x 2 10x 2 y 2

=

16x 2 − 35y 2 10x 2 y 2

;

№77. 1 x 1 xy + 1 = + = ; y 1 y y

а) x +

б)

1 1 a 1− a2 −a= − = ; a a 1 a

в) 3a −

a 3a a 12a − a 11a = − = = ; 4 1 4 4 4

г) 5b −

2 5b 2 5b 2 − 2 = − = ; b 1 b b

д)

=

a2 + b a2 + b a −a= − = a a 1 a2 + b − a2 b = ; a a

е) 2 p −

=

ж)

4 p2 + 1 2 p 4 p2 + 1 = − = 2p 1 2p

(

) = 4p

4 p2 − 4 p2 + 1 2p

(a − b)2 2a

+b=

2

(a − b)2 2a

1 − 4p2 − 1 =− ; 2p 2p b = 1

www.5balls.ru

=

a 2 − 2ab + b 2 + 2ab a 2 + b 2 = ; 2a 2a

з) c −

=

(b + c)2 2b

c (b + c) − = 1 2b 2

=

(

2bc − b 2 + 2bc + c 2 2b

)=

=

2bc − b 2 − bc − c 2 = 2b

=

−b 2 − c 2 b 2 + c2 =− . 2b 2b

№78. а) 5 −

c 5 c 10 − c = − = ; 2 1 2 2

б) 5y 2 −

15y 2 − 1 15y 2 − 15y 2 + 1 1 = = ; 3 3 3

в) a + b −

=

a−3 a b a−3 = + − = 3 1 1 3

3a + 3b − (a − 3) 3

=

3a + 3b − a + 3 = 3

=

2a + 3b + 3 ; 3

г)

2b 2 − 1 2b 2 − 1 − b 2 + 5b − b + 5= = b b

www.5balls.ru

=

b 2 + 5b − 1 . b

№79. а) 1 −

a b 1 a b 20 − 4a − 5b ; − = − − = 5 4 1 5 4 20

б) 12 −

в)

=

a−2 a−3 a−2 1 a−3 − 1− = − − = 2 3 2 1 3 3a − 6 − 6 − 2a + 6 a − 6 = ; 6 6

г) 4a −

=

д)

1 1 12 1 1 12ab − b − a ; − = − − = a b 1 a b ab

a − 1 a + 2 4a a − 1 a + 2 − = − − = 4 3 1 4 3

48a − 3a + 3 − 4a − 8 41a − 5 = ; 12 12 a+b a + b a b 5b − 3a −a+b= − + = ; 4 4 1 1 4

е) a + b −

=

a2 + b2 a b a2 + b2 = + − = a a 1 1

(

a 2 + ab − a 2 + b 2 a

) = ab − b a

2

.

№80. а) x −

x− y x+ y x x− y x+ y + = − + = 2 4 1 2 4

www.5balls.ru

=

б)

=

4 x − 2 x + 2 y + x + y 3x + 3y = ; 4 4 3 5 3 2 5 −2− = − − = x x x 1 x 3 − 2x − 5 2x + 2 ; =− x x

в) 3 −

2x − y x + 4 y 3 2x − y x + 4 y + = − + = 4 12 1 4 12

=

36 − 6x + 3y + x + 4 y 36 − 5x + 7 y = ; 12 12

г)

6a − 4b b + 7a 6a − 4b b + 7a 2 − −2= − − = 5 3 5 3 1

=

18a − 12b − 5b − 35a − 30 17a + 17b + 30 . =− 15 15

№81. а)

(b + c)(b − c) + b 2 b−c b + = = b b+c b(b + c)

=

b 2 − c 2 + b 2 2b 2 − c 2 ; = b(b + c) b(b + c)

б)

=

x + 1 x + 3 x( x + 1) − ( x − 2)( x + 3) = − = x−2 x ( x − 2 )x 6 x2 + x − x2 − x + 6 ; = x( x − 2) x( x − 2)

www.5balls.ru

в)

(m + n)m − n(m − n) m n − = = m−n m+n (m − n)(m + n)

=

m 2 + mn − mn + n 2 m 2 + n 2 ; = 2 (m − n)(m + n) m − n2

г)

2a(2a + 1) − (2a − 1) 2a 1 − = = 2a − 1 2a + 1 (2a − 1)(2a + 1)

=

4 a 2 + 2 a − 2 a + 1 4a 2 + 1 ; = (2a − 1)(2a + 1) 4a 2 − 1

д)

=

е)

=

a(a − 2) − a(a + 2) a a − = = a+2 a−2 (a + 2)(a − 2) a 2 − 2a − a 2 − 2a a2 − 4

=

4a 4 − a2

;

p(3 p + 1) − p(3 p − 1) p p − = = 3p − 1 3p + 1 (3 p − 1)(3 p + 1) 3p 2 + p − 3p 2 + p 9 p2 − 1

=

2p 9 p2 − 1

.

№82. а)

3x 2y 9 x − 10 y − = ; 5( x + y) 3( x + y) 15( x + y)

б)

4a 2 − 5b 2 a2 b2 − = ; 5(a − b) 4(a − b) 20(a − b)

в)

3 2 + = ax − ay by − bx

www.5balls.ru

=

3 2 3b − 2a ; − = a( x − y) b( x − y) ab( x − y)

г)

13c 12b − = bm − bn cn − cm

=

13c 12b 13c 2 + 12b 2 + = ; b(m − n) c(m − n) bc(m − n)

д)

a a a a − = − = 2 x + 4 3x + 6 2( x + 2) 3( x + 2)

=

3a − 2a a = ; 6( x + 2) 6( x + 2)

е)

p 1 + = 7a − 14 2 − a

=

p 1 p−7 . − = 7(a − 2) a − 2 7(a − 2)

№83. а)

p(3x − 2) − p(2 x + 1) p p − = = 2 x + 1 3x − 2 (3x − 2)(2 x + 1)

=

p( x − 3) 3xp − 2 p − 2 xp − p = ; (3x − 2)(2 x + 1) (3x − 2)(2 x + 1)

б)

=

6a( x + y) + 2a( x − 2 y) 6a 2a + = = x − 2y x + y (x + y)(x − 2 y) 2a(4 x + y) 8ax + 2ay = ; (x + y)(x − 2 y) (x + y)(x − 2 y)

www.5balls.ru

в)

a a a a + = + = 5x − 10 6x − 12 5( x − 2) 6( x − 2)

=

6a + 5a 11a = ; 30( x − 2) 30( x − 2)

г)

5b b 5b b − = + = 12a − 36 48 − 16a 12(a − 3) 16(a − 3)

=

20b + 3b 23b . = 48(a − 3) 48(a − 3)

№84. а)

=

5y + 3 7 y + 4 5y + 3 7y + 4 − = − = 2 y + 2 3y + 3 2( y + 1) 3( y + 1) 15y + 9 − 14 y − 8 y+1 1 = = , 6( y + 1) 6( y + 1) 6

не зависит от y; б)

=

11y + 13 15y + 17 11y + 13 15y + 17 + = − = 3y − 3 4 − 4y 3( y − 1) 4( y − 1) −y + 1 44 y + 52 − 45y − 51 = = 12( y − 1) 12( y − 1)

=−

y −1 1 , =− 12( y − 1) 12

не зависит от y; №85.

www.5balls.ru

а)

=

б)

a2 ax − x 2

+

x a2 x = − = x − a x(a − x) a − x

a 2 − x 2 (a − x)(a + x) a + x ; = = x(a − x) x(a − x) x b 2 − 4by 2 y 2 − by

4y b 2 − 4by 4y = + = b − 2 y y(2 y − b) 2 y − b

2y − b b 2 − 4by + 4 y 2 (b − 2 y) ; = = y(2 y − b) y(2 y − b) y 2

=

в)

=

г)

=

b 2

2a − ab

4a 2ab − b

2

b 4a − = a(2a − b) b(2a − b)

=

(b − 2a )(b + 2a ) b + 2a b 2 − 4a 2 ; = =− ab(2a − b) ab(2a − b) ab 4y 2

3x + 2 xy

9x 3xy + 2 x

2

=

4 y(3y + 2 x) − x(3x + 2 y) x(3x + 2 y)(3y + 2 x)

=

4y 9x − = x(3x + 2 y) x(3y + 2 x) 12 y 2 − 10xy − 27 x 2 ; x(3x + 2 y)(3y + 2 x)

№86. а)

=

=

x − 25 x − 25 3x + 5 3x + 5 + = + = 5x − 25 x 2 − 5x 5( x − 5) x( x − 5) x( x − 25) + 5(3x + 5) 5x( x − 5)

=

x 2 − 10x + 25 = 5x( x − 5)

(x − 5)2 = x − 5 ; 5x( x − 5) 5x

www.5balls.ru

б)

12 − y 6 12 − y 6 − 2 = − = 6 y − 36 y − 6 y 6( y − 6) y( y − 6)

( y − 6) 12 y − y 2 − 36 =− = 6 y( y − 6) 6 y( y − 6) 2

=

=−

в)

=

г)

=

y − 6 6− y = ; 6y 6y 1 2

a + ab

+

1 ab + b

2

=

1 1 + = a(a + b) b(a + b)

2

=

1 1 − = b(b − a ) a(b − a )

b+a 1 ; = ab(a + b) ab 1 2

b − ab

1 ab − a

a b a−b 1 − = = . ab(b − a ) ab(b − a ) ab(b − a ) ab

№87. а) 1 −

=

б)

=

a + b 1 a + b a − b − (a + b) = − = = a−b 1 a−b a−b

a−b−a−b 2b ; = a−b b−a 2 2 a2 + b2 a 2 + b 2 a a + b − a(a − b) −a= − = = 1 a−b a−b a−b

b 2 + ab b(b + a ) ; = a−b a−b

www.5balls.ru

в) m − n +

=

n2 m n n2 = − + = m+n 1 1 m+n

m(m + n) − n(m + n) + n 2 m+n

=

m2 ; m+n

(

)

2 2 2ab a 2 + b 2 (a + b) − a + b ; г) a + b − = = a+b a+b a+b 2

д) x −

=

x 9 9 3 − 3= − − = x−3 1 x−3 1

x 2 − 3x − 9 − 3x + 9 x 2 − 6x = ; x−3 x−3

е) a 2 −

=

=

a4 + 1 a2 − 1

(

)−a

a2 a2 − 1 a2 − 1

+ 1=

4

a2 a4 + 1 1 − 2 + = 1 a −1 1

+1

a2 − 1

+

a2 − 1 a2 − 1

a4 − a2 − a4 − 1+ a2 − 1 a2 − 1

=−

=

2 a2 − 1

=

2 1− a2

.

№88. а)

=

б)

a 2 + 3a a a 2 + 3a a − = − = ab − 5b + 8a − 40 b + 8 (a − 5)(b + 8) b + 8 a 2 + 3a − a(a − 5)

(a − 5)(b + 8)

=

8a a 2 + 3a − a 2 + 5a ; = (a − 5)(b + 8) (a − 5)(b + 8)

y 3y y 3y − = − = 3x − 2 6xy + 9 x − 4 y − 6 3x − 2 (2 y + 3)(3x − 2)

www.5balls.ru

=

y(2 y + 3) − 3y

(2 y + 3)(3x − 2)

=

2 y 2 + 3y − 3y 2y2 . = (2 y + 3)(3x − 2) (2 y + 3)(3x − 2)

№89. а)

x2 x x2 x − = − = 3ax − 2 − x + 6a 3a − 1 (3a − 1)( x + 2) 3a − 1 x 2 − x( x + 2)

=

(3a − 1)(x + 2)

=

(1 − 3a )(x + 2)

б)

2x

=

2x x2 − x2 − 2 =− = (3a − 1)(x + 2) (3a − 1)(x + 2)

;

3x x 2 + 3x 3x x 2 + 3x + = + = 2 y + 3 4 xy − 3 − 2 y + 6x 2 y + 3 2 x(2 y + 3) − (2 y + 3)

=

3x(2 x − 1) + x 2 + 3x x 2 + 3x 3x + = = 2 y + 3 (2 y + 3)(2 x − 1) (2 y + 3)(2 x − 1)

=

7x 2 . (2 y + 3)(2 x − 1)

№90. а)

x 2 − 3xy + y( x + y) x 2 − 3xy y + = = (x + y)(x − y) (x − y) (x + y)(x − y)

=

( x − y) = ( x − y) ; x 2 − 2 xy + y 2 = (x + y)(x − y) (x + y)(x − y) (x + y)

б)

2 c b 2 − 3bc c(b + c) + b − 3bc = = + 2 b − c b − c2 b 2 − c2

2

www.5balls.ru

=

c(b + c) + b 2 − 3bc

(b − c)(b + c)

=

bc + c 2 + b 2 − 3bc = (b − c)(b + c)

(b − c) b 2 − 2bc + c 2 b−c ; = = (b − c)(b + c) (b − c)(b + c) b + c 2

=

(

)

2 a − 2 y y 2 − 5ay (a − y)(a − 2 y) − y − 5ay = = в) − 2 a+y (a − y)(a + y) a − y2

=

a 2 − 2ay − ay + 2 y 2 − y 2 + 5ay y 2 + 2ay + a 2 = = (a − y)(a + y) (a − y)(a + y)

=

(a + y)2 = a + y ; (a − y)(a + y) a − y

a+3 a2 − 1 =

=

1 a2 + a

=

a(a + 3) − (a − 1) a(a − 1)(a + 1)

a+3

(a − 1)(a + 1) =

1 = a(a + 1)

a 2 + 2a + 1 = a(a − 1)(a + 1)

(a + 1)2 = a + 1 . (a − 1)(a + 1) a(a − 1)

www.5balls.ru

№ 91.

а) = =

б) = =

в) = =

г)

= =

b−6 4−b

2

+

2 2b − b

2

=

b−6 2 + = (2 − b )(2 + b ) b(2 − b )

b (b − 6 ) + 2 (2 + b ) b 2 − 6b + 4 + 2b = = b (2 − b )(2 + b ) b (2 − b )(2 + b )

(2 − b )2 = 2 − b ; b (2 − b )(2 + b ) b (2 + b ) b ab − 5a

2

15b − 25a 2

b − 25a

2

b 15b − 25a − = a (b − 5a ) (b − 5a )(b + 5a )

=

b(b + 5a ) a (15b − 25a ) b 2 + 5ab − 15ab + 25a 2 − = = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a )

(b − 5a )2 = b − 5a ; b 2 − 10ab + 25a 2 = a (b − 5a )(b + 5a ) a (b − 5a )(b + 5a ) a (b + 5a ) x − 12a 2

x − 16a

2

4a 4ax − x

2

=

x − 12a 4a − = (x − 4a )(x + 4a ) x(4a − x )

x(x − 12a ) + 4a (x + 4a ) x 2 − 12ax + 4ax + 16a 2 x 2 − 8ax + 16a 2 = = = x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a ) x(x − 4a )(x + 4a )

(x − 4a )2 = x − 4a ; x(x − 4a )(x + 4a ) x(x + 4a ) a − 30 y 2

a − 100 y

2

10 y 10ay − a

2

=

a − 30 y

(a − 10 y )(a + 10 y )

10 y = a(10 y − a )

a(a − 30 y ) + 10 y (a + 10 y ) a 2 − 30ay + 10ay + 100 y 2 = = a(a − 10 y )(a + 10 y ) a (a − 10 y )(a + 10 y )

(a − 10 y )2 a − 10 y . = a (a − 10 y )(a + 10 y ) a (a + 10 y )

№ 92.

www.5balls.ru

а)

a+4

2

a

=

2

a+4 a a 2 + 4a + 2a + 8 − a 2 − = = a (a − 2) (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )

a − 2a a − 4 6a + 8 2(3a + 4 ) = = ; a (a − 2 )(a + 2 ) a (a − 2 )(a + 2 )

б)

4 − x2 16 − x 2

4 − x2 x +1 x + 1 4 − x 2 − (4 − x )( x + 1) = − = = (4 − x )(4 + x ) x + 4 (4 − x)(4 + x) x + 4

4 − x2 − 4 x − 4 + x2 + x 3x − 3x = = ; ( 4 − x)(4 + x) (4 − x )(4 + x ) x 2 − 16 3 3 3 b+7 b+7 b+7 + = + = + = в) 2b + 1 1 − 4b 2 2b + 1 (1 − 2b)(1 + 2b) 1 + 2b (1 − 2b)(1 + 2b) =

3(1 − 2b) + b + 7 10 − 5b 5( 2 − b) = = ; (1 − 2b)(1 + 2b) (1 − 2b)(1 + 2b) 1 − 4b 2 5b 16ab + 30b 5b 16ab + 30b + = + = г) 4a − 5 25 − 16a 2 4a − 5 (5 − 4a)(5 + 4a) =

=

5b 16ab + 30b 20ab + 25b − 16ab − 30b − = = 4a − 5 ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) ( 4a − 5 )( 4a + 5 )

=

b( 4a − 5 ) b = ; ( 4a − 5 )( 4a + 5 ) 4a + 5

д)

( a + b) 2

+

( a − b) 2

a 2ab a 2 − ab b b = 1 + + 1 − = 2; a a

=

( a + b ) 2 ( a − b) 2 a + b a − b + = + = a ( a + b) a ( a − b) a a

е)

x2 − 4 x2 + 4x + 4 x2 − 4 x2 + 4x + 4 − = − = 5 x − 10 5 x + 10 5( x − 2) 5( x + 2)

=

( x − 2)( x + 2) ( x + 2) 2 x + 2 x + 2 − = − =0. 5( x − 2) 5( x + 2) 5 5

№ 93. а) =

x +1 x2 − x

x+2 x2 − 1

=

( x + 1)( x + 1) − x ) x + 2) x +1 x−2 − = = x( x − 1) ( x − 1)( x + 1) x( x − 1)( x + 1)

x2 + 2 x + 1 − x2 − 2 x 1 = ; 2 x( x − 1)( x + 1) x( x − 1)

www.5balls.ru

подставим x = -1,5:

1 x( x − 1) 2

=

[

1

]

(−1,5) (− 1,5) − 1 2

=

1 = (−1,5)1.25

8 1 1 =− =− . 3⋅5 1 1 15 − 1 ⋅1 2⋅4 2 4 8 Ответ: − . 15 1− x 1+ x x+2 x+2 − = − = б) 2 x + 3x x 2 − 9 x( x + 3) ( x − 3)( x + 3) =

=

( x − 3)( x + 2) − x (1 + x ) x 2 + 2 x − 3 x − 6 − x − x 2 = = x ( x − 3)( x + 3) x( x − 3)( x + 3)

подставим x = -1,5:

=−

2 2 2 2 = = =− = 3 9 x(3 − x) − 1,5[3 − (− 1,5)] − 1,5 ⋅ 4,5 ⋅ 2 2

8 . 27

Ответ: −

8 . 27

№ 94. а) б) =

в) =

г)

a 2 + b2 3

a +b

3

a 2 + b2 ab 1 1 = − = ; a + b (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) a + b a 3 + b3

1 3 pq 1 3 pq − = − = p − q p 3 − q 3 p − q ( p − q )( p 2 + pq + q 2 ) p 2 − 2 pq + q 2 2

2

( p − q )( p + pq + q ) 1− a a2 − a + 1 1 a3 + 1

+

a2 a3 + 1

=

=

( p − q )2 ( p − q )( p 2 + pq + q 2 )

1− a a2 − a + 1

+

=

p−q p 2 + pq + q 2

a2

(a + 1)(a 2 − a + 1)

=

;

(1 + a )(1 − a ) + a 2 = (a + 1)(a 2 − a + 1)

;

6a 3 + 48a a 3 + 64

3a 2 a 2 − 4a + 16

=

6a 3 + 48a ( a + 4)(a 2 − 4a + 16)

www.5balls.ru

3a 2 a 2 − 4a + 16

=

= =

6a 3 + 48a − 3a 2 (a + 4) 2

(a + 4)(a − 4a + 16)

=

6a 3 + 48a − 3a 3 − 12a 2 2

( a + 4)(a − 4a + 16)

=

3a (a 2 − 4a + 16) (a + 4)(a 2 − 4a + 16)

=

3a . a+4

№ 95. а)

y−2 4 3 12 4( y − 2) − 3( y + 2) + 12 − + 2 = = = y+2 y−2 y +4 ( y + 2)( y − 2) ( y − 2)( y + 2)

=

1 ; y+2

б)

3 3 a a2 a a2 − − = − − = a − 6 a + 6 36 − a 2 a − 6 a + 6 (a − 6)(a + 6)

=

в) =

г)

18 + 3a 3 a ( a + 6) − 3(a − 6) − a 2 a 2 + 6a − 3a + 18 − a 2 ; = = = (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) (a − 6)(a + 6) a − 6 x2

x+ y x2 x+ y 2 x 2 − ( x + y )( x − y ) = − = = 2 x − 2 y ( x − y ) 2 2( x − y ) 2( x − y ) 2

( x − y )2

2 x2 − x2 + y 2 2( x − y ) b ( a − b) 2

2

=

x2 + y2 2( x − y ) 2

a+b b 2 − ab

=

;

b 2 − (b − a)(b + a ) b(b − a) 2

=

b2 − b2 + a 2 b(b − a )2

=

a2 b(b − a ) 2

.

№ 96. а)

2a + b 2

2a − ab

16a 2

4a − b

2

2a − b 2

2a + ab

=

2a + b 16a − − a (2a − b) (2a − b)(2a + b)

2a − b (2a + b) − 16a 2 − (2a − b)2 2b ⋅ 4a − 16a 2 = = = a ( 2a + b ) a (2a + b)(2a − b) a (2a + b)(2a − b)

=

8ab − 16a 2 8a ( 2 a − b ) 8 ; =− =− 2a + b a ( 2a − b)(2a + b) a (2a − b)(2a + b)

б) =

2

1 ( a − 3)

2

2 a −9 2

+

1 (a + 3)

2

2

=

1 ( a − 3)

2

a + 6a + 9 − 2(a − 3)(a + 3) + a 2 − 6a + 9 (a − 3) 2 (a + 3)2

2 1 + = ( a − 3)(a + 3) (a + 3) 2 =

2a 2 + 18 − 2a 2 + 18

www.5balls.ru

( a − 3) 2 (a + 3) 2

=

=

в) + =

г) =

36 ( a − 3) 2 ( a + 3) 2 x−2 x2 + 2 x + 4

; 6x

x3 − 8

1 1 x−2 = − + x − 2 x 2 + 2 x + 4 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)

+

1 ( x − 2)( x − 2) − 6 x + x 2 + 2 x + 4 2 x2 − 8x + 8 = = = x−2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) 2( x − 2) 2 ( x − 2)( x + 2 x + 4) 2

2a 2 + 7 a + 3 3

a −1

2( x − 2)

=

x + 2x + 4 2

1 − 2a 2

a + a +1

;

3 = a −1

2a 2 + 7 a + 3 − (a − 1)(1 − 2a ) − 3(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)

=

=

2a 2 + 7 a + 3 − a + 2a 2 + 1 − 2a − 3a 2 − 3a − 3 a2 + a +1 = = 2 ( a − 1 )( a + a + 1 ) ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )

=

1 . a −1

№ 97. а)

1 1 2a 1 1 2a − − = − + = a − 4b a + 4b 16b2 − a 2 a − 4b a + 4b ( a − 4b)(a + 4b)

=

a + 4b − a + 4b + 2a 8b + 2a 2 = = ; ( a − 4b)(a + 4b) (a − 4b)(a + 4b) a − 4b

б)

a2 a2 1 1 1 1 + + 2 = + + = 2b − 2a 2b + 2a a b − b3 2(b − a ) 2(b + a ) b(a 2 − b 2 )

=

2(b 2 − a 2 ) b(b + a ) + b(b − a ) − 2a 2 b 2 + ab + b 2 − ab − 2a 2 = = = 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a ) 2b(b − a )(b + a )

=

2(b − a )(b + a ) 1 = ; 2b(b − a )(b + a ) b

в)

1 6bx 6bx 1 + = + = 2 x − b b3 − 8 x3 (b − 2 x)(b 2 + 2bx + 4 x 2 ) 2 x − b

=

b 2 + 2bx + 4 x 2 − 6bx 2

2

( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x )

=

b 2 − 4bx + 4 x 2 (2 x − b)(b 2 + 2bx + 4 x 2 )

www.5balls.ru

=

=

г) =

( 2 x − b) 2 2

2

( 2 x − b)(b + 2bx + 4 x ) 2 y 2 + 16 3

y +8

=

2x − b 2

b + 2bx + 4 x 2

;

2 2 y 2 + 16 2 = − = y + 2 ( y + 2)( y 2 − 2 y + 4) y + 2

2 y 2 + 16 − 2( y 2 − 2 y + 4) 2

( y + 2)( y − 2 y + 4)

=

4y + 8 2

( y + 2)( y − 2 y + 4)

=

4 2

y − 2y + 4

.

№ 98. а)

3 2

+

3 3 + a3 a2 a2 ; = + = a − 3 a (a − 3) a − 3 a ( a − 3)

a − 3a 9a + 3 a + 3 9a + 3 a (a − 3)(a + 3) + 9a + 3 = + = = a +3+ 2 1 a (a − 3) a (a − 3) a − 3a =

б) =

a 3 − 9a + 9a + 3 a3 + 3 ; т.е. выражения тождественно равны. = a ( a − 3) a( a − 3) a3 2

a −4

2 a a 3 − a ( a + 2) − 2( a − 2) a3 − a 2 − 4a + 4 − = = = a−2 a+2 a2 − 4 a2 − 4

( a − 1)(a 2 − 4) a2 − 4

= a − 1. т.е. выражения тождественно равны.

№ 99. а)

x3 + 3x 3 x 2 − 14 x + 16 x3 + 3 x 3x 2 − 14 x + 16 − + 2x = − + 2x = 2 x+2 ( x − 2)( x + 2) x+2 x −4

=

( x3 + 3 x )( x − 2) − (3 x 2 − 14 x + 16) + 2 x( x 2 − 4) = ( x + 2)( x − 2)

=

x 4 − 2 x3 + 3 x 2 − 6 x − 3 x 2 + 14 x − 16 + 2 x3 − 8 x x 4 − 16 = 2 = ( x + 2)( x − 2) x −4

= x 2 + 4 f 0 при всех значениях х;

б) y + =

2 y2 + 3y + 1 y2 −1

y3 + 2 y y 2 y 2 + 3 y + 1 y3 + 2 y = + − = 1 ( y − 1)( y + 1) y −1 y −1

y ( y − 1)( y + 1) + 2 y 2 + 3 y + 1 − ( y + 1)( y 3 + 2 y ) = ( y − 1)( y + 1)

www.5balls.ru

=

1 − y4 y3 − y + 2 y 2 + 3 y + 1 − y 4 − 2 y 2 − y3 − 2 y = = ( y − 1)( y + 1) ( y − 1)( y + 1)

=−

(1 − y 2 )(1 + y 2 ) 1 − y2

= −(1 + y 2 ) p 0 при всех значениях у.

№ 100. Исходя из условия задачи получаем, что скорость катера по течению реки (v + 5) км/ч, против течения – (v - 5) км/ч; получаем что  s   s    ч – время в пути от А до В;   ч – время в пути от В до v+5  v −5 s   s А; тогда  +  ч – общее время в пути от А до В и обратv + 5 v − 5

но. Получаем выражение:

s s s (v − 5) + s (v + 5) sv − 5s + sv + 5s 2 sv + = = = 2 . v+5 v−5 (v + 5)(v − 5) (v − 5)(v + 5) v − 25

Подставим s=50, v=25: а) t =

2sv 2

v − 25

=

2 ⋅ 50 ⋅ 25 2

25 − 25

=

1 2500 2500 25 = = = 4 (ч)=4 ч 10 мин; 625 − 25 600 6 6

Ответ: 4 ч 10 мин; Подставим s=105, v=40: б) t =

2 sv 2 ⋅105 ⋅ 40 8400 8400 1 = = = = 5 (ч)=5 ч 20 мин; v 2 − 25 3 402 − 25 1600 − 25 1575

Ответ: 5 ч 20 мин. № 101. s = vt ;

s t = . Для удобства представим данные задачи в виде табv

лицы:

По шоссе По проселочной дороге

Путь, км

Скорость, км/ч

s

v

2s

v-2

www.5balls.ru

Время, ч s v 2s v−2

t общ =

2s s s( v − 2 ) + 2sv sv − 2 s + 2 sv 3sv − 2 s s( 3v − 2 ) + = = = = ; v v−2 v( v − 2 ) v( v − 2 ) v( v − 2 ) v − ( v − 2 )

если s = 10, v = 6, то

s (3v − 2 ) 10(3 ⋅ 6 − 2) 10 ⋅16 10 ⋅ 2 20 2 = = = = = 6 (ч)=6 ч 40 мин. v (v − 2) 6(6 − 2) 6⋅4 3 3 3

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 102. 2x2 + x − 1

=

( 2 x 2 + 2 x ) − ( x + 1)

=

2 x( x + 1) − ( x + 1)

=

( x + 1)(2 x − 1)

; 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x − 3x + 2 4 x 2 − 3x + 2 1 а) при x = числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль; 2 б) при x = −1 числитель, а значит и вся дробь обращается в ноль. 2

2

2

Ответ: а) 0; б) 0. № 103. I. y =

2x − 5 ; 3

2 ⋅ (− 2 ) − 5 − 4 − 5 9 = = − = −3; 3 3 3 2⋅0 −5 5 2 2) при х = 0; y = = − = −1 ; 3 3 3 2 ⋅ 16 − 5 32 − 5 27 3) при х = 16; y = = = = 9; 3 3 3 2x − 5 II. 1) подставим у = 3; 3 = ; 3 ⋅ 3 = 2 x − 5; 2 x = 14; x = 7; 3 2x − 5 5 2) подставим у = 0; 0 = ;2 x − 5 = 0; x = ; x = 2,5; 3 2 2x − 5 3) подставим у = -9; − 9 = ;2 x − 5 = −27;2 x = −22; x = −11. 3

1) при х = -2; y =

№ 104.

www.5balls.ru

На рисунке – график функции y = y

1 x−4. 2

0

8

x

-4

а) При x = 6, y = -1; при x = -6, y = -7; б) при y = -2, x = 4; при y = 0, x = 8. № 105. На рисунке – график данных функций. 4

y = 2x - 3

2

0

2

4

-2 y = -4x +1 -4 Пусть А – их точка пересечения. 1) Из рисунка видно, что А ≈ (0,7; − 1,7 ) . 2) Найдем координаты точки А из уравнения: -4х+1=2х-3; 2х-3+4х-1=0; 6х-4=0; 6х=4; x = y = 2⋅

2 4 2 − 3 = − 3 = −1 . 3 3 3

www.5balls.ru

4 2 = ; 6 3

x

2 3

2 3

Окончательно: A( ;−1 ). № 106. Для удобства запишем данные задачи в виде таблицы: Ямы

Заложили, т

Взяли, т

Осталось, т

I

90

90-3х

II

75

х

75-х

Исходя из того, что в первой яме осталось силоса в 2 раза меньше, чем во второй, запишем уравнение: 2(90-3х)=75-х; 75-х+6х-180=0; 5х=105; х=21, 3х=63. Ответ. Из первой ямы взяли 63 т силоса. № 107. Пусть дана формула: s t

s v

а) v = , тогда s = vt ;t = . Пусть дана формула: б) p =

m m , тогда v = . v p

§ 3. Произведение и частное дробей 5. Умножение дробей. Возведение дроби в степень № 108. 5 2b 10b ; ⋅ = 3a 3 9a 5a 7 5a ⋅ 7 7a = ⋅ = б) ; 8 y 10 8 y ⋅10 16 y

а)

в)

3x 1 3x ⋅1 3 ⋅ = = ; 4 x 4x 4

www.5balls.ru

9 5a 9 ⋅ 5a 15 ⋅ = = = 7 ,5; 2a 3 2a ⋅ 3 2 b 2 5 5b 2 b ⋅ = = ; д) 10 b 10b 2 18 c 3 18c 3 3 = = е) 4 ⋅ ; c 24 24c 4 4c 12 x 5 15 12 x 5 ⋅ 15 9 x 3 ж) ⋅ = = = 0 ,9 x 3 ; 25 8 x 2 25 ⋅ 8 x 2 10 3 16a 2 3 ⋅ 16a 2 4 ⋅ = = з) . 3 3 4a 9 4a ⋅ 9 3a

г)

№ 109. 3x 10 10 ⋅ 3 x 5 2,5 ⋅ = = = ; 4 y 3 x 2 4 y ⋅ 3 x 2 2 xy xy 1 5⋅4 3 a 2 ⋅ 4a 3 a 2 ,5 4a 3 10a 3 2 2 ⋅1 б) ⋅ = = = = 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 b 2a 5b 2a ⋅ 5b 2a ⋅ 5b 10a b m 2 24 24m 2 3m 3m 1,5m ⋅ = = = = ; в) 16 mn 16mn 16mn 2n n 1 3x 3x 1 1 г) ; ⋅ = = = 9 x 3 2a 2 9 x 3 ⋅ 2a 2 3 x 2 ⋅ 2a 2 6a 2 x 2 7 a 3 ⋅ 8b 2 7 3 7a 3 д) ⋅ 8b 2 = = a b; 24b 24b ⋅ 1 3 1 14ab 2a 2 a е) 14ab ⋅ . = = = 21b 3 21b 3 3b 2 3 b 2

а)

№ 110. 12 x 3 12 x 3 x2 ⋅ = = ; 5 x 12a 5 x ⋅ 12a 5a 8c 2 1 8c 2 2 ⋅ 2 = = б) ; 15m 4c 15m ⋅ 4c 2 15m 11a 4 12b 11a 4 ⋅ 12b 22b ⋅ 5 = = в) ; 6 a 6 ⋅ a5 a 4 n 2 9m 4 n 2 ⋅ 9 m 6 n 2 г) . = ⋅ = m 3m 2 2 3m 2 ⋅ 2

а)

www.5balls.ru

№ 111. 7 15 x 2 ⋅ 7 35 17 ,5 = = = ; 6x 3 6x 3 2x x 25 ⋅ 2 y 3 25 25 ⋅ 2y3 = = б) y; 2 16 y 16 y 2 8

а) 15 x 2 ⋅

4a 6am 2 ⋅ 4a 8a 2 ; = = m 3m 3 3m 3 2b 2b ⋅ 10a 2 4b ⋅ 10a 2 = = г) . 3 5a 5a 3 a

в) 6am 2 ⋅

№ 112. а)

48 x 5 ⋅ 7 y 2 48 x 5 7 y 2 3x 2 ⋅ = = ; 49 y 4 16 x 3 49 y 4 ⋅ 16 x 3 7 y 2

18m 3 22n 4 18m 3 ⋅ 22n 4 ⋅ = = 4mn; 11n 3 9m 2 11n 3 ⋅ 9m 2 15 p 4 16q 5 15 p 4 ⋅ 16q 5 6p ⋅ = =− ; в) − 6 3 6 3 8q 25 p 8q ⋅ 25 p 5q

б)

г)

72 x 4 25 y 5

 2 ,5 y 4  72 x 4 ⋅ 2,5 y 4 8 ⋅ 25 y 4 8 4 =− =− =− =− ; ⋅  − 5  5 5 5 ⋅ ⋅ 27 x 25 y 27 x 3 x 250 y 30 xy 15 xy  

д) −

35ax 2 8ab 35ax 2 ⋅ 8ab 10a 2 x ⋅ = = − ; 12b 2 y 21xy 12b 2 y ⋅ 21xy 9by 2

е) −

25 x 3 y 3 14a 2 b

 21ab ⋅  − 2 2  10 x y

 25 x 3 y 3 ⋅ 21ab 15 xy  = = . 2 2 2 4a  14a b ⋅ 10 x y

№ 113. 14a 2 b 8 x 2 14a 2 b ⋅ 8 x 2 16 ⋅ = 3 = ; 3 2 3x 21a b 3 x ⋅ 21a 2 b 9 x 9a 2 5ax 9a 2 ⋅ 5ax 3a 3 ⋅ = = б) ; 2 2 25 x y 6 y 25 x y ⋅ 6 y 10 xy 2

а)

в) −

10 x 2 y 2 27 a 3 6a 3 x 2 y 2 ⋅ =− = −6axy ; 2 9a 5 xy a 2 xy

www.5balls.ru

г)

2m 3 35a 3 b 2

д)

13 x 12mn

 7a 2 b  2m 3 ⋅ 7 a 2 b 1 =− ⋅  − =− ; 3  3 2 3 ⋅ 6 m 35 a b 6 m 15 ab   ⋅ 4m 2 n =

2

 11x 2  3a 2 b 2 

13 x ⋅ 4m 2 n 12mn 2

=

13mx ; 3n

 11abx 2 11x 2 = = .  3a 2 b 2 3ab 

е) − ab ⋅  − № 114. а) б)

2a 2 b 3x 2 y 6ax 2a 2b ⋅ 3 x 2 y ⋅ 6ax a 2 x 2 ⋅ ⋅ = = ; 3 xy 4ab 2 15b 2 3 xy ⋅ 4ab 2 ⋅ 15b 2 5b 3 6m 3 n 2 35 p

3

49n 4 5

m p

3

5m 4 p 2 42n

6

=

6 ⋅ 49 ⋅ 5m 3 m 4 n 2 n 4 p 2 5 6

35 ⋅ 42m n p p

№ 115. 3

 x  x3  = ; 8y3  2y 

а) 

4

81a 4  3a   = 4 ;  c  c

б) 

3

 n2   = в)   10m   

 3  2b   

n6 1000m 3

2

;

6

9a 81a г)  2  = . 4 4b

№ 116. 4

 2a  24 a 4 16a 4 а)  2 3  = 8 12 = 8 12 ; p q   

p q

p q

2

 3a 2 b 3  9a 4 b 6 б)  4  = ; 8  

s

 

3

s

www.5balls.ru

3

=

m2 p4

.

2

4 2  2a 2 b   = 4a b ; в)  − 2 6 3

 3mn   

9m n

3

 3x 2  27 x 6 г)  − 3  = − ; 9  

2 y 

8y

№ 117. 2

 x3  x6 а)  2  = 4 ; y      b 

2

y

  

3

6

2a 8a б)  3  = 9 ; b

4

 5a 3  625a 12 в)  2  = ; 8  3b   

81b

5

 2x 2  32 x10 г)  3  = ; 15  3y   

243 y

5

10 20  x2 y4   = x y д)  ; 3 15

 4m   

 2 b c  

1024m

4

8

3a 81a е)  2  = 8 4 ;   

b c

 n p  2

3

6

10m 1000m ж)  − 2  = − 6 3 ; n p

2

6 4  b 3c 2   =b c . з)  − 3 6

 

8a

 

64a

№ 118. а)

x 2 − xy y 2 x( x − y ) y 2 ⋅ = = ( x − y ) y; y x yx

www.5balls.ru

3a ab + b 2 3ab(a + b) (a + b) a ⋅ = = ; 9 3b b2 9b 2 (m − n)2mn 2 m−n 2mn в) ⋅ = =− ; m mn mn − m 2 m(n − m)mn

б)

г) д)

4ab ax + bx 4abx (a + b) 2(a + b) ⋅ = = ; cx + dx 2ab 2abx(c + d ) c+d ma − mb 3n 2

(ma − mb)2m 2m ⋅ m(a − b) 2m 2m 2 = = = − ; nb − na (nb − na )3n 2 3n 2 n(b − a ) 3n 3

ax − ay  a( x − y ) 5 xy  5 xy ( ax − ay ) =− =− = ⋅− 2 2  by − bx  2 2 xyb ( y − x) 5x y  5 x y (by − bx)  a( x − y) a = = . bxy ( x − y ) bxy

е)

№ 119. 8

а) (3a − 15b) ⋅

2

=

2

8 ⋅ 3(a − 5b) 24 ; = ( a − 5b)(a + 5b) a + 5b

a − 25b 2 x( x − 2)( x + 2) 2 x( x − 2) 2x ; б) ( x − 4) ⋅ = = 2 x+2 ( x + 2) ( x + 2) 2 2

в)

y

⋅ ( y 2 − 4 y + 4) =

2

3 y − 12 2ab

y ( y − 2) 2 2

=

y ( y − 2) 2 y ( y − 2) ; = 3( y − 2)( y + 2) 3( y + 2)

3( y − 4) 2ab( a − 3b)(a + 3b) 2ab(a + 3b) ( a 2 − 9b 2 ) = . г) 2 = 2 a − 3b (a − 3b) 2 a − 6ab + 9b

№ 120. а)

kx + k 2 x

б)

2

ax + ay xy 2

xk ( x + k ) k x = 2 = ; x + k x (x + k) x

x2 y ax ( x + y ) ax ; = = 3x + 3 y 3 y ( x + y ) 3 y xy (a + a 2 )

a (1 + a ) 1 ; = = a +a x y x y 2 ( a 2 + a 3 ) a 2 xy (1 + a ) axy 6a 2 x − 2 6a ⋅ (2 x − 2) 2 ⋅ 6( x − 1) 4 г) 2 ⋅ = = 2 = 2. 2 3 ax x −x 3ax ( x − x) 3 x ( x − 1) x

в)

xy

2

3

a + a2 2

2

=

2

www.5balls.ru

№ 121. а)

2 x ( x 2 − y 2 ) 2 x ( x − y )( x + y ) x − y x 2 − y 2 2x ; ⋅ = = = 2 xy 2 xy ( x + y ) 2 xy ( x + y ) x+ y y

б)

ax(3 − x ) 3a − ax 4 x 2 (3a − ax ) ax ; = = =− 2 2 4 ( 3 )( 3 ) x x − x + x +3 x −9 4 x ( x − 9)

в)

y 2 − 16 5y 5 y ( y 2 − 16) 5 y ( y − 4)( y + 4) ( y − 4)( y + 4) ⋅ = = = = 10 xy 3 y + 12 10 xy (3 y + 12) 10 xy (3 y + 12) 2 ⋅ 3 x( y + 4)

4x 2

y−4 ; 6x 3ab(b − a ) 3b b−a 3ab ⋅ 2 = =− г) . 2 a (a − b)(a + b) a+b a a −b =

№ 122.

(

)

a 2 − 1 7 a − 7b a 2 − 1 (7 a − 7b ) 7(a − b)(a 2 − 1) ⋅ = = = a − b a2 + a (a − b)(a 2 + a ) (a − b)(a 2 + a) 7(a − 1)(a + 1)(a − b) 7(a − 1) = = ; a (a + 1)(a − b) a

а)

(b 2 + 2bc)(5b + 15) 5b(b + 2c)(b + 3) b 2 + 2bc 5b + 15 ⋅ 2 = = = b+3 b − 4c 2 (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) (b + 3)(b 2 − 4c 2 ) 5b(b + 2c)(b + 3) 5b = = ; (b − 2c )(b + 2c)(b + 3) b − 2c

б)

в)

( x + 3) 2 x 2 − 4 ( x + 3) 2 ( x − 2)( x + 2) ( x + 3)( x + 2) = = ⋅ ; 2 x − 4 3x + 9 2( x − 2) ⋅ 3( x + 3) 6

г)

( y − 5) 2 y 2 − 36 ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ( y − 5) 2 ( y 2 − 36) ⋅ = = = 2 y + 12 2 y − 10 ( 2 y + 12)(2 y − 10) 2( y + 6) ⋅ 2( y − 5)

(y − 5) (y − 6)(y + 6) = (y − 5)(y − 6) . 2(y + 6 )⋅ 2(y − 5) 4 2

№ 123. а)

(5mn − m)(16m 2 − n 2 ) m(5n − 1)(4m − n)(4m + n) = = m(4m − n); (4m + n)(5n − 1) (5n − 1)(4m + n)

www.5balls.ru

1 4

Найдем значение этого выражения при m = ; n = −3 : m( 4 m − n ) =

б)

1 1 1 1 ( 4 ⋅ + 3) = (1 + 3) = ⋅ 4 = 1; 4 4 4 4

( x + 2) 2 (2 x + 6)

=

(3x + 9)( x 2 − 4)

2( x + 2) 2 ( x + 3) 2( x + 2) ; = 3( x + 3)( x − 2)( x + 2) 3( x − 2)

Найдем значение этого выражения при х = 0,5: 2( x + 2) 2(0,5 + 2) 2 ⋅ 2,5 2 ⋅ 25 10 1 = = =− = − = −1 ; 3( x − 2) 3(0,5 − 2) 3 ⋅ (−1,5) 3 ⋅ 15 9 9

Найдем значение этого выражения при х = -1,5: 2( x + 2) 2( −1,5 + 2) 2 ⋅ 0,5 1 2 = = = =− . 3( x − 2) 3( −1,5 − 2) 3 ⋅ ( −3,5) − 10,5 21 1 9

Ответ: а) 1; б) − 1 ;−

2 . 21

№ 124. а)

x 2 − 1 x 2 y x 2 y ( x − 1)( x + 1) x ( x − 1) ⋅ = = . 5 xy 1 + x 5 xy (1 + x ) 5

4nm(m − 4) m 2 − 4m 8n 2 (m 2 − 4m) 8mn(m − 4) = = = = 2 2 2 − 4)(m + 4) n m 6 3 ( m − 16 6n(m − 16) 6(m − 16) 4nm = ; 3( m + 4)

б)

в)

8n 2

a2 − b2 2

2a − 6

a − 3a (a + b) 2( a − b ) = ; a ( a + b)

г)

2

=

(2a − 6)(a 2 − b 2 ) 2

( a − 3a )(a + b)

2

=

2(a − 3)(a − b)(a + b) = a (a − 3)(a + b)(a + b)

bx + 3b ( x − 5) 2 (bx + 3b)( x − 5)( x − 5) b( x + 3)( x − 5) b( x − 5) . ⋅ = = = x 2 − 25 ax + 3a ( x − 5)( x + 5)(ax + 3a ) a ( x + 5)( x + 3) a ( x + 5)

№ 125. а) mx 2 − my 2 3m + 12 (mx 2 − my 2 )(3m + 12) 3( mx 2 − my 2 )(m + 4) ⋅ = = = my + mx 2m + 8 (2m + 8)(my + mx) (2m + 8)(my + mx)

www.5balls.ru

=

3m( x 2 − y 2 )(m + 4) 3( x − y )( x + y )(m + 4) 3( x − y ) = = ; 2m(m + 4)( y + x) 2(m + 4)( x + y ) 2

( ax + ay )( x 2 − xy ) x 2 − xy = = x 2 − 2 xy + y 2 7 x + 7 y ( x 2 − 2 xy + y 2 )(7 x + 7 y ) ax( x + y )( x − y ) ax ( x − y ) ax ; = = = 7( x − y ) 2 ( x + y ) 7( x − y ) 2 7( x − y ) ax + ay

б)

в) =

г)

x3 − y3 x2 − y2 ( x 3 − y 3 )( x 2 − y 2 ) ⋅ 2 = = x + y x + xy + y 2 ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) ( x − y )( x 2 + xy + y 2 )( x − y )( x + y ) ( x + y )( x 2 + xy + y 2 ) a2 −1

a2 − a +1

=

= ( x − y) 2 ;

(a 2 − 1)(a 2 − a + 1)

a 3 + 1 a 2 + 2a + 1 (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 2a + 1) ( a − 1)(a + 1) a −1 ; = = 3 (a + 1) (a = 1) 2

д) е)

b3 − 8 2

b+3 2

b − 9 b + 2b + 4

=

(b − 2)(b 2 + 2b + 4)(b + 3) 2

(b − 3)(b + 3)(b + 2b + 4)

=

=

b−2 ; b+3

(c + 3) 2 (c 2 − 3c + 9) c + 6c + 9 c − 3c + 9 1 ⋅ = = . 3 3c + 9 c + 27 3(c + 3)(c 2 − 3c + 9)(c + 3) 3 2

2

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 126. а)

x 2 − 10 x + 25 x 2 − 16 ( x − 5 ) 2 ⋅ ( x 2 − 16 ) ( x − 5 )( x − 4 )( x + 4 ) ⋅ = = = 3 x + 12 2 x − 10 ( 3 x + 12 ) ⋅ 2( x − 5 ) 6( x + 4 )

( x − 4 )( x − 5 ) ; 6 1 − a 2 a 2 + 4ab + 4b 2 ( 1 − a )( 1 + a ) ⋅ ( a + 2b ) 2 ( 1 + a )( a + 2b ) б) ; ⋅ = = 4a + 8b 3 − 3a 4 ⋅ ( a + 2b ) ⋅ ( 1 − a ) ⋅ 3 12 =

в)

y 2 − 25 3 y + 18 ( y − 5 )( y + 5 ) ⋅ 3 ⋅ ( y + 6 ) 3( y − 5 ) ⋅ = = ; y + 12 y + 36 2 y + 10 ( y + 6 )2 ⋅ 2 ⋅ ( y + 5 ) 2( y + 6 )

г)

b3 + 8 2b + 3 ( b + 2 )( b 2 − 2b + 4 ) ⋅ ( 2b + 3 ) b + 2 . ⋅ 2 = = 2 18b + 27b b − 2b + 4 9b( 2b + 3 )( b 2 − 2b + 4 ) 9b

2

www.5balls.ru

№ 127. 2c (3a + b) 2a + 3c 2b − 3a − − 2 = 2a + c 3a + b 6a + 2ab + 3ac + bc 2c(3a + b) 2a + 3c 2b − 3a = − − = 2a + c 3a + b 2a (3a + b) + c(3a + b)

а)

=

2a + 3c 2b − 3a 2c(3a + b) − − = 2a + c 3a + b (3a + b)(2a + c)

=

(3a + b)(2a + 3c) − (2a + c)(2b − 3a ) − 2c(3a + b) = (3a + b)(2a + c )

=

6a 2 + 9ac + 2ab + 3bc − 4ab + 6a 2 − 2bc + 3ac − 6ac − 2bc = (3a + b)(2a + c )

=

12a 2 + 6ac − 2ab − bc 6a( 2a + c ) − b( 2a + c ) ( 2a + c )( 6a − b ) = = = ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c ) ( 3a + b )( 2a + c )

6a − b ; 3a + b a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = б) 2 + + a − ab + bc − ac b − a a−c a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c = − + = a( a − b ) − c( a − b ) a − b a−c =

=

a 2 − 4ac + 3bc a + 3b a + 2c − + = ( a − b )( a − c ) a − b a−c

=

a 2 − 4ac + 3bc − ( a − c )( a + 3b ) + ( a − b )( a + 2c ) = ( a − b )( a − c )

=

a 2 − 4ac + 3bc − a 2 − 3ab + ac + 3bc + a 2 + 2ac − ab − 2bc = ( a − b)(a − c)

=

a 2 − ac + 4bc − 4ab a (a − c) − 4b(a − c) (a − c )(a − 4b) a − 4b . = = = ( a − b)(a − c) (a − b)(a − c) (a − b)(a − c ) a−b

№ 128.

www.5balls.ru

30 ч; на втором этапе пути v 17 ч. его скорость была - (v + 2) км/ч, значит он проехал его за v+2

Первые 30 км велосипедист проехал за

Тогда всего ему потребовалось:

30(v + 2) + 17v 47v + 60 30 17 + = = . v v+2 v(v + 2) v(v + 2) а) Подставим v = 15 и вычислим t: 47v + 60 47 ⋅ 15 + 60 705 + 60 765 t= = = = = 3 (ч); v (v + 2) 15(15 + 2) 15 ⋅ 17 255

б) Подставим v=18 и вычислим t: t=

47v + 60 47 ⋅ 18 + 60 846 + 60 906 = = = ( ч ) = 2ч31мин. v( v + 2 ) 18( 18 + 2 ) 18 ⋅ 20 360

№ 129. На рисунке изображены графики данных функций. Найдем координаты точки пересечения: I. А (1,5;2,6) – из рисунка. II. Найдем координаты точки пересечения графиков данных функций из уравнения: 1,2x+0,9=-1,3х+4,4; y = -1,3x + 4,4

y 10 5

-4

0

-2

y = 1,2x +0,9

A

-5

1,2х+1,3х=4,4-0,9; 2,5х=3,5; х=3,5:2,5; х=1,4. Тогда y=1,2·1,4+0,9; y=1,68+0,9; y=2,58; т.е. А(1,4; 2,58).

www.5balls.ru

2

4

x

Абсолютная погрешность приближенного значения абсциссы равна 1,4 − 1,5 = − 0,1 = 0,1 ; абсолютная погрешность приближенного значения ордин��ты равна 2,58 − 2,6 = − 0 ,02 = 0 ,02 . № 130. а) 3х+ b= a; 3х=a – b; x =

a−b ; 3

б) b – 7x = a – b; 7x = 2b – a; x =

2b − a ; 7

x x + 1 = b ; = b − 1 ; х = а(b – a) = ab – a; a a x г) b − = a ; 10b – x = 10a; x = 10b – 10a = 10(b – a). 10

в)

6. Деление дробей № 131. 5m 15m 2 5m ⋅ 8 40m 4m 4 ÷ = = = = ; 2 2 2 6n 8 6n ⋅ 15m 90m n 9m n 9mn 14 7 x 14 ⋅ 2 y 2 14 ⋅ 2 y 2 4 y 2 = 4 ; б) = ÷ 2 = 3 3 9x 2y 9x ⋅ 7x 7 ⋅ 9x 4 9x

а)

a 2 ab 36a 2 3a ÷ = = 2 ; 12b 36 12b ⋅ ab b 3x 1 3x ⋅ 5a 2 15 xa 2 3 x ÷ 2 = = = ; г) 3 10a 5a 10a 3 10a 3 2a 11x 22 x 2 11x ⋅ 1 1 11x ; д) ÷ (22 x 2 ) = ÷ = = 2 4y2 1 4 y 2 ⋅ 22 x 2 8 xy 2 4y

в)

18a 4 27 a 3 18a 4 27 a 3 ⋅ 7b 2 21b 2 = ÷ = = ; 7b 2 1 7b 2 18a 4 2a 18c 4 18c 4 9c 2 d 18c 4 2c 2 ; ÷ (9c 2 d ) = ÷ = = ж) 2 7d 7d 1 7 d ⋅ 9c d 7 d 2 7 x 3 35 x 5 y 7 x 3 35 x 5 y ⋅ 34 = ÷ = = 170 x 2 y . з) 35 x 5 y ÷ 34 1 34 7x3

е) 27 a 3 ÷

№ 132.

www.5balls.ru

а)

6x 2 3x 6 x 2 ⋅ 10 y 3 4 x 2 y 3 = = 4 xy 2 ; ÷ = 3 5 y 10 y 3x ⋅ 5 y xy

8c 6c 2 8c ⋅ 7 d 4 ÷ = = ; 2 21d 7d 21d 2 ⋅ 6c 2 9cd 12 p 2 6 p 3 12 p 2 ⋅ 35d 2 10 ; в) ÷ = = 2 2 7d 35d 7d 4 ⋅ 6 p 3 pd 2

б)

г) − д)

9y2 y5 9 y 2 ⋅ 16 x 36 ⋅ 4 xy 2 36 ÷ =− =− =− 2 3 ; 3 3 5 20 x 16 x 20 x y 4 ⋅ 5x 3 y 5 5x y

3ab  21a 2 b  3ab ⋅ 10 x 2 y 5x  =− ; ÷  − = − 2 2  4 xy  10 x y  21a b ⋅ 4 xy 14a

е) −

18a 2 b 2  9ab 3 ÷  − 2 4 5cd  5c d

 18a 2 b 2 ⋅ 5c 2 d 4 2acd 3  = . = b 5cd ⋅ 9ab 3 

№ 133. а) б)

6x 2 3

x

:

m n 3mn

2

6 x 2 ⋅ 3mn 2

=

3

xm n

=

18 x 2 mn 2 xm 3 n

=

18 xn m2

;

35 x 2 y 7 xy 35 x 2 y ⋅ 8ab 2 10ab 2 x 2 y 10bx : ; = = = 2 12ab 8ab 12ab ⋅ 7 xy 3abxy 3

 4ab 3  a 2 b 3 ⋅ 33mn 3a 2 b 3 mn 3a = =− =− ; :− 2 3   4n 4ab 3 mn 2 11mn  33mn  11mn ⋅ 4ab 6 xy 2 ⋅ 10ab 6 xy 2  9 x 2 y 2  4 =− =− ; г) − : 2 2 x 5ab  10ab  3 5ab ⋅ 9 x y

в)

д)

a 2b 3

2

8mx 2 3y

3

(

)

: 4m 2 x =

е) 15a 2 bx :

a 3b 2 30 x

2

=

8mx 2 4m 2 x 8mx 2 ⋅ 1 2x : ; = 3 = 3 2 1 3y 3 y ⋅4m x 3my 3 15a 2bx a 3b 2 15a 2bx ⋅ 30 x 2 450 x 3 = = : . ab 1 a 3b 2 30 x 2

№ 134. а)

3x 2 9 x 3 5 y 3x 2 ⋅ 2 y 2 ⋅ 5 y 2 : 2 ⋅ = = 3; 3 3 3 5 y 2 y 3x 5 y ⋅ 9 x ⋅ 3x 9 x

www.5balls.ru

б)

7 p4

5q

:

3p

10q 3 14 p 2 4q 4

=

7 p 4 ⋅ 5q ⋅ 4 q 4 10q 3 ⋅ 14 p 2 ⋅ 3 p

=

pq 2 ; 3

2cd 2 a 2 b 2ab ⋅ 9ab ⋅ c 3 d 3a 2 b 2 c 3 d 3b : 3 = 2 = 2 3 3 = 2; 2 2 3c d 9ab c d 3c d ⋅ 2cd ⋅ a b a bc d d 2 2 2 2 2 3 2 2 8 x y 4 xy 2 x y 8 x y ⋅ 7 a b ⋅ ab a b x y a2 : : = = = г) . 7 ab 2 7 a 2 b ab 7 ab 2 ⋅ 4 xy 2 ⋅ 2 x 2 y ab 2 x 3 y 3 xy 2 2ab

в)

2

:

№ 135. а)

11m 4 6n 2 8x 3

5m

:

11n 3

=

11m 4 ⋅ 5m ⋅ 12m 3

=

10m 8

6n 3 12m 3 6n 2 ⋅ 6n 3 ⋅ 11n 3 6n 8 4 x 4 7 x 8 x 3 ⋅ 49 y 2 ⋅ y 2 2 y б) : : = = 2; 3 7 y 49 y 2 y 2 x 7 y 3 ⋅ 4x 4 ⋅ 7 x

=

5m 8 3n 8

;

4c 3 d 2 2cd 2 2cd 4c 3 d 2 ⋅ 3a 2 x ⋅ 3a 2 x 2 ac = = : : ; d 9a 3 x 3 3a 2 x 3a 2 x 2 9a 3 x 3 ⋅ 2cd 2 ⋅ 2cd 2ax ⋅ ay ⋅ 9b 2 z 3a 2 xyb 2 z 2ax 3bx 9b 2 z 3b : . г) ⋅ 2 = = 2 2 2 = 2 yz ay 8a xy yz ⋅ 3bx ⋅ 8a xy 4a x y bz 4 xy

в)

№ 136. m 2 − 3m 3m m(m − 3) ⋅ 8 x m − 3 = = : ; 8x 3x 8x 2 3m ⋅ 8 x 2 5 ⋅ b( a − b) 5(a − b) 5a 2 a3 : ; б) = = 3 2 6b ab − b 6ab 3 6ab 2 ax 2 (1 + x ) ax 2 x 2 + x 3 4 + 4x a 3 (x 2 + x 3 ) в) : ; = = = 44 11a 2 11a 2 ( 4 + 4 x) 11 ⋅ 4(1 + x) a3

а)

г)

6ax(3m − 6) 3 ⋅ 3( m − 2) 6ax 8ax 9 = = = : ; m 2 − 2m 3m − 6 8ax( m 2 − 2m) 4m(m − 2) 4m

д)

a (a − 3b) a 2 − 3ab a = : (7 a − 21b) = ; 3b 3 ⋅ 7b(a − 3b) 21b

(

) 5x −x10 y = ( x

− 4 y 2 ) 5 x − 10 y : = 1 x ( x − 2 y )( x + 2 y ) x x ( x + 2 y ) = = ; 5( x − 2 y ) 5

е) x 2 − 4 y 2 :

2

www.5balls.ru

ж) (2a − b) 2 : =

3(2a − b) 2 4a 3 − ab 2 (2a − b) 2 4a 3 − ab 2 = : = = 3 1 3 a ( 4a 2 − b 2 )

3(2a − b) 2 3(2a − b) = ; a ( 2a − b)(2a + b) a ( 2a + b)

( 2m − 3n) 2 (10m − 15n) (2m − 3n) 2 = : = 2m 1 2m 5(2m − 3n) 2m 10m = = . ( 2m − 3n)(2m − 3n) (2m − 3n)

з) (10m − 15n) :

№ 137. x 2 − 4 y 2 x 2 − 2 xy ( x 2 − 4 y 2 )3 y 3 y ( x − 2 y )( x + 2 y ) : = 2 = = xy 3y yx 2 ( x − 2 y ) ( x − 2 xy ) xy 3( x + 2 y ) = ; x2 a ⋅ ab 2 (1 − a ) a 2 b 2 (a − 1) 5b a 2b ab 2 б) 2 : ; = = − = − 5b( a − 1)(a + 1) 5(a + 1) a − 1 a − a 2 5b( a − 1)(a + 1)

а)

в) =

a 2 − 3a 2

:

a2 − 9 2

a − 25 a + 5a

=

( a 2 − 3a )(a 2 + 5a ) (a 2 − 2)(a 2 − 9)

=

a ⋅ a ( a − 3)(a + 5) a2 = ; ( a − 5)(a + 5)(a − 3)(a + 3) ( a − 5)(a + 3)

3m 2 − 3n 2 6m − 6n (3m 2 − 3n 2 )( p + m) : = 2 = p+m m 2 + mp (m + mp)(6m − 6n) 3( m − n)(m + n)(m + p) m + n = = ; 3 ⋅ 2m(m + p )(m − n) 2m

г)

д) ( x + 3 y ) : ( x 2 − 9 y 2 ) = =

( x + 3 y) ( x 2 − 9 y 2 ) : = 1 1

x + 3y 1 = ; ( x − 3 y )( x + 3 y ) x − 3 y

е) (a 2 − 6ab + 9b 2 ) : (a 2 − 9b 2 ) = =

(a − 3b) 2 2

a − 9b

2

=

( a − 3b) 2 (a 2 − 9b 2 ) : = 1 1

a − 3b (a − 3b) 2 = . (a − 3b)(a + 3b) a + 3b

www.5balls.ru

№ 138. а)

x 2 − xy 2 x x ( x − y )3 y x − y : = = ; 3y 6y 9y2 2x ⋅ 9 y 2

б)

2a 3 − a 2 b 2a − b ( 2a 3 − a 2 b)9b 3 a 2 (2a − b)b a 2 b ; : = = = 4( 2 a − b ) 4 36b 2 9b 3 36b 2 (2a − b)

3m + 12n (m 2 − 16n 2 ) 3m + 12n = : = mn 1 mn mn(m − 4n)(m + 4n) mn(m − 4n) = = ; 3(m + 4n) 3

в) (m 2 − 16n 2 ) :

г) ( x 2 − 25 y 2 ) : ( x 2 + 10 xy + 25 y 2 ) = =

( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x + 5 y)

2

=

x 2 − 25 y 2 x 2 + 10 xy + 25 y 2

=

x − 5y ; x + 5y

c + 4c 3c + 12 (c 2 + 4c)(c − 2) : = 2 = c2 − 4 c − 2 (c − 4)(3c + 12) c(c + 4)(c − 2) c = = ; 3(c + 4)(c − 2)(c + 2) 3(c + 2)

д)

е) =

2

9 p 2 − 1 1 − 3 p (9 p 2 − 1)(3 p − 6) 3(9 p 2 − 1)( p − 2) : = = = pq − 2q 3 p − 6 ( pq − 2q )(1 − 3 p ) q ( p − 2)(1 − 3 p ) 3(3 p − 1)(3 p + 1)( p − 2) 3(3 p + 1) =− . − q ( p − 2)(3 p − 1) q

№ 139. а)

4 x ( x − 1) 4 x 2 − 4 x ( 2 x − 2) 4x 2 − 4x 2x : ; = = = 1 (2 x − 2)( x + 3) 2( x − 1)( x + 3) x + 3 x+3

подставим х = 2,5, получим:

2x 2 ⋅ 2,5 5 50 10 = = = = ; x + 3 2,5 + 3 5,5 55 11

подставим х = -1, получим:

2 ⋅ ( −1) −2 2x = = = −1. x + 3 −1+ 3 2

б)

(3a + 6b) 2a 2 − 8b 2 (3a + 6b)(a + b) 3(a + 2b)(a + b) : = = = a+b 1 2a 2 − 8b 2 2(a 2 − 4b 2 )

www.5balls.ru

=

3(a + 2b)(a + b) 3( a + b) = ; 2(a − 2b)(a + 2b) 2( a − 2b)

подставим а = 26, получим: 3( a + b) 3(26 − 12) 3 ⋅ 14 42 42 = = = = = 0,42. 2(a − 2b) 2(26 − 2( −12)) 2(26 + 24) 2 ⋅ 50 100

Ответ: а)

10 ;−1; б) 0,42. 11

№ 140. а) =

3x + 6 y

5 x + 10 y

:

x 2 − y 2 x 2 − 2 xy + y 2

=

(3x + 6 y )( x 2 − 2 xy + y 2 ) ( x 2 − y 2 )(5 x + 10 y )

=

3( x + 2 y )( x − y ) 2 3( x − y ) ; = 5( x − y )( x + y )( x + 2 y ) 5( x + y )

(a + 2) 2 (4 + b) 2 a 2 + 4a + 4 4 − a 2 : = = 16 − b 4 4 + b 2 (4 − b 2 )(4 + b 2 )(2 − a )(2 + a ) a+2 = ; ( 4 − b 2 )(2 − a )

б)

b(a 2 + ax + x 2 )( x + 2 y ) a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 : = = ax + 2ay bx + 2by a ( x + 2 y )(a − x )(a 2 + ax + x 2 ) b = ; a(a − x)

в)

г) =

4m 2 − 25n 2 m3 + 8

:

2 m + 5n m 2 − 2m + 4

=

( 4m 2 − 25n 2 )(m 2 − 2m + 4)

(2m + 5n)(2m − 5n)(m 2 − 2m + 4) ( m + 2)(m 2 − 2m + 4)(2m + 5n)

(m 3 + 8)(2m + 5n) =

2 m − 5n . m+2

№ 141. а) =

m 2 + 6m + 9 am + 3a ( m 2 + 6m + 9)4 xy : = = 4 xy 2x 2 y (am + 3a ) 2 x 2 y (m + 3) 2 4 xy a (m + 3)2 x y 2

=

2(m + 3) ; ax

www.5balls.ru

=

б)

в) =

ab 3 (1 − 2 p + p 2 ) b 2 (1 − p ) 2 ab 3 a 2b 2 : = = = 7 − 7 p 1− 2p + p2 7(1 − p ) ab (7 − 7 p ) a 2 b 2 b(1 − p ) = ; 7a a 2 + ax + x 2 a 3 − x 3 (a 2 + ax + x 2 )( x 2 − 1) : 2 = = x −1 ( x − 1)(a 3 − x 3 ) x −1 ( x − 1)( x + 1)(a 2 + ax + x 2 ) 2

2

( x − 1)(a − x)(a + ax + x )

x +1 ; a−x

p + 3 ( ap 2 − 9a )(2 p − 4) a ( p 2 − 9)(2 p − 4) = = = p −8 2p − 4 ( p 3 − 8)( p + 3) ( p 3 − 8)( p + 3) 2a ( p − 3)( p + 3)( p − 2) 2a ( p − 3) = = 2 . 2 ( p − 2)( p + 2 p + 4)( p + 3) p + 2 p + 4

г)

ap 2 − 9a

=

3

:

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 142. а) =

2b 5 4b 2 + 9 2b 5 4b 2 + 9 + − 2 = − − = 2b + 3 3 − 2b 4b − 9 2b + 3 2b − 3 (2b − 3)(2b + 3) 2b(2b − 3) − 5(2b + 3) − ( 4b 2 + 9) 4b 2 − 6b − 10b − 15 − 4b 2 − 9 = = (2b − 3)(2b + 3) (2b − 3)(2b + 3)

=−

8(2b + 3) 8 8 =− =− ; ( 2b − 3)(2b + 3) 2b − 3 3 − 2b

c + 6b 2b b + − = ac + 2bc − 6ab − 3a 2 a 2 + 2ab ac − 3a 2 c + 6b 2b b = + − = c(a + 2b) − 3a (2b + a ) a (a + 2b) a (c − 3a )

б)

=

c + 6b 2b b + − = ( a + 2b )( c − 3a ) a( a + 2b ) a( c − 3a )

=

a( c + 6b ) + 2b( c − 3a ) − b( a + 2b ) = a( a + 2b )( c − 3a )

=

ac + 6ba + 2bc − 6ab − ab − 2b 2 ac + 2bc − ab − 2b 2 = = a ( a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a)

www.5balls.ru

=

c (a + 2b) − b(a + 2b) (a + 2b)(c − b) c−b = = . a (a + 2b)(c − 3a ) a (a + 2b)(c − 3a ) a (c − 3a )

№ 143. Пусть х км/ч – скорость течения реки, тогда (10 – х) км/ч – скорость лодки против течения; 45 мин=

3 ч; за 4

3 ч лодка прошла 4

3 (10 − x ) км; (3 х) км – лодка прошла обратно до пристани после 4

того, как испортился мотор. Получаем уравнение: 3 30 3 30 15 30 15 (1 − x) = 3 x; − x = 3x; = x; x = : = 2. 4 4 4 4 4 4 4

Ответ: 2 км/ч. № 144. Из условия задачи: а) 2cy = ab; c =

ab ; 2y

Из условия задачи: б) 2cy = ab; a =

2cy . b

№ 145. Из условия задачи: bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc ab c(a + b) = ab; c = ; a+b

а)

Из условия задачи:

bc + ac ab ; bc + ac = ab; = abc abc bc − ab = − ac; b(c − a ) = − ac;

б)

b=−

ac ac ;b = . c−a a−c

№ 146.

www.5balls.ru

На рисунке изображены графики данных функций. y 4 1 y= x 4

2

II

-4

I

0

-2

2

-2

III

4

x

1 3

y= − x

IV

-4 При к > 0 график в I и III четвертях; При к < 0 график во II и IV четвертях. 7. Преобразование рациональных выражений № 147.  x 1   1 1  x2 − y2 x + y а)  2 −  :  +  = : = y x   y x  xy xy 2  =

( x + y )( x − y ) xy ( x + y ) xy

2

=

x−y ; y

 a a 2   m 2 m  am + a 2 m 2 + am = б)  2 + 3  :  2 +  = : 3 2 m 

=

в)

m   a

2

2

a (am + a ) 3

2

m (m + am)

=

a 

m

2

a ⋅ a (m + a) 3

m ⋅ m( m + a )

=

a

a

3

m4

;

ab + b 2 b 3 a + b 3a ( ab + b 2 ) a + b : + = + = 3 3a b b 3b 3

a + b a 2 + ab + ab + b 2 (a + b) 2 = = ; b b3 b2 b2 x − y 5 y x 2 − xy x − y 5 y ( x 2 − xy ) − 2: = − = г) 5y x x 5x 2 y x =

ab(a + b)

+

www.5balls.ru

=

x − y 5 yx( x − y ) x − y x − y − = − = 0. x x x 5x 2 y

№ 148.  1 + x (2 x + 1)( x + 1) 2 x + 1  x + 1 ⋅ = = ;  x + 1  2 x − 1 ( x + 1)(2 x − 1) 2 x − 1

а)  б)

 1  5y 2  = 1 − : 1− y2  1− y  1− y2 5y2

=−

5 y 2 (1 − y ) 2

y (1 − y )

=−

1− y −1  = :   1− y 

5 y (1 − y ) 5y ; =− ( − y )(1 + y ) 1+ y

 4a  a + 2  4a − a ( 2 − a )  a + 2 − a)  : = в)  : a −2 = 2−a 2−a  a−2   =

г) =

4a − 2a + a 2 a + 2 ( a 2 + 2a )(a − 2) : = = −a; 2−a a−2 ( 2 − a )(a + 2) x−2  x  x − 2  x(2 − x) + x  ( x − 2)(2 x − x 2 + x ) ⋅x + ⋅ = = = 2 − x  x − 3  2 − x ( x − 3)(2 − x) x−3   − ( x − 2)( x 2 − 3x) x( x − 2)( x − 3) = = x. − ( x − 3)( x − 2) ( x − 3)( x − 2)

№ 149. 4m  2 m + 1 2m − 1  − = :  2m − 1 2m + 1  10m − 5

а)  =

(2m + 1) 2 − ( 2m − 1) 2 4m : = (2m − 1)(2m + 1) 10m − 5

=

( 4m 2 + 4m + 1 − 4m 2 + 4m − 1)(10m − 5) = (2m − 1)(2m + 1) ⋅ 4m

=

8m(10m − 5) 10 = ; 4m( 2m − 1)(2m + 1) 2m + 1

б)

x + 3  x + 3 x − 3  x + 3  x 2 + 6 x + 9 + x 2 − 6 x + 9  + =  =  ( x − 3)( x + 3) x 2 + 3  x − 3 x + 3  x 2 + 3  

www.5balls.ru

=

( x + 3)(2 x 2 + 18) ( x 2 + 3)( x − 3)( x + 3)

=

2( x 2 + 9) ( x − 3)( x 2 + 3)

.

№ 150. а)

a 2 − 9  6a + 1 6a − 1  : + = a+3  2a 2 + 1  a − 3

a 2 − 9  6a 2 + 18a + a + 3 + 6a 2 − 18a − a + 3  = ⋅  (a − 3)(a + 3) 2a 2 + 1   a 2 − 9  12a 2 + 6  6(a − 3)(a + 3)(2a 2 + 1) = 2 ⋅ = = 6; 2a + 1  (a − 3)(a + 3)  ( 2a 2 +1)(a − 3)(a + 3)

=

 5x + y 5x − y  x 2 + y 2  : = + 2 2  x − 5 y x + 5 y  x − 25 y

б)  = = =

(5 x + y )( x + 5 y ) + ( x − 5 y )(5 x − y ) x 2 + y 2 = : 2 ( x − 5 y )( x + 5 y ) x − 25 y 2 (5 x 2 + 25 xy + xy + 5 y 2 + 5 x 2 − xy − 25 xy + 5 y 2 )( x 2 −25 y 2 ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 ) 10( x 2 + y 2 )( x − 5 y )( x + 5 y ) ( x − 5 y )( x + 5 y )( x 2 + y 2 )

=

= 10.

№ 151. 

a

а) 

2

 b − ab

=

+

 ab  a b  ab  ⋅ = =  +  ⋅ b a b ( b a ) a ( a b ) − − − a − ab   b−a  b

2

(a − b)(a + b)ab ab( a − b)(a + b) a + b a2 − b2 ab ; ⋅ = = = ab(b − a ) b − a ab(b − a )(b − a ) ab( a − b)(a − b) a − b  y  x 2 − y 2 x − : =  xy − y 2 x 2 − xy  8 xy  

б) 

  x2 − y2 x y  : =  − = 8 xy  y ( x − y ) x( x − y )  =

( x 2 − y 2 )8 xy 2

2

( x − y ) xy ( x − y )

=

8 ; x− y

www.5balls.ru

 4p − 8 − в)  3 2

q + 2  p ⋅ = 3 2  2q − p  p − 2p q + 2q    4( p − 2)  4 q + 2  p p 1  = 2 − ⋅ = − ⋅ =  p ( p − 2) q 2 (q + 2)  2q − p  p 2 q 2  2q − p    

=

4q 2 − p 2 2 2

p q

 a − 7b

г) 

 ab − b 2

⋅ +

p (2q − p )(2q + p ) 2q + p = = ; 2q − p pq 2 (2q − p ) pq 2 7a + b  a 2 + b 2 =  : a 2 − ab  a − b

 a − 7b 7a + b  a 2 + b 2 a (a − 7b) + b(7 a + b) a 2 + b 2  : = = : =  + ab( a − b) a −b  b(a − b) a (a − b)  a − b =

( a 2 − 7 ab + 7 ab + b 2 )(a − b) 2

2

ab(a − b)(a + b )

=

1 . ab

№ 152. (a − 5)(a + 5) 1 a 2 − 25 a+5 a+5 ⋅ − = − = a + 3 a 2 + 5a a 2 − 3a a ( a + 5)(a + 3) a ( a − 3) ( a − 3)(a − 5) − (a + 3)(a + 5) a−5 a+5 = − = = a (a + 3) a (a − 3) a ( a + 3)(a − 3)

а)

=

a 2 − 5a − 3a + 15 − a 2 − 5a − 3a − 15 16a 16 =− = ; a (a + 3)(a − 3) a (a + 3)(a − 3) 9 − a 2

1 − 2 x x 2 + 3 x 3 + x 1 − 2 x ( x 2 + 3 x)(4 x + 2) + : = + = 2 x + 1 4 x 2 − 1 4 x + 2 2 x + 1 (4 x 2 − 1)(3 + x) 2 x( x + 3)(2 x + 1) 1 − 2x 1 − 2x 2x = + = + = 2 x + 1 (2 x − 1)(2 x + 1)( x + 3) 2 x + 1 2 x − 1

б)

=

−(2 x − 1)(2 x − 1) + 2 x(2 x + 1) = (2 x + 1)(2 x − 1) − 4x 2 + 4x − 1 + 4x 2 + 2x

6x − 1 ; = 2 4x 2 − 1 4x − 1 b − c ab − b 2 a 2 − c 2 b − c b(a − b)(a − c)(a + c) − ⋅ = − = в) a + b a 2 − ac a 2 − b 2 a + b a ( a − c )(a − b)(a + b) b − c b(a + c) a (b − c) − b(a + c) = − = = a + b a ( a + b) a ( a + b) =

www.5balls.ru

=

ab − ac − ab − bc −c (a + b) c = =− ; a ( a + b) a ( a + b) a

г)

a 2 − 4 a 2 − 2a 2 − y a 2 − 4 a ( a − 2) 2 − y : + = : + = x 2 − 9 xy + 3 y x − 3 x 2 − 9 y ( x + 3) x − 3

=

y ( a 2 − 4)( x + 3) 2 − y y ( a − 2)(a + 2) 2 − y + = + = a(a − 2)( x − 3)( x + 3) x − 3 a ( a − 2)( x − 3) x − 3

=

y (a + 2) 2 − y y (a + 2) + a (2 − y ) ay + 2 y + 2a − ay + = = = a ( x − 3) x − 3 a ( x − 3) a ( x − 3)

=

2 y + 2 a 2( a + y ) = . a ( x − 3) a ( x − 3)

№ 153. 1   4 x 2  =  :  2x − 1 − 2x   2 x − 1   1   2 x 4 x 2 ���  2x + 1 = + − = : 2 x − 1   1 2 x − 1   1 

а)  2 x + 1 −

=

( 2 x − 1)(2 x + 1) + 1 2 x(2 x − 1) − 4 x 2 : = 2x − 1 2x − 1

=

4x 2 − 1 + 1 4x 2 − 2x − 4x 2 : = 2x − 1 2x − 1

=

− 4 x 2 ( 2 x − 1) = −2 x; 2 x (2 x − 1)

 pq q   4q 2 − p 2  + = : p−q+ 2 2  p −q p + q  q − p     pq q   p − q 4q 2 − p 2  : + =  −  p+q  ( p − q )( p + q ) p − q   1

б) 

= =

pq − q ( p + q ) ( p + q )( p − q ) + 4q 2 − p 2 : = ( p − q )( p + q ) p+q ( pq − pq − q 2 ) ( p − q )( p 2 − q 2 + 4q 2 − p 2 )

=

www.5balls.ru

 =  

=

− q2 ( p − q )3q

(

2

=

1 ; 3(q − p )

)  a 1+ 1 + a 1− 1 − a 1− 1  =

в) a 2 + 2a + 1 ⋅ 

2

 1 1 1  = − − a a a a + 1 ( + 1 )( − 1 ) − 1  

(a + 1)2 

= (a + 1)2

(a + 1) 2 a −1+1− a −1 a +1 ; =− = (a + 1)(a − 1) ( a + 1)(a − 1) a − 1

 9x 2 + 4   1 1  : −  +1= г) 1 −  12 x   3 x 2    12 x − 9 x 2 − 4 2 − 3 x   +1= = :  12 x 6 x   =

(

)

(3x − 2)2 + 1 = − 6 9 x 2 − 12 x + 4 +1= 12 x(2 − 3 x ) 2(3x − 2 )

3x − 2 3x 3x +1= −1+1= ; 2 2 2 2   3a + 2   2 − д) 1 −   ⋅a − = 4  a −2 a + 2 

 2(a + 2) − 2(a − 2 )   4a − 3a − 2   ⋅  = 1 −  = 4   (a − 2 )(a + 2 )  

 2a + 4 − 2 a + 4  a − 2 8(a − 2)  ⋅ =1− = = 1 −  − 2)(a + 2) ( a − 2 )( a + 2 ) 4 4 ( a   2 a+2−2 a ; =1− = = a+2 a+2 a+2  3 2  +5= е) y 2 − 4 ⋅  − y y + 2 − 2  

(

)

 3y − 6 − 2 y − 4   + 5 = = ( y − 2)( y + 2) ⋅   ( y + 2)( y − 2)  = y − 10 + 5 = y − 5.

№ 154.

www.5balls.ru

  x 2 + y 2   x − y + 2 y   x( x + y ) − x 2 − y 2   ⋅  x − ⋅ = =  x + y   y ( x − y )   x+ y y     x + y   x 2 + xy − x 2 − y 2  ( xy − y 2 ) y ( x − y ) =  ⋅  =  = = 1;  y( x − y) x+ y y( x − y)  y ( x − y )    2ab   a − b b   + = б)  a + b − : a+b a+b a  1 2 + y x−

а) 

=

( a + b) 2 − 2ab a (a − b) + b( a + b) : = a+b a ( a + b)

=

a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a 2 − ab + ab + b 2 : = a+b a (a + b)

=

a (a 2 + b 2 )(a + b) ( a 2 + b 2 )(a + b)

(

= a;

)  x 1− 1 − x 1+ 1 + 1 = (x

в) x 2 − 1 ⋅  =

)

 x +1 − x +1 + x2 −1 = −1 ⋅   ( x − 1)( x + 1)  

( x 2 − 1)( x 2 + 1) = x 2 + 1; ( x − 1)( x + 1) 

г)  m + 1 − 

=

2

1   m 2  (m + 1)(1 − m ) − 1 m(m − 1) − m 2 = ÷ =  ÷  m − 1− m   1− m m − 1  m −1

(− m 2 + 1 − 1)(m − 1) = − (m + 1)(m − 1) − 1 m 2 − m − m 2 ÷ =− m −1 m(m − 1) − (m − 1)

=−

m 2 (m − 1) = −m . m(m − 1)

№ 155.   4 xy 1 1 = ÷ + y 2 − x 2  y 2 − x 2 x 2 + 2 xy + y 2    4 xy 1 1 = = 2 ÷ + y − x 2  (y − x )(y + x ) (x + y )2  4 xy x+ y+ y−x 4 xy 2y = ÷ = ÷ = 2 (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x ) (y − x )(y + x )2

а)

www.5balls.ru

4 xy (y − x )(y + x ) = 2 x(y + x ) ; (y − x )(y + x )2 y 2

=

 x − 2y − б)  2  x + 2 xy

x + 2y 1 ÷ 2 2 x − 4y (2 y − x )2

 (x + 2 y )2 ⋅ =  4y2 

 x − 2y  (x + 2 y )2 (2 y − x )2 ⋅ =  − =  4y2  x(x + 2 y ) (x − 2 y )(x + 2 y )(x + 2 y )   x − 2y (x − 2 y )  ⋅ (x + 2 y )2 = − =  2  4y2  x (x + 2 y ) (x + 2 y )   (x + 2 y )(x − 2 y ) − x(x − 2 y )  (x + 2 y )2 ⋅ =  = 2  4y2 x(x + 2 y )  

x 2 − 4 y 2 − x 2 + 2 xy (x + 2 y ) − 2 y (2 y − x )(x + 2 y ) ⋅ = = 2 2 4y 2 x(x + 2 y ) 4 y 2 x(x + 2 y ) 2

=

(x − 2 y )(x + 2 y ) 2 yx(x + 2 y )

2

=

2

 a2

=

2

x − 2y ; 2 xy

a3

  a

a2

= − 2 − 2 в)  2 2   ÷   a + n a + n + 2an   a + n a − n   a2  a3   a a2  ÷   = − =  − 2  ( )( ) + − + + a n a n a n a n ( ) a + n      a 2 (a + n ) − a 3   a 2 − an − a 2   ÷   = =  2   (a + n )   (a + n )(a − n )  =−

a 2 n(a + n )(a − n ) a (n − a ) ; = 2 a+n an(a + n )

 2a

4a 2

 

2a

1

: 2 − 2 + г)  = 2  2 b − 2a   2a + b 4a + 4ab + b   4a − b    2a 4a 2 2a 1  = : − =  − 2   − + − b  2 a + b ( 2 a + b ) ( 2 a b )( 2 a b ) 2 a    2a( 2a + b ) − 4a 2 2a − 2a − b = : = 2 ( 2a + b ) ( 2a − b )( 2a + b ) =

2ab( 2a − b )( 2a + b ) ( −b ) 4a 2 + 2ab − 4a 2 : =− = ( 2a + b ) 2 ( 2a − b )( 2a + b ) ( 2a + b ) 2 b

=−

2a( 2a − b ) 2a( b − 2a ) = . 2a + b 2a + b

www.5balls.ru

№ 156. x+2 3x − 3 3 ⋅ − = x 2 − 2x + 1 x 2 − 4 x − 2 3( x + 2 )( x − 1 ) 3 3 3 = − = − = ( x − 1 ) 2 ( x − 2 )( x + 2 ) x − 2 ( x − 1 )( x − 2 ) x − 2

а)

=

б)

3 − 3( x − 1 ) 3( 2 − x ) 3 − 3x + 3 3 3 = = =− = ; ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) ( x − 1 )( x − 2 ) x −1 1− x  a a−2 a2 + 4 2  = :  − 2 − 4a + 16a + 16  2a − 4 2a − 8 a 2 + 2a  2

  a a2 + 4 2  = :  − − 2 ( a − 2 ) 2 ( a − 2 )( a + 2 ) a ( a + 2 )   a 2 ( a + 2 ) − a( a 2 + 4 ) − 4( a − 2 ) a−2 = : = ( 2a + 4 ) 2 2a( a − 2 )( a + 2 )

=

a−2 ( 2a + 4 ) 2

=

a−2 a 3 + 2a 2 − a 3 − 4a − 4a + 8 : = 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )

=

2( a − 2 ) 2 a−2 a−2 2 a 2 − 8a + 8 = : = : 2 2 ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 ) ( 2a + 4 ) 2a( a − 2 )( a + 2 )

=

a( a − 2 )( a − 2 )( a + 2 ) a( a + 2 ) a = = ; ( 2a + 4 ) 2 ( a − 2 ) 2 ( 2a + 4 )( 2a + 4 ) 4( a + 2 ) y 2 − 3y 3y + 9   3  ⋅ 1 −  = − 2 2 y  y − 6y + 9 y − 9   

в) 

   y 2 − 3y 3y + 9 3  ⋅ 1 −  = =  − 2 ( y − 3 ) ( y − 3 )( y + 3 ) y    y( y − 3 )( y + 3 ) − 3( y + 3 )( y − 3 )  y − 3   = ⋅  ( y − 3 )2 ( y + 3 )  y  ( y + 3 )( y − 3 )( y − 3 ) y − 3 y − 3 = ⋅ = . ( y − 3 )2 ( y + 3 ) y y

=

№ 157. a −1 1 − 3a + a 2 1  a2 +1 : = − − 2 a3 −1 a − 1  1 − a  3a + ( a − 1 ) 

а) 

www.5balls.ru

 a −1 1 − 3a + a 2 1  a2 +1  : = =  − − 2 2  3a + a − 2a + 1 ( a − 1 )( a + a + 1 ) a − 1  1 − a a 2 − 2a + 1 − a 2 + 3a − 1 − a 2 − a − 1 a 2 + 1 = : = ( a − 1 )( a 2 + a + 1 ) 1− a =

( − a 2 − 1 )( 1 − a ) 1 = ; ( a − 1 )( a 2 + a + 1 )( a 2 + 1 ) a 2 + a + 1 3 3 2x − 1   1   − 3 + 2 ⋅x − = x x x x x +1  + 1 + 1 − + 1   

б) 

  x( x + 1 ) − 2 x + 1   1 3 3  ⋅  =  − + 2 = 2 x +1   x + 1 ( x + 1 )( x − x + 1 ) x − x + 1   2 2 x − x + 1 − 3 + 3x + 3 x + x − 2 x + 1 = ⋅ = ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 =

( x + 1 )2 ( x 2 − x + 1 ) x 2 + 2x + 1 x2 − x +1 ⋅ = = 1. ( x + 1 )( x 2 − x + 1 ) x +1 ( x + 1 )( x + 1 )( x 2 − x + 1 )

№ 158.  p q  2p − q p2 − q2 1 − ⋅ = ⋅  −  = pq p+q qp  q p 2p − q ( p − q )( p + q ) 2 p − q ( p − q )( p + q ) 1 = − ⋅ = − = pq p+q qp pq pq( p + q )

а)

=

2p − q 1 − pq p+q

2p − q p − q 2p − q − p + q p 1 − = = = ; что и требовалось докаpq pq pq pq q

зать. 

б)  a − 

a( a + b ) − 4ab + b( a + b ) 4ab  + b  : (a − b ) = :( a − b ) = a+b a+b 

=

a 2 + ab − 4ab + ab + b 2 a − b a 2 − 2ab + b 2 = = : a+b ( a − b )( a + b ) 1

=

( a − b )2 a−b = ; ( a − b )( a + b ) a + b

a b 2ab a b 2ab − − 2 = + − = 2 a+b b−a a −b a + b a − b ( a − b )( a + b )

www.5balls.ru

=

a 2 − ab + ab +b 2 −2ab a 2 − 2ab + b 2 a−b = = ; что и требовалось ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b ) a + b

доказать. в)

1,2 x 2 − xy 100( 1,2 x 2 − xy ) 20 x 20 x ; ; = = 2 2 0 ,36 x − 0 ,25 y 6 x + 5 y 100( 0 ,36 x 2 − 0 ,25 y 2 ) 6 x + 5 y

120 x 2 − 100 xy 120 x 2 − 100 xy 20 x 20 x − = 0; − = 0; 2 2 36 x − 25 y 6x + 5 y ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) 6 x + 5 y 120 x 2 − 100 xy − 120 x 2 + 100 xy 0 = 0; = 0; ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y ) ( 6 x − 5 y )( 6 x + 5 y )

0=0, что и требовалось доказать. № 159. а)

( a + b )2 − ( a − b )2 a+b a −b − = = 2( a − b ) 2( a + b ) 2( a − b )( a + b )

=

( a + b + a − b )( a + b − a + b ) 2a ⋅ 2b = = 2( a − b )( a + b ) 2( a − b )( a + b )

=

2ab ; ( a − b )( a + b )

=

b( b − a ) b b 2 − ab b − 2 = − = 2 a−b a −b a − b ( a − b )( a + b )

=

b( a − b ) b b b + = + = a − b ( a − b )( a + b ) a − b a + b

=

ab + b 2 + ab − b 2 2ab = ; тождество доказано. ( a − b )( a + b ) ( a − b )( a + b )

б)

100( 4 ,5a + 4 x ) 4,5a + 4 x 50 50 = = , ; 0 ,81a 2 − 0 ,64 x 2 9a − 8 x 100( 0,81a 2 − 0,64 x 2 9a − 8 x

100( 4 ,5a + 4 x ) 100( 4 ,5a + 4 x ) 50 50 = − = 0; ; 81a 2 − 64 x 2 9a − 8 x ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) 9a − 8 x 450a + 400 x − 450a − 400 x 0 = 0; 0 ,0 = 0; ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x ) ( 9a − 8 x )( 9a + 8 x )

доказано. № 160.

www.5balls.ru

тождество

a − b  2a b  2ab + + = ⋅ 2 2 2a + 2b  a + b b − a a −b

а) 

 2ab a − b  2a b  ⋅ − = =  +  ( a − b )( a + b ) 2( a + b )  a + b a − b 4ab + a 2 − 2ab + b 2 2a b = ⋅ − = 2( a − b )( a + b ) a+b a −b =

( a + b ) 2 ⋅ 2a b a b − = − = 1; что и требовалось 2( a − b )( a + b )( a + b ) a − b a − b a − b

доказать. б)

y x 3 − xy 2 − 2 x − y x + y2

 y x ⋅  − 2 2 x − y2 ( x − y)

  = 

 y x( x 2 − y 2 )  y x  = − ⋅  − 2 x− y x2 + y2 ( x − y ) ( x − y )( x + y )   2 2 2 2 y x( x − y ) x + xy − xy + y = − ⋅ = x− y x2 + y2 ( x − y )2 ( x + y )

=

=

y x( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) − 2 = x − y ( x + y 2 )( x − y ) 2 ( x + y )

y x( x − y )( x + y ) y x y−x x− y − = − = =− = −1, что и x − y ( x − y )2 ( x + y ) x − y x − y x − y x− y

требовалось доказать. № 161.  1 c 3c 2 − 3 − 2 3 a − c a − c a + ac + c2 

а) 

  a2   ⋅  c + = a + c   

 1 3c 2 c =  − − 2 2 2 a − c ( a − c )( a + ac + c ) a + ac + c2  a 2 + ac + c 2 − 3c 2 − ac + c 2 ac + c 2 + a 2 = ⋅ = ( a − c )( a 2 + ac + c 2 ) a+c =

  a2   ⋅  c + = a + c   

( a 2 − c 2 )( a 2 + ac + c 2 ) = 1, не зависит от а и с. ( a 2 + ac + c 2 )( a − c )( a + c )  1

c

− 3 ⋅ б) 3a 3 a−c a −c

a 2 + ac + c 2 a+c

 3c 2  − 2 = 2  a −c

www.5balls.ru

  1 c( a 2 + ac + c 2 ) 3c 2  − 2 = = 3a − 2 2 2  a − c ( a − c )( a + ac + c )( a + c )  a − c  a+c−c  3c 2 3a ⋅ a 3c 2  − 2 = − 2 = = 3a 2 ( a − c )( a + c ) a − c 2  ( a − c )( a + c )  a − c 3a 2 − 3c 2 = 2 = 3 -не зависит от а и с. a − c2

№ 162. 2

2

n 2 + 2n 2 + 1 1   n 21    = а)  n +  =  ;  n  n  n2  2

2

a 4 − 2a 2 b 2 + b 4  a b   a2 − b2   = б)  −  =  ;  a 2b 2  b a   ab  2

2

x  x   в)  + 1 +  − 1 =  y y      2 2 2(x + y 2 ) x =2 2 +2= ; y y2 2

2

2

x x x x  + 2 + 1 +   − 2 + 1 = y  y y y  

2

2

2

2

 p q  p q  p p q  q  p +  −  −  =   + 2 ⋅ +   −   + q p  p  q  q p  q p  q

г) 

2

+2

p q q ⋅ −  =2+2=4; q p  p 

x+ y x− + y  x

д) 

2

y x+ y x−  −  − y   x

2

y  = 

x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y x+ y x− y = ⋅ + − + =  + + − y x y   x y x y   x 2(x + y ) 2(x − y ) 4(x 2 − y 2 ) = ⋅ = ; x y xy 2

2

2

2

a+b  a−b  − 1 + b 2  + 1 = е) a  a b     2

a 2b 2 b 2 a 2 a+b−a 2 a − b + b  2 2 = a2  +b   = 2 + 2 =b +a . a b a b    

№ 163.

www.5balls.ru

1 x = x − 1 ÷ x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x 2a − b +1 2a − b + b 2 a + b − b 2a 2 a b б) = ÷ = ÷ =1; 2a + b b b b b −1 b y x + 2 2 x 3 + y 3 x 3 − y 3 (x 3 + y 3 )x 2 y 2 x 3 + y 3 y x ; в) = 2 2 ÷ 2 2 = 3 = y x (x − y 3 )x 2 y 2 x 3 − y 3 y x x y − y2 x2 1−

1 1 1 + + bc + ac + ab c + a + b ÷ = г) a b c = 1 1 1 abc abc + + ab bc ac bc + ac + ab )abc bc + ac + ab ( = = . abc(c + a + b ) a+b+c

№ 164. a x = 2 x − a ÷ 2 x + a = x(2 x − a ) = 2 x − a ; а) a x x x(2 x + a ) 2 x + a 2+ x a−b +3 a − b + 3c a + b − c (a − b + 3c )c a − b + 3c = ÷ = = б) c ; a+b c c (a + b − c )c a + b − c −1 c 1 1 + x y y + x y − x xy (y + x ) y + x ; = ÷ = = в) 1 1 xy xy xy (y − x ) y − x − x y 2−

г)

x − y x2 − y2 xy (x − y ) xy x− y . = ÷ = = x y ( 1 xy x − y )(x + y ) x + y − y x

www.5balls.ru

№ 165. а) Подставим x =

ab и получим: a+b

ab −a x−a a+b ab − a 2 − ab ab − ab − b 2  a 2   b 2   ÷  −  = = ÷ =  − = ab x−b a+b a+b  a+b  a+b −b a+b a 2 (a + b ) a 2 = 2 = . b (a + b ) b 2

б) Подставим x =

a−b и получим: a+b

a a a −b −x − 2 2 2 2 b b a + b = a + ab − ab + b ÷ ab + b + a − ab = = b b a −b b(a + b ) a (a + b ) +x + a a a+b a 2 + b 2 a 2 + b 2 a (a 2 + b 2 )(a + b ) a = ÷ = = . b(a + b ) a(a + b ) b(a 2 + b 2 )(a + b ) b

№ 166. a4 b2 − 2 2 2 2 9 = 9a − 4b ÷ 3a + 2b = 36(9a − 4b ) = а) 4 a b 36 36 36(3a + 2b ) + 12 18 (3a − 2b )(3a + 2b ) = 3a − 2b ; = 3a + 2b 2 1 Подставим a = , b = − и получим: 3 2 2  1 3a − 2b = 3 ⋅ − 2 ⋅  −  = 2 + 1 = 3 ; 3  2

Ответ: 3. 0 ,2a − b 0 ,2a − b 0 ,2a − b a 2 − 25b 2 = = ÷ = a2 a 2 − 25b 2 1 25 − b2 25 25 5 ⋅ 5(0 ,2a − b ) 5(a − 5b ) 5 = = = ; 2 2 a − 25b (a − 5b )(a + 5b ) a + 5b

б)

www.5balls.ru

Подставим а = -8, b = 0,6 и получим: 5 5 5 = = = −1 ; a + 5b − 8 + 5 ⋅ 0,6 − 8 + 3

Ответ: -1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 167. а)

y 1 -4

-2

0

2

4

x

-1 -2 -3 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 1 x − 2 = 0 ; х = 4. 2

Таким образом, точка пересечения с осью х – это (4; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y=

1 ⋅ 0 − 2 ; y = -2. 2

Таким образом, точка пересечения с осью y – это (0; -2). б) 1) У точки пересечения графика с осью х y = 0, т.е. 0 = -0,4х + 2; 0,4х = 2; х = 5. Точка пересечения с осью х – это (5; 0); 2) У точки пересечения графика с осью y х = 0, т.е. y = -0,4·0 + 2; y = 2. Точка пересечения с осью y – это (0; 2).

www.5balls.ru

y 4 3 2 1

-4

0

-2

2

4

6

x

-1 № 168. а) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 4) в ��то уравнение: 4 = k·0 + b; b = 4; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно k = 3; получим уравнение: y = 3x + 4. б) y = kx + b – уравнение прямой. Подставим координаты точки (0; 0) в это уравнение: 0 = k·0 + b; b = 0; коэффициент k у параллельных прямых одинаковый, следовательно, k = − ние: y = −

1 x. 2

www.5balls.ru

1 ; получим уравне2

№ 169. а)

y

b x

б)

y

b

x

в) y

b x

www.5balls.ru

г)

y b

x

№ 170. Пусть х см – длина меньшей стороны, тогда (х+20) см – длина большей стороны, 2х – удвоенная длина меньшей стороны, 3(х+20) см – утроенная длина большей стороны. По условию задачи периметр нового прямоугольника равен 240 см. Составим уравнение: 2( 2 x + 3( x + 20 )) = 240;2 x + 3( x + 20 ) = 120; 2 x + 3 x + 60 = 120;5 x = 60; x = 12; x + 20 = 32.

Ответ. 12 см, 32 см. № 171. Пусть х ч – время в пути пассажирского поезда, тогда (х+1) ч – время в пути скорого поезда, 110(х+1) км – расстояние до места встречи, которое прошел скорый поезд, 90х км – расстояние до места встречи, которое прошел пассажирский поезд. Расстояние между двумя станциями равно 710 км. Составим уравнение: 110( x + 1 ) + 90 x = 710; 110 x + 110 + 90 x = 710;200 x = 600; x = 3; x + 1 = 4.

Ответ. Через 4 ч. 8.Функция y =

k и ее график x

№ 172. y=

8 x

www.5balls.ru

х у

-4 -2

-2 -4

-0,25 -32

2 4

5 1,6

16 0,5

20 0,4

8 = −2; −4 8 y = −4;−4 = ;−4 x = 8; x = −2; x 8 x = −0 ,25; y = = −32; − 0 ,25 8 x = 2; y = 4; 2 8 3 x = 5; y = 1 = 1,6; 5 5 8 1 x = 16; y = = = 0,5; 16 2 8 y = 0,4;0 ,4 = ;0 ,4 x = 8; x = 20. x

1) x = −4, y = 2) 3) 4) 5) 6) 7)

№ 173. y=

х у

120 x

-1200 -0,1

-600 -0,2

240 -0,5

-120 -1

75 1,6

120 1 = − = −0 ,1; − 1200 10 120 x = −600; y = = −0 ,2; − 600 120 y = −0,5;−0 ,5 = ;−0,5 x = 120; x = −240; x 120 y = −1;−1 = ; x = −120; x 120 x = 75; y = = 1,6; 75 120 x = 120; y = = 1; 120

1) x = −1200; y = 2) 3) 4) 5) 6)

www.5balls.ru

120 1

300 0,4

1000 0,12

120 ;0 ,4 x = 120; x = 300; x 120 8) x = 1000; y = = 0,12. 1000

7) y = 0,4;0,4 =

№ 174. s = vt = 600, отсюда получаем: 600 а) v = (км/ч); t 600 (ч). б) t = v

№ 175. 10 10 ;y= 0 ,1; x 100 10 x = 1000; y = = 0 ,01; 1000 10 x = 0 ,1; y = = 100; 0,1 10 x = 0,02; y = = 500; 0,02 x = 100; y =

10 ;−200 = −200; данная точка − 0 ,05 10 принадлежит графику функции y = ; x 10 ;100 ≠ −100; данная точка не приB( −0 ,1;100 ); проверим 100 = − 0 ,1 A( −0 ,05;−200 ); проверим − 200 = −

надлежит графику данной функции; C( 400;0 ,025 ); проверим 0 ,025 =

10 ;0 ,025 = 0 ,025; данная точка при400

надлежит графику данной функции; D( 500;−0 ,02 ); проверим − 0,02 =

10 ;−0 ,02 ≠ 0 ,02; данная точка не 500

принадлежит графику данной функции. № 176.

www.5balls.ru

Как известно, обратная пропорциональность задается формулой: k k , отсюда получаем: 12 = ; k = 24; следовательно, искомая x 2 24 функция y = . x y=

№ 177. При рассмотрении графика получаются следующие результаты: а) x = 2; y = 4; x = 4; y = 2; x = −1; y = −8; x = − 4; y = − 2 ;

x = −5; y = −1,5; б) y = −4; x = −2; y = −2; x = −4; y = 8; x = 1

№ 178. Построим график функции по точкам: х у

-8 1

-4 2

-2 4

2 -4

4 -2

8 -1

По графику найдем искомые значения х и у: x = 2 ,5; y = −3,2; x = 1,5; y = −5,3; а) x = 4; y = −2; x = −1; y = 8;

y 8 6 4 2 -8

-6

-4

-2

0

2

-4 -6 -8

x = −2 ,5; y = 3,2;

б) y = 8; x = −1;

www.5balls.ru

4

6

8

x

y = −2; x = 4.

№ 179. Построим график функции по точкам: х у

-6 -1

-3 -2

-1 -6

1 6

3 2

6 1

По графику найдем искомые значения: y 8 6 4 2 -8

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

8

-4 -6 -8

а) x = 1,5; y = 4; x = −2 ,5; y = −2,3; x = 3,5; y = 1,6; б) y = −3; x = −2; y = −1,5; x = −4; y = 4; x = 1,5; y = 7; x = 0 ,8.

№ 180. Построим график функции по точкам: а) х

-2

у

1 − 2

www.5balls.ru

-1 -1

1 1

2 1 2

y 4

2

-4

-2

0

2

x

4

-2

-4

б) х

-2

у

1 2

-1 1

1 -1

2 −

1 2

y 4

2

-4

-2

0

2

x

4

-2

-4

в) х у

-6 -4

-2 -8

-1 -24

www.5balls.ru

1 24

3 8

6 4

y 12 10 8 6 4

-6

-4

-2

0

2

4

6

x

2

4

6

x

-4 -6 -8 -10 -12 -14

г)

y 12 10 8 6 4

-6

-4

-2

0 -4 -6 -8 -10 -12 -14

www.5balls.ru

х у

-6 4

-3 8

№ 181.

-1 24

1 -24

3 -8

6 -4

y

8

6

4

2

0

2

4

6

8

x

Объем прямоугольного параллелепипеда равен V = abc = 120см 3 ; (где с – его высота). получаем: - обратная пропорциональность, так как она имеет вид y =

k , при k = 6. x

Область определения функции b =

6 - все положительные числа, a

т.е. a f 0 (поскольку длина стороны основания – положительное число). Построим график функции по точкам: a b

1 6

2 3

3 2

№ 182. k 1 ; k = 0 ,125 ⋅ 8 = 1; y = ; 8 x 2 4 4 k 4 2 9⋅2 6 1,2 б) B( ;1 ); получаем 1 = ; k = 1 ⋅ = = = 1,2; y = ; 3 5 5 2 5 3 5⋅3 5 x k 5 в) C( −25;−0,2 ) ; получаем − 0,2 = ; k = ( −0 ,2 ) ⋅ ( −25 ); k = 5; y = . − 25 x

а) A( 8;0 ,125 ); получаем 0 ,125 =

www.5balls.ru

№ 184. а) к > 0; т.к. х > 0 и у >0, либо х < 0 и у < 0 б) к < 0, т.к. х > 0 и у < 0, либо х < 0 и у >0. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 185. а)

5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5( x − y ) 2 5 = = = не зависит от х и у 2 3( y − x ) ⋅ 3( y − x ) 9( x − y ) 2 9 ( 3 y − 3x )

б)

( 3 x − 6 y ) 2 3( x − 2 y ) ⋅ 3( x − 2 y ) 9( x − 2 y ) 2 9 = = = не зависит от х 4( 2 y − x ) 2 4( 2 y − x ) 2 4( x − 2 y ) 2 4

и у. № 186. 1 12  x + 7  3 − − =  : 2  x+2 x−2 4−x  x−2  x+7  3 1 12 =  − +  ÷ x − 2 = ( )( ) x + 2 x − 2 x − 2 x + 2   3(x − 2 ) − (x + 2 ) + 12 x + 7 2(x + 2 ) x−2 = ÷ = ⋅ = (x − 2)(x + 2) x − 2 (x − 2 )(x + 2 ) x + 7 =

2(x + 2 )(x − 2 ) 2 . = (x − 2)(x + 2)(x + 7 ) x + 7

№ 187. yz − xz + xy 1 1 1 1 1 1 = 0 ; yz − xz + xy = 0 ; = − ; − + =0; xyz x y z x y z

а) yz − xz + xy = 0 ; yz = xz − xy ; yz = x(z − y ) ; x = б) yz − xz + xy = 0 ; yz − xz = − xy ; z (y − x ) = − xy ; z=

yz ; z−y

− xy xy . = y−x x− y

Дополнительные упражнения к главе I

www.5balls.ru

К ПАРАГРАФУ 1 № 188. а) 5 x 2 (x 2 − 2 x + 3) = 5 x 4 − 10 x 3 + 15 x 2 ; б) − 8 y 2 (y 2 − 5 y − 1) = −8 y 4 + 40 y 3 + 8 y 2 ;

в) (a 2 − 5a + 4 )(2a + 3) = 2a 3 − 10a 2 + 8a + 3a 2 − 15a + 12 = = 2a 3 − 7 a 2 − 7 a + 12 ; г) (3b − 2)(b 2 − 7b − 5) = 3b 3 − 21b 2 − 15b − 2b 2 + 14b + 10 = = 3b 3 − 23b 2 − b + 10 ; д) 3x 2 (− 5 x 2 + 4 x − 1) + 16 x 4 = −15 x 4 + 12 x 3 − 3x 2 + 16 x 4 = = x 4 + 12 x 3 − 3 x 2 ; е) 8 y 6 − 2 y 3 (1 − 5 y − y 2 + 4 y 3 ) = 8 y 6 − 2 y 3 + 10 y 4 + 2 y 5 − 8 y 6 =

= 2 y 5 + 10 y 4 − 2 y 3 ;

ж) (a 2 + 7a + 3)(a 2 − 4a + 2) = a 4 + 7 a 3 + 3a 2 − 4a 3 − 28a 2 − 12a + 2a 2 + + 14a + 6 = a 4 + 3a 3 − 23a 2 + 2a + 6 ;

з) (b 2 − 3b − 5)(b 2 + 3b − 5) = (b 2 − 5) − (3b ) = b 4 − 10b 2 + 25 − 9b 2 = 2

2

= b 4 − 19b 2 + 25 .

№ 189. а) (− 4 x + 7 a )(7a + 4 x ) = (7 a − 4 x )(7 a + 4 x ) = 49a 2 − 16 x 2 ; б) (3c 2 − 8)(3c 2 + 8) = 9c 4 − 64 ; 2 в) (2 x − 5 y ) = 4 x 2 − 20 xy + 25 y 2 ; г) ( p 2 + 2) = p 4 + 4 p 2 + 4 ; 2

д) (3a − 2b )(9a 2 + 6ab + 4b 2 ) = 27 a 3 − 8b 3 ; е) (x 2 + 5 y )(x 4 − 5 x 2 y + 25 y 2 ) = x 6 + 125 y 3 ;

ж) (m − n ) − (m − n )(m 2 + mn + n 2 ) = m 3 − 3m 2 n + 3m 2 n − n 3 − (m 3 − n 3 ) = = 3mn 2 − 3m 2 n ; 3 з) (x + y ) − (x + y )(x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − (x 3 + y 3 ) = 3

= 3x 2 y + 3xy 2 .

№ 190.

www.5balls.ru

а) a 2 b + ab 2 = ab(a + b ) ; б) x 3 y − xy 3 = xy (x 2 − y 2 ) ;

в) 7 x 2 − 14 xy + 21ax = 7 x(x − 2 y + 3a ) ; г) 9 xy − 3by + 15ay = 3 y (3x − b + 5a ) ;

д) x 4 − x 3 + x 2 − x = x 3 (x − 1) + x(x − 1) = (x − 1)(x 3 + x ) = = x(x − 1)(x 2 + 1) ; е) c 4 − 2c 3 − c 2 + 2c = c 3 (c − 2 ) − c(c − 2 ) = (c − 2 )(c 3 − c ) = = c(c − 2)(c 2 − 1) = c(c − 2 )(c − 1)(c + 1) ; 2 ж) (a − 2 ) − 25a 2 = (a − 2 − 5a )(a − 2 + 5a ) = (− 4a − 2 )(6a − 2 ) = = −4(2a + 1)(3a − 1) = 4(2a + 1)(1 − 3a ) ; 2 з) (b + 3) − 36b 2 = (b + 3 + 6b )(b + 3 − 6b ) = = (7b + 3)(− 5b + 3) = (7b + 3)(3 − 5b ) ; и) 125 x 3 + 8 = (5 x + 2)(25 x 2 − 10 x + 4) ; к) 216 x 3 − 27 = (6 x − 3)(36 x 2 + 18 x + 9) ; 3 2 л) (a + 1) + a 3 = (a + 1 + a )(a + 1) − a(a + 1) + a 2 = = (2a + 1)(a 2 + 2a + 1 − a 2 − a + a 2 ) = (2a + 1)(a 2 + a + 1) ; 3 2 м) (b + 2 ) − 8b 3 = (b + 2 − 2b )(b + 2 ) + (b + 2 )2b + 4b 2 = = (2 − b )(b 2 + 4b + 4 + 2b 2 + 4b + 4b 2 ) = (2 − b )(7b 2 + 8b + 4 ) .

(

)

[

]

№ 191. а) (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1) = a 4 − a 3 + a 2 + a 3 − a 2 + a + a 2 − a + 1 = = a 4 + a 2 + 1 , что и требовалось доказать; б) (b 4 + b 2 + 1)(b 4 − b 2 + 1) = b 8 − b 6 + b 4 + b 6 − b 4 + b 2 + b 4 − b 2 + 1 = = b 8 + b 4 + 1 , что и требовалось доказать; в) (c 2 − 2c + 2)(c 2 + 2c + 2) = = c 4 + 2c 3 + 2c 2 − 2c 3 − 4c 2 − 4c + 2c 2 + 4c + 4 = c 4 + 4 , что и требова-

лось доказать. № 192. а)

51 + 17 2 17 ⋅ 3 + 17 2 17(3 + 17 ) 17 ⋅ 20 = = = = 34 ; 10 10 10 10

www.5balls.ru

б)

37 2 + 111 37 2 + 37 ⋅ 3 37(37 + 3) 37 ⋅ 40 = = = = 37 . 40 40 40 40

№ 193. Составим таблицу: Поезда 1-й 2-й

t, ч t t-3

v, км/ч 60 v

s, км 60t v(t – 3)

Запишем уравнение: 60t + v(t − 3) = 600 ; 600 − 60t = v(t − 3) ;

600 − 60t 60(10 − t ) ; v= . t −3 t −3 60(10 − 7 ) 60 ⋅ 3 = = 45 (км/ч). Подставим t = 7: v = 7−3 4 60(10 − 6 ) 60 ⋅ 4 = = 80 (км/ч). Подставим t = 6: v = 6−3 3 v=

№ 194. а) х – любое действительное число; 7 2

б) 2 y + 7 ≠ 0 ; 2 y ≠ −7 ; y ≠ − ; y ≠ −3,5 . Ответ: y ≠ −3,5 ; 9 9 = ; x(x − 7 ) ≠ 0 ; 1) x1 ≠ 0 ; 2) x − 7 ≠ 0 ; x ≠ 7 . x − 7 x x(x − 7 ) Ответ: x ≠ 0 , x ≠ 7 ;

в)

2

г) y – любое действительное число; д) x − 3 ≠ 0 ; x ≠ −3 , x ≠ 3 .

Ответ: x ≠ −3 , x ≠ 3 ; е) y – любое действительное число. № 195. а)

5 ; x−2

б)

7 − 2x ; 3x 2 − x 3

в)

4x + 1 ; 9 − x2

№ 196.

www.5balls.ru

г)

6 . 4x 2 − 1

8 − 3x , потому что 4 x 2 + 7 f 0 при всех х. 4x 2 + 7

№ 197. а) x − 2 ≠ 0 ; x ≠ 2 ; Ответ: x ≠ 2 ; б) x + 5 ≠ 0 ; x ≠ −5 ; Ответ: x ≠ −5 ; в) 2 x − 6 ≠ 0 ; 2 x ≠ 6 ; x ≠ 3 ; Ответ: x ≠ 3 . № 198. а) −

99 x 9 ⋅ 11x 9x =− =− ; 22 y 2 ⋅ 11 y 2y

216bc 36 ⋅ 6b 6b ; = = 180ac 36 ⋅ 5a 5a 405ac 45 ⋅ 9c 9c = = ; в) 45ay 45 y y

б)

18abc 18b b ; = = 180ac 18 ⋅ 10 10 35a 5 y 4 7 ⋅ 5a 5 y 4 5a = = ; д) 28a 4 y 8 7 ⋅ 4a 4 y 8 4 y 4

г)

е)

7x 4 y 4 7y4 1 = = 10 . 4 14 14 14 x y 7 ⋅ 2y 2y

№ 199. а)

17 xy + 34 17(xy + 2 ) xy + 2 = = ; 17(xy + 34 ) 17(xy + 34 ) xy + 34

(3a − 3c )

2

б) в) =

9 a − 9c 2

2

3a − 3c 3(a − c ) a − c (3a − 3c ) = = = ; (3a − 3c )(3a + 3c ) 3a + 3c 3(a + c ) a + c 2

=

2b 2 − 2a 2 2(b 2 − a 2 ) 2(b 2 − a 2 ) = = = (2a − 2b )2 (2a − 2b )(2a − 2b ) 2 ⋅ 2(a − b )(a − b )

(b − a )(b + a ) = − (a − b )(a + b ) = − a + b = a + b ; 2(a − b )(a − b ) 2(a − b )(a − b ) 2(a − b ) 2(b − a )

www.5balls.ru

(a

(a − 3) (a + 3) = (a + 3) ; − 9) = (3 − a )3 (a − 3)2 (3 − a ) 3 − a

г)

2

2

2

x 2 − 100 x − 10 (x − 10)(x + 10) = = ; 3 2 2 x + 1000 (x + 10 )(x − 10 x + 100 ) x − 10 x + 100

д)

8 y 3 − 1 (2 y − 1)(4 y 2 + 2 y + 1) 4y2 + 2y + 1 = =− ; 3 y − 4y y (1 − 2 y )(1 + 2 y ) y (1 + 2 y )

е) ж) з) =

2

2

2x − y 2x − y 2(2 x − y ) 2 = = = ; x 2 − 0 ,5 xy x(x − 0 ,5 y ) x(2 x − y ) x

5a 2 − 3ab 25a(5a − 3b ) = = a 2 − 0,36b 2 25(a − 0,6b )(a + 0 ,6b )

25a (5a − 3b ) 25a = . (5a − 3b )(5a + 3b ) 5a + 3b

№ 200. а) б) в) г)

10ab − 15b 2 5b(2a − 3b ) 5b = = ; 4a 2 − 6ab 2a (2a − 3b ) 2a 21xy − 7 y 2 7 y (3 x − y ) 7 y = = ; 6 x 2 − 2 xy 2 x(3 x − y ) 2 x

2 x 2 + 10 xy 2 x(x + 5 y ) 2x = = ; 2 2 x − 25 y (x − 5 y )(x + 5 y ) x − 5 y

6 p 2 − 8 pq 2 p (3 p − 4q ) 2p ; = = 9 p − 24 pq + 16q 2 (3 p − 4q )2 3 p − 4q 2

a 2 − 4a + 4 (a − 2) (a − 2) = a − 2 ; = = a + ab − 2a − 2b a (a + b ) − 2(a + b ) (a + b )(a − 2) a + b 2

д) е)

2

2

6 x 2 − 3xy + 4 x − 2 y 3 x(2 x − y ) + 2(2 x − y ) (2 x − y )(3 x + 2 ) 2 x − y = = = 9 x 2 + 12 x + 4 3x + 2 (3x + 2)2 (3x + 2)2 a 2 + 4ab + 4b 2 a + 2b (a + 2b ) = = ; (a + 2b )(a 2 − 2ab + 4b 2 ) a 2 − 2ab + 4b 2 a 3 + 8b 3 2

ж) з)

(3x − y )(9 x 2 + 3xy + y 2 ) = 3x − y . 27 x 3 − y 3 = 2 2 18 x + 6 xy + 2 y 2(9 x 2 + 3 xy + y 2 ) 2

№ 201.

www.5balls.ru

а) б) в) =

1 b 14 − b 7 + 1 b 14 − b 7 + 1 . = 7 = 21 (b + 1)(b14 − b 7 + 1) b 7 + 1 b +1

(x 11 − 1)(x 22 + x 11 + 1) = x 11 − 1 ; x 33 − 1 = 22 11 x +x +x x 11 (x 22 + x 11 + 1) x 11 33

x(y − z ) − y (x − z ) xy − xz − xy + yz = = 2 2 2 ( x y 2 yz − + z 2 ) − y (x 2 − 2 xz + z 2 ) x(y − z ) − y (x − z ) yz − xz = xy − 2 xyz + xz 2 − x 2 y + 2 xyz − yz 2 2

= =

z (y − x ) z (y − x ) = 2 2 (xy − x y ) + (xz − yz ) xy(y − z ) + z 2 (x − y ) = 2

2

z (y − x ) z = ; 2 (y − x )(xy − z ) xy − z 2

a (b + 1) − b(a + 1) a (b 2 + 2b + 1) − b(a 2 + 2a + 1) = = a (b + 1) − b(a + 1) ab + a − ab − b 2

г)

2

ab 2 + 2ab + a − a 2 b − 2ab − b (ab 2 − a 2 b ) + (a − b ) = = a−b a−b ab(b − a ) + (a − b ) (a − b )(1 − ab ) = = = 1 − ab . a−b a−b =

№ 202. Произведем замену:

(kx ) − 2(ky ) = k 2 x 2 − 2k 2 y 2 = k 2 (x 2 − 2 y 2 ) ; x2 − 2y2 = 3 y 2 + 5 xy 3(ky )2 + 5kx ⋅ ky 3k 2 y 2 + 5k 2 xy k 2 (3 y 2 + 5 xy ) 2

2

x2 − 2y2 x2 − 2y 2 ≡ 2 - дробь, тождественно равная первоначальной. 2 3 y + 5 xy 3 y + 5 xy

№ 203. При x =

2 3 и y = , дробь равна: 7 7 2

2

2 3 4 9 12 + 9 3⋅  +   3⋅ + 3x 2 + y 2 7 7  = 49 49 = 49 = = 2 2 4 9 12 − 9 3x 2 − y 2 2 3 3⋅ − 3⋅  −   49 49 49 7 7

www.5balls.ru

=

21 3 21 ⋅ 49 ÷ = =7 49 49 3 ⋅ 49

При х = 2 и y = 3, дробь равна: 3 x 2 + y 2 3 ⋅ 2 2 + 3 2 3 ⋅ 4 + 9 12 + 9 21 = = = = = 7 , что и требовалось 3 x 2 − y 2 3 ⋅ 2 2 − 3 2 3 ⋅ 4 − 9 12 − 9 7

доказать. № 204. а) б)

36

(a − b )

2

108

=

=

36 36 4 = = ; 9 2 81 9 108

=

108

(b − a ) (a − b ) 9 (5a − 5b ) = 5 ⋅ 5(a − b ) 2

2

2

=

108 12 4 1 = = =1 ; 81 9 3 3

25 ⋅ 9 2 = 5 ⋅ 9 = 45 ; 45 45 45 a 2 + ab + b 2 a 2 + ab + b 2 1 1 = = = г) 3 3 (a − b )(a 2 + ab + b 2 ) a − b 9 a −b 2

в)

Ответ: а)

2

=

4 1 1 ; б) 1 ; в) 45; г) . 9 3 9

К ПАРАГРАФУ 2 № 205. x 2 − 2x 4x − 9 x 2 − 2x − 4x + 9 − = = x−3 x−3 x−3 2 x 2 − 6 x + 9 (x − 3) = = = x−3; x−3 x−3 y 2 − 10 y 2 − 10 − 54 y 2 − 64 54 − = = = б) y −8 y −8 y −8 y −8

а)

=

(y − 8)(y + 8) = y + 8 ; y −8

a2 b2 a2 b2 a2 − b2 + 2 = 2 − 2 = 2 = 1; 2 2 2 2 a −b b −a a −b a −b a − b2 x 2 − 2 x 2 y − y 2 x 2 − 2 x + 2 y − y 2 (x 2 − y 2 ) − (2 x − 2 y ) − = = = г) 2 x − y2 y2 − x2 x2 − y2 x2 − y2

в)

2

www.5balls.ru

=

(x − y )(x + y ) − 2(x − y ) = (x − y )(x + y − 2) = x + y − 2 . (x − y )(x + y ) x −y x+ y 2

2

№ 206.

(y − b )

2

а)

(y − b ) + y − b = y−b = y − b +1 y − b +1 2

y − b +1

+

(y − b )(y − b + 1) = y − b ; = y − b +1

(a + x )

2a + 2 x (a + x ) − 2(a + x ) = = a+x−2 a+x−2 a+x−2 (a + x )(a + x − 2) = a + x ; = a+x−2 2 x − y2 x+ y y2 − x2 x+ y + = + = в) x − y −1 y − x +1 y − x +1 y − x +1 2

б)

=

2

(y − x )(y + x ) + (y + x ) = (y + x )(y − x + 1) = y + x ; y − x +1

y − x +1

2(b − 3c ) (b − 3c )(b + 3c ) 2(b − 3c ) b − 9c + = − = b + 3c − 2 2 − b − 3c b + 3c − 2 b + 3c − 2 (b − 3c )(b + 3c ) − 2(b − 3c ) = (b − 3c )(b + 3c − 2) = b − 3c . = b + 3c − 2 b + 3c − 2 2

2

г)

№ 207. a 2 − 12b 3ab − 4a a 2 − 12b − 3ab + 4a − = = a 2 − 3ab a 2 − 3ab a 2 − 3ab a (a + 4) − 3b(4 + a ) (a + 4)(a − 3b ) a + 4 = = = . Подставим а = -0,8: a(a − 3b ) a (a − 3b ) a

а)

a + 4 −0 ,8 + 4 3,2 = = = −4 . − 0 ,8 − 0 ,8 a

b = -1,75 – лишнее данное в задаче. б) =

x2 − 2y 4 − xy x 2 − 2 y − 4 + xy − = = x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x x 2 + xy + 2 x

(x − 2)(x + 2) + y (x − 2) = (x − 2)(x + 2 + y ) = x − 2 . Подставим х = 20: x(x + y + 2 ) x(x + y + 2 ) x

www.5balls.ru

x − 2 20 − 2 18 9 . = = = x 20 20 10

y = 22,5 – лишнее данное в задаче. № 208. x+2 x 2 2 = + =1+ ; x x x x y + z2 y z2 y = + = +z; б) z z z z a 2 − 2a + 4 a 2 2a 4 4 = − + =a−2+ ; в) a a a a a b 2 + 3b − 6 b 2 3b 3 6 = + − =b+3− . г) b b b b b

а)

№ 209. а)

n+6 n 6 6 = + = 1 + ; при п = 1; 2; 3; 6. Значение выражения – цеn n n n

лое. б)

5n − 12 5n 12 12 ; при п = 3; 4; 6; 12. Значение выражения = − =5− n n n n

– целое. в)

36 − n 2 36 n 2 36 = 2 − 2 = 2 − 1 ; при п = 1; 2; 3. Значение выражения – n2 n n n

целое. № 210. а)

x+ y x y x = + = +1= 5 +1= 6 ; y y y y

б)

x− y x y x = − = −1= 5 −1= 4 ; y y y y

в)

y  x 1 =   = 5 −1 = ; x  y  5

г)

x x + 2y y 2 2 = 1 + 2 = 1 +   ⋅ 2 = 1 + (5 −1 )⋅ 2 = 1 + = 1 . x x y 5 5  

−1

−1

www.5balls.ru

№ 211. а)

x+ y y x x = 3; = 3 − ; = 3 −1= 2 ; y y y y −1

x+ y y 1  = 3 −1 = ; = x + y  y  3 x− y x в) = −1= 2 −1=1 ; y y

б)

−1

г)

y  x 1 −1 =   = (2 ) = . x  y  2

№ 212. а) =

3b 2 − 5b − 1 5b − 3 3b 2 − 5b − 1 b(5b − 3) + = + = b2 y by b2 y b2 y 3b 2 − 5b − 1 + 5b 2 − 3b 8b 2 − 8b − 1 ; = b2 y b2 y

a 2 − a + 1 x 2 − 1 (a 2 − a + 1)x 2 − a 2 (x 2 − 1) − = = a3 x ax 3 a3x3 a 2 x 2 − ax 2 + x 2 − a 2 x 2 + a 2 x 2 + a 2 − ax 2 ; = = a3 x3 a3 x3 1 + с c 3 + y 4 y 4 + cy 4 − c 4 − cy 4 y 4 − c 4 = 3 8 ; в) 3 4 − 2 8 = c y c y c3 y8 c y

б)

г)

c 2 + x 2 c + x c 3 + cx 2 − cx 2 − x 3 c 3 − x 3 − 3 3 = = 3 5 . c2 x5 c x c3 x5 c x

№ 213. x − y x y x − y 4x + 4 y + x − y 5x + 3 y ; = + + = = 4 1 1 4 4 4 1 + mn m n 1 + mn mn + n 2 − 1 − mn n 2 − 1 б) m + n − ; = + − = = n 1 1 n n n ab + ac + bc a ab + ac + bc a( a + b + c ) − ab − ac − bc = − = = в) a − a+b+c 1 a+b+c a+b+c

а) x + y +

www.5balls.ru

a 2 + ab + ac − ab − ac − bc a 2 − bc = ; a+b+c a+b+c a 3 − b 3 a 2 b 2 a 3 − b 3 ( a 2 − b 2 )( a + b ) − a 3 + b 3 = − − = = г) a 2 − b 2 − a+b a+b a+b 1 1 a 3 + a 2 b − ab 2 − b 3 − a 3 + b 3 a 2 b − ab 2 ab( a − b ) = = = . a+b a+b a+b =

№ 214. а)

mn + 1 mn − 1 ( m − n )( mn + 1 ) + ( m + n )( mn − 1 ) + = = m+n m−n ( m + n )( m − n )

=

m 2 n + m − mn 2 − n + m 2 n − m + mn 2 − n 2m 2 n − 2n = = ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )

=

2n( m 2 − 1 ) 2n( m − 1 )( m + 1 ) = ; ( m + n )( m − n ) ( m + n )( m − n )

б)

a+b b a 2 + 2ab + b 2 − 2ab a2 + b2 − = = ; 2a a+b 2a( a + b ) 2a( a + b )

в)

x + 4a a − 4 x ( x + 4a )( a − x ) − ( a − 4 x )( a + x ) − = = 3a + 3 x 3a − 3x 3( a + x )( a − x )

=

ax + 4a 2 − x 2 − 4ax − a 2 + 4ax − ax + 4 x 2 3a 2 + 3 x 2 = = 3( a + x )( a − x ) 3( a + x )( a − x )

a2 + x2 a2 − x2 ; 9a − 24b 21b − 6a 9a − 24b + 21b − 6a 3a − 3b 3 + = = = ; г) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a( a − b ) a =

д)

3 x + 21 y 2 xy 3 x + 21 y 2 xy + 2 = + = 2 2 x − 49 y x − 7 xy ( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )

=

x( 3 x + 21y ) + 2 x 2 y + 14 xy 2 3x 2 + 21xy + 2 x 2 y + 14 xy 2 = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y )

=

3x( x + 7 y ) + 2 xy( x + 7 y ) ( x + 7 y )( 3x + 2 xy ) x( 3 + 2 y ) = = = x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )( x + 7 y ) x( x − 7 y )

=

3 + 2y ; x − 7y

е)

m 2 − 2mn 2n 2 m 2 − 2mn 2n 2 + = + = 2 2 2 m − 4n mn + 2n ( m − 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )

www.5balls.ru

=

n( m 2 − 2mn ) + 2n 2 ( m − 2n ) nm 2 − 2mn 2 + 2n 2 m − 4n 3 = = n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )

=

n( m 2 − 4n 2 ) nm 2 − 4n 3 = = 1. n( m + 2n )( m + 2n ) n( m + 2n )( m + 2n )

№ 215. а)

2b 2 − bc 2c 4( 2b 2 − bc ) 2c − = − = 2 b − 0,25c 2b + c 4( b 2 − 0 ,25c 2 ) 2b + c

=

4b( 2b − c ) 4b( 2b − c ) 2c 2c 4b 2c − = − = − = 4b 2 − c 2 2b + c ( 2b − c )( 2b + c ) 2b + c 2b + c 2b + c

2

4b − 2c 2( 2b − c ) = ; 2b + c 2b + c 2( 2 x + 1 ) 2x − 1 4x + 2 2x − 1 + 2 = + = б) 2 x − 0,5 x x + 0 ,5 x x( x − 0 ,5 ) x( x + 0 ,5 ) =

=

2( 2 x − 1 ) 4( 2 x + 1 ) 2 4 6 + = + = ; x( 2 x − 1 ) x( 2 x + 1 ) x x x 2y2 − y

2y2 + y

1 − = 1 1 1 2 2 y −y+ y + y+ y − 4 4 4 4( 2 y 2 − y ) 4( 2 y 2 + y ) 4 = − − = 1 1 1 4( y 2 − y + ) 4( y 2 + y + ) 4( y 2 − 4 4) 4

в)

2

=

4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = 4y2 − 4y +1 4y2 + 4y +1 4y2 −1

=

4 y( 2 y − 1 ) 4 y( 2 y + 1 ) 4 − − = ( 2 y − 1 )2 ( 2 y + 1 )2 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )

=

4y 4y 4 y( 2 y + 1 ) − 4 y( 2 y − 1 ) − 4 4 − − = = 2 y − 1 2 y + 1 ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 )

=

8y 2 + 4y − 8y 2 + 4y − 4 8y − 4 4 = = ; ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) ( 2 y − 1 )( 2 y + 1 ) 2 y + 1

г)

a 2 + 0 ,3ab ab − 0,7b 2 a( a + 0 ,3b ) b( a − 0 ,7b ) − = − = ab + 0 ,3b 2 a 2 − 0 ,7 ab b( a + 0,3b ) a( a − 0,7b )

=

a b a2 − b2 − = ; b a ab

www.5balls.ru

д)

1,8 xy + 0,81y 2 0 ,9 y( 2 x + 0 ,9 y ) 2x 2x + = + = 0,81y 2 − 4 x 2 2 x − 0 ,9 y ( 0 ,9 y − 2 x )( 0 ,9 y + 2 x ) 2 x − 0 ,9 y

=

0 ,9 y 0 ,9 y − 2 x 2x − = = 1; 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 y − 2 x 0 ,9 − 2 x

е)

6a 8 6a 8 − = − = 2 ,25a 2 − 0,64 6a − 3,2 ( 1,5a − 0,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )

=

24a − 8( 1,5a + 0 ,8 ) 12a − 6,4 = = 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 )

=

8( 1,5a − 0 ,8 ) 2 20 = = . 4( 1,5a − 0 ,8 )( 1,5a + 0 ,8 ) 1,5a + 0 ,8 15a + 8

№ 216. 1 1 1 + + = (a − b )(b − c ) (c − a )(a − b ) (b − c )(c − a ) =

c−a +b−c+a−b 0 = =0, (a − b )(c − a )(b − c ) (a − b )(c − a )(b − c )

при всех допустимых а, b, и с. № 217. а) =

б) =

5 1 4 y − 18 5 1 4 y − 18 + − = + − = y − 3 y + 3 y2 − 9 y − 3 y + 3 (y − 3)(y + 3)

5 y + 15 + y − 3 − 4 y + 18 2 y + 30 2(y + 15) = = ; (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) (y − 3)(y + 3) 2a 5 4a 2 + 9 2a 5 4a 2 + 9 + − 2 = − − = 2a + 3 3 − 2a 4a − 9 2a + 3 2a − 3 (2a − 3)(2a + 3) 4a 2 − 6a − 10a − 15 − 4a 2 − 9 − 16a − 24 = = (2a − 3)(2a + 3) (2a − 3)(2a + 3)

=−

в) =

8(2a + 3) 8 ; = (2a − 3)(2a + 3) 3 − 2a

2b 2 + 10b b 2 − 3b 2b 2b(b + 5) b(b − 3) 2b + − = + − = 3by + 15 y by − 3 y 3 y 3 y (b + 5) y (b − 3) 3 y 2b b 2b b + − = ; 3y y 3y y

www.5balls.ru

14ax − 21x 6ax + 9 x x 7 x(2a − 3) 3 x(2a + 3) x − + = − + = 10a − 15 8a + 12 10 5(2a − 3) 4(2a + 3) 10

г)

7 x 3 x x 28 x − 15 x + 2 x 15 x 3x ; − + = = = 5 4 10 20 20 4 4m 2 m + 1 2m − 1 − + = д) 4 m 2 − 1 6 m − 3 4m + 2 4m 2m + 1 2m − 1 = − + = (2m − 1)(2m + 1) 3(2m − 1) 2(2m − 1) =

=

6 ⋅ 4m − (4m + 2 )(2m + 1) + (6m − 3)(2m − 1) = 6(2m − 1)(2m + 1)

=

24m − 8m 2 − 4m − 4m − 2 + 12m 2 − 6m − 6m + 3 = 6(2m − 1)(2m + 1)

4m + 4m 2 + 1 2m + 1 (2m + 1) ; = = 6(2m − 1)(2m + 1) 6(2m + 1)(2m − 1) 6(2m − 1) 2

=

1

е)

(x + y )

2

2 1 + = x 2 − y 2 (x − y )2

=

1 2 1 − + = 2 (x + y ) (x − y )(x + y ) (x − y )2

=

x 2 − 2 xy + y 2 − 2 x 2 + 2 y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 4y 2 = ; 2 2 (x − y ) (x + y ) (x − y )2 (x + y )2

ж)

4a 2 + 3a + 2 1 − 2a 4a 2 + 3a + 2 1 − 2a − = − 2 = 3 2 2 a −1 a + a + 1 (a − 1)(a + a + 1) a + a + 1

= =

4a 2 + 3a + 2 − (a − 1)(1 − 2a ) 4a 2 + 3a + 2 − a + 2a 2 + 1 − 2a = = (a − 1)(a 2 + a + 1) (a − 1)(a 2 + a + 1)

6a 2 + 3 3(2a 2 + 1) = ; (a − 1)3 (a − 1)3

з)

x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 x 3 − y 3 x − y

=

x− y 3 xy 1 − + = x 2 + xy + y 2 (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) x − y

(x − y ) − 3xy + (x + xy + y ) = x (x − y )(x + xy + y ) 2

=

2

2

2

2

− 2 xy + y 2 − 3xy + x 2 + xy + y 2 = (x − y )(x 2 + xy + y 2 )

2 x + 2 y − 4 xy 2(x 2 + y 2 − 2 xy ) = = (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) 2

=

2

2

www.5balls.ru

2(x − y ) 2(x − y ) = . (x − y )(x 2 + xy + y 2 ) (x 2 + xy + y 2 ) 2

=

№ 218. ax + by bx − ay (a + b )(ax + by ) − (a − b )(bx − ay ) = − = (a + b )(a − b )(x + y ) (a − b )(x + y ) (a + b )(x + y ) =

= =

a 2 x + aby + abx + b 2 y − abx + a 2 y + b 2 x − aby = (a + b )(a − b )(x + y )

a 2 x + b 2 x + b 2 y + a 2 y x (a 2 + b 2 ) + y (b 2 + a 2 ) = = (a + b )(a − b )(x + y ) (a + b )(a − b )(x + y )

(a (a

2 2

+ b 2 )(x + y ) a 2 + b 2 = , т.е. эти выражения тождественно равны. − b 2 )(x + y ) a 2 − b 2

№ 219. а) = = =

б) = =

= =

1 1 1 + + = a(a − b )(a − c ) b(b − c )(b − a ) c(c − a )(c − b )

bc(b − c ) − ac(a − c ) + ab(a − b ) b 2 c − bc 2 − a 2 c + ac 2 + a 2 b − ab 2 = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )

[

]

− b 2 (a − c ) + b(a 2 − c 2 ) − ac(a − c ) (a − c ) (− b 2 + ab + bc − ac ) = = abc (a − b )(a − c )(b − c ) abc(a − b )(a − c )(b − c )

(b − c )(a − b ) = 1 ; abc(a − b )(b − c ) abc

y2 x2 z2 + + = (x − y )(x − z ) (y − x )(y − z ) (z − x )(z − y ) y2 x2 z2 − + = (x − y )(x − z ) (x − y )(y − z ) (z − x )(z − y ) x 2 (y − z ) − y 2 (x − z ) + z 2 (x − y ) = (x − y )(x − z )(z − y )

x 2 y − x 2 z − xy 2 + y 2 z + xz 2 − yz 2 = (x − y )(x − z )(z − y )

xy (x − y ) − z (x − y )(x + y ) + z 2 (x − y ) (x − y )(xy − zx − zy + z 2 ) = = (x − y )(x − z )(z − y ) (x − y )(x − z )(z − y )

www.5balls.ru

=

x(y − z ) − z (y − z ) (x − z )(y − z ) = =1. (x − z )(z − y ) (x − z )(z − y )

№ 220. x 2 − 3 x + 6 x(x − 3) 6 6 ; = + =x+ x−3 x−3 x−3 x−3 y 2 + 5 y − 8 y ( y + 5) 8 8 ; = − =y− б) y+5 y+5 y+5 y+5

а)

a 2 + 7 a + 2 a 2 + 6a + a + 2 a( a + 6 ) a + 2 a+2 = = + =a+ ; a+6 a+6 a+6 a+6 a+6 3b 2 − 10b − 1 3b 2 − 9b − b − 1 3b( b − 3 ) b + 1 b +1 г) = = − = 3b − . b−3 b−3 b−3 b−3 b−3

в)

№ 221. 1)

x 2 + 7 x − 25 x 2 − 25 7x 7x = + = x+5+ ; следовательно, ответ x−5 x−5 x−5 x−5

верный;

x 2 + 7 x − 25 x 2 + 12 x − 5 x − 25 x 2 − 5 x 12 x − 25 = = + = x−5 x−5 x−5 x−5 x( x − 5 ) 12 x − 60 + 35 12 x − 60 35 = + = x+ + = x −5 x −5 x −5 x−5 12( x − 5 ) 35 35 =x+ + = x + 12 + ; следовательно, ответ верный; x−5 x−5 x−5

2)

3) ответ неверный, т.к. подстановке х = 1, 2 x − 25 19 x 2 + 7 x − 25 17 = . ,а − x + x−5 4 x−5 4

№ 222. 6x 6 x + 18 − 18 18 , то есть тождество верно. = =6− x+3 x+3 x+3 ax ax + ab − ab a( x + b ) − ab ab , то есть тождество б) = = =a− x+b x+b x+b x+b

а)

верно.

№ 223.

www.5balls.ru

2x a 2x a 2x − 2x − 6 a =2+ ; −2= ; = ; x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 6 a , a = −6 ; − = x+3 x+3 Ответ: a = −6 . x a x a x− x+5 a б) ; ; ; =1+ −1= = x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 x−5 5 a , a=5; = x−5 x−5 Ответ: a = 5 . 2x a 2x a 2x + 6 − 2x a в) ; ; = −2; +2= = 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 3− x 6 a , a=6; = 3− x 3− x Ответ: a = 6 . x+2 a x+2 a x+2+5− x a г) = − 1; ; ; +1= = 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 5− x 7 a , a=7; = 5− x 5− x Ответ: a = 7 .

а)

№ 224. 5x 5(x + 2 ) 10 10 ; = − =5− x+2 x+2 x+2 x+2 − 2 x − 2(x − 1) 2 2 ; б) = − = −2 − x −1 x −1 x −1 x −1 2x 2(x − 5) 10 10 ; в) = + = −2 + 5− x 5− x 5− x 5− x x − 3 x − 2 −1 x − 2 1 1 . г) = = − = −1 − 2−x 2−x 2−x 2−x 2−x

а)

№ 225. а)

5n 2 + 2 n + 3 5 n 2 2 n 3 3 = + + = 5n + 2 + - целое при n = ±1;±3 . n n n n n

www.5balls.ru

(n − 3)

2

б)

=

n 2 − 6n + 9 n 2 6n 9 9 = − + = n − 6 + - целое при n n n n n

n n = ±1;±3;±9 . 3n 3(n + 2) 6 6 в) - целое при n = −8;0;±1;−3;±4;−5 . = − =3− n+2 n+2 n+2 n+2 7n 7(n − 4 ) 28 28 - целое при = + =7+ г) n−4 n−4 n−4 n−4 n = 0;2;±3;5;6;8;−10;11;18;−24;32 .

№ 226. а)

5x a b 5x a(x + 3) + b(x − 2 ) = + = ; ; (x − 2)(x + 3) x − 2 x + 3 (x − 2)(x + 3) (x − 2)(x + 3)

5 x = a (x + 3) + b(x − 2 ) ; 5 x = ax + 3a + bx − 2b ; 5 x = (ax + bx ) + 3a − 2b ; 5 x = x(a + b ) + 3a − 2b ; запишем систему:  a + b = 5,  3a − 2b = 0;

a = 5 − b,   ( 3 5 b ) − 2b = 0; 15 − 3b − 2b = 0; b = 3; a = 2; − 

Ответ: b = 3; а = 2. б)

5 x + 31

(x − 5)(x + 2)

=

a b ; 5 x + 31 = ax + 2a − bx + 5b ; − x−5 x+2

5 x + 31 = ax − bx + 2a + 5b ; 5 x + 31 = x(a − b ) + 2a + 5b ;

запишем систему:

a = b + 5,  a − b = 5,    ( 2 a 5 b 31 ; 2 b 5) + 5b = 31; + = +   2b + 10 + 5b = 31 ; 7b = 21 ; b = 3 ; a = 8 .

Ответ: b = 3; а = 8.

К ПАРАГРАФУ 3 № 227. а) =

x 5 + x 3 x 6 − x 3 x 3 (x 2 + 1) x 3 (x 3 − 1) ⋅ = ⋅ = x 4 − x 2 x 2 + x 4 x 2 (x 2 − 1) x 2 (x 2 + 1)

x 3 (x 2 + 1)x 3 (x 3 − 1) x 2 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 (x 2 + x + 1) ; = = (x − 1)(x + 1) x 2 (x 2 − 1)x 2 (x 2 + 1) x +1

www.5balls.ru

б)

2m 5 − 3m 4 m 4 + 2m 2 m 4 (2m − 3) m 2 (m 2 + 2 ) ⋅ = ⋅ = 4 2 3 m − 4m 3m − 2m m(m 3 − 4 ) m 2 (3 − 2m )

=−

m 3 (m 2 + 2 ) m 3 (m 2 + 2) . = m3 − 4 4 − m3

№ 228. m5 + m4 + m3 m5 + m3 ⋅ = m3 + m2 m4 + m3 + m2 m 3 (m 2 + m + 1) m 3 (m 2 + 1) m 2 (m 2 + 1) ; = ⋅ 2 2 = 2 m (m + 1) m (m + m + 1) m +1

а)

б)

n2 − n4 + n6 n2 −1 n 2 (n 4 − n 2 + 1)(n − 1)(n + 1) ⋅ 5 = − = −n(n + 1) . n(n − 1)(n 4 − n 2 + 1) n − n3 + n 1− n

№ 229. a 2 + ax + ab + bx a 2 − ax − bx + ab ⋅ = a 2 − ax − ab + bx a 2 + ax − bx − ab a (a + x ) + b(a + x ) − x(a + b ) + a (a + b ) = ⋅ = x(b − a ) + a (a − b ) a (a − b ) + x(a − b )

а)

(a + x )(a + b )(a + b )(a − x ) = (a + b ) (a − b )(a − x )(a − b )(a + x ) (a − b )

2

=

2

;

x 2 + ax − 3 x − 3a x 2 + 4 x − ax − 4a ⋅ = x 2 − ax − 3 x + 3a x 2 + 4 x + ax + 4a x(x + a ) − 3(x + a ) x(x − a ) + 4(x − a ) = ⋅ = x(x − a ) − 3(x − a ) x(x + a ) + 4(x + a )

б)

=

(x + a )(x − 3)(x − a )(x + 4) = (x + a )(x − a ) = 1 . (x − a )(x − 3)(x + a )(x + 4) (x − a )(x + a )

№ 230. а) =

(a − a 8 )(a 5 + a ) = a − a8 a9 − a2 ⋅ 5 = 6 6 2 a +a a + a (a + a 2 )(a 9 − a 2 )

a (1 − a 7 )⋅ a (a 4 + 1) 1 =− 2 ; a 2 (a 4 + 1) ⋅ a 2 (a 7 − 1) a

www.5balls.ru

б) =

9 x 2 − x 6 x 4 − 3 x 2 (9 x 2 − x 6 )(x 9 + x 7 ) ÷ 9 = 5 = x5 + x7 x + x7 (x + x 7 )(x 4 − 3x 2 )

x 2 (9 − x 4 )⋅ x 7 (x 2 + 1) (3 − x 2 )(3 + x 2 )(x 2 + 1) ⋅ x 2 = = − x 2 (x 2 + 3) . x 5 (x 2 + 1)⋅ x 2 (x 2 − 3) (x 2 + 1)(x 2 − 3)

№ 231. x2 x2 (x 2 = 2 (x

а)

− bx + ax − ab x 2 + bx + ax + ab ÷ = + bx − ax − ab x 2 − bx − ax + ab − bx + ax − ab ) (x 2 − bx − ax + ab ) ⋅ = + bx − ax − ab ) (x 2 + bx + ax + ab )

[x(x − b ) + a(x − b )][x(x − b ) − a(x − b )] = [x(x + b ) − a(x + b )][x(x + b ) + a(x + b )] (x − b )(x + a )(x − b )(x − a ) = (x − b ) ; = (x + b )(x − a )(x + b )(x + a ) (x + b ) =

2

2

m 2 + m − mn − n m 2 ÷ m 2 + m + mn + n m 2 (m 2 + m − mn − n ) ⋅ (m 2 = 2 (m + m + mn + n ) (m 2

б)

− m − mn + n = − m + mn − n − m + mn − n ) = − m − mn + n )

[m(m + 1) − n(m + 1)][m(m − 1) + n(m − 1)] = [m(m + 1) + n(m + 1)][m(m − 1) − n(m − 1)] (m + 1)(m − n )(m − 1)(m + n ) = 1 . = (m + 1)(m + n )(m − 1)(m − n )

=

www.5balls.ru

№232 Учтем, что m≠n, -m≠0, n≠0: 2

2

m2 + n2 2  1 1 2 n−m m2 − n2 : −  − : = − =   mn  m n  (m − n )2 mn  mn  (m − n )2 = =

2m 2 n 2 mn(n − m )

2

m2 + n2

(n − m )

2

2mn − m 2 − n 2

(n − m )

2

=−

=

2mn

(n − m )

2

n 2 − 2mn + m 2

(n − m )2

m2 − n2

=

(n − m )2 (n − m )2 =− (n − m )2

= −1 ,

что не зависит от указанных переменных. №233 3 2  9 n   3 1 1  27 + n 9 − 3n + n : =  2 + : 2 − +  = n 3 3 n 3n 2 3n 2 n

=

(27 + n )⋅ 3n (9 − 3n + n )⋅ 3n 3

2

2

2

=

(3 + n )(9 − 3n + n2 ) = 3 + n , натуральное при всех 9 − 3n + n 2

натуральных n. №234*

(

)

2 2 2 2   a − a + x  ⋅  2a + 4a  = a (a + x ) − a − x ×  a + x   x a − x  a+x 

× =

2a (a − x ) + 4ax a 2 + ax − a 2 − x 2 2a 2 − 2ax + 4ax = ⋅ = x(a − x ) a+x x(a − x )

ax − x 2 2a 2 + 2ax x(a − x )⋅ 2a (a + x ) ⋅ = = 2a , четное при всех целых (a + x )⋅ x(a − x ) a+x x(a − x )

значениях а. №235 2 4  x +1  x + 1 x − 5x + 3 − = + − 2 :  x+3 2x  2x  x+3

=

(x + 1)(x + 3) + 8 x − 4 x(x + 3) : x + 1 − x 2 − 5 x + 3 = 2 x(x + 3) x+3 2x

=

x 2 + 3 x + x + 3 + 8 x − 4 x 2 − 12 x x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x+3 2x

=

− 3x 2 + 3 x + 1 x 2 − 5 x + 3 : − = 2 x(x + 3) x + 3 2x

www.5balls.ru

=

(

)

− 3 x 2 − 1 (x + 3) x 2 − 5 x + 3 − = 2 x(x + 3)(x + 1) 2x

=

− 3(x − 1)(x + 1) x 2 − 5 x + 3 − 3(x − 1) x 2 − 5 x + 3 − = − = 2 x(x + 1) 2x 2x 2x

=

− 3x + 3 − x 2 + 5 x − 3 − x 2 + 2 x x2 2x x = =− + = − +1 , 2x 2x 2x 2x 2

отрицательное число при любом х>2. №236   

а)  a + 2b + = = =

4b 2   2ab  : a −  +1 = a − 2b   a + 2b 

(a + 2b )(a − 2b ) + 4b2 : a(a + 2b ) − 2ab + 1 = a − 2b

2

2

a + 2b

2

2

a − 4b + 4b a + 2ab − 2ab : +1 = a − 2b a + 2b a2 a2 a 2 (a + 2b ) +1 = 2 +1 = : a − 2b a + 2b a (a − 2b )

a + 2b + a − 2b 2a ; = a − 2b a − 2b  3 3x − 3 y  2 x − 3 y − ⋅  2 − 2 x + 3 y  = б) 2 x + y 2x − 3 y  x − y  =

(

) (

)

=

3 3x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x x 2 − y 2 + 3 y x 2 − y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3y x2 − y 2

=

3 3 x − 3 y 2 x − 3 y − 2 x3 + 2 xy 2 + 3 x 2 y − 3 y 3 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y 2

=

3 3 x − 3 y (2 x − 3 y )1 − x 2 + y 2 − ⋅ = x + y 2x − 3 y x2 − y2

=

3 3 1 − x2 + y2 3 − 3 + 3x2 − 3 y 2 3 x2 − y 2 − = = = 3(x − y ) x+ y x+ y x+ y x+ y

(

(

 5 x 2 − 15 xy − в)  2 2  x − 9y 

)

)

 5 3 : −  = x + 6 xy + 9 y   y x  3 xy + 9 y 2

2

2

www.5balls.ru

(

)

 5 x(x − 3 y ) 3 y (x + 3 y )  5 x − 3 y = − : =  (x − 3 y )(x + 3 y ) (x + 3 y )2  xy    5x 3 y  5x − 3 y 5x − 3 y 5x − 3 y  : = = =  − : xy x + 3y xy  x + 3y x + 3y  xy = ; x + 3y   6 a + 9c 4a 2 − 6ac 6ac + 9c 2 ⋅ − =  4a 2 − 12ac + 9c 2 4a 2 + 12ac + 9c 2  4a 2 + 9c 2  

г) 

 2a(2a − 3c ) 3c(2a + 3c )  6a + 9c ⋅ = − =  (2a − 3c )2 (2a + 3c )2  4a 2 + 9c 2  3c  6a + 9c 2a(2a + 3c ) − 3c(2a − 3c )  2a = − = × ⋅ 2 2 (2a − 3c )(2a + 3c )  2a − 3c 2a + 3c  4a + 9c × =

6 a + 9c 2

4 a + 9c

(4a

2

2

=

4a 2 + 6ac − 6ac + 9c 2 6a + 9c ⋅ = (2a − 3c )(2a + 3c ) 4a 2 + 9c 2

)

+ 9c 2 3(2a + 3c )

(2a − 3c )(2a + 3c )(4a

№237 а) ab + ab +

2

+ 9c

2

)

=

3 ⋅ 2a − 3c

ab  a + b ab a + b − (a + b )(a − b )  − a − b  = ab + ⋅ =  a +b a −b a+b a −b 

ab(a + b )(1 − (a − b )) ab ⋅ (1 − a + b ) = ab + = a −b (a + b )(a − b )

ab(a − b ) + ab(1 − a + b ) a 2b − ab 2 + ab − a 2b + ab 2 ab = = ; a −b a −b a −b  y 2 − xy  x y − xy + y 2  ⋅ + = б)  2  x + xy  x− y x+ y   =

= =

(

)(

y 2 − xy − xy − y 2 x 2 + xy 2

x + xy

(

)⋅

− y (x − y ) − y (x − y ) x 2 + xy 2

x + xy

x y + = x− y x+ y

)⋅

x y + = x− y x+ y

www.5balls.ru

= =

(

)

− y (x − y )1 + x 2 + xy y − y − yx 2 − xy 2 + y + = = x(x + y )(x − y ) x+ y x+ y

(

)

− x 2 y + xy 2 xy (x + y ) =− = − xy ; x+ y x+ y 

1

в) 

 (2a − b )

2

+

2 4a 2 − b 2

+

 4a 2 + 4ab + b 2 ⋅ = 16a (2a + b )2  1

(2a + b )2 + 2(2a − b )(2a + b ) + (2a − b )2 ⋅ (2a + b )2 16a (2a − b )2 (2a + b )2 2 2 a 16a (2a + b ) = = ; 2 2 (2a + b ) (2a − b ) ⋅16a (2a − b )2

=

г)

4c 2

(c − 2)

4

 1 1 2  + + 2 :  2 2 =  (c + 2 ) (c − 2 ) c − 4 

=

(c − 2)2 + (c + 2)2 + 2(c − 2)(c + 2) = (c − 2)2 (c + 2)2 (c − 2)

=

4c 2 c 2 − 4c + 4 + c 2 + 4c + 4 + 2c 2 − 8 : = (c − 2) (c − 2)2 (c + 2)2

=

4c 2

4

4c 2

=

:

:

4c 2

(c − 2)4 (c − 2)2 (c + 2)2

=

4c 2 (c + 2)2 (c − 2)2 4c 2 (c − 2 )4

=

(c + 2)2 . (c − 2)2

№238    4 xy 4 xy − y  = + y  ⋅  x + − + x y x y     x(x + y ) − 4 xy + y (x + y ) x(x − y ) + 4 xy − y (x − y ) = ⋅ = x+ y x− y 

а)  x −

=

x 2 − 2 xy + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 (x − y )2 (x + y )2 ⋅ = = x+ y x− y (x + y )(x − y )

= (x − y )(x + y ) = x 2 − y 2 ;

   1 − 2a 2 1  + 1 :  1 − б)  a − =   

1− a

 

1− a 

www.5balls.ru

(

)

=

a (1 − a ) − 1 − 2a 2 + 1 − a 1 − a − 1 a − a 2 − 1 + 2a 2 + 1 − a − a : = : = 1− a 1− a 1− a 1− a

=

a2 1− a

a  a 2 (1 − a )  : − = −a . =− a (1 − a )  1− a 

№239 1 6q 2 1 6q 2 + − = + − = p − 2q 4q 2 − p 2 p + 2q p − 2q (2q − p )(2q + p ) p + 2q =

p + 2q − 6q − 2( p − 2q ) p + 2q − 6q − 2 p + 4q p ; = =− 2 ( p − 2q )( p + 2q ) ( p − 2q )( p + 2q ) p − 4q 2

 1  p 2 + 4q 2 1 p 2 + 4q 2 + p 2 − 4q 2 ⋅ 2 + 1 = − ⋅ = 2  2 p  p − 4q 2p p 2 − 4q 2 

=−

1 2 p2 p ⋅ 2 =− 2 ; тождество доказано. 2 p p − 4q 2 p − 4q 2

№240*

(

) =  a(a

(

)

 b 2a 3 + b3 a +b +  a 3 − b3  3

3

 

 a a 3 + 2b3 a +b =   a 3 − b3  3

3

)

3

+ 2b3  ;  a 3 − b3    3

(

3

 b 2a 3 + b3 −   a 3 − b3  

) ; 3

 

( ) − b (2a + b ) ; a +b = (a − b ) (a − b ) a (a + 2b ) − b (2a + b ) a +b = ; (a − b ) (a + b )(a − b ) = a (a + 2b ) − b (2a + b ). 3

3

3

3

3

3

3

3

3

33

3

3

3

a3 a3 + 2b3

3

3

33

3

33

3

3

33

3

3

33

3

33

33

3

3

3

Будем преобразовывать левую и правую части неравенства отдельно: 1) a3 + b3 a3 − b3 = a3 + b3 a9 − 3a 6b3 + 3a3b6 − b6 =

(

12

)(

9 3

) (

9 3

)(

6 6

)

6 6

3 9

3 9

12

= a + a b − 3a b − 3a b + 3a b + 3a b − a b − b

= a − 2a b + 2a b − b ; 12

9 3

3 9

12

www.5balls.ru

=

(

)

(

3

)

(

3

)

a3 a3 + 2b3 − b3 2a3 + b3 = a3 a9 + 6a 6b3 + 6a3b6 + 8b9 −

2)

(

)

− b 8a + 6 a b + 6 a b + b = a + 6 a b + 6 a b + 8 a b − 3

9

6 3

9 3

3 6

6 6

3 9

9

12

− 8a b − 6 a b − 6 a b − b

12

9 3

6 6

3 9

= a12 − 2a 9b3 + 2a3b9 − b12 .

№241* 3 2 2 a − 2ab + b 2 9a 2 − 12ab + 4b 2 9a 2 − 4b 2 6b 2 3 + = + : 3 1 1 2 1 2 6 36 a − b a+ b 4 2 4 9 + =

6b 3a + 2b (3a − 2b )2 ⋅ 36 4 ⋅ 6b 6(3a − 2b )2 24b : = + = + = 2 2 1 4 3a + 2b (3a − 2b )(3a + 2b ) 3a + 2b 6 9a − 4b

(

)

6(3a − 2b ) 24b 18a − 12b + 24b 6(3a + 2b ) = = 6 , что не зависит + = 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b 3a + 2b

от а и в. №242*

    , b , b b−3 − − 0 5 1 5 2 6 : = − а)  2  0,8b3 + 21,6  0,5b − 1,5b + 4,5 1 3 + b 9   3       0,5(b − 3) ( ) b b−3 − 2 3 : = − =  0,8 b3 + 27  0,5 b 2 − 3b + 9 1 3 + b 27   3    b−3  5(b − 3) 6(b − 3) : =  2 − 2  4 b3 + 27 = − 3 + 9 3 3 9 b b b b b + − + ( )   ( b + 3)(b − 3) − 6(b − 3) 5(b − 3) = = : 4 b3 + 27 b3 + 27

(

) (

(

)

(

)

) (

( ) 4[(b − 3)(b + 3 − 6 )](b + 27 ) 4(b − 3) = = ; 5 5(b + 27 )(b − 3) 3

3

2   a  a 2a  0,5a − 1 3  ⋅ = б) + +   0 ,5a + 1 2 − a 1 a 2 − 1  0 ,5a − 2  4  

www.5balls.ru

)

 2a  a−2 2a 8a  ⋅ =  − + = + − − + ( ) ( )( ) a 2 3 a 2 a 2 a 2   a−4 6a (a − 2 ) − 2a (a + 2 ) + 24a a − 2 = ⋅ = 3(a − 2 )(a + 2 ) a−4 =

(4a

)

+ 8a (a − 2 ) 4a = ; 3(a − 2 )(a + 2 )(a − 4 ) 3(a − 4 ) 2

в)  3,6 xy + 2 ,1 y 2  12 x 2 − 7 xy 2x  ⋅ + =  1,44 x 2 − 0 ,49 y 2 2 ,4 x − 1,4 y  x + 3y  

 x(12 x − 7 y )  3 y (1,2 x + 0 ,7 y ) 2x  ⋅ = =  + x + 3y  (1,2 x − 0 ,7 y )(1,2 x + 0 ,7 y ) 2(1,2 x − 0 ,7 y )  3 y (1,2 x + 0,7 y ) + x(1,2 x + 0 ,7 y ) x(12 x − 7 y ) = ⋅ = x + 3y (1,2 x − 0,7 y )(1,2 x + 0,7 y )

(1,2 x + 0,7 y )(3 y + x ) ⋅ x(12 x − 7 y ) = (1,2 x + 0,7 y )(1,2 x − 0,7 y ) x + 3 y (x + 3 y )⋅ x(12 x − 7 y ) = 10 x(12 x − 7 y ) = 10 x = 12 x − 7 y (x + 3 y )(1,2 x − 0,7 y ) =

г)    1 2y 0 ,5 x 1      0 ,5 x + y − 0,25 x 2 + xy + y 2  :  0 ,25 x 2 − y 2 + 2 y − x  + 2 =        1 2y 0 ,5 x 1  : +2 = = − −  0 ,5(x + 2 y ) 0 ,25(x + 2 y )2   0 ,25(x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y       2   8y 2x 1  : +2 = = − −  x + 2 y (x + 2 y )2   (x − 2 y )(x + 2 y ) x − 2 y      2(x + 2 y ) − 8 y 2x − x − 2 y = +2= : (x + 2 y )2 (x − 2 y )(x + 2 y ) =

2(x − 2 y )

:

2(x − 2 y ) 1 x − 2y +2= +2= : 2 (x − 2 y )(x + 2 y ) (x + 2 y ) x + 2 y

(x + 2 y ) 2(x − 2 y )(x + 2 y ) 2(x − 2 y ) + 2(x + 2 y ) = +2= = x + 2y (x + 2 y )2 2

www.5balls.ru

4x x + 2y

№243* yz xy − xz − yz (xy − xz − yz )(x − z ) = x − z ; y−z y−z а) = = xy − yz − xz (xy − xz − yz )(y − z ) y − z xz y− x−z x−z (a − x )(a − x ) + ax a−x x + a (a − x ) a−x = = б) a a+x x (a + x )2 − ax − a a+x a (a + x ) x−

=

(

)

(a − ax ) (a

a a 2 − 2ax + x 2 + ax (a + x )

(

a(a − x ) a + 2ax + x 1

2

2

=

) =a + ax + x )(a − x ) a

2

− ax + x 2 (a + x )

3

+ x3

2

2

3

− x3

;

1 = = 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x x +1 1 ; = = x + 1 + x 2x + 1 x +1 1 1 1 1 г) = = = = 1 1 x x +1− x 1− 1− 1− 1 x +1 x +1 x +1 1+ x x x +1 = = x + 1. 1

в)

1

=

1

№244 1. 2. 3. 4. 5. 6.

4 ; 1=1. −4 4 Точка B(8;0,5) не принадлежит т.к. − = −0 ,5 ≠ 0 ,5 . 8

Точка А(-4;1) принадлежит т.к. 1= −

Точка C(0;0) не принадлежит т.к. х=0 не входит в область определения функции. 4 . 0 ,01 4 1 1 Точка E(16;1/4) не принадлежит т.к. − = − ≠ . 16 4 4 4 = −0 ,1 ≠ 0 ,1 Точка F(40;0,1) не принадлежит т.к. − 40

Точка D(0,01;-400) принадлежит т.к. − 400 = −

www.5balls.ru

7.

Точка G(1000;-0,004) принадлежит т.к. − 0 ,004 = −

8.

Точка K(-0,004;-1000) не принадлежит т.к.

4 . 1000

−4 = 1000 ≠ −1000. − 0 ,004

№245 y=

k k 162 ; 18= ; k = 18 ⋅ (− 9) ; k = −162 ; y = − . x x −9

№246

1 . 40 1 ; Б) Точка B(0,03125;32) принадлежит т.к. 32 = 0 ,03125 1 1 1 = 62 ,5 ≠ 6 ,25 = 6 . в) Точка C(0,016; 6 ) не принадлежит т.к. 4 0 ,016 4 1 = 8 ≠ 0 ,8 г) Точка D(0,125;0,8) не принадлежит т.к. 0 ,125

а) Точка A(40;0,025) принадлежит т.к. 0,025 =

№247 Подставим координаты точки А(10;2,4) в уравнение функции и найдем k: k k 24 ; k=2,4 ⋅10 − 24 , т.е. y = . : 2 ,4 = x 10 x 24 ; а) Точка B(1;24) принадлежит т.к. 24 = 1 24  1  ; б) Точка C  − ;−120  принадлежит т.к. − 120 = 1  5  − 5 24 в) Точка D(-2;12) не принадлежит т.к. = −12 ≠ 12 ; −2 y=

№248* а) y = =

36

(x + 1) − (x − 1) 2

2

=

36 = (x + 1 + x − 1)(x + 1 − x + 1)

36 36 9 = = . 2x ⋅ 2 4x x

Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам:

www.5balls.ru

x y

-9 -1

-3 -3

-1 -9

1 9

3 3

9 1

y 8 4 -8 0

4

8

x

-8

б) y =

18 − 12 x 2

6 18 − 2 x 6 = − = 3 − x x(x − 3) 3 − x

x − 3x 18 − 12 x + 6 x 18 − 6 x 6(3 − x ) 6 = = = =− . x(x − 3) x(x − 3) x(x − 3) x Область определения: x ≠ 0 .

Построим график функции по точкам: x y

-3 2

-2 3

-1 6

1 -6

www.5balls.ru

2 -3

3 -2

y 8 4 8 0

-8

4

x

-8 в) y = =

16

(2 − x ) − (2 + x )2 2

16

=

(2 − x + 2 + x )(2 − x − 2 − x )

=

16 16 2 = =− . 4(− 2 x ) − 8 x x

Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x

-2

-1

y

1

2

4

1 2

1 2

1

2

-4

-2

-1

www.5balls.ru

y 4

4 -4

0

-2

x

-2 -4

г) y = =

3 x(x + 1) − 3 x 2 + 15 = x(x + 5)

3 x 2 + 3 x − 3 x 2 + 15 3 x + 15 3(x + 5) 3 = = = . x(x + 5) x(x + 5) x(x + 5) x

Область определения: x ≠ 0 . Построим график функции по точкам: x y

-3 -1

-2 -1,5

-1 -3

1 3

www.5balls.ru

2 1,5

3 1

y 4 2 -4

-2 0

2

4

x

-2 -4

№249* а) y =

4 x

y 4

2

-4

-2 0

2

4

-2

www.5balls.ru

x

б) y =

2 ,4 x

y

3

2 1 -2

-1 0

1

2

x

-1 в) y =

1 x

y 4

2

-4

-2 0

2

4

-2

www.5balls.ru

x

г) y = −

1 x

y 1 -1 0

-3

1

3

x

-1 -2 -3 -4

д) y =

−6 x

y 1

-4

-2

0

2

-2 -4

-6

www.5balls.ru

4

x

е) y =

−3,6 x

y 1

-4

-2

0

2

4

x

-2 -4

-6

№250* а) Подставим координаты точки P в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1 = ; k=2; затем подставим их в уравнение прямой и x 2 найдем b: y = kx + b; 1 = 2 ⋅ 2 + b; b = 1 − 4 = −3. y=

б) Подставим координаты точки Q в урав��ение гиперболы и найдем k: k k ; 3= ; k= -6; затем подставим их в уравнение прямой и x −2 найдем b: y = kx + b; 3=(-6)⋅(-2)+b; 3=12+b; b=3-12=-9. y=

в) Подставим координаты точки R в уравнение гиперболы и найдем k: k k ; 1= ; k= -1; затем подставим их в уравнение прямой и x −1 найдем b: y = kx + b; 1=(-1)⋅(-1)+b; 1=1+b; b=0. y=

№251* а) Только в 1 точке –да; б) только в 2 точках – да; в) в 3 точках – нет.

www.5balls.ru

а)

y

x

б)

y

x

№252* а) В одной четверти – да; б) в I и II четвертях – нет; в) в I и III четвертях – да.

www.5balls.ru

а)

y

x

в)

y

x

ГЛАВА II. Квадратные корни §4. Действительные числа. 9. Рациональные числа. №253 а) Натуральные числа: 10; 15; б) целые числа: -100; -2; 0; 10; 15;

www.5balls.ru

в) рациональные числа: -100; -14,5;-2; −

2 1 ; 0;10;15; 20 . 3 6

№255 а) 27∈N – да; б) 2,7∉N – да; в) 0∈Z – да; г) -8∉ Z – нет. №256 а) -4∈N-нет; -4∈Z – да; -4∈Q – да; б)5,6∉N – да; 5,6∈Z – нет; 5,6∈Q – да; в) 28∈N-да; 28∈Z – да; 28∈Q – да; №257 2 7 2 14 2 21 ;1 = ; 1 = ;1 = 5 5 5 10 5 15 3 6 18 ; 0,3 = ; 0,3 = ; 0,3 = 10 10 60 1 13 1 26 1 39 ; −3 = − ; −3 = − ; −3 = − 4 4 4 8 4 12 27 54 81 ; -27 = − ; -27= − ; − 27 = − 1 2 3 0 0 0 . 0 = ; 0= ; 0 = 1 5 13

№258 36 45 1 21 ; − 45 = − ; 4 ,2 = 4 = 1 1 5 5 4 1 91 2 2 ; − =− . − 0 ,8 = − ; 15 = 5 6 6 9 9

36=

№259 1 = 0 ,(3) ; 3 5 б) = 0,8(3) ; 6 1 в) = 0 ,(142857 ) ; 7 20 = −2,(2 ) ; г) − 9

а)

www.5balls.ru

8 = −0,5(3) ; 15 е) 10,28 = 10 ,28(0) ;

д) −

ж) − 17 = −17 ,(0) ; з)

3 = 0 ,1875(0 ) ; 16

3 43 =− = −1,075(0) ; 40 40 7 29 = 2 ,6(36 ) ; к) 2 = 11 11

и) − 1

№260 5 = 1,(6 ) ; 3 7 = 0,2(3) ; б) 30 3 в) = 0,4285... ; 7 5 г) − = −0 ,625(0) ; 8 д) 1,347 = 1,347(0) ; е) − 125 = −125,(0) ;

а)

№261 а) 0,013<0,1004; б) –24<0,003; в) –3,24>-3,42; г)

3 = 0 ,375 ; 8

7 ; 40 е) 0,9(09 ) < 0,91(6) .

д) − 1,174 > −1

№262 а) 1,009<1,011; б) –2,005>-2,04; 3 4

в) − 1 = −1,75 ;

www.5balls.ru

г)

7 = 0 ,4375 > 0 ,437 . 16

Упражнения для повторения a 3a 2ab a 3a 2ab а) + − = + − = a − b a + b a 2 − b 2 a − b a + b (a − b )(a + b ) =

a(a + b ) + 3a (a − b ) − 2ab a 2 + ab + 3a 2 − 3ab − 2ab = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b )

=

4a 2 − 4ab 4a(a − b ) 4a ; = = (a − b )(a + b ) (a − b )(a + b ) a + b

1 ⋅ (1 − x )⋅ x 1 x  1  1− x ⋅ 2 =− = ( )( )( ) + + − + 1 1 1 1 x x x x x x 1 − x ( 1)2 + x  

б)  −  ⋅

№266 а)Четные числа можно представить в виде 2n и 2m; их сумма равна 2m+2n=2(n+m), - четное число. б) Четное число можно представить в виде 2n, а нечетное - в виде 2m+1; их сумма равна: 2n+(2m+1)=2n+2m+1=2(n+m)+1, - нечетное число. №267 а) (2n)2=4n2 , - четное число. б) (2n+1)2=4n2+4n+1=4n(n+1)+1, - нечетное число. №268 а) 10 = 10 ; |0,3|=0,3; |0|=0; |-2,7|=2,7; |-9|=9; б) |x|=6 ⇒ x=±6; |x|=3,2 ⇒ x=±3,2; |x|=0 ⇒ x=0. №269 а) при a>0: |a|=a; б) при c<0: |c|=-c; в) при b<0: |2b|=-2b; г) при c≥0: |3c|=3c; 10. Иррациональные числа №272 Рациональные числа:

1 ; 0; 0,25; -2,(3); 4,2(51); 217; 7

www.5balls.ru

иррациональные числа: 0,818118111…; π. №273 а) 7,16∈N - нет; 7,16∈Z – нет; 7,16∈Q – да; 7,16∈R - да; б)409∈ N – да; 409∈Z –да; 409∈Q – да; 409∈R - да; в) π∈N-нет; π∈Z – нет; π∈Q – нет; π∈R - да. №274 а) 7,653…>7,563…; б) 0,123…>0,114…; в) -48,075>-48,275…; г) -1,444…>-1,456… №275 а) 1,(56); б) -4,45; в) 1,6668; г) −

5 ; 22

д) π=3,14159…; е) π; №276 а) 9,835…<9,847; б) -1,(27)<1,272; 1 = 2 ,1428... > 2 ,142 ; 7 3 г) 1,(375)> 1 = 1,375 . 8

в) 2

№279 а) a = 1,0539... ≈ 1,1 ; b = 2,0610... ≈ 2,1 ; a + b ≈ 1,1 + 2,1 = 3,2; б) a = 1,0539... ≈ 1,05 ; b = 2,0610... ≈ 2,06 ; a + b ≈ 1,05 + 2,06 = 3,11 в) a = 1,0539... ≈ 1,054 ; b = 2,0610... ≈ 2,061 a + b ≈ 1,054 + 2,061 = 3,115 №280 а) a = 59,678... ≈ 59,7 ; b = 43,123... ≈ 43,1; a − b ≈ 59,7 − 43,1 = 16,6 ; б) a = 59,678... ≈ 59,68 ; b = 43,123... ≈ 43,12 ; a − b ≈ 59,68 − 43,12 = 16,56 . №281

www.5balls.ru

Пусть r - радиус окружности. Тогда ее длина C=2πr; π ≈ 3,14 ; C ≈ 2 ⋅ 3,14 ⋅ 4 ,5 = 6 ,28 ⋅ 4 ,5 = 28,26 (см). №282 Пусть r - радиус круга. Тогда его площадь S = πr 2 ≈ 3,14 ⋅ 102 = 3,14 ⋅ 100 = 314 (м2).

Упражнения для повторения №283

a  a+b b  (a + b )2 − ab (a + b )2 − ab a+b = − − : = :  a+b  a a+b b(a + b ) a (a + b )  b =

( )= a ( a + b) − ab) b b(a + b )( a(a + b )(a + b )2 − ab 2

№284 1) x = −2,5 ; |2x-8|=|2⋅(-2,5)-8|=|-5-8|=|-13|=13; 2) x=0; |2x-8|=|2⋅0-8|=|-8|=8; 3) x=4; |2x-8|=|2⋅4-8|=|8-8|=|0|=0; 4) x=5; |2x-8|=|2⋅5-8|=|10-8|=|2|=2; 5) x=9,5; |2x-8|=|2⋅9,5-8|=|11|=11; №285 а) |ab|=ab; б) |ab|=-ab. №286 Найдем k: − 0 ,5 =

k 2 ; k = −0,5 ⋅ 4 = −2 ; y = − . 4 x

Область определения: x≠0 x y

1 -2

2 -1

4 -1/2

1/2 -4

-1 2

www.5balls.ru

-2 1

-4 1/2

y 6

1 6

-1

6

1 0

x

-6 §5 Арифметический квадратный корень 11. Квадратные корни. Арифметический квадратный корень. №287 а) 5>0 и 52=25, следовательно, число 5- арифметический квадратный корень из 25; x -4 -2 -1 1 2 4 y 1/2 1 2 -2 -1 -1/2 б) 0,3>0 и 0,32=0,09 следовательно, число 0,1 - арифметический квадратный корень из 0,09; в) –7<0 следовательно число –7 не является арифметическим квадратным корнем из 49; г) 0,62=0,36≠36 следовательно число арифметическим квадратным корнем из 36; №288 а) 11>0 и 112=121; б) 13>0 и 132=169; в) 1,2>0 и 1,22=1,44; г) 0,7>0 и 0,72=0,49.

www.5balls.ru

0,6

не

является

№289 а) 81 = 9 ; б) 64 = 8 ; в) 36 = 6 ; г) 1600 = 40 ; д) 2500 = 50 ; е) 10000 = 100 ; ж)

0 ,04 = 0 ,2 ;

з) 0 ,25 = 0 ,5 ; и)

0 ,81 = 0 ,9 ;

к)

81 9 = ; 4 2

л) 2

1 = 4

м) 1

24 = 25

9 3 ; = 4 21 49 7 = ; 25 5

№290 а) 400 = 20 ; б)

900 = 30 ;

в)

4900 = 70 ;

г)

0 ,01 = 0 ,1 ;

д)

0 ,16 = 0 ,4 ;

е)

0 ,64 = 0 ,8 ;

ж)

36 6 = ; 49 7

з)

121 11 ; = 64 8

и) 1

7 16 4 1 = = =1 ; 9 9 3 3

www.5balls.ru

к)

6

1 = 4

25 5 1 = =2 . 4 2 2

№291 а) при а=32, b=4 получаем:

a + b = 32 + 4 = 36 = 6 ; a + b = 33 − 8 = 25 = 5 ;

при а=33, b=-8 получаем:

при а=0,65, b=0,16 получаем:

a + b = 0 ,65 + 0 ,16 = 0,81 = 0 ,9 ;

a + b = − 25 + 26 = 1 = 1

при а=-25, b=26 получаем:

3x − 5 = 3 ⋅ 7 − 5 = 21 − 5 = 16 = 4 ;

б) при х=7 получаем:

3x − 5 = 3 ⋅ 23 − 25 = 69 − 5 = 64 = 8 ;

при х=23 получаем:

3 x − 5 = 3 ⋅ 1,83 − 5 = 5.49 − 5 = 0 ,49 = 0,7 .

при х=1,83 получаем:

в) при х=0 получаем: x + x = 0 + 0 = 0 + 0 = 0 ;] при х=0,01 получаем: x + x = 0 ,01 + 0 ,01 = 0,01 + 0,1 = 0,11 ; при х=0,36 получаем: x + x = 0 ,36 + 0 ,36 = 0,36 + 0,6 = 0,96 . при х=0,64 получаем: x + x = 0 ,64 + 0,64 = 0,64 + 0,8 = 1,44 ; при х=1 получаем: x + x = 1 + 1 = 1 + 1 = 2 ; при х=25 получаем: x + x = 25 + 25 = 25 + 5 = 30 ; при х=100 получаем: x + x = 100 + 100 = 100 + 10 = 110 ; при х=3600 получаем: x + x = 3600 + 3600 = 3600 + 60 = 3660 №292 а) при x=25, y=0 получаем: при x=0, y=1 получаем: при x=

x + y = 25 + 0 = 5 ;

x + y = 0 + 1 = 1;

9 , y=0,36 получаем: 25

x+ y=

9 3 + 0,36 = + 0 ,6 = 25 5

= 0,6 + 0,6 = 1,2

б) при а=0 получаем: при а=2 получаем:

4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 0 = 4 − 0 = 2 ;

4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 2 = 4 − 4 = 0 ;

при а=1,5 получаем: при а=-22,5 получаем:

4 − 2a = 4 − 2 ⋅ 1,5 = 4 − 3 = 1 ; 4 − 2a = 4 − 2 ⋅ (− 22 ,5) = 4 + 45 = 7 ;

www.5balls.ru

№293 а) 36 ⋅ 16 = 6 ⋅ 4 = 24 ; б) 81 : 100 = 9 : 10 = 0,9 ; в) 0 ,09 + 0 ,25 = 0 ,3 + 0 ,5 = 0 ,8 ; г) 0,04 − 0,01 = 0,2 − 0,1 = 0,1 ; д) 3 9 − 16 = 3 ⋅ 3 − 16 = 9 − 16 = −7 ; е) − 7 0,36 + 5,4 = −7 ⋅ 0,6 + 5,4 = −4 ,2 + 5,4 = 1,2 ; ж) 0,1 400 + 0,2 1600 = 0,1 ⋅ 20 + 0,2 ⋅ 40 = 2 + 8 = 10 ; з)

1 1 1 1 0 ,36 + 900 = ⋅ 0,6 + ⋅ 30 − 0 ,2 + 6 = 6,2 ; 3 5 3 5

№294 а) 0,6 36 = 0,6 ⋅ 6 = 3,6 ; б) − 2,5 25 = −2,5 ⋅ 5 = −12,5 ; в) 0 ,49 + 0 ,16 = 0 ,7 + 0 ,4 = 1,1 ; г) 0,64 − 0,04 = 0,8 − 0,2 = 0 ,6 ; д) − 0,0036 + 0,0025 = −0,06 + 0,05 = −0,01 ; е) 0,01 − 0,0001 = 0,1 − 0,01 = 0,09 ; ж)

1 1 0,81 − 1 = ⋅ 0 ,9 − 1 = 0 ,3 − 1 = −0 ,7 ; 3 3

з) 4 − 10 0,01 = 4 − 10 ⋅ 0,1 = 4 − 1 = 3 . №296 а) Да; б) нет; в) да; г) да; д) да; е) нет. №297 1) 2)

( a) = 0 ; a = 0 ; a =1 ; ( a) =1 ; a =1;

a = 0;

2

2

2

2

www.5balls.ru

( a) = 3 ; a = 9 ; a = 10 ; ( a ) = 10 ; a = 100 ; a = 0,6 ; ( a ) = 0,6 ; a = 0,36 . 2

a =3;

3)

2

2

4)

2

2

5)

2

№298

( x ) = 4 ; x = 16 ; x = 0,5 ; ( x ) = 0,5 ; x = 0,25 ; 2

а) x = 4 ; б) )

2

2

в) ) 2 x = 0 ;

2

x =0; x =0;

( x ) =  14  ; x = 161 ; д) x − 8 = 0 ; x = 8 ; ( x ) = 8 ; x = 64 2 2 е) 3 x − 2 = 0 ; 3 x = 2 ; x = ; ( x ) =   3 3

г) 4 x = 1 ;

x=

1 ; 4

2

2

2

2

№299

2

; x=

4 . 9

( )

а) x = 0,1 ; x = (0,1)2 ; x = 0,01 ; б) нет; в) нет; г) x − 3 = 0 ; x = 3 ; x = 9 . 2

№300 а)

( x ) = 11 ; x = 121 ; 3  3 ; ( x) =   x = 3; x = 10  10 

x = 11 ;

б) 10

2

2

2

2

; x=

9 ; 100

x = 20 - такого значения х не существует; 1 1 г) 2 x − 1 = 0 ; 2 x = 1 ; x = ; x = ; 2 4

в)

д) 5 − x = 0 ; − x = −5 ; е) 2 + x = 0 ; №301 а) 3 + 5 x = 7 ;

x = 5 ; x = 25 ;

x = −2 - такого значения х не существует.

( 3 + 5x ) = 7 2

2

;

www.5balls.ru

3 + 5 x = 49 ; 5 x = 46 ; x = 9,2 ;

(

)

2

б) 10 x − 14 = 11 ; 10 x − 14 = 112 ; 10 x − 14 = 121 ; x = 13,5 ; в)

1 1 1 1 x − = 0 ; x = ; x = 1,5 . 3 2 3 2

Упражнения для повторения. №302 а) x = −2 ,5; y ≈ 6 ,25; x = −1,3; y ≈ 1,7; x = −0 ,8; y ≈ 0 ,65; x = 0 ,6; y ≈ 0 ,35; x = 1,7; y ≈ 2 ,8; x = 2 ,3; y ≈ 5,2;

y 9

1 -3

-1

0

1

3

б) y = 1; x1,2 = ±1;

www.5balls.ru

x

y = 2; x1,2 ≈ ±1,4; y = 5; x1,2 ≈ ±2,2; y = 7 ,5; x1,2 ≈ ±2,8;

в) (− 1,4)2 ≈ 2;

(− 0,8)2 ≈ 0,65; (1,2)2 ≈ 1,45; (− 2,8)2 ≈ 7 ,65;

г) 0 ,5 ≈ 0 ,7 ; 2,5 ≈ 1,6 ;

3 ≈ 1,75 ; 4 ≈2;

5 ≈ 2,2 ; 9 = 3.

№303

x(1 − x ) − 1(1 − x ) + 1 x(x − 1) 1  x2 − x  = ⋅ = ⋅  x −1+ 2 1 − x  (2 − x ) 1− x (2 − x )2  = =

(

)

− x 2 + 2 x x(x − 1) x − x 2 − 1 + x + 1 x(x − 1) ⋅ = − ⋅ = 1− x x −1 (2 − x )2 (2 − x )2 x(x − 2 )⋅ x(x − 1)

(x − 1)(x − 2)

2

=

x2 . x−2

Подставим x = −2 получим:

x2 (− 2)2 = 4 = −1. = x−2 −2−2 −4

№304 а) |a2|=a2; б) при a > 0 : a3 = a3 ; в) при a < 0 : a 3 = − a3 ;

www.5balls.ru

12. Уравнение x 2 = a

№305 а) x 2 = 81 ; x1,2 = ± 81 = ±9 ;

б) x 2 = 18 ; x1,2 = ± 18 = ± 9 ⋅ 2 = ±3 2 ; в) x 2 = 0 ; x = 0 ; г) x 2 = −25 ; уравнение не имеет корней. №306 а) x 2 = 36 ; x1,2 = ± 36 = ±6 ; б) x 2 = 0,49 ; x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ; в) x 2 = 121 ; x1,2 = ± 121 = ±11 ; г) x 2 = 11 ; x1,2 = ± 11 ; д) x 2 = 8 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 2 = ±2 2 ; е) x 2 = 2,5 ; x1,2 = ± 2,5 =

5 = 2

2⋅5 10 = ; 2⋅2 2

№307 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3 ; x1,2 = ± 3 ; x1,2 ≈ ±1,7 ; б) x 2 = 5 ; x1,2 = ± 5 ; x1,2 ≈ ±2,2 ; в) x 2 = 4,5 ; x1,2 = ± 4 ,5 ; x1,2 ≈ ±2,1 ; г) x 2 = 8,5 ; x1,2 = ± 8,5 ; x1,2 ≈ 2,9 .

www.5balls.ru

y 9

1 -3

-1

0

1

3

x

№308 Нарисуем график и найдем приближенные значения: а) x 2 = 3,6 ; x1,2 = ± 3,6 ; x1,2 ≈ ±1,85 ; б) x 2 = 2,8 ; x1,2 = ± 2,8 ; x1,2 ≈ ±1,65 ; в) x 2 = 1,4 ; x1,2 = ± 1,4 ; x1,2 ≈ ±1,2 ; г) x 2 = 6 ; x1,2 = ± 6 ; x1,2 ≈ 2,45 . №309 а) x 2 − 0,01 = 0,03 ; x 2 = 0,03 + 0,01 = 0,04 ; x1,2 = ± 0,04 = ±0,2 ;

б) 80 + y 2 = 81 ; y 2 = 81 − 80 = 1 ; y1,2 = ± 1 = ±1 ;

в) 19 + c 2 = 10 ; c 2 = 10 − 19 = −9 ; уравнение корней не имеет; г) 20 − b 2 = −5 ; b 2 = 5 + 20 = 25 ; b1,2 = ± 25 = ±5 ; д) 3x 2 = 1,47 ; x 2 = 1,47 : 3 = 0,49 ;

www.5balls.ru

x1,2 = ± 0,49 = ±0 ,7 ;

е)

1 2 1 a = 10 ; a 2 = 10 : = 40 ; 4 4

a1,2 = ± 4 ⋅ 10 = ±2 10 ; 1 2

ж) x 2 = 32 ; x 2 = 32 :

1 = 64 ; 2

x1,2 = ± 64 = ±8 ;

з) − 5 y 2 = 1,8 ; y 2 = −(1,8 : 5) = −0,36 ; уравнение корней не имеет; №310 а) 16 + x 2 = 0 ; x 2 = −16 ; уравнение корней не имеет; б) 0,3x 2 = 0,027 ; x 2 = 0,027 : 0,3 = 0,09 ; x1,2 = ± 0,09 = ±0,3 ;

в) 0,5 x 2 = 30 ; x 2 = 30 : 0,5 = 60 ; x1,2 = ± 4 ⋅ 15 = ±2 15 ;

г) − 5 x 2 =

1 1 1 ; x2 = − : 5 ; x2 = − ; уравнение корней не имеет. 20 20 100

№311 а) (x − 3)2 = 25 ; x − 3 = ± 25 = ±5 ; 1) x − 3 = 5 ; x = 5 + 3 ; x1 = 8 ; 2) x − 3 = −5 ; x = −5 + 3 ; x2 = −2 ; б) (x + 4)2 = 9 ; x + 4 = ± 9 = ±3 ; 1) x + 4 = 3; x = 3 − 4; x1 = −1; 2) x + 4 = −3; x = −3 − 4; x2 = −7; в) (x − 6) = 7 ; x − 6 = ± 7 1)

x − 6 = 7 ; x1 = 7 + 6;

2)

x − 6 = − 7 ; x2 = − 7 + 6;

г) (x + 2)2 = 6 ; x + 2 = ± 6 ; 1) x + 2 = 6 ; x1 = 6 − 2; 2) x + 2 = − 6 ; x2 = − 6 − 2;

www.5balls.ru

№312 1) При x=-3,4: 2) При x=0:

8 − 5 x = 8 − 5(− 3,4 ) = 8 + 17 = 25 = 5 ;

8 − 5x = 8 − 5 ⋅ 0 = 8 = 2 2 ;

3) При x=1,2:

8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,2 = 8 − 6 = 2 ;

4) При x=1,6:

8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 1,6 = 8 − 8 = 0 ;

5) При x=2,4: 8 − 5 x = 8 − 5 ⋅ 2,4 = 8 − 12 = − 4 - выражение не имеет смысла. №313 а) При a ≥ 0 ; б) при x ≥ 0 ; в) при c ≥ 0 ; г) при b ≤ 0 . №314 а) При x ≥ 0 ; б) при x ≤ 0 . №315

( 25 ) = 25 ; 2) ( 81 ) = 81 ; 3) ( 2 ) = 2 ; 4) ( 3 ) = 3 ; 5) (− 4 ) = 4 ; 6) ( 5 ) = 5 ; 7) (− 6 ) = 6 ; 2

1)

2

2

2

2

2

2

2

 1  =1; 8)   2 2  

9)

( 1,3 ) = 1,3 . 2

www.5balls.ru

№316

( 7) = 7 ; б) (− 26 ) = 26 ; а)

2

2

( )

2

в) − 2 14 ⋅ 14 = −2 14 = −2 ⋅ 14 = −28 ;

( ) д) 0,5(− 8 ) = 0,5 ⋅ 8 = 4 ; е) (− 2 15 ) = 4 ⋅ 15 = 60 ; 2

г) 3 5 = 9 ⋅ 5 = 45 ; 2

2

2

 3  =3; ж)   2  4   2

 3  =3=1. з)   6 6 2  

№317

( ) = 0,49 + 2 ⋅ 0,4 = 0,49 + 0,8 = 1,29

а) 0,49 + 2 0 ,4

2

( ) в) (2 6 ) + (− 3 2 ) = 4 ⋅ 6 + 9 ⋅ 2 = 42 1 1  20  = −0 ,1 ⋅ 120 − ⋅ 20 = −12 − 5 = −17 . г) − 0,1( 120 ) −  2 4   2

б) 3 11 − 6400 = 9 ⋅ 11 − 80 = 99 − 80 = 19 2

2

2

2

№318 а) 2 6 ⋅ − 6 = −2 ⋅ 6 = −12 ;

( ) б) − (3 5 ) = −9 ⋅ 5 = −45 ; в) 1,44 − 2( 0,6 ) = 1,2 − 2 ⋅ 0 ,6 = 0 ; г) (0 ,1 70 ) + 1,69 = 0,01 ⋅ 70 + 1,3 = 0 ,7 + 1,3 = 2 . 2

2

2

Упражнения для повторения

www.5balls.ru

№319 x x

x

= 1 , при х>0;

При х=-8;-5

x x

x

= −1 , при х<0; x

= −1 ; при x=1;7;128

x

=1.

№320 1 x = x − 1 : x + 1 = x(x − 1) = x − 1 ; а) 1 x x x(x + 1) x + 1 1+ x x − 1 −0 ,5 − 1 1,5 = =− = −3 ; Если х=-0,5, то x + 1 − 0 ,5 + 1 0 ,5 1 1 1 = = = б) 1 1 x 1+ 1+ 1+ 1 x +1 x +1 1+ x x 1 1 x +1 ; = = = 2x + 1 2x + 1 x +1+ x x +1 x +1 x +1 0 ,6 0,6 −0 ,4 + 1 = = = =3. Если x=-0,4, то 2 x + 1 2 ⋅ (− 0 ,4 ) + 1 − 0 ,8 + 1 0 ,2 1−

№321 а) =

б)

8 − x3 25 x 2 + 100 − 100 x

=

(2 − x )(x + 2 x + 4) = 25(2 − x )2 2

16a 4 + 16a 2

a +1− a

=

(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) =

(

25 x 2 − 4 x + 4

x + 2x + 4 ; 25(2 − x )

(

) = 16a(a + 1)(a

16a a 3 + 1 2

)

2

a − a +1

2

) = 16a(a + 1) .

− a +1

2

a − a +1

№322 Графики функций y =

10 и y = 10 x имеют две общие точки. x

www.5balls.ru

y 10 5 -10

-5 0

5

10

x

-5 -10

13. Нахождение приближенных значений квадратного корня. №323 а) 5 и 6; б) 6 и 7; в) 10 и 11; г) 3 и 4; д) 0 и 1. №324 а) 3 и 4; б) 8 и 9; в) 14 и 15; г) 2 и 3. №325 Ответ: 2;4;4. №326 Ответ: 3;1. №334 а) –5,48 и 5,48;

www.5balls.ru

б) –1,20 и 1,20; в) –0,46 и 6,46; г) –3,83 и 1,83.

www.5balls.ru

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №335 а) 3 016 , − 01 , 225 = 3 ⋅ 0,4 − 01 , ⋅ 15 = 1,2 − 1,2 = −0,3; б) 0,2 900 + 1,8

1 1 = 0,2 ⋅ 30 + 1,8 ⋅ = 6 + 0,6 = 6,6 ; 9 3

в) 0,3 1,21 ⋅ 400 = 0,3 ⋅ 11 , ⋅ 20 = 6,6 ; г) 5: 0,25 ⋅ 0,81 = 5:0,5 ⋅ 0,9 = 9 ; №336 а) не пересекает; б) пересекает в точке (0; 0); в)пересекает в точках(5; 25), (-5; 25) пересекает в точках (5,9;35), (5,9; 35) №337 2

, + 2 = 1 + 2 = 3; а) 10 0,01 +  − 2  = 10 ⋅ 01 

б) 0,3 25 −

1 3

( 12 )

2

= 0,3 ⋅ 5 −

1 ⋅ 12 = 1,5 − 4 = −2,5. 3

№338 1) х=7; 7+ 7 = 7 + 7 = 14; х=10; 10 + 10 = 10 + 10 = 20; х=0; 0 + 0 = 0 + 0 = 0; х=-3; -3 − 3 = − 3 + 3 = 0; x = −8; − 8 + − 8 = −8 + 8 = 0;

2) а) x > 0, x + x = x + x = −2x ; б) x < 0, x + x = x − x = 0. №339. а)

4a2 − 20a + 25 25 − 4a2

=

(5 − 2a)2 = 5 − 2a ; (5 − 2a)(5 + 2a) 5 + 2a

www.5balls.ru

б)

9x 2 + 4 y 2 − 12x y 4 y 2 − 9x 2

=

(2 y − 3x )2 = 2 y − 3x . (2 y − 3x )(2 y + 3x ) 2 y + 3x . 14. Функция и ее график

№340. а) S = π r2; r2 = б) S =

S ;r = π

S ; π

4S π d2 ; 4S = π d 2; d 2 = ;d = 4 π

S 4S =2 . π π

№341 а) площадь поверхности куба S = 6a2; б) длина ребра куба a =

S . 6

№342. Радиус шара R =

1 S . 2 π

№345 1) 8 = 64 ; 8=8 – точка А принадлежит графику данной функции; 2) 100 = 10000; 100=100 - точка В принадлежит графику данной функции; 3) − 81 не имеет смысла, следовательно С не принадлежит графику данной функции; 4) − 5 ≠ 25 - точка D не принадлежит графику данной функции. №346. а) пересекает вточке (1;1); б) пересекает в точке (100; 10); в) пересекает в точке (10000; 100); г) непересекает №347 1) 11 = 121 ; 11=11 значит точка принадлежит графику данной функции; 2) 30 900; 30=30, значит точка М принадлежит графику данной функции;

www.5balls.ru

3) − 400 не имеет смысла, следовательно точка А не принадлежит графику данной функции; 4) -9 ≠ 81 - точка D не принадлежит графику данной функции. №348. Пользуясь рис.14 учебника получаем: а) 0,5 < 0,8 ; б) 4,2 <

5,7 ;

в) 7 < 8. №349. а) 11; б) 015 , ; в) 60 ; г) д)

( 60 ) ∨ 8 ; 60 < 64; 60 < 8; , ; ( 2 ) ∨1,4 ; 2 >196 , ; 2 >14 , . 2 ∨14 2

60 ∨ 8 ;

2

2

2

№350. а) 27 < 28 ; б) 13 , < 15 , ;

( 7 ) ∨ 3 ; 7 < 9; 2

2

в)

7 ∨ 3;

7 <3;

г)

6,25 ∨ 2,5;

д)

1 1  1  1 1 1 1 1  ; > ;  ∨ > . ∨ ;  5 6  5   6  5 6 5 6

(2,5)2 ∨ 2,5; 2,5 = 2,5; 2

6,25 = 2,5;

2

№351. а) 2,3 < 10,4 < 19,5, значит

2,3 < 10,4 < 19,5;

б) 4 = 16 ; 12 <16 <18 , значит 12 < 4 < 18; в) 0,5 =

1 1 1 3 1 6 1 4 3 4 6 = ; = ; = ; = ; < < , значит 2 4 4 12 2 12 3 12 12 12 12

www.5balls.ru

1 1 1 1 1 < < u 0,5 < < ; 3 2 4 3 2 0,7 <1< 1,7.

г) 0,7 < 1 < 1,7, значит

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №352. а) 0,5 121 + 3 0,81 = 0,5 ⋅11 + 3 ⋅ 0,9 = 5,5 + 2,7 = 8,2; , = 36; б) 144 ⋅ 900 ⋅ 0,01 =12 ⋅ 30 ⋅ 01

в)

(

)

2

400 − 4 0,5 = 20 − 16 ⋅ 0,5 = 20 − 8 = 12; 2

 1 1 г)  − 3  − 10 0,64 = 9 ⋅ − 10 ⋅ 0,8 = 3 − 8 = −5. 3 3 

№353. а) имеет; б) не имеет; в) имеет; г) имеет. №354. а) 1) x 2 = 11; x1,2 = ± 11; 2) x = 11;

( x)

2

= 112 ; x = 121;

1 2

б) 1) 2x 2 = ; x 2 = 0,25; x1,2 = ± 0,25 = ±0,5; 1 2

( )

2) 2 x = ; 2 x

2

2

1 1  1 =   ;4 x = ; x = .  2 4 16

№355. а) a > 0 u b > 0: ab3 = ab3; ; б) a < 0 u b > 0: ab3 = (− a) ⋅ b3 = − ab3; в) a < 0 u b < 0: ab3 = ( − a)( − b)3 = ab3; г) a > 0 u b < 0: ab3 = a ⋅ ( − b)3.

www.5balls.ru

№356. −5 x

> 0; x2 + 7 x +4 x +4 =− 2 < 0. б) x>0 : x+4 >0; x2+4>0, следовательно 2 − x −4 x +4

а) x<0: -5x > 0; x2+7>0, следовательно

§6. Свойства арифметического квадратного корня 15. Квадратный корень из произведения и дроби №357 а) 100 ⋅ 49 = 100 ⋅ 49 = 10 ⋅ 7 = 70; б)

81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180;

в)

64 ⋅ 121 = 64 ⋅ 121 = 8 ⋅ 11 = 88;

г)

144 ⋅ 0,25 = 144 ⋅ 0,25 = 12 ⋅ 0,5 = 6;

д)

0,01 ⋅ 169 = 0,01 ⋅ 169 = 0,1 ⋅ 13 = 1,3;

е) 2,25 ⋅ 0,04 = 2,25 ⋅ 0,04 = 1,5 ⋅ 0,2 = 0,3. №358. а)

9 = 64

3 = ; 64 8

б)

36 = 25

36

в)

121 121 11 1 = = =2 ; 25 5 5 25

г)

144 144 12 = = ; 169 169 13

д) 1 е)

9 = 16

2

9

25

=

6 1 =1 ; 5 5

25 = 16

25 16

7 169 = = 81 81

5 1 =1 ; 4 4

=

169 81

=

13 4 =1 ; 9 9

ж) 5

1 81 81 9 1 = = = =2 ; 16 16 4 16 4

з)

7 = 9

2

25 = 9

25 9

=

5 2 =1 ; 3 3

www.5balls.ru

№359. а) 81 ⋅ 900 = 81 ⋅ 900 = 9 ⋅ 30 = 270; б) 0,36 ⋅ 49 = 0,36 ⋅ 49 = 0,6 ⋅ 7 = 4,2 ; в) 12

1 = 4

49 = 4

49

г) 10

9 169 169 13 1 = = = =3 ; 4 16 16 4 16

4

=

7 1 =3 ; 2 2

№360. а) 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 9 ⋅ 64 ⋅ 0,25 = 3 ⋅ 8 ⋅ 0,5 = 12; б) 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,36 ⋅ 2,25 ⋅ 144 = 0,6 ⋅ 1,5 ⋅ 12 = 10,8; в)

1,21 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,12 ⋅ 0,09 ⋅ 0,0001 = 1,1 ⋅ 0,3 ⋅ 0,01 = 0,0033

г)

25 16 196 ⋅ ⋅ = 81 49 9

д) ⋅ 3 е)

5

1 14 ⋅2 = 16 15

1 34 ⋅2 = 16 81

25 16 196 5 4 14 40 13 ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =1 ; 81 49 9 9 7 3 27 27 49 ⋅ 16

64 7 ⋅ 8 14 = = = 2,8; 25 4 ⋅ 5 5

81 196 ⋅ = 16 81

196 196 14 1 = = =3 . 16 4 2 16

№361. а) 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,04 ⋅ 81 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 9 ⋅ 5 = 9; б)

0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,09 ⋅ 16 ⋅ 0,04 = 0,3 ⋅ 4 ⋅ 0,2 = 0,24; 7 4 = 9 25

в) 1 ⋅ г)

16 4 4 2 8 ⋅ = ⋅ = ; 9 25 3 5 15

121 1 121 9 11 3 33 3 ⋅2 = ⋅ = ⋅ = =1 ; 144 4 144 4 12 2 24 8

№362. а) 810 ⋅ 40 = 81 ⋅ 400 = 81 ⋅ 400 = 9 ⋅ 20 = 180 ; б) 10 ⋅ 250 = 2500 = 50 ; в) 72 ⋅ 32 = 36 ⋅ 2 ⋅ 16 ⋅ 4 = 36 ⋅ 16 ⋅ 4 36 ⋅ 16 ⋅ 4 = 6 ⋅ 4 ⋅ 2 = 48 ; г) 8 ⋅ 98 = 4 ⋅ 2 ⋅ 49 ⋅ 4 = 16 ⋅ 49 = 4 ⋅ 7 = 28 ;

www.5balls.ru

50 ⋅ 18 = 25 ⋅ 2 ⋅ 9 ⋅ 2 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 25 ⋅ 9 ⋅ 4 = 5 ⋅ 3 ⋅ 2 = 30 ;

д) е)

2,5 ⋅ 14,4 = 0,25 ⋅ 10 ⋅ 144 ⋅ 0,1 = 0,25 ⋅ 144 = 0,5 ⋅ 12 = 6 ;

ж)

90 ⋅ 6,4 9 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 9 ⋅ 64 = 9 ⋅ 64 = 3 ⋅ 8 = 24 ;

з)

16,9 ⋅ 0,4 = 169 ⋅ 0,1 ⋅ 4 ⋅ 9,1 = 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 =

= 169 ⋅ 4 ⋅ 0,01 = 13 ⋅ 2 ⋅ 0,1 = 2,6 . №363 а) 75 ⋅ 48 = 3 ⋅ 25 ⋅ 16 ⋅ 3 = 25 ⋅ 16 ⋅ 9 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 = 60 ; б) 45 ⋅ 80 = 9 ⋅ 5 ⋅ 16 ⋅ 5 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 9 ⋅ 16 ⋅ 25 = 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 60 ; в) 4,9 ⋅ 360 = 4,9 ⋅ 3,6 ⋅ 10 = 49 ⋅ 36 = 49 ⋅ 36 = 7 ⋅ 6 = 42 ; г)

160 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 10 ⋅ 6,4 = 16 ⋅ 64 = 16 ⋅ 64 = 4 ⋅ 8 = 32 ;

№364 а)

132 − 122 = (13 − 12)(13 + 12) = 1 ⋅ 25 = 25 = 1 ⋅ 5 = 5 ;

б)

82 + 62 = 64 + 36 = 100 = 10 ;

в) 3132 − 3122 = ( 313 − 312)(313 + 312) = 1 ⋅ 625 = 625 = = 1 ⋅ 25 = 25 ; г)

1222 − 222 = (122 − 22)(122 + 22) = 100 ⋅ 144 =

= 100 ⋅ 144 = 10 ⋅ 12 = 120 ; д)

45,82 − 44,22 = (45,8 − 44,2)( 45,8 + 44,2) = 1,6 ⋅ 90 =

= 1,6 ⋅ 10 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 16 ⋅ 9 = 4 ⋅ 3 = 12 ; е)

21,82 − 18,22 = (21,8 − 18,2)(21,8 + 18,2) = 3,6 ⋅ 40 =

= 3,6 ⋅ 10 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 36 ⋅ 4 = 6 ⋅ 2 = 12 . №365 а)

172 − 82 = (17 − 8)(17 + 8) = 9 ⋅ 25 = 9 ⋅ 25 = 3 ⋅ 5 = 15 ;

б)

32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 5 ;

в)

822 − 182 = (82 − 18)(82 + 18) = 64 ⋅ 100 = 64 ⋅ 100 =

8⋅10=80;

www.5balls.ru

1172 − 1082 = (117 − 108)(117 + 108) = 9 ⋅ 225 =

г)

9 ⋅ 225 = 3 ⋅ 15 = 45 ;

д)

6,82 − 3,22 = (6,8 − 3,2)(6,8 + 3,2) = 3,6 ⋅ 10 36 = 6 ;

е)

 1  1  17   1  17 1   17 1  1  −   =   −   =  −  ⋅  +  =  16   2  16   2  16 2   16 2 

2

2

2

2

17 − 8 17 + 8 9 25 9 25 3 5 15 . ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅ = 16 16 16 16 16 16 4 4 16

№336. а) 15 = б) 21 = в) 7a = г) 3c =

3⋅ 5 ; 7⋅ 3; 7⋅ a ; 3⋅ c ;

№367. а)

2 = 7

2

б)

3 3 ; = 10 10

в)

5 = a

г)

b = 3

7

5 a b 3

;

; .

№368 n n n = 10 ⋅ = 10 ⋅ = n тождество доазано. 100 10 100 1 1 1 100 n = 100n = б) ⋅ 10 ⋅ n = n тождество доазано. 10 10 10

а) 10

№369. а) 7500 = 75 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 10 = 87 ;

www.5balls.ru

б)

750000 = 75 ⋅ 100 ⋅ 100 = 8,7 ⋅ 100 = 870 ;

в)

0,75 = 75 ⋅ 0,01 ≈ 8,7 ⋅ 0,1 = 0,87 ;

г)

0,0075 = 75 ⋅ 0,0001 ≈ 8,7 ⋅ 0,01 = 0,087 .

№370 а) 57600 = 576 ⋅ 100 = 576 ⋅ 10 = 24 ⋅ 10 = 240 ; б)

230400 = 2304 ⋅ 100 = 2304 ⋅ 100 = 48 ⋅ 10 = 480 ;

в)

152100 = 1521 ⋅ 100 = 1521 ⋅ 100 = 39 ⋅ 100 = 390 ;

г)

129600 = 1296 ⋅ 100 = 1296 ⋅ 100 = 36 ⋅ 10 = 360 ;

д)

20,25 =

е)

9,61 =

ж)

0,0484 =

з)

2025 = 100

2025 100

=

45 = 4,5 ; 10

961 961 31 = = = 3,1 ; 100 100 10

0,3364 =

484 = 10000 3364 = 10000

484 10000 3364 10000

= =

22 = 0,22 ; 100 58 = 0,58 . 100

№371. а) 44100 = 441 ⋅ 100 = 441 ⋅ 100 = 21 ⋅ 10 = 210 ; б) 435600 = 4356 ⋅ 100 = 4356 ⋅ 100 = 66 ⋅ 10 = 660 ; в) 0,0729 = 729 ⋅ 0,0001 = 729 ⋅ 0,0001 = 27 ⋅ 0,01 = 0,27 ; г)

15,21 = 1521 ⋅ 0,01 = 1521 ⋅ 0,01 = 39 ⋅ 0,1 = 3,9 .

№372 а) 2 ⋅ 8 = 16 = 4 ; б) 27 ⋅ 3 = 81 = 9 ; в) 28 ⋅ 7 = 196 = 14 ; г) 2 ⋅ 32 = 64 = 8 ; д) 13 ⋅ 52 = 676 = 22 ; е) 63 ⋅ 7 = 441 = 21 ;

www.5balls.ru

ж) з)

50 ⋅ 4,5 = 225 = 15 ; 1,2 ⋅ 3

1 1 1 = 1 ⋅3 = 5 3 3

6 ⋅ 10 = 4 =2. 5⋅ 3

№373 а) б) в)

2 18

2 = 18

=

23 2300 52

г)

12500

д)

7,5

500 0,3

23 1 1 = = ; 2300 100 10

=

52 = 117

=

117

=

1 1 = ; 9 3

=

4 2 = ; 9 3

12500 = 25 = 3 ; 500

7,5 = 25 = 5 ; 0,3

№374 а) 10 ⋅ 40 = 400 = 20 ; б) 12 ⋅ 3 = 36 = 6 ; в) 162 ⋅ 2 = 324 = 18 ; 2⋅3 = 3⋅8

г)

2 3 ⋅ = 3 8

д)

110 ⋅ 4,4 = 484 = 22 ;

е)

4 1 ⋅ 0,2 = 5

ж)

999 = 111

з)

15 735

=

1 1 = ; 4 2

9 9 3 ⋅ = ; 5 25 5

999 = 9 = 3; 111 15 = 735

1 1 = ; 49 7

№375 Второй способ удобнее; произведем вычисления

www.5balls.ru

6 ≈ 2,45 .

№376 а) 7 ⋅ 5 = 35 ≈ 5,92 ; б)

3,1 ⋅ 4,5 = 3,1 ⋅ 4,5 ≈ 3,73

в)

10 ⋅ 11 ⋅ 12 = 10 ⋅ 11 ⋅ 12 ≈ 36,33 ;

г)

117

д)

10,2

117 ≈ 4,42 ; 6

=

6 38,6

=

2,3 ⋅ 8,1

е)

4,5

10,2 ≈ 0,51 ; 38,6 2,3 ⋅ 8,1 ≈ 2,03 . 4,5

=

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №377 х=-4;

x 2 = ( −4) 2 = 16 = 4 ;

х=-3;

x 2 = ( −3) 2 = 9 = 3 ;

х=-0;

x 2 = 02 = 0 = 0 ;

х=9;

x 2 = 92 = 81 = 9 ; x 2 = 202 = 400 = 20 ;

х=20;

Выражение

x 2 имеет смысл при любых значениях х.

№378 а) при x > 0, x ⋅ x = x ⋅ x = x 2 ; б) при x = 0, x ⋅ x = 0 ⋅ 0 = 0 ⋅ 0 = 0 ; в) x < 0, x ⋅ x = − x ⋅ x = − x 2 . №379 1 8

а) 2a 2 ⋅ a 3 =

( )

б) 4 3a 4

2

1 5 a ; 4

= 4 ⋅ 9a 8 = 36a 8 ;

1 2

 

2

в) 20a 4 ⋅  a 3  =

20a 4 ⋅ 1 ⋅ a 6 = 5a10 ; 4

www.5balls.ru

№380

( )

а) a 4 = a 2

2

;

( ) = (a ) ; 2

б) a 6 = a 3 ; в) a18 г)

1 a10

9 2

2

 1 =  5 ; a 

( )

2

д) a 2b8 = ab4 ; е)

a6 b12

2

 a3  =  6  ; b 

№381 Из условия V=a2b; a 2 =

V V ; откуда a = ; b b

№382 а)

1 − 10a + 25a 2 (5a − 1) = = 5a − 1 ; 5a − 1 5a − 1

б)

1 − 6 x + 9 x 2 (3x − 1) = = 3x − 1 ; 3x − 1 3x − 1

2

2

№383 а)

x 2 x x + 18 − = 23 + ; 12 x − 5( x + 18) = 690 + x ; 5 6 30

12x-5x-90-x=690; б)

x − 1 2 x + 1 3x − 1 + = ; 20( x − 1) + 12(2 x + 1) = 15(3x − 1) ; 3 5 4

20x-20+24x+12=45x-15; 76. Квадратный корень из степени №384

www.5balls.ru

а)

(0,1)2

б)

(−0,4)2

= −0,4 = 0,4 ;

в)

(−0,8)2

= −0,8 = 0,8;

г)

(1,7)2

д)

(−19)2

е)

242 = 24 = 24;

= 0,1 = 0,1 ;

= 1,7 = 1,7; = −19 = 19;

ж) 2 (−23) = 2 ⋅ −23 = 2 ⋅ 23 = 46; 2

з) 5 522 = 5 ⋅ 52 = 5 ⋅ 52 = 260; и) 0,2 (−61) = 0,2 ⋅ −61 = 0,2 ⋅ 61 = 12,2. 2

№385 а) подставим x = 22: x 2 = 222 = 22 = 22; подставим x = −35: x 2 = ( −35) 2 = −35 = 35; 2 3

 

2 3

2

подставим x = −1 : x 2 =  −1  = −1

2 2 =1 ; 3 3

подставим x = 0: x 2 = 02 = 0 = 0; б) подставим a = −7:2 a 2 = 2 (−7) = 2 ⋅ −7 = 2 ⋅ 7 = 14; 2

подставим a = 12:2 a 2 = 2 122 = 2 ⋅ 12 = 2 ⋅ 12 = 24; в) подставим y = −15: 0,1 y 2 = 0,1 (−15) = 0,1 ⋅ −15 = 0,1 ⋅ 15 = 1,5 ; 2

подставим y = 27: 0,1 y 2 = 0,1 272 = 0,1 ⋅ 27 = 0,1 ⋅ 27 = 2,7 . №386 а)

p2 = p ;

www.5balls.ru

б)

y2 = y ;

в) 3 b2 = 3 b ; г) −0,2 x 2 = −0,2 x ; д)

25a 2 = 5 ⋅ a 2 = 5 ⋅ a .

№387 а)

a 2 = a = a , если a>0;

б)

n2 = n = − n, если n<0;

в) 3 c2 = 3 ⋅ c = 3c, если с>0; 3 c2 = 3 ⋅ c = 3 ⋅ 0 = 0, если с=0;

г) −5 y 2 = −5 ⋅ y = −5 y, если y>0; д)

36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ x = −6 x , если х<0;

36 x 2 = 6 x = 6 ⋅ 0 = 6 ⋅ 0 = 0;

е) − 9 y 2 = −3 ⋅ y = −3( − y ) = 3 y , если y<0; ж) −5 4 x 2 = −5 ⋅ 2 x = −5 ⋅ 2 x = −10 x, если х>0; −5 4 x 2 = − − 10 x = −10 ⋅ 0 = 0, если х=0;

з) 0,5 16a 2 = 0,5 ⋅ 4a = 0,5 ⋅ (− a ) = −2a , если а<0. №338 а) 2 m2 = 2 m = 2m, при m≥0; б) −3 a 2 = −3 a = −3a, при a>0; в)

0,64 x 2 = 0,8 ⋅ x = 0,8(− x ) = 0,8 x , при x≤0;

г) − 0,25 y 2 = − 0,5 y = −0,5 ⋅ − y = 0,5 y , при у<0. №389 а)

y 6 = y 3 = y 3 , если у≥0;

www.5balls.ru

б)

m4 = m2 = m2 ;

в)

x 6 = x 3 = − x 3 , если x<0;

г) 5 a8 = 5 a 4 = 5a 4 ; д)

1 12 1 6 1 6 c = c = c ; 3 3 3

( )

е) 1,5 t 14 = 1,5 t 7 = 1,5 ⋅ − t 7 = −1,5t 7 , если t<0. №390 а)

0,49 x18 = 0,7 x 9 = 0,7 x 9 , при x<0;

б)

0,01a 26 = 0,1a13 = 0,1a13; при а>0;

0,01a 26 == 0,1a13 = 0, при а=0;

в) 15 0,16c12 = 15 ⋅ 0,4c6 = 15 ⋅ 0,4c6 = 6c6 ; г) 0,8 100 y16 = 0,8 ⋅ 10 y8 = 8 y8 . №391 а)

p10 = p5 , при р>0;

б)

x18 = x 9 = − x 9 , при х<0;

в)

y12 = y 6 = y 6 ;

г) 15 b16 = 15 ⋅ b8 = 15b8 ; д) 1,6 x8 = 1,6 ⋅ x 4 = 1,6 x 4 ;

( )

е) 0,1 a 6 = 0,1 ⋅ a 3 = 0,1 ⋅ − a 3 = −0,1a 3 , при а<0; №392 а)

24 = 22 = 4;

б)

34 = 32 = 9;

в)

2 6 = 23 = 8 ;

www.5balls.ru

г)

108 − 104 ;

д)

(−5)4

= (−5) = 25;

е)

(−2)8

= (−2) = 16;

ж)

34 ⋅ 52 = 32 ��� 5 = 45;

з)

2

4

26 ⋅ 27 = 27 ⋅ 72 = 8 ⋅ 49 = 392.

№393 а)

114 = 112 = 121;

б)

46 = 43 = 64 = 64;

в)

(−3)8

= (−3) = 81 = 81;

г)

(−6)4

= (−6) = 36;

д)

28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 48;

е)

34 ⋅ 56 = 32 ⋅ 53 = 9 ⋅ 125 = 1125;

ж)

72 ⋅ 24 7 ⋅ 24 = 7 ⋅ 24 = 112;

з)

36 ⋅ 54 = 33 ⋅ 52 = 27 ⋅ 25 = 675.

4

2

№394 а)

20736 = 28 ⋅ 34 = 24 ⋅ 32 = 24 ⋅ 32 = 16 ⋅ 9 = 144;

б)

50625 = 34 ⋅ 54 = 32 ⋅ 52 = 9 ⋅ 25 = 225;

в)

28224 = 26 ⋅ 32 ⋅ 72 = 23 ⋅ 3 ⋅ 7 = 8 ⋅ 3 ⋅ 7 = 168;

г)

680625 32 ⋅ 54 ⋅ 112 = 3 ⋅ 52 ⋅ 11 = 3 ⋅ 2511 = 825.

№395 а)

2304 = 28 ⋅ 32 = 24 ⋅ 3 = 24 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 48;

www.5balls.ru

б)

18225 = 36 ⋅ 52 = 33 ⋅ 5 = 27 ⋅ 5 = 135;

в)

254016 26 ⋅ 34 ⋅ 72 = 23 ⋅ 32 ⋅ 7 = 8 ⋅ 9 ⋅ 7 = 504.

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №397 3 6  a +1  5 = − + 2 ⋅   a + 1 a − 1 a − 1 2  5  a +1 3 6  ⋅ = − +  a + 1 a − 1 (a + 1)(a − 1)  2

=  =

5(a − 1) − 3( a + 1) + 6 a + 1 5a − 5 − 3a − 3 + 6 a + 1 ⋅ ⋅ = = (a + 1)( a − 1) 2 (a + 1)(a − 1) 2

=

2a − 2 a + 1 2(a − 1)(a + 1) = 1, что не зависит от а. ⋅ = ( a + 1)( a − 1) 2 2(a + 1)( a − 1)

www.5balls.ru

№ 398. x  x 2 − 25  x+5 − 2 =  2 ⋅ 5  x − 5 x x − 25   ( x − 5 )( x + 5 )  x+5 x  ⋅ = =  − x ( x − 5 ) ( x − 5 )( x + 5 ) 5   x 2 + 10 x + 25 − x 2 ( x − 5 )( x + 5 ) 5( 2 x + 5 ) 2 x + 5 = ⋅ = = . x( x − 5 )( x + 5 ) 5 5x x

№ 399. На рисунке буквами а, b и c обозначены графики функций: y 8

а

b 6 4 2

0

2

4

6

8

-4 -6 -8

а – график функции y = 2 x + 2; b – график функции y = −2 x + 2; x 4

с – график в функции y = − − 3 . № 400. Из условия задачи имеем:

www.5balls.ru

c

V = πR2H; R2 =

V ;R= πH

V . πH

§ 7. Применение свойств арифметического квадратного корня 17. Вынесение множителя из-под знака корня. Внесение множителя под знак корня № 401. а) 12 = 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3 ; б) 18 = 9 ⋅ 2 = 9 ⋅ 2 = 3 2 ; в)

80 = 16 ⋅ 5 = 16 ⋅ 5 = 4 5 ;

г)

48 = 16 ⋅ 3 = 16 ⋅ 3 = 4 3 ;

д) 125 = 25 ⋅ 5 = 25 ⋅ 5 = 5 5 ; е) 108 = 27 ⋅ 4 = 27 ⋅ 4 = 3 3 ⋅ 2 = 6 3 ; ж)

363 = 3 ⋅ 121 = 121 ⋅ 3 = 11 3 ;

з)

845 = 5 ⋅ 169 = 169 ⋅ 5 = 13 5 .

№ 402. 1 1 1 1 4 ⋅ 6 = ⋅2 6 = 6 ; 4⋅6 = 24 = 2 2 2 2 2 2 2 б) 9⋅5 = ⋅3 5 = 2 5 ; 45 = 3 3 3 1 1 1 в) − 49 ⋅ 3 = − ⋅ 7 3 = − 3 ; 147 = − 7 7 7 1 1 1 1 г) − 25 ⋅ 11 = − ⋅ 5 11 = − 11 ; 25 ⋅ 11 = − 275 = − 5 5 5 5

а)

д) 0,1 20000 = 0,1 10000 ⋅ 2 = 0,1 ⋅ 100 2 = 10 2 ; е) − 0 ,05 28800 = −0,05 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 10 2 = −0,05 ⋅ 2 2 ⋅ 3 ⋅ 10 2 = = −0,05 ⋅ 120 2 = −6 2 .

№ 403.

www.5balls.ru

а)

20 = 4 ⋅ 5 = 2 5 ;

б)

98 = 49 ⋅ 2 = 49 ⋅ 2 = 7 2 ;

в)

200 = 100 ⋅ 2 = 10 2 ;

г) 160 = 16 ⋅ 10 = 16 ⋅ 10 = 4 10 ; д) 0,2 75 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 3 ⋅ 25 = 0,2 ⋅ 5 3 = 3 ; е) 0,7 300 = 0,7 3 ⋅ 100 = 0,7 ⋅ 10 3 = 7 3 ; ж) − 0 ,125 192 = −0,125 16 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = −0,125 16 ⋅ 2 2 ⋅ 3 = = −0,125 ⋅ 4 ⋅ 2 3 = − 3 ; 1 1 1 з) − 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = − ⋅ 3 ⋅ 5 2 = −5 2 ; 450 = − 3 3 3

и) − 10 0 ,02 = −1 ⋅ 10 0,02 = − 100 ⋅ 0,02 = − 2 ; к) 5 л) −

a a = 125 ⋅ = 5 5

25a = 5a ; 5

1 1 1 12 x = −1 ⋅ 12 x = − ⋅ 12 x = − 3 x . 2 2 4

№ 404. а) 7 10 = 49 ⋅ 10 = 490 ; б) 5 3 = 25 ⋅ 3 = 75 ; в) 6 x = 36 ⋅ x = 36 x ; г) 10 y = 100 ⋅ y = 100 y ; д) 3 2a = 9 ⋅ 2a = 18a ; е) 5 3b = 25 ⋅ 3b = 75b . № 405. а) − 2 3 = − 4 ⋅ 3 = − 12 ; б) − 3 5 = − 9 ⋅ 5 = − 45 ; в) − 7 a = − 49 ⋅ a = − 49a ; г) − 0 ,2 b = − 0 ,04 ⋅ b = − 0 ,04b . № 406.

www.5balls.ru

а) 3

1 1 = 9⋅ = 3 3

9 = 3; 3

б) 2

3 3 = 4⋅ = 4 4

3⋅ 4 = 3; 4

в)

1 18 = 3

1 ⋅ 18 = 2 ; 9

г) − 10 0 ,02 = − 100 ⋅ 0 ,02 = − 2 ; д) 5 е) −

9 9 = 25 ⋅ = 45 ; 5 5 1 1 12 x = − ⋅ 12 x = − 3x . 2 4

№ 407. а) 2 2 = 4 ⋅ 2 = 8 ; б) 5 y = 25 ⋅ y = 25 y ; в) − 7 3 = − 49 ⋅ 3 = − 147 ; г) − 6 2a = − 36 ⋅ 2a = − 72a ; д)

1 18b = 3

1 1 ⋅ 18 b = 2b ; ⋅ 18b = 9 9 ⋅1

е) − 0,1 200с = − 0 ,1 ⋅ 200с = − 2с . № 410. а) 3 3 = 27 ; 2 6 = 24 ; 4 2 = 32 ;

24 p 27 p 32 , значит,

2 6 p3 3 p4 2 ;

б) 6 2 = 36 ⋅ 2 = 72 ; 3 7 = 63 ; 2 14 = 56 ;

56 p 58 p 63 p 72 ⇒

2 14 p 58 p 3 7 p 6 2 .

№ 411.

www.5balls.ru

а)

4 ⋅ 7 ∨ 49 ⋅ 2 ;

б)

9 ⋅ 120 ∨ 4 ⋅ 270 ;

28 p 98 ; 2 7 p 7 2 ; 1080 = 1080 ;

3 120 p 2 270 ;

в)

1 1 ; ⋅ 6 ∨ 36 ⋅ 2 4

1,5 p 18 ;

6 36 ∨ 4 2

1 1 . 6 p6 2 2

№ 412. а)

7 x 2 = 7 x = 7 x , при x ≥ 0 ;

б) 10 y 2 = 10 y = 10 y , при y p 0 ; в)

x3 = x ⋅ x = x x ;

г)

a5 = a4 ⋅ a = a a 2 = a2 a ;

д) 16 y 7 = 16 y ⋅ y 6 = 4 y y 3 = 4 y 3 y ; е)

3x 3 1 3x x 3x . = x⋅ 3⋅ x = x= 16 4 4 4

№ 413. а)

8a 3 = 2 2 ⋅ 2 a 2 ⋅ a = 2 a 2 a ;

б)

300b 5 = 3 ⋅ 100b 4 ⋅ b = 10b 2 3b ;

в)

48 x 2 = 16 ⋅ 3x 2 = 4 x 3 = −4 x 3 , при x ≤ 0 ;

г)

72a 4 = 2 ⋅ 36a 4 = 6a 2 2 ;

д)

50a 7 = 2 ⋅ 25a 6 ⋅ a = 5a 2 2a ;

е)

27c 6 = 3 2 ⋅ 3c 6 = 3 c 3 3 = −3c 3 3 , при c p 0 .

№ 414. а)

6 x 2 = 6 ⋅ x = x 6 , при x ≥ 0 ;

б)

3 y 2 = 3 ⋅ y = − 6 y , при y p 0 ;

www.5balls.ru

в)

9a 3 = 3 a ⋅ a = 3a a ;

г)

50b 4 = 2 ⋅ 25b 4 = 2 ⋅ 5b 2 = 5b 2 2 .

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ № 415.  2x + 1 2x − 1  x 2 − 9 2x − 1  x 2 − 9  2x + 1  ⋅ +1 = − + 1 =  − 2  2 ⋅  x − 3x x + 3x  7 x  x(x − 3) x(x + 3)  7 x =

(2 x + 1)(x + 3) − (x − 3)(2 x − 1) ⋅ x − 9 + 1 = x(x − 3)(x + 3) 7x

=

2x 2 + 6x + x + 3 − 2x 2 + x + 6x − 3 x 2 − 9 ⋅ +1 = x(x − 3)(x + 3) 7x

2

=

(x + 3)(x − 3) + 1 = 14 x + 1 = 2 + 1 = 2 + x . 14 x ⋅ x(x − 3)(x + 3) x ⋅ 7x x x 7x

№ 416. Обозначим за х – количество книг, переплетенных в первый день; тогда (х + 12) – количество книг, переплетенных во второй день; также (х + х +12) – количество книг, переплетенных за первые два дня;

5 (x + x + 12) - количество книг, переплетенных в третий день. 7

Всего за три дня было переплетено 144 книги. Получаем уравнение: x + (x + 12 ) +

5 (x + x + 12) = 144 ; 7

5 (2 x + 12) = 144 ; 7 (2 x + 12)1 + 5  = 144 ;  7 12 (2 x + 12) = 144 ; 7 x+6 = 6 ; x + 6 = 42 ; x = 36 ; 7 5 x + 12 = 48 ; (x + x + 12 ) = 60 . 7 2 x + 12 +

www.5balls.ru

Ответ: в первый день переплели 36 книг, во второй – 48 книг, в третий – 60 книг. № 417. 4x − 1 7 5 − x  4x − 1 7  5 − x ; 36 ⋅  + = + = ⋅ 36 ; 12 4 9 4 9  12 3(4 x − 1) + 9 ⋅ 7 = 4(5 − x ) ; 12 x − 3 + 63 = 20 − 4 x ; 16 x = −40 ; x = −2,5 ; 2 x − 9 2(5 x + 3) 1 30(2 x − 9 ) 30 ⋅ 2(5 x + 3) 1 б) − = ; − = ⋅ 30 ; 6 15 2 6 15 2

а)

5(2х – 9) – 4(5х + 3) = 15; -10х – 57 = 15; 10х = - 72; х = - 7,2. 18. Преобразование выражений, содержащих квадратные корни № 418. а) 2 x + 3 x − y = 5 x − y ; б) − 4 a + 2 b + 3 a = 2 b − a ; в)

9a + 25a − 36a = 3 a + 5 a − 6 a = 2 a ;

г) 16n + 25n − 9n = 4 n + 5 n − 3 n = 6 n ; д)

5a − 2 20a − 3 80a = 5a − 2 4 ⋅ 5a − 3 16 ⋅ 5a =

= 5a − 4 5a − 12 5 = −15 5a ;

е)

75 + 48 − 300 = 3 ⋅ 25 + 16 ⋅ 3 − 3 ⋅ 100 =

= 5 3 + 4 3 − 10 3 = − 3 ;

ж) 3 8 − 50 + 2 18 = 3 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 25 + 2 2 ⋅ 9 = = 6 2 −5 2 +6 2 = 7 2 ;

з)

242 − 200 + 8 = 2 ⋅ 121 − 2 ⋅ 100 + 2 ⋅ 4 =

= 11 2 − 10 2 + 2 2 = 3 2 ;

и)

75 − 0,1 300 − 27 = 3 ⋅ 25 − 0,1 3 ⋅ 100 − 3 ⋅ 9 =

= 5 3 − 3 −3 3 = 3 ;

www.5balls.ru

98 − 72 + 0,5 8 = 2 ⋅ 49 − 2 ⋅ 36 + 0,5 4 ⋅ 2 =

к)

= 7 2 −6 2 + 2 = 2 2 . №419 а) 8 p − 25 + 18 p = 2 2 p − 5 + 3 2 p = 5 2 p − 5;

б) 16c + 2 40c − 3 90c = 4 c + 2 ⋅ 2 10c − 3 ⋅ 3 10c = 4 c + 4 10c − 9 10c

= = 4 c − 5 10c; в) 5 27 − 4 48m − 2 12m = 5 3 ⋅ 9 − 4 3 ⋅16m − 2 4 ⋅ 3m = = 15 3 − 16 3m − 4 3m = 15 3 − 20 3m; г) 54 − 24 + 150 = 6 ⋅ 9 − 6 ⋅ 4 + 25 ⋅ 6 = = 3 5 − 2 6 + 5 6 = 6 6; д) 3 2 + 32 − 200 = 3 2 + 4 2 − 10 2 = −3 2; е) 2 72 − 50 − 2 8 = 2 2 ⋅ 36 − 2 ⋅ 4 = = 2 ⋅ 6 2 − 5 2 − 2 ⋅ 2 2 = 12 2 − 5 2 − 4 2. №420

( 12 + 15 ) ⋅ 3 = б) 5 (3 5 + 5 8 ) = а)

= 15 + 10 10

(

12 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 ⋅ 3 + 3 ⋅ 5 ⋅ 3 = 6 + 3 5 ; 5 ⋅ 3 5 + 5 5 ⋅ 8 = 3 ⋅ 5 + 5 4 ⋅10 = 15 + 5 ⋅ 2 10 =

)

в) 4 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 4 3 ⋅ 2 3 − 2 6 ⋅ 2 3 = 24 − 4 ⋅ 3 2 = 24 − 12 2; г)

(3

)

5 − 2 3 ⋅ 5 + 60 = 3 5 ⋅ 5 − 2 3 ⋅ 5 + 4 ⋅15 = 3 ⋅ 5 − 2 15 + 2 15

=15; д)

(

)

28 − 2 3 + 7 ⋅ 7 + 84 =

= 28 ⋅ 7 − 2 3 ⋅ 7 + 7 ⋅ 7 + 21 ⋅ 4 = = 4 ⋅ 7 ⋅ 7 − 2 21 + 7 + 2 21 = 7 ⋅ 2 + 7 = 21; е)

( 12 + 2 18 ) ⋅

2 − 96 = 12 ⋅ 2 + 2 18 ⋅ 2 − 96 =

= 4 ⋅ 3 ⋅ 2 + 2 9 ⋅ 2 ⋅ 2 − 2 24 ⋅ 3 ⋅ 2 = 2 6 + 12 − 4 6 = 12 − 2 6 .

www.5balls.ru

№421

(

)

3 12 − 2 27 = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 − 2 3 ⋅ 9 ⋅ 3 = 3 ⋅ 2 − 2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 6 − 18 = −12;

а)

(

)

б) 5 2 − 7 3 ⋅ 6 = 5 2 ⋅ 6 − 7 3 ⋅ 6 = = 5 ⋅ 2 3 − 7 ⋅ 3 2 = 10 3 − 21 2; 8−

в)

( 10 − 5 ) ⋅

5 = 8 − 5⋅5⋅2 + 5 ⋅ 5 =

= 2 ⋅ 4 − 5 2 + 5 = 2 2 − 5 2 + 5 = 5 − 3 2;

(

)

48 − 2 3 ⋅ 2 − 5 12 = 16 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 3 + 2 3 ⋅ 5 4 ⋅ 3 =

г)

= 4 3 − 4 3 + 10 ⋅ 3 ⋅ 2 = 60. №422 а)

(1 + 3 2 )(1 − 2 2 ) = 1 − 2 2 + 3 2 − 3 2 ⋅ 2 2 = 1 + б) (3 + 3 )(2 + 3 ) = 3 ⋅ 2 + 3 3 + 2 3 + 3 ⋅ 3 = = 6 + 5 3 + 3 = 9 + 5 3;

(

)(

2 − 6 ⋅ 2 = 2 − 11;

)

в) 2 2 − 3 3 2 − 2 3 = = 2 2 ⋅3 2 − 2 2 ⋅2 3 − 3 3 ⋅ 2 + 2 3 ⋅ 3 = = 6 ⋅ 2 − 4 6 − 3 6 + 2 ⋅ 3 = 18 − 7 6 ; г)

(

5− 8

)(

)

5 − 3 2 = 5 ⋅ 5 − 5 ⋅3 2 − 8 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 8 =

= 5 − 3 10 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 + 3 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = = 5 − 3 10 − 2 10 + 3 ⋅ 2 ⋅ 2 = 17 − 5 10 ;

(

д) 2 5 + 12

)( 12 − 5 ) −

135 =

= 2 5 ⋅ 12 − 2 5 ⋅ 5 + 12 ⋅ 12 − 5 ⋅ 12 − 135 = = 2 ⋅ 2 15 − 10 + 12 − 2 15 − 9 ⋅ 3 ⋅ 5 = = 4 15 + 2 − 2 15 − 3 15 = 2 − 15;

www.5balls.ru

(

е) 3 2 − 27

)( 27 − 2 )−

54 =

= 3 2 ⋅ 27 − 3 2 ⋅ 2 − 27 ⋅ 27 + 2 ⋅ 27 − 54 = = 3 ⋅ 3 6 − 6 − 27 + 2 ⋅ 9 ⋅ 3 − 9 ⋅ 3 ⋅ 2 = = 9 6 − 33 + 3 6 − 3 6 = 9 6 − 33

№423 а) x + y x − y = x 2 − y ;

( )( ) б) ( a − b )( a + b ) = a ⋅ a − b ⋅ b = a − b ; в) ( 11 − 3)( 11 + 3) = 11 ⋅ 11 − 3 ⋅ 3 = 2 ; ( 10 + 7 )( 7 − 10 ) = 7 ⋅ 7 − 10 ⋅ 10 = 7 − 10 = −3 ; д) ( a + b ) = ( a ) + 2 a ⋅ b + ( b ) = 2

2

2

= a+2 a ⋅ b +b;

е)

( m − n) = ( m) −2 2

2

m⋅ n+

( n) = 2

= m−2 m ⋅ n +n ;

( 2 + 3) = ( 2 ) + 2 2 ⋅ 3 + 3 = 11 + 6 з) ( 5 − 2 ) = ( 5 ) − 2 5 ⋅ 2 + ( 2 ) = 2

ж)

2

2

2

2

2;

2

= 7 − 2 10 .

№424 а) 2 5 + 1 2 5 − 1 = 4 5 ⋅ 5 − 1 = 4 ⋅ 5 − 1 = 19 ;

( б) (5

)(

)(

)

) ( )

2

7 − 13 13 + 5 7 = 5 7 − 13 ⋅ 13 = = 25 ⋅ 7 − 13 = 175 − 13 = 162 ;

( )( ) ( ) ( ) г) (0,5 14 + 3 )( 3 − 0,5 14 ) = ( 3 ) − (0,5 14 ) = 2

2

в) 3 2 − 2к3 2 3 + 3 2 = 3 2 − 2 3 = 9 ⋅ 2 − 4 ⋅ 3 = 18 − 12 = 6 ; 2

2

= 3 − 0,25 ⋅ 14 = 3 − 3,5 = −0,5 ;

(

)

( )

2

2

д) 1 + 3 5 = 1 + 2 ⋅ 1 ⋅ 3 5 + 3 5 = 1 + 6 5 + 9 ⋅ 5 = = 46 + 6 5 ;

(

) ( ) 2

2

е) 2 3 − 7 = 2 3 − 2 ⋅ 7 ⋅ 2 3 + 7 2 = = 12 + 49 − 28 3 = 61 − 28 3 ;

www.5balls.ru

(

) (

)

2

2

ж) 2 10 − 2 = 2 10 − 2 ⋅ 2 10 ⋅ 2 + = 40 − 4 ⋅ 2 5 + 2 = 42 − 8 5 ;

(

) ( ) 2

( 2) = 2

( )

2

2

з) 3 6 − 2 3 = 3 6 − 2 ⋅ 3 6 ⋅ 2 3 + 2 3 = = 9 ⋅ 6 − 12 2 ⋅ 3 ⋅ 3 + 4 ⋅ 3 = 66 − 36 2 .

№425 а)

( 6 + 5) − 2

120 =

( 6) + 2 2

6⋅ 5+

( 5) − 2

= 6 + 2 30 + 5 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 5 = 11 ; 60 +

б)

( 3 − 5) = 2

15 ⋅ 4 +

( 3) − 2 2

3⋅ 5 +

12 ⋅ 10 =

( 5) = 2

= 2 15 + 3 − 2 15 + 5 = 8 ;

( 14 − 3 2 ) + 6 28 = = ( 14 ) − 2 ⋅ 14 ⋅ 3 2 + (3 2 ) + 6 2

в)

2

2

4⋅7 =

= 14 − 3 ⋅ 2 4 ⋅ 7 + 9 ⋅ 2 + 6 ⋅ 2 7 = 14 + 18 = 32 ;

( ) = (3 5 ) + 2 ⋅ 3 5 ⋅ 2

г) 3 5 + 15 − 10 27 = 2

( )

2

15 + 15 − 10 9 ⋅ 3 =

= 9 ⋅ 5 + 6 5 ⋅ 3 ⋅ 5 + 15 − 10 ⋅ 3 3 = 60 + 30 3 − 30 3 = 60 ; 2

д)  4 + 7 + 4 − 7  = 

2

2

=  4 + 7  + 2 4 + 7 ⋅ 4 − 7 +  4 − 7  =     = 4 + 7 + 2 4 + 7  4 − 7  + 4 − 7 =   

(

)

  = 8 + 2 42 − 7 2  = 8 + 2 16 − 7 = 8 + 2 9 =   = 8 + 6 = 14; 2

е)  5 + 2 6 − 5 − 2 6  = 

2

2

=  5 + 2 6  − 2 5 + 2 6 ⋅ 5 − 2 6 +  5 − 2 6  =    

www.5balls.ru

= 5 + 2 6 − 2 5 + 2 6  ⋅  5 − 2 6  + 5 − 2 6 =    

(

)

= 10 − 2 25 − 4 ⋅ 6 = 10 − 2 1 = 8 . №426

( x + 1)( x − 1) = ( x ) − 1 = x − 1; б) ( x − a )( x + a ) = ( x ) − ( a ) = x − a; в) ( m + 2 ) = ( m ) + 2 m ⋅ 2 + ( 2 ) = m + 2 2m + 2; г) ( 3 − x ) = ( 3 ) − 2 3 ⋅ x + ( x ) = 3 − 2 3x + x; д) (5 7 − 13)(5 7 + 13) = (5 7 ) − 13 = 175 − 169 = 6; е) (2 2 + 3 3 )(2 2 − 3 3 ) = (2 2 ) − (3 3 ) = 4 ⋅ 2 − 9 ⋅ 3 = −19; ж) (6 − 2 ) + 3 32 = 6 − 2 ⋅ 6 2 + ( 2 ) + 3 16 ⋅ 2 = 2

а)

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

= 36 − 12 2 + 2 + 3 ⋅ 4 2 = 38;

з)

( 2 + 18 ) − 30 = ( 2 ) + 2 2

2

( )

2

2 ⋅ 18 + 18 − 30 =

= 2 + 2 2 ⋅ 2 ⋅ 9 + 18 − 30 = 20 + 12 − 30 = 2 .

№427 а) x 2 − 7 = x − 7 x + 7 ;

(

)(

)

( 5 − c )( 5 + c); в) 4a − 3 = (2a − 3 )(2a + 3 ) ; г) 11 − 16b = ( 11 − 4b )( 11 + 4b ) ; д) y − 3 = ( y − 3 )( y + 3 ); е) x − y = ( x − y )( x + y ) . б) 5 − c 2 = 2

2

№428 а) 3 + 3 = 3 ⋅ 3 + 3 = 3 3 + 1 ;

(

) б) 10 − 2 10 = 10 ⋅ 10 − 2 10 = 10 ( 10 − 2) ; в) x + x = x + x ⋅ x = x (1 + x ) ; г) a − 5 a = a ⋅ a − 5 a = a ( a − 5) ;

www.5balls.ru

(

) m ( 3 + 5 );

д)

a − 2a = a − 2 ⋅ a = a 1 − 2 ;

е)

3m + 5m = 3 ⋅ m + 5 ⋅ m =

(

)

ж) 14 − 7 = 7 2 − 1 ; з)

№429 а) б) в) г) д) е) ж)

з) и)

b2 − 5 m+ 6 6−m

(b − 5 )(b + 5 ) = b +

=

b− 5

б)

)

m+ 6

( 6 − m)( 6 + m)

=

2

2− x = x−4

2− x

b +3

=

b+ a

6 −m 1

=−

x +2

; ;

b −3;

b +3

a −b

1

=

( x − 2)( x + 2) ( b − 3)( b + 3) = =

b−9

5;

b− 5

( a − b )( a + b ) = a+ b

a− b;

2 x −3 y 2 x −3 y 1 = = ; 4x − 9 y 2 x −3 y 2 x +3 y 2 x +3 y 7 −7

a− a 3+ x

3 x+x

x+ 2 5 −a 5 − a2

7 −1

a

=

a −1

x2 − 2

( )( ) 7 (1 − 7 ) 7 ( 7 − 1) =− =−

=

7 −1

7 −1

( a − 1) = a −1

=

№430 а)

(

33 + 22 = 3 ⋅ 11 + 2 ⋅ 11 = 11 3 + 2 .

= =

3+ x

(

x 3+ x

)=

a; 1 x

.

(x − 2 )(x + 2 ) = x −

2;

x+ 2

5 −a

7;

( 5 − a )( 5 + a ) =

1 5 +a

;

www.5balls.ru

в) г) д) е) ж) з) и)

x −5 x −5 1 = =− ; 25 − x 5− x 5+ x 5+ x

(

2 +2

)(

2+ 2⋅ 2

=

2 5 + 10

2

2 3 −3

2 3− 3⋅ 3

3 a −3 b x+ x a+ a a a +a

x =

( x + 1)

=

1

a⋅ a+ a

(

)

=

x 5 ; 5

=

3 b ; b

a a +1

2

(

( a − b)= 3( a − b )

x +1

=

5+ 2

=

5 3

2

=

) = 1+

3 2− 3

=

5 3

2a − 2b x +1

2

5⋅ 2

=

5 3

(

2 1+ 2

=

5⋅ 5+ 5⋅ 2

=

10

)

2;

;

)= 2−

5

2 ; 3

;

x =

a

(

( a + 1) = )

a a +1

a . a

№431 а)

x

б)

3

в)

2

г) д) е)

x 5

=

5 b

b b

3 b

=

7 y a

5⋅ 5 b⋅ b

= =

4 a+b 1 a −b

2 y 7 y⋅ y a b b b⋅ b = =

(

= =

2 y ; 7y a b a b = 2 ; b ⋅b b

4 a+b

)

( a + b )( a + b ) 1⋅ a − b

( a − b )( a − b )

(

)

=

4 a+b ; a+b

=

a −b ; a −b

www.5balls.ru

3

;

ж) з) и)

5

=

2 3 8

=

3 2 3 5

5 3 2 3⋅ 3 8 2 3 2⋅ 2 3 5⋅ 2

=

5 2

5 2⋅ 2

=

5 3 5 3 ; = 2⋅3 6

=

8 2 4 2 ; = 3⋅ 2 3

=

3 10 3 10 = = 0,3 10 . 5⋅2 10

№432 а)

m

б)

1

в)

3

г) д) е)

m x

=

x

x⋅ x 1⋅ 2

=

2

=

5 c a 2 3

2⋅ 2

=

3 2 3 5 4 15

=

m x ; x

=

2 ; 2

3⋅ c 5 c⋅ c a 3 2 3⋅ 3

=

3 3 2 3⋅ 3

=

=

3 c ; 5c

=

a 3 ; 6

=

3 3 3 ; = 2⋅3 2

5 15 4 15 ⋅ 15

=

5 15 15 . = 4 ⋅ 15 12

433. а) б) в) г) д)

4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4( 3 − 1) 4 = = = = 2( 3 − 1); 2 2 3 −1 3 + 1 ( 3 + 1)( 3 − 1) ( 3 ) − 1 1 = 1 ⋅ (1 + 2 ) = 1 + 2 = 1 + 2 = − 1 + 2 = −(1 + 2 ); 1− 2 1 1 − 2 (1 − 2 )(1 + 2 ) 1 − ( 2 ) 2 1 x− y a a+ b 33 7−3 3

= = =

1⋅ ( x +

y)

( x − y )( x +

y)

a( a − b ) ( a + b )( a − b ) 33(7 + 3 3 ) (7 − 3 3 )(7 + 3 3 )

=

= =

x+ y ( x )2 − ( y )2 a( a − b ) ( a )2 − ( b )2

33(7 + 3 3 ) 7 2 − 32 ⋅ ( 3 ) 2

www.5balls.ru

=

= =

x+ y ; x− y a( a − b ) ; a−b

33(7 + 3 3 ) = 22

=

е)

3(7 + 3 3 ) ; 2 15 2 5 +5

=−

15(2 5 − 5)

=

15(2 5 − 5)

=

(2 5 + 5)(2 5 − 5)

2

(2 5 ) − 5

=

2

15(2 5 − 5) = 4 ⋅ 5 − 25

15(2 5 − 5) = −3(2 5 − 5) = 15 − 6 5 . 5

435. а) б)

x b

( x + y )( x − y ) b( a + b )

=

a− b

( a − b )(a + b )

4

в) =

x( x − y )

=

x+ y

=

10 − 2

x( x − y )

= =

x2 − ( y )2 ab + b b a 2 − ( b )2

4( 10 + 2 ) ( 10 − 2 )( 10 + 2 )

=

x( x − y )

= =

x2 − y ab + b b a2 − b

4( 10 + 2 ) 2

( 10 ) − ( 2 )

2

;

; =

4( 10 + 2 ) = 8

( 10 + 2 ) ; 2 12

г)

12( 3 − 6 )

=

3+ 6

( 3 + 6 )( 3 − 6 )

=

12( 3 − 6 ) ( 3) − ( 6 ) 2

2

=−

12( 3 − 6 ) = 3

= 4( 6 − 3 );

д)

9 3−2 2

9(3 + 2 2 )

=

(3 − 2 2 )(3 + 2 2 )

=

9(3 + 2 2 ) 32 − ( 2 2 ) 2

=

9(3 + 2 2 ) = 9 − 4⋅2

= 9(3 + 2 2 );

е) =

14

=

1+ 5 2

14 (1 − 5 2 ) (1 + 5 2 )(1 − 5 2 )

=

14 (1 − 5 2 ) 12 − ( 5 2 ) 2

=

14(1 − 5 2 ) 2 ⋅ 7(1 − 5 2 ) 2(5 2 − 1) =− = . 1 − 50 7⋅7 7

436. а)

3 = 5

3 5

б)

2 = a

a

2

= =

3⋅ 5 5⋅ 5 2⋅ a a⋅ a

=

15 = 0,2 15 , что и требовалось доказать; 5

=

2a 1 = 2a , что и требовалось доказать. a a

www.5balls.ru

437. а)

x = 3

x⋅ 3

б)

5 = a

5⋅ a

в)

2 = 3

2⋅ 3

г)

1 1⋅ 2 2 = = ; 2 2 2⋅ 2

д)

a2 = 2

3⋅ 3 a⋅ a 3⋅ 3

3x ; 3

=

5a ; a 6 ; 3

=

a2 ⋅ 2 2⋅ 2

=

a 2 ; а≥0 4

4x 2 − x 2 = 4

2

x2 −

x = 4

а)

m = 9

m

б)

a = 7

a⋅ 7

в)

c c = = 12 12

г)

8 = a

е)

=

3x 2 4

=

x 3 ; x≥0 2

438. 9

=

7⋅ 7

4⋅ 2 a

m ; 3 =

7a ; 7 c

3⋅ 4 =

=

c⋅ 3 3⋅ 4 ⋅ 3

4⋅ 2⋅ a a⋅ a

=

=

3c ; 6

2 2a . a

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ 439. 9 − x2 8x (3 − x )(3 + x) ⋅ 8 x (3 − x )( x + 3) ⋅ 8 x ⋅ 2 −2= −2= −2= 2 4x 4 x( x + 3) 4 x ( x + 3) 2 x + 6x + 9 =

2(3 − x ) 2(3 − x) − 2( x + 3) 6 − 2 x − 2 x − 6 4x −2= = =− ; x+3 x+3 x+3 x=3

подставляем x=-2,5 и находим:

www.5balls.ru

4x −4 ⋅ (−2,5) 10 = = = 20. x+3 0,5 − 2,5 + 3

440. Обозначим за S км – расстояние от А до В, тогда время велосипедиста в пути равно

S S ч; ч – время мотоциклиста в 12 48

пути. По условию задачи мотоциклист отправился в путь на 0,5 ч позже и прибыл на 1 ч 15 мин = 1,25 ч раньше, чем велосипедист. Запишем уравнение:

S S = 0,5 + + 1,25; 12 48

S S = + 1,75; 4S = S + 84; 3S = 84; S = 28. 12 48

Ответ: АВ=28 км. 441. 3x − 1 2 − x 3x − 1 2 − x + + 1 = 0; 6( + + 1) = 0; 2 3 2 3 3(3x − 1) + 2(2 − x) + 6 = 0; 9 x − 3 + 4 − 2 x + 6 = 0; 7 x = −7; x = −1;

а)

y − 10 5 − 2 y − = 2,5; 2( y − 10) − 3(5 − 2 y ) = 2,5 ⋅ 12; 6 4 1 2 y − 20 − 15 + 6 y = 30; 8 y = 65; y = 8 ; y = 8,125. 8

б)

442. Условие задачи, S = π ( R 2 − r 2 ); S = πR 2 − πr 2 ; S + πr 2 = πR 2 , откуда R2 =

S + πr 2 ; R= π

Ответ: R =

S + πr 2 . π

S + πr 2 . π

443. 1) Для прямой b уравнение: y = −2 x + 1; 2) Для прямой a уравнение: y =

1 x − 2. 5

444.

www.5balls.ru

а) x 2 − 7 = 0; x 2 = 7; x1,2 = ± 7 ; б) x 2 + 49 = 0; x 2 = −49; уравнение не имеет корней; в) ( x + 1) 2 = 1; x + 1 = ± 1; x + 1 = ±1; 1) x + 1 = 1; x1 = 0; 2) x + 1 = −1; x2 = −2; г) ( x − 5) 2 = 2; x − 5 = ± 2 ; 1) x − 5 = 2; x1 = 5 + 2 ; 2) x − 5 = − 2 ; x2 = 5 − 2 . Дополнительные упражнения к главе II К ПАРАГРАФУ 4 445. а) Да; б) не всегда; в) да; г) не всегда. 446. а) Да; б) да; в) да; г) не всегда. 447. а) Да; б) да; в) да; г) да. 448. Считаем, что x = 2n, y = 2k , где n и k – натуральные числа. Тогда: а) x − y = 2n − 2k = 2(n − k ) = 2m - четное число; б) xy = 2n ⋅ 2k = 2(2nk ) = 2m - четное число; в) 3x + y = 6n + 2k = 2(3n + k ) = 2m - четное число. 449. Считаем, что x = 2n + 1, y = 2k + 1. Тогда: а) x + y = 2n + 1 + 2k + 1 = 2(n + k + 1) = 2m - четное число;

www.5balls.ru

б) x − y = 2n + 1 − 2k − 1 = 2n − 2k = 2( n − k ) - четное число; в) xy = (2n + 1)(2k + 1) = 4nk + 2n + 2k + 1 = 2(2nk + n + k ) + 1 - нечетное число. 451. 23 = 0,359375(0); 64 7 = −0,28(0); б) − 25 11 = 0, (846153); в) 13 1 = 0, (037); г) 27 2 = 0,0(571428); д) 35 7 = −0,3(18); е) − 22 23 = 0,7(6); ж) 30 12 = 0,2(18). з) 55

а)

452*. Пусть

a a - рациональное число; предположим, что ( ) 2 = 3, т.е. b b

a 2 = 3b 2 .

Пусть а содержит в своем разложении n простых множителей равных 3, где n – число натуральное или нуль. Тогда, число a 2 содержит в разложении 2n простых множителей, равных 3. Поскольку a 2 = 3b 2 , то b 2 содержит в разложении 2n − 1 простых множителей, но квадрат натурального числа должен быть четным, и мы приходим к противоречию. Итак, не существует рационального числа, квадрат которого равен 3. 454*. а) Иррациональное число; б) иррациональное число.

www.5balls.ru

К ПАРАГРАФУ 5 455. а) 0,3 289 = 0,3 ⋅ 17 = 5,1; б) − 4 0,81 = −4 ⋅ 0,9 = −3,6; 9 3 3−7 4 −1 = −1 = =− ; 49 7 7 7 4 1 4 1 2 −1 1 − = − = = ; 8 8 256 64 16 8

в) г)

д) 2 0,0121 + 100 = 2 ⋅ 0,11 + 10 = 10,22; е)

0,16 2 0,04

=

0,4 0,4 = = 1; 2 ⋅ 0,2 0,4

ж)

2500 − 625 = 50 − 25 = 25;

з)

64 1 8 1 8−3 5 − = − = = ; 81 9 9 3 9 9

и) − 0,03 10000 + 16 = −0,03 ⋅ 100 + 4 = −3 + 4 = 1; к)

1 361

+

1 1 1 21 = + = . 4 19 2 38

456. 4 2 + 0,25 ) = 5 − (3 ⋅ + 0,5) = 5 − (2 + 0,5) = 5 − 2 − 0,5 = 9 3 = 5 − 2,5 = 2,5;

а) 5 − (3

б) 11 : (0,15 1600 − 0,29 400 ) = 11 : (0,15 ⋅ 40 − 0,29 ⋅ 20) = 11 : 0,2 = = 110 : 2 = 55; 2 0,09 + 0,78 100 ) = 3 2 1 = (15 + 3 ⋅ 11) : ( ⋅ 0,3 + 0,78 ⋅ 10) = 48 : ( + 7,8) = 48 : (0,2 + 7,8) = 48 : 8 = 6; 3 5

в) ( 225 + 3 121 ) : (

0,16 1 342 1 18 + 0,4 + ⋅ ) : 25 = ((−6) ⋅ + ) : 5 = (−3 + 18) : 5 = 4 2 0,2 2 2 ⋅ 0,2 = 15 : 5 = 3.

г) (−6

457.

www.5balls.ru

а) Подставим x = 2 : 5 x − 10 = 5 ⋅ 2 − 10 = 0 = 0; Подставим x = 2,2 :

5 x − 10 = 5 ⋅ 2,2 − 10 = 11 − 10 = 1;

Подставим x = 5,2 :

5 x − 10 = 5 ⋅ 5,2 − 10 = 26 − 10 = 16 = 4;

Подставим x = 22 :

5 x − 10 = 5 ⋅ 22 − 10 = 110 − 10 = 100 = 10;

б) Подставим y = 1 :

6 − 2 y = 6 − 2 ⋅ 1 = 2;

Подставим y = −1,5 :

6 − 2 y = 6 − 2(−1,5) = 6 + 3 = 9 = 3;

Подставим y = −15 :

6 − 2 y = 6 − 2(−15) = 36 = 6;

Подставим y = −37,5 : в) Подставим x = 0 :

6 − 2 y = 6 − 2(−37,5) = 81 = 9;

3+ x 3− x

3+ x

Подставим x = 1 :

3− x

Подставим x = 16 :

3− x

3 − 16 =

3− x

г) Подставим a = 0, b = 0 :

4 = 1; 2 =

3+ 4 = −7; 3−4

3 + 0,25 3 − 0,25

=

3 + 0,5 3,5 35 2 = == =1 ; 3 − 0,5 2,5 25 5

2a − b = 2 ⋅ 0 − 0 = 0; 2a − b = 2 ⋅ 4 − 7 = 8 − 7 = 1;

д) Подставим m = 0, n = −1 : Подставим m = 33, n = 1 :

=

3 + 16

=

= 1;

3− 0

3− 1

3+ x

Подставим a = 4, b = 7 :

3+ 0

3+ 1

=

3+ x

Подставим x = 0,25 :

=

m − 4n = 0 − 4 ⋅ (−1) = 4 = 2;

m − 4n = 33 − 4 ⋅ 2 = 25 = 5.

458. а) 5 x = 3; (5 x ) 2 = 32 ; 25 x = 9; x =

9 ; 25

б)

1

г)

x − 5 = 4; ( x − 5 ) 2 = 4 2 ; x − 5 = 16; x = 21;

1 = 1; 1 = 3x ; 12 = ( 3 x ) 2 ; 1 = 3x; x = ; 3 3x 1 1 = 2; 1 = 8 x ; 12 = (8 x ) 2 ; 1 = 64 x; x = в) ; 64 4 x

д) 1 + 2 x = 10;

2 x = 9; ( 2 x ) 2 = 9 2 ; 2 x = 81; x = 40,5.

www.5balls.ru

459*. 1 + 2 + x = 2; ( 1 + 2 + x ) 2 = 2 2 ; 1 + 2 + x = 4; ( 2 + x ) 2 = 32 ; 2 + x = 9;

x = 7; x = 49.

460. а) Да; 3 + (− 3 ) = 0 ∈ Q б) нет. 462*. а) x ≥ 0; б) x – любое действительное число; в) x – любое действительное число; г) x – любое действительное число; д) x = 0; е) x ≤ 0. 463*. а) ab ; ab ≥ 0; 1) a ≥ 0, b ≥ 0; 2) a ≤ 0, b ≤ 0; б) 1) 2)

− ab ; ab ≤ 0; a ≤ 0, b ≥ 0; a ≥ 0, b ≤ 0;

в)

a 2b ; b ≥ 0; a – любое действительное число;

г)

a 2b 2 ; a, b – любые действительные числа;

д)

− ab 2 ; a ≤ 0, b – любое действительное число.

464*. а) При x > 0; б) при x ≥ 0; в) при x ≥ 0, x ≠ 1. 465. а) 0,16 + (2 0,1) 2 = 0,4 + 4 ⋅ 0,1 = 0,8;

www.5balls.ru

2 + x = 3;

б) (0,2 10 ) 2 + 0,5 16 = 0,04 ⋅ 10 + 0,5 ⋅ 4 = 0,4 + 2 = 2,4; в) 144 − 0,5( 12 ) 2 = 12 − 0,5 ⋅ 12 = 6; г) (3 3 ) 2 + (−3 3 ) 2 = 9 ⋅ 3 + 9 ⋅ 3 = 54; д) (5 2 ) 2 − (2 5 ) 2 = 25 ⋅ 2 − 4 ⋅ 5 = 30; е) (−3 6 ) 2 − 3( 6 ) 2 = 9 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 = 36. К ПАРАГРАФУ 6 468. а) 196 ⋅ 0,81 ⋅ 0,36 = 14 ⋅ 0,9 ⋅ 0,6 = 14 ⋅ 0.54 = 14 ⋅ б) 1

54 = 7,56; 100

9 4 25 49 5 7 5 ⋅ 7 ⋅1 7 ⋅ 5 ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0,01 = ⋅ ⋅ 0.1 = = ; 16 9 16 9 4 3 4 ⋅ 3 ⋅ 10 24

0,87 ⋅ 49 + 0,82 ⋅ 49 = 49(0,87 + 0,82) = 49 ⋅ 1,69 = 7 ⋅ 1,3 = 9,1;

в)

г) 1,44 ⋅ 1,21 − 1,44 ⋅ 0,4 = 1,44 ⋅ 0,81 = 1,2 ⋅ 0,9 =

12 9 108 ⋅ = = 1,08. 10 10 100

469. 165 2 − 124 2 = 164 17 = = 8,5; 2

(165 − 124)(165 + 124) = 164

41 ⋅ 289 = 164

289 = 4

=

98 = (176 − 112)(176 + 112)

98 = 64 ⋅ 288

49 = 64 ⋅ 144

=

(149 − 76)(149 + 76) = (457 − 384)(457 + 384)

а)

б) =

в) г) =

98 2

176 − 112

2

7 7 = ; 8 ⋅ 12 96 149 2 − 76 2 2

457 − 384

2

145,5 2 − 96,52 193,5 − 31,5 2

2

=

73 ⋅ 225 15 ; = 73 ⋅ 841 29

(145,5 − 96,5)(145,5 + 96,5) = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)

49 ⋅ 242 = (193,5 − 31,5)(193,5 + 31,5)

49 ⋅ 121 7 ⋅ 11 77 = = . 81 ⋅ 225 9 ⋅ 15 135

www.5balls.ru

470. а) 15 20 ⋅ 0,1 45 = 1,5 20 ⋅ 45 = 1,5 900 = 1,5 ⋅ 30 = 45; б) 0,3 10 ⋅ 0,2 15 ⋅ 0,5 6 = 0,3 ⋅ 0,2 ⋅ 0,5 10 ⋅ 15 ⋅ 6 = 0,03 900 = = 0,3 ⋅ 9 = 0,9;

в) г)

8 5

=

0,4 0,2 0,48 5 12

=

8 5 = 20 25 = 100; 0,4 0,2

1 0,48 1 1 1 = 0,04 = ⋅ 0,2 = . 5 12 5 5 25

471*. а) ab = − a ⋅ − b ; б)

a = b

−a −b

.

472. а)

(−12) 2 = 12 = 12;

б) − 10 2 = − 10 = −10; в)

− 10 2 выражение не имеет смысла;

г) − (−11) 2 = − 11 = −11; д)

− (−15) 2 выражение не имеет смысла;

е) − (−25) 2 = − 25 = −25. 473. а) 3 (−2) 6 = 3 (−2) 3 = 3 ⋅ 8 = 24; б) − 2 10 4 = −2 ⋅ 10 2 = −200; в) − 3 54 = −3 ⋅ 52 = −3 ⋅ 25 = −75; г) 0,1 210 = 0,1 ⋅ 25 = 0,1 ⋅ 32 = 3,2; д) 0,1 (−3)8 = 0,1 ⋅ (−34 ) = 0,1 ⋅ 81 = 8,1; е) 100 0,110 = 100 ⋅ (0,1) 5 = 100 ⋅ 0,00001 = 0,001;

www.5balls.ru

ж) − (−2)12 = −(−2) 6 = −64; з) 2,5 (−0,1) 4 = 2,5 ⋅ (0,1) 2 = 2,5 ⋅ 0,01 = 0,025. 474. а)

43 = 64 = 8;

б)

95 = 9 2 ⋅ 3 = 35 = 243;

в) 165 = 16 2 ⋅ 4 = 210 = 1024; г)

253 = 252 ⋅ 25 = 53 = 125;

д)

8 ⋅ 162 = 2 ⋅ 4 ⋅ 81 ⋅ 2 = 81 ⋅ 4 2 = 9 ⋅ 4 = 36;

е)

96 ⋅ 486 = 96 ⋅ 6 ⋅ 81 = 576 ⋅ 81 = 24 ⋅ 9 = 216;

ж)

750 ⋅ 270 = 75 ⋅ 27 ⋅ 100 = 9 2 ⋅ 25 ⋅ 100 = 9 ⋅ 5 ⋅ 10 = 450;

з)

853 ⋅ 776 = 2 4 ⋅ 32 ⋅ 7 2 ⋅ 112 = 2 2 ⋅ 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 84 ⋅ 11 = 924.

475*. Ответ: при x ≥ 0. 476*. а) y – любое число; б) x – любое число; в) x ≥ 0; г) c ≤ 0; д) a ≤ 0; е) b – любое число. 477*. а)

www.5balls.ru

б)

в)

www.5balls.ru

д)

478. а)

a 4b 4 = a 2b 2 ;

б)

b 6 c 8 = b 3c 4 , b ≥ 0;

в) 16 x 4 y12 = 4 x 2 y 6 ; г) д) е) ж) з)

0,25 p 2 y 6 = 0,5 p (− y 3 ) = −0,5 py 3 , p ≥ 0, y ≤ 0; p4 a8

p2

=

a4

16a12

=

b10 4x2 y

6

c6 9a

2

= =

;

4a 6 b5

, b > 0;

2(− x) −y

3

=

2x y3

, x < 0, y < 0;

( −c 3 ) c3 = − , c < 0, a > 0. 3a 3a

479. а)

(−a) 2 = a 2 = a ;

б)

(− a ) 2 ( −b) 4 = a 2b 4 = ab 2 = a b 2 = a b 2 .

www.5balls.ru

К ПАРАГРАФУ 7 480. а) 0,5 60a 2 = 0,5 15 ⋅ 4a 2 = 0,5 ⋅ 2 a 15 = a 15 ; б) 2,1 300 x 4 = 2,1 3 ⋅ 100 x 4 = 2,1 ⋅ 10 x 2 3 = 21x 2 3 ; в) 0,1 150 x 3 = 0,1 25 ⋅ 6 x 2 ⋅ x = 0,1 ⋅ 5 x 6 x = 0,5 x 6 x ; г) 0,2 225a 5 = 0,2 ⋅ 15a 2 a = 3a 2 a ; д) a 18a 2b = a 9 ⋅ 2a 2b = a ⋅ 3a 2b ; е) − m 48am 4 = −m 16 ⋅ 3am 4 = −m ⋅ 4m 2 3a = −4m 3 3a . 481*. а)

9a 2b = −3a b , a < 0;

б)

25a 2b 3 = 5ab b , a > 0;

в) 144a 3b 3 = 12(− a)(−b) ab = 12ab ab , a < 0, b < 0; г)

32a 4 x 3 = 4a 2 x 2 x ; 4a 2 x 2 x , x > 0;

д)

− 3c 3 = −c − 3c , c < 0;

е)

− 5m 7 = − m 3 − 5m , m < 0;

ж) a a 5 = a 3 a ; a > 0; з)

x 1 − x3 = x x

− x = − − x , x < 0.

482*. а) a 3 = 3a 2 , a ≥ 0; б) a 3 = − 3a 2 , a < 0; в) x

2 = x

г) x −

2x 2 = 2x ; x

2 2x 2 = − = − 2x . x x

483*.

www.5balls.ru

а) Равенство верно при б) Равенство верно при в) Равенство верно при г) Равенство верно при

x ≥ 0; y ≤ 0; c ≤ 0; a ≤ 0;

484*. а) x 2

1 = x

x4 = x3 ; x

б) − x 2 5 = − 5 x 4 ; в) − 3a

1 a = − 3a 3 ; 3

г) 3a −

a = − − 3a 3 ; 3

д) ab е) 2ab ж)

a b

з) − ab

b = ab 3 , a > 0, b > 0; a a = 2a 3b , a < 0, b < 0; 2b b = a

a , a > 0, b > 0; b

1 1 + = ab 2 + a 2b , a > 0, b < 0. a b

487. а) x ( a − b ) = a ⋅ x − b ⋅ x = ax − bx ; б) ( x + y ) x = x + xy ; в)

ab ( a + b ) = ab ⋅ a + ab ⋅ b = a b + b a ;

г) ( m − n ) mn = m ⋅ mn − n ⋅ mn = m n − n m ; д) ( x + y )(2 x − y ) = 2 x ⋅ x − x ⋅ y + 2 x ⋅ y − y ⋅ y = = 2 x + xy − y;

е) ( a − b )(3 a + 2 b ) = 3 a ⋅ a + 2 a ⋅ b − 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = = 3a − ab − 2b;

ж) (2 a + b )(3 a − 2 b ) =

www.5balls.ru

= 2 a ⋅ 3 a − 2 a ⋅ 2 b + 3 a ⋅ b − 2 b ⋅ b = 6a − ab − 2b;

з) (4 x − 2 x )( x − 2 x ) = = 4 x ⋅ x − 4 x ⋅ 2x − x ⋅ 2x + 2x ⋅ 2x = 6x − 5x 2.

488. а) (1 − x )(1 + x + x) = 13 − ( x ) 3 = 1 − x x ; б) ( a + 2)(a − 2 a + 4) = ( a ) 3 + 23 = a a + 8; в) ( m − n )(m + n + mn ) = ( m ) 3 − ( n ) 3 = m m − n n ; г) ( x + y )( x 2 + y − x y ) = x 3 + ( y ) 3 = x 3 + y y . 489. a) ( 6 + 4 2 ) 2 = (2 + 2 ) 2 ;

6 + 4 2 = 4 + 2 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 ;

6 + 4 2 = 6 + 4 2 , тождество доказано;

б) ( 8 3 + 19 ) 2 = ( 3 + 4) 2 ;

8 3 + 19 = ( 3 ) 2 + 2 ⋅ 4 3 + 16;

8 3 + 19 = 8 3 + 19, тождество доказано.

490. а) Подставим x = 1 + 5 : x 2 − 6 = (1 + 5 ) 2 − 6 = 1 + 2 5 + ( 5 ) 2 − 6 = = 2 5;

б) Подставим x = 3 − 3 : x 2 − 6 x = (3 − 3 ) 2 − 6(3 − 3 ) = = 9 − 2 ⋅ 3 3 + ( 3 ) 2 − 6 ⋅ 3 + 6 3 = −6;

в) Подставим x = 2 + 3 : x 2 − 4 x + 3 = (2 + 3 ) 2 − 4(2 + 3 ) + 3 = = 4 + 2 ⋅ 2 ⋅ 3 + ( 3 ) 2 − 8 − 4 3 + 3 = 4 + 4 3 + 3 − 8 − 4 3 + 3 = 2;

г) Подставим x =

3+ 2 3+ 2 2 3+ 2 : x 2 − 3x + 5 = ( ) − 3( )+5= 2 2 2

=

9 + 3 ⋅ 2 2 + ( 2 )2 9 + 3 2 11 + 6 2 9 + 3 2 − +5= − +5= 4 2 4 2

=

11 + 6 2 − 18 − 6 2 + 20 13 = = 3,25. 4 4

491*. 1) ( 7 + 4 3 + 7 − 4 3 ) 2 =

www.5balls.ru

= ( 7 + 4 3 )2 + 2 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 + ( 7 − 4 3 )2 = = 7 + 4 3 + 2 (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) + 7 − 4 3 = 14 + 2 49 − 16 ⋅ 3 =

= 14 + 2 1 = 16; 7 + 4 3 ⋅ 7 − 4 3 = (7 + 4 3 )(7 − 4 3 ) = 49 − 16 ⋅ 3 =

2)

= 49 − 48 = 1 - натуральное число.

492. а) =

б) =

1 3 2 −4

1 3 2 +4

=

3 2 +4−3 2 +4 (3 2 − 4)(3 2 + 4)

=

8 (3 2 ) 2 − 4 2

=

8 8 = = 4; - рациональное число; 9 ⋅ 2 − 16 2 1 5+2 6

+

1

=

5−2 6

5−2 6 +5+2 6 (5 + 2 6 )(5 − 2 6 )

=

10 = 25 − 4 ⋅ 6

10 = 10 - рациональное число. 1

493. а) =

б) =

в) = =

1 11 − 2 30

1 11 + 2 30

=

11 + 2 30 − 11 + 2 30 (11 − 2 30 )(11 + 2 30 )

=

4 30 = 121 − 4 ⋅ 30

4 30 = 4 30 ; 1 5 3+ 2 2

+

5

=

3−2 2

5(3 − 2 2 ) − 5(3 + 2 2 )

15 − 10 2 + 15 + 10 2 2

3 − (2 2 ) 5− 3 5+ 3

+

2

5+ 3 5− 3

=

(3 + 2 2 )(3 − 2 2 ) =

=

30 = 30; 9 − 4⋅2

( 5 − 3)2 + ( 5 + 3)2 ( 5 − 3 )( 5 + 3 )

=

( 5 )2 − 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 + ( 5 )2 + 2 5 ⋅ 3 + ( 3 )2 ( 5 )2 − ( 3 )2 16 − 2 15 + 2 15 16 = = 8; 5−3 2

www.5balls.ru

=

г) = =

11 + 21 11 − 21

11 − 21

+

=

11 + 21

(11 + 21 ) 2 + (11 − 21 ) 2 (11 − 21 )(11 + 21 )

=

112 + 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 + 112 − 2 ⋅ 11 ⋅ 21 + ( 21 ) 2 112 − ( 21 ) 2

=

121 + 22 21 + 21 + 121 − 22 21 + 21 284 = = 2,84. 121 − 21 100

494. Подставим x = 3 + 5 , y = 3 − 5 : 1 x 2 − 3xy + y 2 [(3 + 5 ) 2 − 3(3 + 5 )(3 − 5 ) + = x+ y+2 3+ 5 +3− 5 + 2 1 + (3 − 5 ) 2 ] = [9 + 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 − 3(9 − ( 5 ) 2 ) + 9 − 2 ⋅ 3 5 + ( 5 ) 2 ] = 8 =

9 + 6 5 + 5 − 3(9 − 5) + 9 − 6 5 + 5 28 − 3 ⋅ 4 16 = = = 2. 8 8 8

Ответ: 2. 495*. а) б) в) г)

x x−y y x− y

=

a+ b

=

a a +b b 2 2−x x

=

2 + 2x + x a − 3a + 3

=

a a +3 3

( x − y )( x + xy + y )

= x + xy + y;

x− y a+ b 3

( a) + ( b)

3

=

a+ b ( a + b )(a − ab + b)

( 2 − x )(2 + 2 x + x ) 2 + 2x + x a − 3a + 3 ( a )3 + ( 3 )3

=

=

1 a − ab + b

= 2 − x;

a − 3a + 3 ( a + 3 )(a − 3a + 3)

=

496. а) б)

70 − 30 35 − 15 15 − 5 6 − 10

=

=

2 ⋅ 35 − 2 ⋅ 15 35 − 15 3⋅ 5− 5⋅ 5 2⋅ 3− 2⋅ 5

=

=

2 ( 35 − 15 ) 35 − 15

5( 3 − 5) 2( 3 − 5)

www.5balls.ru

=

5 2

= 2; ;

1 a+ 3

.

;

в) г) д) =

е)

2 10 − 5

=

4 − 10 9−2 3

2 2⋅5 − 5 ⋅ 5 2 ⋅ 2 − 10 3⋅3 − 2 3

=

3 6 −2 2

2+ 6 − 2

2⋅ 2+ 2⋅ 3− 2

2 ( 2 + 3 − 1) 10 + 3 − 1

=

=

;

2 3

;

2

2⋅ 2⋅ 3+ 3⋅ 3⋅ 2 − 2⋅ 3

=

2 ⋅ 3 ( 2 + 3 − 1) ( 10 − 1) 2 − 3

3 (3 3 − 2) 2 (3 3 − 2)

5

=

2 (2 2 − 5 )

=

3 2⋅ 3−2 2

2 3 +3 2 − 6

5 (2 2 − 5 )

=

=

= 3;

( 10 − 1 − 3 )( 10 − 1 + 3 ) 10 + 3 − 1

= 10 − 1 − 3.

497. а) б) в) г) =

д) е) =

1+ a a

=

y+b y b y x − ax a x

(1 + a ) a a⋅ a

y ( y + b)

=

a +a ; a

=

b y

=

x( x − a)

=

a⋅ x

a b +b a

=

ab

y ( y + b) = by

=

y +b ; b

x ⋅ x( x − a) a⋅ x ⋅ x

( a b + b a ) ab ab ⋅ ab

=

x− a ; a

a b ⋅ ab + b a ⋅ ab = ab

ab a + ab b ab( a + b ) = = a + b; ab ab 2 3 −3 5 3 2−3 2 4 2

3 ⋅ 3 (2 3 − 3)

= =

5⋅ 3 ⋅ 3 (2 − 3 2 ) 2

2 2 −6 = 8

4 2⋅ 2

=

=

2− 3 ; 5

2 2 − 3 2 ⋅ 2 2 2 − 3⋅ 2 = = 4⋅2 8

2 −3 . 4

498. а)

=

x − xy + y x− y

=

( x − xy + y )( x + ( x − y )( x +

y) y)

=

www.5balls.ru

=

б) в) =

г) =

x x−x y +y x+x y −y x+y x 2

( x) − ( y) 9+3 a +a

(9 + 3 a + a )(3 − a )

=

3+ a 1 − 2 x + 4x

(3 + a )(3 − a ) (1 − 2 x )(1 + 2 x )

1 − 2 x + 4 x + 2 x − 4 x + 8x x 12 − (2 x ) 2 a 2 b + 2a b + 4 a b +2 a 3b b − 8 a 2b − 4

=

(1 − 2 x + 4 x)(1 + 2 x )

=

1− 2 x

2

=

=

=

x x+y y 2

( x) − ( y)

27 − a a 2

3 − ( a)

2

=

2

=

x x+y y ; x− y

27 − a a ; 9−a

=

1 + 8x x

=

12 − (2 x ) 2

( a 2b + 2a b + 4)(a b − 2) ( a b + 2)(a b − 2)

=

1 + 8x x ; 1 − 4x a 3b b − 8

(a b ) 2 − 4

=

.

499. а) б)

x− y x a+ b a b

в) =

г) =

=

( x − y )( x +

=

x( x +

y)

(a + b )(a − b ) a b (a − b )

7− a

=

49 − 7 a + a 72 − ( a )2 3

7 +a a

=

mn + mn + 1 ( mn ) 2 − 12

=

mn mn − 1

x− y x + xy

a 2 − ( b )2 a 2 b − ab

( 49 − 7 a + a )(7 + a )

343 + a a =

=

=

(7 − a )(7 + a ) 49 − a

mn + 1

y)

=

=

; a2 − b a 2 b − ab

;

(7 − a )(7 + a ) 73 + a a

=

;

( mn + 1)( mn − 1) ( mn + mn + 1)( mn − 1) mn − 1

mn mn − 1

=

( mn + 1)( mn − 1) mn mn − 1

=

.

500*. а) =

1 2 + 3 +1 2 − 3 −1 2−4−2 3

=

=

2 − ( 3 + 1) [ 2 + ( 3 + 1)][ 2 − ( 3 + 1)] 2 − 3 −1 −2−2 3

=

=

2 − 3 −1 ( 2 ) 2 − ( 3 + 1) 2

( 2 − 3 − 1)(1 − 3 ) − 2(1 + 3 )(1 − 3 )

www.5balls.ru

=

=

2 − 3 −1− 6 + 3 + 3 2 + 2 − 6 = ; − 2(1 − 3) 4

=

1

б) = =

5− 3+2

=

5 − (2 − 3 ) [ 5 + (2 − 3 )][ 5 − (2 − 3 )]

5 −2+ 3 5 − (4 − 4 3 + 3)

5 −2+ 3

=

−2+4 3

=

=

5 −2+ 3 ( 5 ) 2 − (2 − 3 ) 2

( 5 − 2 + 3 )(2 3 + 1) 2(2 3 − 1)(2 3 + 1)

=

=

2 15 − 4 3 + 6 + 5 − 2 + 3 4 + 2 15 + 5 − 3 3 = . 2(12 − 1) 22

501*. x− 2 x− 2 = = x−2 ( x − 2 )( x + 2 )

1 x + 2.

Дробь принимает наибольшее значение, когда ее знаменатель наименьшее, значит x = 0. 502. а) 15

2 2 2⋅5 − 160 = 15 − 16 ⋅ 10 = 15 − 4 10 = 5 5 5⋅5

= 3⋅

10 ⋅ 25 − 4 10 = 3 10 − 4 10 = − 10 ; 25

б) 135 + 10 0,6 = 5 ⋅ 27 + 10 1 3

в) 6 1 − 27 = 6 =

3⋅5 = 3 15 + 2 15 = 5 15 ; 5⋅5

4 1 1⋅ 3 − 9⋅3 = 6⋅2 −3 3 = 6⋅2 −3 3 = 3 3 3⋅3

12 3 − 3 3 = 3; 2

г) 0,5 24 + 10

3 10 3 ⋅ 2 3 = 0,5 4 ⋅ 6 + 10 = 0,5 ⋅ 2 6 + = 8 2⋅4 2 2⋅2

= 6 + 2,5 6 = 3,5 6 .

503*. а) (

1 x+x y

+

1 x−x y

)⋅

y −1 x − x y + x + x y y −1 = ⋅ = 2 ( x + x y )( x − x y ) 2

www.5balls.ru

=

2x 2

x − (x y )

б) ( = =

a a− b

2

1 y − 1 2 x ( y − 1) y −1 = 2 =− =− ; 2 x( y − 1) x 2 x (1 − y ) a a+ b

)⋅

(b − a ) 2 = 2

2 ab (b − a ) 2 a ( a + b ) − a ( a − b ) (b − a ) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ( a − b) 2 ( a − b )( a + b ) 2 ab ⋅ (a − b) 2 = ab (a − b). ( a − b) ⋅ 2

www.5balls.ru

ГЛАВА III. Квадратные уравнения § 8. Квадратное уравнение и его корни 19. Определение квадратного уравнения. Неполные квадратные уравнения №504. Ответ: а) является; б) нет; в) является; г) нет; д) неполное квадратное уравнение; е) неполное квадратное уравнение. №505. Коэффициенты: а) а=5; b=-9; c=4; б) a=1; b=3; c=-10; в) a=-1; b=-8; c=1; г) a=-4; b=5; c=0; д) a=6; b=0; c=-30; е) a=9; b=0; c=0. №506. a) (2x-1)(2x+1)=x(2x+3); 4x2-1=2x2+3x; 2x2-3x-1=0; б) (3x+2)2=(x+2)(x-3); (3x+2) 2=x2-3x+2x-6; 9x2+12x+4=x2-3x+2x-6; 8x2+13x+10=0; в) (x+1)(x+2)=(2x-1)(x-2); x2+2x+x+2=2x2-4x+2-x; x2+3x+2-2x2+5x-2=0 -x2+8x=0; x2-8x=0; г) (x+3)(3x-2)=(4x+5)(2x-3); (x+3)(3x-2)=8x2-12x+10x-15; 3x2-2x+9x-6=8x2-12x+10x-15; 5x2-9x-9=0.

www.5balls.ru

№507. а) 4x2-2x(3x+1)=5; 4x2-6x2-2x=5; -2x2-2x=5; 2x2+2x+5=0; б) x2+(1-x)(1-3x)=x; x2+1-3x-x+3x2=x; 4x2-5x+1=0; в) –5x(x+6)=4(x-3)-10; -5x2-30x=4x-12-10; 5x2+30x+4x-12-10=0; 5x2+34x-22=0; г) (x-8)(2x+3)=(3x-5)(x+4); 2x2+3x-16x-24=3x2+12x-5x-20; -2x2-3x+16x+24+3x2+12-5x-20=0; x2+20x+4=0; №508. 1) 7x2-12x=0; 2) 2x2-4=0; 3) x2=0; №509. а) 4x2-9=0; (2x-3)(2x+3)=0; 1) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1 2) 2x-3=0; 2x=3; x=1

1 ; 2

1 1 ; x1,2= ± 1 ; 2 2

б) –x2+3=0; x2=3; x1,2= ± 3 ; в) –0,1x2+10=0; 0,1x2=10; x2=10:0,1; x2=100; x1,2= ± 100 ; x1,2= ± 10; г) y2-

1 1 1 1 =0; y2= ; y1,2= ± ; y1,2= ; 9 9 9 3

д) 6y2+24=0; 6y2=-24; y2=-4; но квадрат числа не может быть меньше нуля, следовательно, корней нет;

www.5balls.ru

1 1 ; m1,2= ± ; 3 3

е) 3m2-1=0; 3m2=1; m2= m1,2= ±

1⋅ 3 3 ; m1,2= ± . 3⋅3 3

№510. а) 3x2-4x=0; x(3x-4)=0; x=0; 3x-4=0; 1 3 1 x1=0; x2=1 ; 3

3x=4; x=1 ;

б) –5x2+6x=0; 5x2-6x=0; x(5x-6)=0; 1 5

x=0; 5x-6=0; 5x=6; x=1 ; 1 5

x1=0; x2=1 ; в) 10x2+7x=0; x(10x+7)=0; 1) x=0; 2) 10x+7=0; 10x=-7; x=-

7 ; x=-0,7; 10

x1=0; x2=-0,7; г) 4a2-3a=0; a(4a-3)=0; 1) a=0; 2) 4a-3=0; 4a=3; a=

3 3 ; a1=0; a2= ; 4 4

д) 6z2-z=0; z(6z-1)=0; 1) z=0; 2) 6z-1=0; 1 6 1 z1=0; z2= ; 6

6z=1; z= ;

е) 2y+y2=0; y(2+y)=0; 1) y=0; 2) 2+y=0; y=-2; y1=0; y2=-2. №511. a) 2x2+3x=0; x(2x+3)=0;

www.5balls.ru

1) x=0; 2) 2x+3=0; 2x=-3; x=-1

1 1 ; x1=0; x2=-1 ; 2 2

б) 3x2-2=0; 3x2=2; x2=

2 2 2 3 6 ; x1,2= ± =± ; ⋅ =± 3 3 3 3 3

в) 5u2-4u=0; u(5u-4)=0; 1) u-0; 2) 5u-4=0; u=

4 4 ; u1=0; u2= ; 5 5

г) 7a-14a2=0; 7a(1-2a)=0; 1) a=0; 2) 1-2a=0; 2a=1; a=

1 1 ; a1=0; a2= ; 2 2

д) 1-4y2=0; (1-2y)(1+2y)=0; 1) 1+2y=0; 2y=-1; y=2) 1-2y=0; 2y=1; y= y1=

1 ; 2

1 ; 2

1 1 ; y2=- ; 2 2

е) 2x2-6=0; 2(x2-3)=0; x2=3; x1,2= ± 3 . №512. a) 4x2-3x+7=2x2+x+7; 2x2-4x=0; 2x(x-2)=0; 1)x=0; 2) x-2=0; x=2; x1=0; x2=2; б) –5y2+8y+8=8y+3; -5y2+5=0; 5(y2-1)=0; y2=1; y1,2= ± 1; в) 10-3x2=x2+10-x; 10-3x2-x2-10+x=0; -4x2+x=0; 4x2-x=0; x(4x-1)=0; 1)x=0; 2) 4x-1=0; 4x=1; x=

1 1 ; x1=0; x2= ; 4 4

г) 1-2y+3y2=y2-2y+1; 3y2-2y+1-y2+2y-1=0; 2y2=0; y=0.

www.5balls.ru

№513. a) (x+3)(x-4)=-12; x2-4x+3x-12=-12; x2-x=0; x(x-1)=0; x=0; x-1=0; x=1; x1=0; x2=1; 2 1  x+(2x+1)  x −1 =0; 3 3   2 1 2 1 1 x+2 ⋅ x -2x+ x-1=0; 3 3 3 2 2 3 3 3 x -1=0; x2- =0 ⋅ ; x2= ; 3 2 2 2

б) 1

x1,2= ±

3 ; 2

в) (3x-1)2-1=0; (3x-1-1)(3x-1+1)=0; (3x-2)(3x+0)=0; 3x-2=0; 3x=2; x= x1=

2 ; 3x=0; x=0; 3

2 ; x2=0; 3

г) 3x(2x+3)=2x(x+4,5)+2; 6x2+9x=2x2+9x+2; 4x2-2=0; 2(2x2-1)=0; 2x2=1; x2=

1 1 2 ; x1,2= ± ; =± 2 2 2

д) 18-(x-5)(x-4)=-x2; 18-(x2-4x-5x+20)=-x2; 18-x2+4x+5x-20+x2=0; 9x-2=0; 9x=2; x=

2 ; 9

е) (x-1)(x+1)=2(x2-3); x2-1=2x2-6; x2-1-2x2+6=0; -x2+5=0; x2-5=0; x2=5; x1,2= ± 5 . №514. а) x2-5=(x+5)(2x-1); x2-5=2x2-x+10x-5; x2+9x=0; x(x+9)=0; x=0; x+9=0; x=-9; x1=0; x2=-9; б) (2x+3)(3x+1)=11x+30; 6x2+2x+9x+3-11x-30=0; 6x2-27=0; 3(2x2-9)=0;

www.5balls.ru

2x2-9=0; 2x2=9; x2= x1,2= ±

9 ; 2

9 3 3 2 ; =± =± 2 2 2

в) 2x-(x+1)2=3x2-6; 2x-(x2+2x+1)=3x2-6; 3x2-6-2x+x2+2x+1=0; 4x2-5=0; 4x2=5; x2=

5 5 5 ; x1,2= ± ; x1,2= ± ; 4 2 4

г) 6a2-(a+2) 2=-4(a-4); 6a2-(a2+4a+4)=-4a+16; 6a2-a2-4a-4+4a-16=0; 5a2-20=0; 5(a2-4)=0; a2-4=0; a2=4; a1,2= ± 2; д) x(7-6x)=(1-3x)(1+2x); 7x-6x2=1+2x-3x-6x2; 7x-1-2x+3x=0; 8x-1=0; 8x=1; x=

1 ; 8

е) (5y+2)(y-3)=-13(2+y); 5y2-15y+2y-6=-26-13y; 5y2-13y-6+26+13y=0; 5y2+20=0; 5(y2+4)=0; y2+4=0; y2=-4; корней нет, поскольку квадрат действительного числа не может быть меньше нуля. №515. Обозначим за n и (n+1) – два последовательных целых числа. Их произведение по условию задачи 1 1,5 раза больше квадрата меньшего из них. Составим уравнение: n(n+1)=1,5n2; n2+n-1,5n2=0; -0,5n2+n=0; 0,5n2-n=0; n(0,5n-1)=0; n1=0; (не подходит по условию задачи); 0,5n-1=0; 0,5n=1; n=1:0,5; n=2; n+1=3. Ответ: 2 и 3. №516. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь S=a2 (см2). Тогда имеем: S=Sтр+Sост части; Sкв=59+85; S=144 см2; т.е. а2=144 см2; а= ± 144 = ±12 ; а1=12; а2=-12 – не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть отрицательным числом. Ответ: 12 см. №517.

www.5balls.ru

Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2 (см2). По условию задачи, Sкв-Sкр=12 (см2). Составим уравнение: a2-12=36; a2=48. Откуда находим: a1,2= ± 48 ; a1,2= ± 16 ⋅ 3 ; a1=4 3 ; a2=-4 3 - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: 4 3 см. №518. Площадь круга равна πr 2 , где r – радиус круга. Из условия Sкр=1 дм2. Составляем уравнение: πr 2 =1; r2= r1,2= ±

1 ; π

1⋅ π π π π ; r1= ; r2=- не подходит, так как радиус =± π⋅π π π π

круга не может быть меньше нуля. Ответ:

π дм. π

№519. Обозначим за а см сторону данного квадрата, тогда его площадь Sкв=a2, Sкр= πr 2 . По условию задачи площади круга и квадрата равны, значит, можно составить уравнение: a2= πr 2 ; откуда a1,2= ± πr 2 ; a1=r π ; a2=- r π ; - не подходит, т.к. длина стороны квадрата не может быть меньше нуля. Ответ: r π см. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №520.

(

)

а) y= 1− 2 x; y=kx; k= 1− 2 <0, следовательно, график функции

(

)

y= 1− 2 x расположен во II и IV четвертях;

www.5balls.ru

( 35 − 5,7) x; y=kx, k= 35 − 5,7 ; 37 ≈ 5,92, следовательно, график функции y= ( 35 − 5,7 ) x расположен в I и III координатных

б) y=

четвертях.

№521. 9 + 6x + x 2 ( x + 3) 2 + x = + x = x +3+ x ; x+3 x +3

Подставим x=0,36: x+3+ x =0,36+3+ 0,36 =0,36+3+0,6=3,96; Подставим x=49: x+3+ x =49+3+ 49 =52+7=59. №522. а) a2+b2>0 и a2+b2+1>0, следовательно,

a 2 + b2 a 2 + b2 + 1

б) (a+b)2>0 и (a-b)2+1>0, следовательно,

>0;

(a + b) 2 (a − b) 2 + 1

>0;

20. Решение квадратных уравнений выделением квадратного двучлена №523. a) x2+12x+36=0; (x+6)2=0; x+6=0; x=-6; 2

б) x2-x+

1 1 1 1  =0;  x −  =0; x- =0; x= . 4 2 2 2  

№524. а) x2-8x+15=0; x2-8x+16=16-15; (x-4)2=1; x-4= ± 1; 1) x1=4+1=5; 2) x2=4-1=3; x1=5; x2=3; б) x2+12x+20=0; x2+12x+36=36-20; (x+6)2=16; x+6= ±4 ; 1) x+6=4; x=-2; 2) x+6=-4; x=-10; x1=-2; x2=-10;

www.5balls.ru

в) x2-5x-6=0; x2-2 ⋅

5 25 25 x+ = +6; 2 4 4

2

2

5 25 + 24  5 49 5 7  ; x −  = ; x- = ± ; x −  = 2 4 2 4 2 2   5 7 12 5 7 2 1) x= + = =6; 2) x= − = − =-1; x1=6; x2=-1; 2 2 2 2 2 2 г) x2-8x-9=0; x2-2 ⋅ 4x+16-16-9=0;

x2-8x+16=16+9; (x-4)2=25; x-4= ± 5; 1) x=4+5=9; 2) x=4-5=-1; x1=9; x2=-1. №525.

a) x2-4x+3=0; x2-4x=-3; x-2 ⋅ 2x+4=4-3; x2-4x+4=1; (x-2) 2=1; x-2= ± 1 ; 1) x-2=1; x=3; 2) x-2=-1; x=1; x1=3; x2=1; б) x2+3x-10=0; x2+2 ⋅  x +  3 x+ 2

3 9 9 x+ = +10; 2 4 4

2

3 49 3 49 ; x+ = ± ;  = 2 4 2 4

7 7 3 10 ; x=- − = − =-5; 2 2 2 2

x1=2; x2=-5; в) x2+9x+14=0; x2+2 ⋅

9 81 81 x+ = -14; 2 4 4

2

9 25 9 5  ; x+ =± ; x +  = 2 4 2 2   9 5 5 9 1) x + = ; x= − =-2; 2 2 2 2 9 5 5 9 2) x + = − ; x= − − =-7; 2 2 2 2

x1=-2; x2=-7; г) x2-2x-1=0; x2-2x+1=1+1; (x-1) 2=2; x-1= ± 2 ; 1) x-1=- 2 ; x=- 2 +1; 2) x-1= 2 ; x= 2 +1; x1=- 2 +1; x2= 2 +1.

www.5balls.ru

№526. а) x2-6x+8=0; (x2-2 ⋅ 3x+9)-9+8=0; (x-3)2=1; x-3= ±1 ; 1) x-3=1; x=4; 2) x-3=-1; x=2; x1=4; x2=2; 

б) x2+x-6=0;  x 2 + 2 ⋅ 

x 1 1 +  − -6=0; 2 4 4 2

1 1  1 25 1 5 =6+ ;  x +  = ; x+ = ± ; 4 4  2 4 2 2 1 5 5 1 1) x+ = ; x= − =2; 2 2 2 2 1 5 5 1 2) x+ = − ; x=- − =-3; 2 2 2 2

x2+x+

x1=2; x2=-3; в) x2+4x+3=0; x2+4x+4-4+3=0; (x+2)2=1; x+2= ±1 ; 1) x+2=1; x=-1; 2) x+2=-1; x=-3; x1=-1; x2=-3; г) x2+4x-2=0; x2+4x+4-4-2=0; (x+2)2=6; x+2= ± 6 ; 1) x=-2+ 6 ; 2) x=-2- 6 ; x1=-1+ 6 ; x2=-2- 6 . №527. a) 2x2-9x+10=0; x2-

9 10 9 10 x+ =0; x2- x=- ; 2 2 2 2 2

x2-2x ⋅

9 81 81 10 2 9  9  81 − 80 + = - ; x -2x ⋅ +   = ; 4 16 16 2 4 4 16 2

9 1 9 1  ;  x −  = ; x- = ± 4  16 4 16  9 1 9 1 10 1) x- = ; x= + ; x= =2,5; 4 4 4 4 4

www.5balls.ru

2) x=

9 1 - =2; 4 4

x1=2,5; x2=2; 3 5

8 5

3 5

8 5

б) 5x2+3x-8=0; x2+ x- =0; x2+ x= ; 2

x2+2x ⋅

2

3  3 8  3 +  = +  ; 10  10  5  10  2

2

3 8 9  3  169  ; x +  = ; x +  = + 10 5 100 10     100 3 169 3 13 =± ; x+ = ± ; 10 100 10 10 13 3 1) x= − =1; 10 10 13 3 16 2) x=- − =- ; x=-1,6; 10 10 10

x+

x1=1; x2=-1,6. №528. 5x2+14-3=0; x2+

14 3 14 3 x- =0; x2+ = ; 5 5 5 5 2

x2+2 ⋅

2

2

14 14  3 196  14  3  14   x+   = +   ;  x +  = + ; 10 10 5 10 10  5 100      2

2

2

14  256  14   16  14 16  ;  x +  =   ; x+ = ± ; x +  = 10  100  10   10  10 10  16 14 2 1 1) x= - = = ; 10 10 10 5 30 16 14 = −3 ; 2) x=- - = − 10 10 10 1 x1= ; x2=-3. 5

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №529. Ответ: a2+4; 5a2+2; (a-4) 2+4.

www.5balls.ru

№530. с с+2  8   с + − 1 ⋅  −  = 2 с−2  с+2 2  8−с   с с+2 8 с    (2 − с)(4 + 2с + с 2 ) − с − 2 − 1 с + 2 − 2  =   8 − с(4 + 2с + с2 ) − (8 − с3 ) 2с − (с + 2) 2 ⋅ = 2(с + 2) ( 2 − с) ⋅ (4 + 2с + с 2 ) 8 − 4с − 2с 2 − с3 − 8 + с3 2с − с 2 − 4с − 4 ⋅ = 2(с + 2) 8 − с3 − 4(4с + 2с 2 ) − с 2 − 2с − 4 2с(2 + с) ⋅ = × 3 2(с + 2) 8−с ( 2 − с)(4 + 2с + с 2 ) ×

(с 2 + 2с + 4) 2с(с + 2)(с 2 + 2с + 4) с . = = 2 − 2(с + 2) 2 с 2( 2 − с)(с + 2с + 4)(с + 2)

№531. a) б)

(3x − 6) 2 (2 − x )

2

=

a 2 + 8a + 16 (2a + 8)

2

32 ⋅ ( x − 2) 2 ( x − 2) 2 =

= 9;

( a + 4) 2 2 ⋅ 2(a + 4)

2

=

1 . 4

№532. 2

 10 + 5 3 + 10 − 5 3  = 10+5 3 +2 (10 + 5 3 )(10 − 5 3 ) +    

+10-5 3 =20+2 100 − 25 3 ⋅ 3 =20+2 100 − 25 ⋅ 3 =20+2 25 = =2=+2 ⋅ 5=30, 30 ∈ N, следовательно, 30 ∈ Q, что и требовалось доказать.

§ 9. Формула квадратных уравнений по формуле 21. Решение квадратных уравнений по формуле №533.

www.5balls.ru

a) 2x2+3x+1=0; D=9-4 ⋅ 2 ⋅ 1=1; D>0, уравнение имеет два корня; б) 2x2+x+2=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 2=1-16=-15; D<0, у уравнения нет корней; в) 9x2+6x+1=0; D=62-4 ⋅ 9 ⋅ 1=36-36=0; D=0, уравнение имеет один корень; г) x2+5x-6=0; D=52-1 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25+24=49; D>0, уравнение имеет два корня. №534 a) 3x2-7x+4=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3 ⋅ 4=49-48=1, D>0 – два корня: 7 ± 1 7 ±1 = ; 2⋅3 6 7 +1 8 1 x1= = =1 ; 6 6 3 7 −1 6 x2= = = 1; 6 6

x1,2=

б) 5x2-8x+3=0; D=(-8)2-4 ⋅ 5 ⋅ 3=64-60=4; D>0 – два корня: 8± 4 ; 10 8 + 2 10 = = 1; x1= 10 10 8−2 6 3 = = ; x2= 6 10 5

x1,2=

в) 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14=169-168=1; D>0, уравнение имеет два корня: 13 ± 1 13 ± 1 ; = 2⋅3 6 13 + 1 14 7 1 = = =2 ; x1= 6 6 3 3 13 − 1 12 = = 2; x2= 6 6 2 г) 2y -9y+10=0; D=92-4 ⋅ 2 ⋅ 10=81-80=1; D>0, уравнение имеет два

x1,2=

корня:

9 ± 1 9 ±1 ; = 2⋅2 4 9 + 1 10 1 = =2 ; y1= 4 4 2

y=

www.5balls.ru

y2=

9 −1 =2; 4

д) 5y2-6y+1=0; D=62-4 ⋅ 5 ⋅ 1=36-20=16; D>0, уравнение имеет два корня: 6 ± 16 6 ± 16 ; = 2⋅5 10 6+4 =1; y1= 10 6−4 2 =0,2; = y2= 10 10

y=

е) 4x2+x-33=0; D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-33)=1+528=529; D>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 529 2⋅4 −1 − 23 = x1= 8 −1 + 23 = x2= 8

x=

− 1 ± 23 ; 8 −24 =-3; 8 22 =2,75; 8 =

ж) y2-10y-24=0; D=(-10)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=100+96=196; D>0, уравнение имеет два корня: 10 ± 196 10 ± 196 = ; 2 ⋅1 2 10 + 14 =12; y1= 2 10 − 14 =-2; y2= 2 з) p2+p-90=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-90)=1+360=361; D>0, уравнение имеет два

y=

корня:

− 1 ± 361 − 1 ± 19 = ; 2 2 −1 − 19 =-10; p1= 2 −1 + 19 =9. p2= 2

p=

№535.

www.5balls.ru

a) 14x2-5x-1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 14 ⋅ (-1)=25+56=81; D>0, уравнение имеет два корня: 5 ± 81 2 ⋅14 5+9 = x1= 28 5−9 = x2= 28

x=

5 ± 81 ; 28 14 1 = ; 28 2 −4 1 =− ; 28 7

=

б) –y2+3y+5=0; y2-3y-5=0; D=(-3)-4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=9+20=29; D>0, уравнение имеет два корня: y=

3 ± 29 ; 2

y1=

3 − 29 ; 2

y2=

3 + 29 ; 2

в) 2x2+x+67=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ 67=1-536=-535; D<0, у уравнения нет корней; г) 1-18p+81p2=0; D1=92-1 ⋅ 81=0; D1=0 – один корень: p=

9± 0 1 = ; 81 9

д) –11y+y2-152=0; D=(-11)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-152)=121+608=729; D>0, уравнение имеет два корня: 11 ± 729 11 ± 27 = ; 2 2 11 − 27 =-8; y1= 2 11 + 27 =19; y2= 2

y=

е) 18+3x2-x=0; 3x2-x+18=0; D=(-1)2-4 ⋅ 3 ⋅ 18=1-216=-215; D<0 – нет корней. №536. a) 5x2-11x+2=0; D=(-11)2-4 ⋅ 5 ⋅ 2=121-40=81; D>0, уравнение имеет два корня: x=

11 ± 81 11 ± 9 ; = 2⋅5 10

www.5balls.ru

11 + 9 =2; 10 11 − 9 2 =0,2; x2= = 10 10

x1=

б) 2p2+7p-30=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ (-30)=49+240=289; D>0, уравнение имеет два корня: − 7 ± 289 − 7 ± 17 = ; 2⋅2 4 −7 + 17 10 =2,5; = p1= 4 4 −7 − 17 −24 =-6; = p2= 4 4

p=

в) 9y2-30y+25=0; D1=152-9 ⋅ 25=225-225=0; D1=0 – один корень: y=

15 ± 0 15 2 = =1 ; 9 9 3

г) 35x2+2x-1=0; D1=12-35 ⋅ (-1)=1+35=36; D1>0, уравнение имеет два корня: − 1 ± 36 ; 35 7 1 −1 − 6 x1= =− =− ; 35 35 5 5 1 −1 + 6 x2= = = ; 35 35 7

x=

д) 2y2-y-5=0; D=(-1)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-5)=1+40=41; D>0, уравнение имеет два корня: y1,2=

1 ± 41 1 ± 41 = ; 2⋅2 4

е) 16x2-8x+1=0; D1=42-16 ⋅ 1=0; D=0 – один корень: x=

4± 0 1 = . 16 4

№537. a) x2-11x+31=1; x2-11x+30=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; x=

11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 ⋅1 2

www.5balls.ru

11 − 1 =5; 2 11 + 1 =6; x2= 2

x1=

б) x2-5x-3=2x-5; x2-7x+2=0; D=7-4 ⋅ 1 ⋅ 2=49-8=41; x=

7 ± 41 ; 2

x1=

7 − 41 ; 2

x2=

7 + 41 ; 2

в) 7x+1=3x2-2x+1; 3x2-9x=0; 3x(x-3)=0; 1) 3x=0; x=0; 2) x-3=0; x=3; г) –2x2+5x+6=4x2+5x; 6x2-6=0; 6(x2-1)=0; x2-1=0; x2=1; x1,2= ± 1. №538. a) x2-6x=5x-18; x2-11x+18=0; D=11-4 ⋅ 1 ⋅ 18=121-72=49; 11 ± 49 11 ± 7 = ; 2 2 11 − 7 =2; x1= 2 11 + 7 =9; x2= 2

x=

б) 3x2-4x+3=x2+x+1; 2x2-5x+2=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 2=25-16=9; 5± 9 5±3 ; = 2⋅2 4 5+3 =2; x1= 4 5−3 1 x2= = . 4 2

x=

www.5balls.ru

№539. a) 3x2-14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; 7 ± 1 7 ±1 ; = 3 3 7 +1 2 =2 ; x1= 3 3 7 −1 =2; x2= 3

x=

б) 5x2-16x+3=0; D1=82-5 ⋅ 3=49; 8 ± 49 8 ± 7 ; = 5 5 8+7 =3; x1= 5 8−7 1 = =0,2; x2= 5 5

x=

в) x2+2x-80=0; D1=12-1 ⋅ (-80)=81; x=

− 1 ± 81 --1 ± 9; 1

x1=-1-9=-10; x2=-1+9=8; г) x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=

11 ± 144 =11 ± 12; 1

x1=11+12=23; x2=11-12=-1; д) 4x2-36x+77=0; D1=182-4 ⋅ 77=16; 18 ± 16 18 ± 4 ; = 4 4 18 + 4 22 =5,5; = x1= 4 4 18 − 4 14 7 = = =3,5; x2= 4 4 2

x=

е) 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; y=

11 ± 676 11 ± 26 ; = 15 15

www.5balls.ru

11 + 26 7 =2 ; 15 15 11 − 26 =-1; y2= 15

y1=

ж) 7z2-20z+14=0; D1=102-7 ⋅ 14=2; z1,2=

10 ± 2 ; 7

з) y2-10y-25=0; D1=52-1 ⋅ (-25)=50; y1,2=

5 ± 50 =5 ± 2 ⋅ 25 =5 ± 5 2 . 1

№540. a) 8x2-14x+5=0; D1=72-8 ⋅ 5=9; 7± 9 7±3 ; = 8 8 7+3 1 x1= =1 ; 8 4 7−3 1 x2= = ; 8 2

x=

б) 12x2+16x-3=0; D1=82-12 ⋅ (-3)=100; − 8 ± 100 − 8 ± 10 ; = 12 12 −8 + 10 1 = ; x1= 12 6 −8 − 10 1 x2= = −1 ; 12 2 в) 4x2+4x+1=0; D1=22-4 ⋅ 1=0;

x=

−2± 0 2 1 =− =− ; 4 4 2 г) x2-8x-84=0; D1=42-1 ⋅ (-84)=100; 4 ± 100 =4 ±10 ; x= 1

x=

x1=4+10=14; x2=4-10=-6; д) x2-6x-19=0; D1=32-1 ⋅ (-19)=28;

www.5balls.ru

− 3 ± 28 =-3 ± 4 ⋅ 7 =-3 ± 2 7 ; 1 е) 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = ; x= 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5 −13 − 17 =-6; x2= 5 ж) x2-34x+289=0; D1=172-1 ⋅ 289=0; 17 ± 0 =17; x= 1 з) 3x2+32x+80=0; D1=162-3 ⋅ 80=16;

x1,2=

− 16 ± 16 − 16 ± 4 ; = 3 3 −16 + 4 =-4; x1= 3 −16 − 4 2 = −6 . x2= 3 3

x=

№541. a) 2x2-5x-3=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=49; 5 ± 49 5 ± 7 ; = 2⋅2 4 5−7 =-0,5; x1= 4 5 + 7 12 =3; = x2= 4 4

x=

б) 3x2-8x+5=0; D1=42-3 ⋅ 5=1;

4 ±1 ; 3 4 +1 2 =1 ; x1= 3 3 4 −1 =1; x2= 3

x=

в) 5x2+9x+4=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ 4=1;

www.5balls.ru

−9 ± 1 ; 10 −9 + 1 =-0,8; x1= 10 −9 − 1 =-1; x2= 10

x=

г) 36y2-12y+1=0; D1=62-36 ⋅ 1=0; y=

6 1 = ; 36 6

д) 3t2-3t+1=0; D=32-4 ⋅ 3 ⋅ 1=-3 – корней нет; е) x2+9x-22=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=169; − 9 ± 169 − 9 ± 13 ; = 2 2 −9 + 13 =2; x1= 2 −9 − 13 22 =-11; =− x2= 2 2

x=

ж) y2-12y+32=0; D1=62-1 ⋅ 32=4; y=

6± 4 =6 ± 2; 1

y1=6+2=8; y2=6-2=4; з) 100x2-160x+63=0; D1=802-63 ⋅ 100=100; 80 ± 100 80 ± 10 ; = 100 100 80 − 10 70 =0,7; x1= = 100 100 80 + 10 90 =0,9. x2= = 100 100

x=

№542. a) 5x2=9x+2; 5x2=9x-2=0; D=92-4 ⋅ 5 ⋅ (-2)=121; 9 ± 121 9 ± 11 = ; 5⋅ 2 10 9 − 11 =-0,2; x1= 10

x=

www.5balls.ru

x2=

9 + 11 =2; 10

б) –x2=5x-14; x2+5x-14=0; D=52-4 ⋅ 4 ⋅ 1 ⋅ (-14)=81; x=

− 5 ± 81 − 5 ± 9 = ; 2 2

−5 + 9 =2; 2 −5 − 9 =-7; x2= 2

x1=

в) 6x+9=x2; x2-6x-9=0; D1=32-1 ⋅ (-9)=18; x1,2=

3 ± 18 = 3± 9⋅2 = 3± 3 2 ; 1

г) z-5=z2-25; z2-z-20=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-20)=81; z=

1 ± 81 1 ± 9 ; = 2 2

1+ 9 =5; 2 1− 9 =-4; z2= 2

z1=

д) y2=52y-576; y2-52y+576=0; D1=262-1 ⋅ 576=100; y=

26 ± 100 = 26 ± 10 ; 1

y1=26+10=36; y2=26-10=16; е) 15y2-30=22y+7; 15y2-22y-37=0; D1=112-15 ⋅ (-37)=676; 11 ± 676 11 ± 26 = ; 15 15 11 − 26 =-1; y1= 15 11 + 26 7 =2 ; y2= 15 15

y=

ж) 25p2=10p-1; 25p2-10p+1=0; D1=52-1 ⋅ 25=0; p=

5 1 = ; 25 5

з) 299x2+10x=500-101x2; 400x2+100x-500=0; 4x2+x-5=0;

www.5balls.ru

D=12-4 ⋅ 4 ⋅ (-5)=81; x=

− 1 ± 81 − 1 ± 9 ; = 2⋅4 8

−1 + 9 =1; 8 −1 − 9 =-1,25. x2= 8

x1=

№543. a) 25=26x-x2; x2-26x+25=0; D1=132-1 ⋅ 25=144; x=

13 ± 144 = 13 ± 12 ; 1

x1=13+12=25; x2=13-12=1; б) 3x2=10-29x; 3x2+29x-10=0; D=292-4 ⋅ 3 ⋅ (-10)=841+120=961; − 29 ± 961 − 29 ± 31 ; = 3⋅ 2 6 −29 + 31 1 x1= = ; 6 3 −29 − 31 =-10; x2= 6

x=

в) y2=4y+96; y2-4y-96=0; D1=22-1 ⋅ (-96)=100; y=

2 ± 100 = 2 ± 10 ; 1

y1=2+10=12; y2=2-10=-8; г) 3p2+3=10p; 3p2-10p+3=0; D1=52-3 ⋅ 3=16; p=

5 ± 16 5 ± 4 = ; 3 3

5−4 1 = ; 3 3 5+ 4 =3; p2= 3

p1=

д) x2-20x=20x+100; x2-40x-100=0; D1=202-1 ⋅ (-100)=500;

www.5balls.ru

x1,2=

20 ± 500 = 20 ± 5 ⋅ 100 = 20 ± 10 5 ; 1

е) 25x2-13x=10x2-7; 15x2-13x+7=0; D=132-4 ⋅ 15 ⋅ 7=169-420=-251<0 – у уравнения нет корней. №544. a) (2x-3)(5x+1)=2x+

2 2 ; 10x2+2x-15x-3-2x- =0; 5 5

2 =0; 50x2-75x-17=0; 5 D=752-4 ⋅ 50 ⋅ (-17)=5625+3400=9025;

10x2-15x-3

75 ± 9025 75 ± 95 = ; 2 ⋅ 50 100 75 − 95 −20 =-0,2; x1= 100 10 75 + 95 170 =1,7; = x2= 100 100

x=

б) (3x-1)(x+3)=x(1+6x); 3x2+9x-x-3=x+6x2; 3x2-7x+3=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ 3=13; x1,2=

7 ± 13 ; 6

1 21 ); x2-1=10x-2 ⋅ ; 2 2 2 2 2 x -1=10x-21; x -10x+20=0; D1=5 -1 ⋅ 20=5;

в) (x-1)(x+1)=2(5x-10

x1,2=5 ± 5 ; г) –x(x+7)=(x-2)(x+2); -x2-7x=x2-4; 2x2+7x-4=0; D=49-2 ⋅ (-4) ⋅ 4=81; x=

− 7 ± 81 − 7 ± 9 = ; 2⋅2 4

−7 + 9 1 = ; 4 2 −7 − 9 =-4. x2= 4

x1=

№545.

www.5balls.ru

a) (x+4) 2=x+40; x2+8x+16-3x-40=0; x2+5x-24=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-24)=121; − 5 ± 121 − 5 ± 11 = ; 2 ⋅1 2 −5 + 11 =3; x1= 2 −5 − 11 =-8; x2= 2

x=

б) (2x-3)2=11x-19; 4x2-12x+9-11x+19=0; 4x2-23x+28=0; D=232-4 ⋅ 4 ⋅ 28=81; 23 ± 81 23 ± 9 ; = 8 8 23 − 9 =1,75; x1= 8 23 + 9 =4; x2= 8

x=

в) (x+1)2=7918-2x; x2+2x+1+2x-7918=0; x2+4x=7917=0; D1=22-1 ⋅ (-7917)=4+7917=7921; x=

− 2 ± 7921 =-2 ± 89; 1

x1=-2+89=87; x2=-2-89=-91; г) (x+2)2=3131-2x; x2+4x+4-3131+2x=0; x2+6x-3127=0; D1=9-1 ⋅ (-3127)=9+3127=3136; x=

− 3 ± 3136 = −3 ± 56 ; 1

x1=-3+56=53; x2=-3-56=-59. №546. a) 3(x+4)2=10x+32; 3(x2+8x+16)=10x+32; 3x2+14x+16=0; D1=72-3 ⋅ 16=1; x= x1=

−7 ± 1 ; 3

−7 + 1 =-2; 3

www.5balls.ru

x2=

−7 − 2 2 = −2 ; 3 3

б) 15x2+17=15(x+1)2; 15x2+17=15(x2+2x+1); 15x2+17=15x2+30x+15; 30x-2=0; 2(15x+1)=0; 15x-1=0; x=

1 ; 15

в) (x+1)2=(2x-1)2; x2+2x+1=4x2-4x+1=0; 3x2-6x=0; 3x(x-2)=0; x1=0; x2=2; г) (x-2)2+48=(2-3x)2; x2-4x+4+48=4-12x+9x2; 8x2-8x-58=0; x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 ; = 1⋅ 2 2 1− 5 =-2; x1= 2 1+ 5 =3. x2= 2

x=

№547. a)

x 2 −1 -11x=11; x2-1-22x=22; 2

x2-22x-23=0; D1=112-1 ⋅ (-23)=144; x=11 ± 144 = 11 ± 12 ; x1=11+12=23; x2=11-12=-1; б)

x 2 + x 8x − 7 x 2 + x 8 x − 7 = − = 0; ; 2 3 2 3

3x2+3x-16x+14=0; 3x2-13x+14=0; D=132-4 ⋅ 3 ⋅ 14-169-168=1; 13 ± 1 ; 6 13 − 1 =2; x1= 6 13 + 1 1 =2 ; x2= 6 3

x=

www.5balls.ru

в)

4x 2 − 1 4x 2 − 1 =x(10x-9); =10x2-9x; 3 3

4x 2 − 1 =0; 30x2-27x-4x2+1=0; 3 26x2-27x+1=0; D=272-4 ⋅ 26 ⋅ 1=729-104=625=252; 27 ± 25 x= ; 52 27 + 25 =1; x1= 52 27 − 25 1 ; x2= = 52 26 3 2 4 3 3 2 4 3 г) x2- x= x2+ ; x2- x- x2- =0; 4 5 5 4 4 5 5 4

10x2-9x-

15x2-8x-16x2-15=0; x2+8x+15=0; D1=42-1 ⋅ 15=1; x=

−4 ± 1 ; 1

x1=-4+1=-3; x2=-4=1=-5. №548. a) 5x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 5 ⋅ (-1)=21; 1 ± 21 1 ± 21 1 ± 4б58 = ≈ ; 2⋅5 10 10 1 + 4,58 5,58 x1 ≈ = = 0,558 ≈ 0,56 ; 10 10 1 − 4,58 3,58 =− = −0,358 ≈ −0,36 ; x2 ≈ 10 10 2 б) 2x +7x+4=0; D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 4=17;

x=

− 7 ± 17 − 7 ± 17 − 7 ± 4,12 = ≈ ; 2⋅2 4 4 11,12 −7 − 4,12 x1 ≈ =− = −2,78 ; 4 4 −7 + 4,12 −2,88 x2 ≈ = = −0,72 ; 4 4

x=

в) 3(y2-2)-y=0; 3y2-y-6=0; D=12-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=1+72=73;

www.5balls.ru

1 ± 73 1 ± 73 1 ± 8,54 ; = ≈ 3⋅ 2 6 6 1 + 8,54 9,54 = = 1,59 ; y1 ≈ 6 6 1 − 8,54 7,54 =− ≈ −1,26 ; y2 ≈ 6 6

y=

г) y2+8(y-1)=3; y2+8y-8-3=0; y2+8y-11=0; D1=16-1 ⋅ (-11)=27; − 4 ± 27 ≈ −4 ± 5,20 ; 1 y1 ≈ −4 − 5,20 = −9,20 ; y2 ≈ −4 + 5,20 = 1,20 .

y=

№549. a) x2-8x+9=0; D1=42-1 ⋅ 9=7; x= 4 ± 7 ≈ 4 ± 2,65 ; x1 ≈ 4 + 2,65 = 6,65 ; x2 ≈ 4 − 2,65 = 1,35 ; б) 2y2-8y+5=0; D1=42-2 ⋅ 5=6; y=

4 ± 6 4 ± 2,45 ; ≈ 2 2

4 + 2,45 6,45 = ≈ 3,22 ; 2 4 4 − 2,45 1,55 y2 ≈ = ≈ 0,78 . 2 2

y1 ≈

№550. a) 0,7x2=1,3x+2; 0,7x2-1,3x-2=0; D=1,32-4 ⋅ 0,7 ⋅ (-2)=1,69+5,6=7,29; x=

1,3 ± 7,29 1,3 ± 2,7 = ; 2 ⋅ 0,7 1,4

x1=

1,3 + 2,7 4 20 6 = = =2 ; 1,4 1,4 7 7

x2=

1,3 − 2,7 −1,4 = = −1 ; 1,4 1,4

б) 7=0,4y+0,2y2; 0,2y2+0,4y-7=0; D1=0,22-0,2 ⋅ (-7)=1,44;

www.5balls.ru

y=

− 0,2 ± 1,44 − 0,2 ± 1,2 = ; 0,2 0,2

y1=

−0,2 + 1,2 1 =5; = 0,2 0,2

y2=

−0,2 − 1,2 −1,4 =-7; = 0,2 0,2

в) x2-1,6x-0,36=0; D1=0,82-1 ⋅ (-0,36)=1; x=

0,8 ± 1 = 0,8 ± 1 1

x1=0,8+1=1,8; x2=0,8-1=-0,2; г) z2-2z+2,91=0; D1=12-1 ⋅ 2,91=-1,91; D>0 – у уравнения нет корней; д) 0,2y2-10y+125=0; D1=52-0,2 ⋅ 125=0; y=

5±0 10 =5 ⋅ =25; 0,2 2

е)

1 2 1 x +2x-9=0; D1=12- ⋅ (-9)=4; 3 3

x=

−1± 4 −1± 2 =-3 ± 6; = 1 1 3 3

x1=-3+6=3; x2=-3-6=-9. №551. a)

1 2 x =2x-7; x2-14x+49=0; D1=72-1 ⋅ 49=0; x=7; 7

б) x2+1,2=2,6x; x2-2,6x+1,2=0; D1=1,32-1 ⋅ 1,2=1,69-1,2=0,49; x=

1,3 ± 0,49 = 1,3 ± 0,7 ; 1

x1=1,3+0,7=2; x2=1,3-0,7=0,6; в) 4x2=7x+7,5; 4x2-7x-7,5=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ (-7,5)=49+120=169; x=

7 ± 169 7 ± 13 = ; 4⋅2 8

www.5balls.ru

7 − 13 =-0,75; 8 7 + 13 =2,5. x2= 8

x1=

№552. a) 3a+0,6=9a2+0,36; 9a2-3a-0,24=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-0,24)=9+8,64=17,64; 3 ± 17,64 3 ± 4,2 = ; 2⋅9 18 3 + 4,2 2 = ; a1= 18 5 3 − 4,2 −1,2 1 = =− ; a2= 18 18 15 2 1 Ответ: ; - ; 5 15

a=

б) 0,4a+1,2=0,16a2+1,44; 0,16a2-0,4a-1,2+1,44=0; 0,04a2-0,1a+0,06=0; D=0,12-4 ⋅ 0,04 ⋅ 0,06=0,01-0,0096=0,0004; a=

0,1 ± 0,0004 0,1 ± 0,02 = ; 2 ⋅ 0,04 0,08

a1=

0,1 + 0,02 0,12 =1,5; = 0,08 0,08

a2=

0,1 − 0,02 0,08 =1. = 0,08 0,08

Ответ: 1,5; 1. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №553. x +1 x −1 2 − − = 2x − 2 2x + 2 1 − x 2 x +1 x −1 2 = − + = 2( x − 1) 2( x + 1) ( x − 1)( x + 1)

a)

www.5balls.ru

=

( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 + 4 x 2 + 2 x + 1 − ( x 2 − 2x + 1) + 4 = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1)

=

4x + 4 4( x + 1) 2 ; = = 2( x − 1)( x + 1) 2( x − 1)( x + 1) x − 1

Подставим х=-0,5: 1 2 2 2 20 4 = = =− = − = −1 ; x − 1 − 0,5 − 1 − 1,5 15 3 3

б)

2a − 1 2 2 2 a = a − 2a + 1 : 1 − a = (a − 2a + 1)3a = 3(1 − a ) = 3(1 − a ) ; 1− a a 3a a (1 − a ) 1− a 3a

a−

Подставим a=-1,5: 3 ⋅ (1-a)=3 ⋅ (1-(-1,5))=3 ⋅ (1+1,5)=3 ⋅ 2,5=7,5. №554.

( 21 +

a)

)

14 − 2 35 ⋅

7 + 20 = 7

21 ⋅ 7 + 7

14 ⋅ 7 2 35 ⋅ 7 7 3 7 2 2⋅7 5 − + 20 = + − +2 5 = 7 7 7 7 7

+

= 3+ 2 −2 5 = 3 + 2 ;

б)

( 5+

3 − 15

)( 5 − 3 )+

75 = 5 ⋅ 5 +

3 ⋅ 5 − 15 ⋅ 5 − 3 ⋅ 5 − 3 ⋅ 3 + 15 ⋅ 3 + 75 =

=5-5 3 -3+3 5 +5 3 =2+3 5 . №555. a) Приравняем правые части обоих уравнений: 7x-1=2x; 1 5

1 5

7x-2x-1=0; 5x-1=0; 5x=1; x= ; y=2x=2 ⋅ = y=

2 ; 5

2 1 2 ;  ;  - искомая точка; 5 5 5

б) Приравняем правые части обоих уравнений: 3x-11=4; 3x=4+11; 3x=15; x=5; y=4; (5;4) – искомая точка.

www.5balls.ru

22. Решение задач с помощью квадратных уравнений №556. Пусть n и (n+6) – данные натуральные числа. По условию, произведение этих чисел равно187. Составим уравнение: n(n+6)=187; n2+6n-187=0; D1=32-1 ⋅ (-187)=9+187=196; n=

− 3 ± 196 =-3 ± 14; 1

n1=-3-14=-17 (не подходит, поскольку не натуральное); n2=-3+14=11; тогда n+6=11+6=17. Ответ: 11, 17. №557. Пусть x и (x-2) – данные числа. По условию, их произведение равно120. Составим уравнение: x(x-2)=120; x2-2x=120; x2-2x-120=0; D1=12-1 ⋅ (-120)=1+120=121; x=

1 ± 121 =1 ±11 ; 1

1) x1=1+11=12, x-2=10; 2) x2=1-11=-10, x-2=-12. Обе пары чисел удовлетворяют условию задачи. Ответ: 1) 12 и 10; 2) –10 и –12. №558. Пусть x см и (x+4) см соответственно – ширина и длина прямоугольника. По условию задачи площадь S=60 см2. Составляем уравнение: x(x+4)=60; x2+4x-60=0; D1=22-1 ⋅ (-60)=64; x=

− 2 ± 64 = −2 ± 8 ; 1

x1=-2+8=6; x2=-2-8=-10 – не подходит. Значит x+4=10; периметр P=2 ⋅ (6+10)=32 (см). Ответ: 32 см. №559.

www.5balls.ru

Пусть x м и (x+10) м– ширина и длина участка. Площадь участка по условию задачи равна 1200 м2. Составляем уравнение: x(x+10)=1200; x2+10x-1200=0; D1=52-1 ⋅ (-1200)=1225; x=-5 ± 1225 =-5 ± 35; x1=-5-35=-40 – не подходит; x2==-5+35=30; Значит x+10=40, а длина изгороди, т.е. периметр участка P=2 ⋅ (30+40)=140 м. Ответ: 140 м. №560. Пусть a м и b м– длина и ширина прямоугольника. Периметр прямоугольника по условию равна 62 м, а его площадь – 120 м2. Так как P=2(a+b), S=ab, то получаем систему уравнений: 62 = 2(a + b),  210 = ab;

a = 31 − b,  210 = (31 − b)b; a = 31 − b,  2 b − 31b + 210 = 0;

31 = a + b,  210 = ab;

a = 31 − b,  31b − b 2 − 210 = 0;

Решим второе уравнение:

D=312-4 ⋅ 1 ⋅ 210=961-840=121; b=

31 ± 121 31 ± 11 ; = 2 2

31 + 11 =21; значит, a1=31-b1=10; 2 31 − 11 =10; значит a2=31-b2=21. b2= 2

b1=

Ответ: 21 м, 10 м. №561. Пусть катеты данного треугольника равны a см и b см. Сумма катетов по условию равна 23 см, т.е. a+b=23, а площадь треугольника равна 60 см2, т.е.

1 ab=60. Получаем систему 2

уравнений: a + b = 23,  ab = 120;

a = 23 − b,  (23 − b)b = 120;

a = 23 − b,  2 b − 23b + 120 = 0;

www.5balls.ru

Решаем второе уравнение: D=232-4 ⋅ 1 ⋅ 120=529-480=49; b=

23 ± 49 23 ± 7 = ; 2 2

b1=15; значит a1=23-b1=8; b2=8; значит a2=23-b2=15. Ответ: 8 см и 15 см. №562. Пусть n и (n+1) – данные натуральные числа. Произведение этих чисел по условию больше их суммы на 109. Составляем уравнение: n(n+1)-109=n+(n+1); n2+n-109=n+n+1; n2-n-110=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-110)=441; n=

1 ± 441 1 ± 21 = ; 2 2

1 + 21 =11; 2 1 − 21 =-10; - не подходит, т.к. не натуральное. Значит n=11, n2= 2

n1=

n+1=12. Ответ: 11, 12. №563. Пусть x см и (х+3) см – ширина и длина оставшейся части листа, тогда длина стороны квадрата будет равна (х+3) см. Площадь прямоугольной части листа по условию задачи равна 70 см2. Составляем уравнение: х(х+3)=70; х2+3х-70=0; D=32-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=289; x=

− 3 ± 289 − 3 ± 17 = ; 2 2

−3 + 17 =7; значит х+3=10. 2 −3 − 17 =-10 – не подходит, т.к. длина не может быть x2= 2

x1=

отрицательной. Ответ: 10 см. №564.

www.5balls.ru

Пусть х см и (х+120) см – сторона квадрата и длина доски прямоугольной формы.

х см

120 см

Площадь доски прямоугольной формы по условию задачи равна 4500 см2. Составляем уравнение: х(х+120)=4500; х2+120х-4500=0; D1=602-1 ⋅ (-4500)=3600+4500=8100; x=

− 60 ± 8100 =-60 ± 90; 1

x1=-60+90=30; x2=-60-90=-150 – не подходит, т.к. –150<0. Ответ: 30 см. №565. Пусть х см и (х+14) см – ширина и длина прямоугольника.

х см

34 см

(х+14) см Воспользуемся теоремой Пифагора: x2+(x+14) 2=342; x2+x2+28x+196=1156; 2x2+28x-960=0; x2+14x-480=0; D1=72-1 ⋅ (-480)=49+480=529; x=

− 7 ± 529 =-7 ± 23; 1

x1=-7-23=-30 – не подходит;

www.5balls.ru

x2=-7+23=16; значит х+14=30. Ответ: 16 см и 30 см. №566. Обозначим за х см - длину гипотенузы, тогда (х-3) см и (х-6) см – длины катетов. Составляем уравнение, исходя из теоремы Пифагора: x2=(x-3) 2+(x-6) 2; x2=x2-6x+9+x2-12x+36; x2-18x+45=0; D1=92-1 ⋅ 45=81-45=36; x=9 ± 36 = 9 ± 6 ; x1=15; x2=3 – не подходит. Ответ: 15 см. №567. Обозначим за х и (х+8) количество рядов и количество мест в ряду. По условию в кинотеатре 884 места. Составим уравнение: х(х+8)=884; x2+8x-884=0; D1=42-1 ⋅ (-884)=16+884=900=302; x=-4 ± 30; x1=-4+30=26; x2=-4-30=-34 – не подходит. Ответ: 26. №568. Пусть n, (n+1) и (n+2) – данные целые числа. Сумма их квадратов по условию задачи равна 869. Составим уравнение: n2+(n+1) 2+(n+2) 2=869; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=869; 3n2+6n-864=0; n2+2n-288=0; D1=12-1 ⋅ (-288)=289; n=-1 ± 289 = −1 ± 17 ; n1=-1-17=-18; значит n+1=-17; n+2=-16; n2=-1+17=16; значит n+1=17, n+2=18. Ответ:-18, -1, -16; или 16, 17, 18. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №569.

www.5balls.ru

a) б)

8a 3 − 27 9 − 12a + 4a

2

=

(2a − 3)(4a 2 + 6a + 9) ( 2a − 3)

2

=

4a 2 + 6a + 9 ; 2a − 3

ax − 2 x − 4a + 8 x (a − 2) − 4(a − 2) (a − 2)( x − 4) x − 4 . = = = 3a − 6 − ax + 2 x 3(a − 2) − x (a − 2) (a − 2)(3 − x ) 3 − x

№570.

( a + b) −b = ( a + 2

a)

2 ab + 2b + 1

b+ b

)( a +

b− b

2 ab + 2b + 1

)=

( a + 2 b ) a ; подставляем a=5 и b=2 и находим: 2 ab + 2b + 1

( a + 2 b) a = ( 5 + 2 2) 5 2 ab + 2b + 1

2 5⋅ 2 + 2 ⋅ 2 +1

( )=1; 5 (2 2 + 5 ) ( x − y ) + 4 xy = x − 2 б)

=

(

5 5 +2 2

)

2 5⋅ 2 + 5⋅ 5

=

5 5+2 2

2

x + xy + 1

x + 2 xy + y x + xy + 1 x + 2 xy + y x + xy + 1

xy + y + 4 xy x + xy + 1

=

; подставляем х=4 и y=6 и находим: =

4 + 2 4⋅6 + 6 4 + 4 ⋅ 6 +1

=

10 + 2 ⋅ 2 6 5+2 6

=

(

25+2 6 5+2 6

№571. a)

х ( х − 3) х − =0; 6 2

x(x-3)-3x=0; x2-6x=0; x(x-6)=0; 1) x1=0; 2) x-6=0; x2=6; б)

х ( х + 1) 8 + х  х ( х + 1) 8 + х  2 + = 2 ; 12 +  = ⋅ 12 ; 3 4 3 4  1 

www.5balls.ru

)= 2.

12 х ( х + 1) 12(8 + х ) + = 24 ; 3 4

4x(x+1)+3(8+x)=24; 4x2+4x+24+3x=24; 4x2+7x=0; x(4x+7)=0; x1=0; 4x2+7=0; 4x2=-7; x2=-

7 3 = −1 . 4 4

№572. Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 1) y=0; 13x-2,6=y; 13x=2,6; x=

2,6 =0,2; (0,2;0); 13

Искомая точка должна удовлетворять следующим двум уравнениям: 2) x=0; y=13 ⋅ 0-2,6; y=-2,6; (0;-2,6). Ответ: (0,2;0); (0;-2,6).

www.5balls.ru

21. Теорема Виета №573. a) x2-37x+27=0; D=372-4 ⋅ 1 ⋅ 27=1369-108=1261; D>0, значит, уравнение имеет два корня; x1+x2=37; x1 ⋅ x2=27; б) y2+41y-371=0; D=412-4 ⋅ 1 ⋅ (-371)=1681+1484=3165; D>0, значит, уравнение имеет два корня. По теореме Виета: y1+y2=-41; y1-y2=-371; в) x2-210x=0; x1+x2=210; x1 ⋅ x2=0; г) y2-19=0; y1+y2=0; y1 ⋅ y2=-19; 2x 2 9 10 − x − =0; 2 2 2

д) 2x2-9x-10=0; 9 2

2

D=   -4 ⋅ 1 ⋅ (-5)=

81 161 +20= >0, значит, уравнение имеет 2 корня. 4 4

По теореме Виета: x1+x2=

9 ; x1 ⋅ x2=-5; 2

е) 5x2+12x+7=0; x2+ 6 5

2

D1=   −

12 7 x+ =0; 5 5

7 36 35 1 = − = ; 5 25 25 25

По теореме Виета: x1+x2=-

12 =-2,4; x1 ⋅ x2=1,4; 5

ж) –z2+z=0; z2-z=0; z1+z2=1; z1 ⋅ z2=0; з) 3x2-10=0; x2-

10 =0; 3

Уравнение имеет 2 корня и по теореме Виета: x1+x2=0; x1 ⋅ x2=-

10 . 3

№574. a) x2-2x-9=0; D1=12-1 ⋅ (-9)=10; x=1 ± 10 ; x1=1- 10 ; x2=1+ 10 . Произведем проверку:

www.5balls.ru

x1+x2=1- 10 +1+ 10 =2; x1 ⋅ x2=(1- 10 )(1+ 10 )=1-10=-9; 4 3

4 =0; 3

б) 3x2-4x-4=0; x2- x − 4 3

2

 4  3

D=   -4 ⋅ 1 ⋅  −  =

16 16 16 + 48 64 ; + = = 9 3 9 9

4 64 4 8 ± ± 9 = 3 3; x= 3 2 2 4 8 + 1 12 4 x1= 3 3 = ⋅ = =2; 2 2 3 2 4 8 − 1 4 4 2 x2= 3 3 =  −  = − = − . 2 2 3 6 3

Произведем проверку:  2  3

x1+x2=2+  −  =

4 ; 3

 2  3

x1 ⋅ x2=2 ⋅  −  = −

4 ; 3

в) 2x2+7x-6=0; x2+

7 x-3=0; 2

7 2

2

D=   -4 ⋅ 1 ⋅ (-3)= −

x=

7 97 7 97 ± − ± 2 4 = 2 2 ; 2 2

7 97 + 2 2 = − 7 + 97 ; 2 4

7 97 − 2 2 = − 7 − 97 . 2 4

x1=

x2=

49 12 49 + 48 97 ; + = = 4 1 4 4

Произведем проверку:

www.5balls.ru

− 7 + 97 − 7 − 97 7 97 7 97 14 7 + =− + − − =− =− ; 4 4 4 4 4 4 4 2  − 7 + 97   − 7 − 97      ⋅  = − 97 + 7  ⋅  97 − 7  = x 1 ⋅ x 2=          4 4 4 4        

x1+x2=

( 97 ) − 7 − 2

97 − 49 48 =− = −3 ; 16 16 16 9 г) 2x2+9x+8=0; x2+ x+4=0; 2 9 2

2

=−

2

D=   -4 ⋅ 1 ⋅ 4= −

x=

81 81 − 64 17 -16= ; = 4 4 4

9 17 ± 2 4 = − 9 ± 17 . 2 4

x1=

− 9 + 17 ; 4

x2=

− 9 − 17 . 4

Произведем проверку: − 9 + 17 − 9 − 17 + = 4 4  − 9 + 17   − 9 − 17 ⋅ x 1 ⋅ x 2=     4 4   

x1+x2=

 17 − 9  =− ×  4  

( 17 ) − 9 2

16

2

=−

− 9 + 17 − 9 − 17 18 9 =− =− ; 4 4 2   17 + 9   = − ×   4    17 − 81 =4. 16

№575. a) x2-15x-16=0; D=152-4 ⋅ 1 ⋅ (-16)=225+64=289; 15 ± 289 15 ± 17 = ; 2 2 15 + 17 =16; x1= 2 15 − 17 =-1. x2= 2

x=

www.5balls.ru

Произведем проверку: x1+x2=16+(-1)=15; x1 ⋅ x2=16 ⋅ (-1)=-16; б) x2-6x-11=0; D1=32-1 ⋅ (-11)=20; x= 3 ± 20 = 3 ± 2 5 ; x1=3+2 5 ; x2=3-2 5 . Произведем проверку: x1+x2=3+2 5 +3-2 5 =6; x1 ⋅ x2=(3+2 5 )(3-2 5 )=32-(2 5 )2=9-20=-11; в) 12x2-4x-1=0; x2-

4 1 1 1 x- =0; x2- x- =0; 12 12 3 12 1 3

2

1 1 1 4 = + = ; 12   9 3 9

D=   -4 ⋅ 1 ⋅  −

1 4 1 2 ± ± 3 9 x= = 3 3 ; 2 2 1 2 + 1 x1= 3 3 = ; 2 2 1 2 1 − − 1 x2= 3 3 = 3 = − . 2 2 6

Произведем проверку: x1+x2=

1  1 1 1 1 + −  = − = ; 2  6 2 6 3 1  1 2  6

x 1 ⋅ x 2= ⋅  −  = −

(

)(

1 ; 12

)

г) x2-6=0; x − 6 x + 6 =0; 1) x- 6 =0; x= 6 ; 2) x+ 6 =0; x=- 6 Произведем проверку: x1+x2= 6 - 6 =0; x1 ⋅ x2= 6 ⋅ (- 6 )=-6;

www.5balls.ru

д) 5x2-18x=0; x(5x-18)=0; 1) x1=0; 2) 5x-18=0; 5x=18; x2=

18 3 =3 . 5 5

Произведем проверку: 3 3 5 5 3 x1 ⋅ x2=0 ⋅ 3 =0; 5 41 е) 2x2-41=0; x2- =0; 2      x − 41  x + 41  =0;  2  2  

x1+x2=0+ 3 = 3 ;

1) x-

41 41 =0; x1= ; 2 2

2) x+

41 41 =0; x2=. 2 2

Произведем проверку: x1+x2=

41 41 =0; 2 2

x 1 ⋅ x 2=

41  41 41  =- . ⋅ − 2  2  2

№576. a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-9х+20=0, тогда х1+х2=9; х1 ⋅ х2=20, откуда х1=2; х2=5. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+11х-12=0, тогда х1+х2=-11; х1 ⋅ х2=-12, откуда подберем х1=1; х2=-12. в) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+х-56=0, тогда х1+х2=-1; х1 ⋅ х2=-56, откуда подберем х1=7; х2=-8. г) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2-19х+88=0, тогда х1+х2=19; х1 ⋅ х2=88, откуда подберем х1=11; х2=8. №577.

www.5balls.ru

a) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+16х+63=0, тогда х1+х2=-16; х1 ⋅ х2=63, откуда х1=-7; х2=-9. б) Пусть x1 и х2 – корни уравнения х2+2х-48=0, тогда х1+х2=-2; х1 ⋅ х2=-48, откуда подберем х1=6; х2=-8. №578. Поскольку x1=7, то (по теореме Виета): х1 ⋅ х2=-35, 7 ⋅ х2=-35; х2=-5. х1+х2=7+(-5)=2; р=-2. Ответ: х2=-5, р=-2. №579. Поскольку x1=12,5, то (по теореме Виета): х1+х2=13; х1 ⋅ х2=q; 12,5+х2=13; х2=13-12,5=0,5; q=12,5 ⋅ 0,5=6,25. Ответ: х2=0,5, q=6,25. №580. 1 5

24 =0. 5 24 24 24 8 24 3 = ; Поскольку x1=8; то х1 ⋅ х2= ; 8 ⋅ х2= ; х2= : = 5 5 5 1 40 5 3 3 3 1 43 1 =- b; откуда х1+х2=8+ =8 ; 8 =- b; 5 5 5 5 5 5 43 1 43 ⋅ 5 =-43. b=- : =5 5 5 ⋅1 3 Ответ: х2= ; b=-43. 5

5x2+bx+24=0; x2+ bx+

№581. 33 с x+ =0; x2-3,3x+0,1c=0; 10 10 поскольку x1=5,3, то x1+x2=3,3; x1 ⋅ x2=0,1c;

10x2-33x+c=0; x2-

5,3+x2=3,3; x2=3,3-5,3; x2=-2; 5,3 ⋅ (-2)=-10,6=0,1c; c=-106. Ответ: x2=-2; c=-106. №582.

www.5balls.ru

Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. По условию задачи х1-х2=2, а по теореме Виета получим: х1+х2=12. Затем получим систему уравнений:  х1 − х2 = 2,   х1 + х2 = 12.

Сложим эти уравнения, получим: 2х1=14, откуда х1=7. Вычтем первое уравнение из ��торого, получим: 2х2=10, откуда х2=5. Значит, q=x1 ⋅ x2=7 ⋅ 5=35. Ответ: 35. №583. Обозначим через х1 и х2 – корни квадратного уравнения. Тогда имеем систему:  х1 − х2 = 6,   х1 + х2 = −1.

Находим: 2х1=5, 2х2=-7, т.е. х1=2,5; х2=-3,5. Значит, с=x1 ⋅ x2=2,5 ⋅ -(3,5)=-8,75. Ответ: -8,75. №584. a) 3x2+113x-7=0; x2+

113 7 x- =0; 3 3

D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-

7 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 3

противоположных знаков. б) 5x2-291x-16=0; x2-

291 16 x- =0; 5 5

D>0, по теореме Виета: x1 ⋅ x2=-

16 <0, следовательно, у уравнения два корня, причем 5

противоположных знаков. №585. а) имеет два корня противоположных знаков;

www.5balls.ru

б) имеет два положительных корня; в) не имеет корней; г) имеет два положительных корня; д) не имеет корней; е) имеет два корня противоположных знаков. №586. а) имеет два положительных корня; б) имеет два корня противоположных знаков; в) имеет два положительных корня; г) имеет два корня противоположных знаков; д) имеет два положительных корня; е) имеет два корня противоположных знаков. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №587. а) (3x+1)2=3x+1; 9x2+6x+1=3x+1; 9x2+3x=0; 3x(3x+1)=0; x(3x+1)=0; 1 3

x1=0; 3x2+1=0; 3x2=-1; x2=- ; б) (3x+1)2=3(x+1); 9x2+6x+1=3x+3; 9x2+3x-2=0; D=32-4 ⋅ 9 ⋅ (-2)=81; − 3 ± 81 − 3 ± 9 = ; 2⋅9 18 −3 + 9 1 = ; x1= 18 3 −3 − 9 2 =− ; x2= 18 3

x=

в) (3x+1)2=(2x-5)2; 9x2+6x+1=4x2-20x+25; 5x2+26x-24=0; D1=132-5 ⋅ (-24)=169+120=289; − 13 ± 289 − 13 ± 17 = 5 5 −13 + 17 4 x1= = ; 5 5

x=

www.5balls.ru

x2=

−13 − 17 = −6 ; 5

г) (3x+4)2=4(x+3); 9x2+24x+16=4x+12; 9x2+20x+4=0; D1=102-4 ⋅ 9=64; − 10 ± 64 − 10 ± 8 = 9 9 −10 + 8 2 x1= =− ; 9 9 −10 − 8 = −2 ; x2= 9

x=

д) 4(x+3)2=2x+6); 4(x+3)2=(2x+6)(2x+6); 4(x+3)2=2 ⋅ 2(x+3)2; 4(x+3)2=4(x+3)2 при любом х; е) (6x+3)2=(x-4)2; 36x2+36x+9=x2-8x+16; 35x2+44x-7=0; D1=222-35 ⋅ (-7)=484+245=729; − 22 ± 729 − 22 ± 27 = 35 35 −22 + 27 5 1 x1= = = ; 35 35 7 −22 − 27 49 2 =− = −1 ; x2= 35 35 5

x=

№588. Обозначим за (8х) м – первый катет треугольника, (15х) м – второй катет. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (8х)2+(15х)2=6,82; 64х2+225х2=46,24; 289х2=46,24; х2=

46,24 =0,16; х= ± 0,16 ; 289

х1= 0,16 =0,4; тогда 8х=8 ⋅ 0,4=3,2 м – длина первого катета, 15х=15 ⋅ 0,4=6 м – длина второго катета. х2=- 0,16 =-0,4 не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов: S= Ответ: 9,6 м2.

www.5balls.ru

3,2 ⋅ 6 19,2 =9,6 (м2). = 2 2

№589. Обозначим за (12х) см – длину неизвестного катета, (13х) см – длину гипотенузы. По теореме Пифагора квадрат длины гипотенузы равен сумме длин квадратов катетов. Запишем уравнение: (13х)2=(12х)2+152; 169х2=144х2+225; 25х2=225; х2=9; х= ± 9 ; х1=3; х2=-3 – не подходит, так как длина катета не может быть меньше нуля. 13х=3 ⋅ 13=39 см – длина гипотенузы, 12х=3 ⋅ 12=36 см – длина искомого катета. Найдем периметр: Р=15+39+36=90 см. Ответ: 90 см.

§ 10. Дробные рациональные уравнения 24. Решение дробных рациональных уравнений №590. a)

y2 y ; = y+3 y+3

y2 y − =0; y+3 y+3

y2 − y = 0 ; y2-y=0; y(y-1)=0; y+3

y1=0; y2-1=0; y2=1; Оба корня не обнуляют знаменатель. б)

x2 x −4 2

=

5x − 6 x −4 2

;

x2 x −4 2

5x − 6 x2 − 4

=0;

x2 − 5x + 6

= 0 ; x2-5x+6=0; x2 − 4 D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 6=25-24=1; 5 ± 1 5 ±1 ; = 2 2 5 +1 = 3; x1= 2 5 −1 =2. x2= 2

x=

www.5balls.ru

х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=3. в)

2x2 − 7x + 6 ; = x−2 2− x

2x2 − 7 x + 6 − =0; x−2 2−x

2x2 7 x − 6 − = 0 ; 2x2-7x+6=0; x−2 x−2 D=72-4 ⋅ 2 ⋅ 6=49-48=1; 7 ± 1 7 ±1 = ; x= 4 4 7 +1 x1= = 2; 4 7 −1 6 3 1 x2= = = =1 . 4 4 2 2

х=2 не подходит, т.к. при х=2 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень х=1 г)

y2 − 6 y 5 ; = y −5 5− y

y2 − 6 y 5 + =0; y −5 y −5

1 . 2

y2 − 6 y 5 − =0; y −5 5− y y2 − 6 y + 5 =0; y −5

y2-6y+5=0;

D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; y=3 ± 4 =3 ± 2; y1=3+2=5; y2=3-2=1. y=5 не подходит, т.к. при y=5 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=1. 2 x − 2 3x + 4 2 x − 2 3x + 4 ; − =0; = x+7 x −1 x+7 x −1 ( 2x − 1)( x − 1) − (3x + 4)( x + 7) =0; ( x + 7)( x − 1)

д)

2 x 2 − 2 x − x + 1 − (3x 2 + 21x + 4 x + 28) =0; ( x + 7)( x − 1)

2x2-3x+1-3x2-25x-28=0; -x2-28x-27=0; x2+28x+27=0; D1=142-1 ⋅ 27=196-27=169; x=-14 ± 169 =-14 ± 13; x1=-14-13=-27; x2=-14+13=-1;

www.5balls.ru

е)

2y + 3 y − 5 =0; − 2 y −1 y + 3

2y + 3 y − 5 ; = 2 y −1 y + 3

(2y+3)(y+3)-(2y-1)(y-5)=0; 2y2+6y+3y+9-(2y2-10y-y+5)=0; 2y2+9y+9-2y2+11y-5=0; 1 5

20y+4=0; 4(5y+1)=0; 5y+1=0; 5y=-1; y=- ; y=-

1 1 является корнем уравнения, т.к. при y=- общий знаменатель 5 5

дробей не обращается в ноль. ж)

5y + 1 y + 2 − = 0; y +1 y

5y + 1 y + 2 ; = y +1 y

y(5y+1)-(y+1)(y+2)=0; 5y2+y-(y2+2y+2+2)=0; 5y2+y-y2-3y-2=0; 4y2-2y-2=0; 2y2-y-1=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-1)=1+8=9; 1± 9 1± 3 = ; 2⋅2 4 1+ 3 =1; y1= 4 1− 3 2 1 y2= =− =− . 4 4 2 1 При y1=1 и y2=- общий знаменатель не обращается в ноль, 2

y=

поэтому оба числа являются корнями уравнения. 1 + 3x 5 − 3x 1 + 3x 5 − 3x ; − =0; = 1 − 2x 1 + 2x 1 − 2x 1 + 2x (1 + 2 x )(1 + 3x ) − (1 − 2 x )(5 − 3x ) = 0; 1 − 4x 2

з)

1+3x+2x+6x2-(5-3x-10x+6x2)=0; 18x-4=0; 2(9x-2)=0; 9x=2; x= x=

2 . 9

2 2 является корнем уравнения, т.к. при x= общий знаменатель 9 9

дробей не обращается в ноль. и)

x − 1 2x − 1 − =0; 2x + 3 3 − 2x

x − 1 2x − 1 + =0; 2x + 3 2x − 3

www.5balls.ru

( 2x − 3)( x − 1) + (2 x − 1)(2 x + 3) 4x 2 − 9

=0;

(2x-3)(x-1)+(2x-1)(2x+3)=0; 6x2-x=0; x(6x-1)=0; x1=0; 1 6

6x2-1=0; 6x2=1; x2= . 1 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, 6 1 поэтому х1=0 и x2= являются корнями уравнения. 6

При х=0 и x=

№591. a)

2x − 5 −4 = 0; x+5

2 x − 5 − 4( x + 5) = 0; x +5

2x-5-4x-20=0; -2x-25=0; 2x+25=0; 2x=-25; x=x=-12

25 1 1 =-12 ; x=-12 2 2 2

1 1 является корнем уравнения, т.к. при x=-12 знаменатель 2 2

не обращается в ноль. 12 12 x =x; − = 0; 7−x 7−x 1 12 − x (7 − x ) = 0 ; 12-7x+x2=0; x2-7x+12=0; 7−x D=72-4 ⋅ 1 ⋅ 12=1;

б)

7 ± 1 7 ±1 ; = 2 2 7 −1 =3; x1= 2 7 +1 = 4; x2= 2

x=

x1=3 и х2=4 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. в)

x 2 − 4 3 + 2x = ; 4 2

x 2 − 4 3 + 2x − =0 4 2

x2-4-6-4x=0; x2-4x-10=0;

www.5balls.ru

D1=(-2) 2-1 ⋅ (-10)=4+10=14; x1,2=2 ± 14 ; 10 10 x −1 = x −1 ; − = 0; 2x − 3 2x − 3 1 10 − ( 2x − 3)( x − 1) = 0 ; 10-(2x-3)(x-1)=0; 2x − 3

г)

10-(2x2-2x-3x+3)=0; 2x2-5x-7=0; D=52-4 ⋅ 2 ⋅ (-7)=25+56=81;

5 ± 81 5 ± 9 ; = 2⋅2 4 5+9 1 =3 ; x1= 4 2 5−9 = −1 . x2= 4 1 При x1= 3 и х2=-1 общий знаменатель не обращается в ноль, 2

x=

поэтому оба числа являются корнями уравнения. д)

8 =3x+2; x

8 − x (3x + 2) =0; x

8-x(3x+2)=0; 3x2+2x-8=0; D1=12-3 ⋅ (-8)=1+24=25; − 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 3 3 1 −1 + 5 x1= =1 ; 3 3 −1 − 5 x2= = −2 ; 3 1 При x1=1 и х2=-2 общий знаменатель не обращается в ноль, 3

x=

поэтому оба числа являются корнями уравнения. е)

x 2 + 4x 2x = ; x+2 3

x 2 + 4x 2x − =0; x+2 3

3( x 2 + 4 x ) − 2 x ( x + 2) = 0 ; 3(x2+4x)-2x(x+2)=0; 3( x + 2)

x2+8x=0; x(x+8)=0; x1=0;

www.5balls.ru

x2=-8; x1=0 и х2=-8 являются корнями уравнения, поскольку при этих значениях х знаменатель не обращается в ноль. 2 x 2 − 5x + 3 =0; 2x2-5x+3=0; 10 x − 5 D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 3=25-24=1

ж)

5 ± 1 5 ±1 ; = 2⋅2 4 5 +1 1 =1 ; x1= 4 2 5 −1 =1. x2= 4 1 1 x1=1 и х2=1 являются корнями уравнения, поскольку при x=1 и 2 2

x=

х=1 общий знаменатель не обращается в ноль. з)

4x 3 − 9x = 0 ; 4x3-9x=0; x + 1,5

x(4x2-9)=0; x(2x-3)(2x+3)=0; x1=0; 3 ; 2 3 x3=- ; 2 3 x=- не подходит, так как при этом значении знаменатель дроби 2

x2=

обращается в ноль; значит, уравнение имеет два корня: х1=0, х2= т.к. при х=0 и х=

3 знаменатель дроби не обращается в ноль. 2

№592. a)

x2 2

x +1

x2 − 7 x2 + 1

=

7x 2

x +1

;

x2 2

x +1

7x 2

x +1

=0;

= 0 ; x2-7x=0; x(x-7)=0;

x1=0;

www.5balls.ru

3 , 2

x2=7. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x+1>0 при всех х. б)

y2 2

y − 6y y2

2

y − 6y

+

=

4(3 − 2 y) ; y (6 − y )

y2 2

y − 6y

4(3 − 2 y) =0; y(6 − y)

4(3 − 2 y) = 0 ; y2+4(3-2y)=0; y ( y − 6)

y2+12-8y=0; y2-8y+12=0; D1=(-4)2-1 ⋅ 12=16-12; y=

4± 4 = 4±2; 1

y1=4+2=6; y2=4-2=2. y1=6 не подходит, т.к. при y=6 знаменатель обращается в ноль, а при y=4 знаменатель в ноль не обращается, один корень y=4. в)

x−2 x +3 ; = x+2 x−4

x−2 x +3 − =0; x+2 x−4

(x-4)(x-2)-(x+2)(x+3)=0; x2-2x-4x+8-x2-3x-3x-6=0; 11x=2; x= x=

2 . 11

2 2 является корнем уравнения, поскольку при x= общий 11 11

знаменатель дробей не обращается в ноль. 8y − 5 9y 8y − 5 9y − = 0; ; = y y+2 y y+2 (8y-5)(y+2)-y ⋅ 9y=0; 8y2+16y-5y-10-9y2=0;

г)

y2-11y+10=0; D=(-11) 2-4 ⋅ 1 ⋅ 10=81;

11 ± 81 11 ± 9 ; = 2 2 11 − 9 =1; y1= 2 11 + 9 = 10 . y2= 2

y=

При y=1 и y=10 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения.

www.5balls.ru

д)

x2 + 3 x +1 2

=2;

x2 + 3 x2 + 1

−2 = 0;

x2+3-2(x2+1)=0; -x2+1=0; x2-1=0; (x-1)(x+1)=0; 1) x-1=0; x1=1; 2) x+1=0; x2=-1. Оба значения являются корнями уравнения, т.к. x>0 при всех х. е)

3 x2 + 2

=

1 ; x

3 x2 + 2

1 = 0 ; 3x-(x2+2)=0; x

x2-3x+2=0; D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=9-8=1;

3 ±1 ; 2 3 −1 =1; x1= 2 3 +1 =2. x2= 2

x=

При х=1 и х=2 общий знаменатель дробей не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. ж) х+2=

15 ; 4x + 1

x+2 15 − = 0; 1 4x + 1

(x+2)(4x+1)-15=0; 4x2+9x-13=0; D=92-4 ⋅ 4 ⋅ (-13)=81+208=289; − 9 ± 289 − 9 ± 17 ; = 2⋅4 8 −9 − 17 26 =− = −3,25 ; x1= 8 8 −9 + 17 = 1. x2= 8

x=

Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=1 и х=3,25 общий знаменатель не обращается в ноль. з)

x 2 − 5 7 x + 10 = ; x −1 9

9(x2-5)-(x-1)(7x+10)=0; 9x2-45-(7x2+10x-7x-10)=0; 2x2-3x-35=0;

x 2 − 5 7 x + 10 − =0; x −1 9

www.5balls.ru

D=(-3)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-35)=9+280=289; 3 ± 289 3 ± 17 = ; 2⋅2 4 3 + 17 =5; x1= 4 3 + 17 14 = − = −3,5 . x2= 4 4

x=

Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=5 и х=-3,5 общий знаменатель не обращается в ноль. №593. a)

3x + 1 x − 1 − =1; x+2 x−2

3x + 1 x − 1 − −1 = 0 ; x+2 x−2

(3x+1)(x-2)-(x-1)(x+2)-(x+2)(x-2)=0; 3x2-6x+x-2-x2-2x+x+2-x2+4=0; x2-6+4=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 4=5; x1,2=3 ± 5 . Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при х=3 ± 5 общий знаменатель не обращается в ноль. б)

2y − 2 y + 3 + =5; y+3 y−3

2y − 2 y + 3 + −5 = 0 ; y+3 y−3

2(y-1)(y-3)+(y+3)2-5(y2-9)=0; 2(y2-y-3y+3)+y2+6y+9-5y2+45=0; -2y2-2y+60=0; y2+y-30=0; D=12-4 ⋅ (-30)=1+120=121; − 1 ± 121 − 1 ± 11 ; = 2 2 −1 − 11 = −6 ; y1= 2 −1 + 11 =5. y2= 2

y=

Оба числа являются корнями уравнения, т.к. при y=-6 и y=5общий знаменатель не обращается в ноль. в)

4 9 y2 − 1

4 5 ; = 3 y + 1 1 − 3y

www.5balls.ru

4 4 5 − + =0; (3y − 1)(3y + 1) 3y + 1 3y − 1 4 − 4(3y − 1) + 5(3y + 1) 9y2 − 1

3y+13=0; 3y=-13; y=y=-4

= 0 ; 4-12y+4+15y+5=0; 13 1 = −4 . 3 3

1 является корнем уравнения, т.к. при этом значении у общий 3

знаменатель дробей не обращается в ноль. 4 5 1 − = −1 ; x +3 3− x x −3 4 5 1 + − +1 = 0 ; x +3 x −3 x −3

г)

4(x-3)+5(x+3)-(x+3)+x2-9=0; x2+8x-9=0; D1=42-1 ⋅ (-9)=25; x=-4 ± 25 = −4 ± 5 ; x1=-4+5=1; x2=-4-5=-9. При х1=1 и х2=-9 общий знаменатель не обращается в ноль, поэтому оба числа являются корнями уравнения. 4 5− x 4 5−x = − = 0; ; 3+ x − 1 x ( x − 1) x −1 x2 − x 3( x − 1) + 4 x − (5 − x ) = 0 ; 3x-3+4x-5+x=0; 8x=8; x=1. x ( x − 1)

д) 3+

При х=1 х-1=0, значит, данное уравнение не имеет корней. е)

3y − 2 1 3y + 4 ; − = y y − 2 y2 − 2y

3y − 2 1 3y + 4 − − =0; y y − 2 y( y − 2)

(y-2)(3y-2)-y-3y-4=0; 3y2-2y-6y+4-y-3y-4=0; 3y2-12y=0; y2-4y=0; y(y-4)=0; y1=0; y2=4. При y=0 знаменатель обращается в ноль, поэтому данное уравнение имеет только один корень y=4, т.к. при y=4 знаменатель в ноль не обращается.

www.5balls.ru

№594. 2x − 1 2x − 1 = 5; −5 = 0; x+6 x+6 2 x − 1 − 5( x + 6) = 0 ; 2x-1-5x-30=0; x+6 31 1 -3x-31=0; 3x=-31; x=- = −10 . 3 3 2x − 1 2x − 1 2) = −3 ; + 3 = 0 ; 2x-1+3x+18=0; x+6 x+6 17 2 5x=-17; x=- = −3 . 5 5 2x − 1 1 3) = 0 ; 2x-1=0; x= . x+6 2 2x − 1 2x − 1 4) =2; −2 = 0; x+6 x+6 2x-1-2(x+6)=0; 2x-1-2x-12=0; -13 ≠ 0.

a) 1)

Эта функция не равна 2 ни при каких х. б) 1)

x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −10 ; + 10 = 0 ; x+3 x+3

x2+x-2+10x+30=0; x2+11x+28=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 28=9; − 11 ± 9 − 11 ± 3 ; = 2 2 −11 + 3 = −4 ; x1= 2 −11 − 3 = −7 . x2= 2

x=

x2 + x − 2 = 0 ; x2+x-2=0; x +3 D=1-4 ⋅ 1 ⋅ (-2)=9;

2)

−1 ± 9 −1 ± 3 ; = 2 2 −1 + 3 x1= = 1; 2

x=

www.5balls.ru

x2=

−1 − 3 = −2 . 2

x2 + x − 2 x2 + x − 2 = −5 ; +5 = 0; x+3 x+3

3)

x2+x-2+5x+15=0; x2+6x+13=0; D=32-1 ⋅ 13=9-13=-4<0. Эта функция не равна –5 ни при каких х. №595. x−4 x−6 + = 2; x−5 x+5

a)

x−4 x−6 − −2 = 0; x−5 x+5

(x+5)(x-4)+(x-5)(x-6)-2(x2-25)=0; x2-4x+5x-20+x2-6x-5x+30-2x2+50=0; -10x+60=0; x-6=0; x=6; 1 1 6−x −1 = − 2 ; x − 2 3 x − 12 2−x 1 1 6−x − −1− + =0; x−2 x − 2 3( x 2 − 4)

б)

2 6− x + −1 = 0 ; x − 2 3( x − 2)( x + 2)

6 − x − 2(3x + 6) − 3( x 2 − 4) 3( x 2 − 4)

=0;

6-x-6x-12-3x2+12=0; 3x2+7x-6=0; D=72-4 ⋅ 3 ⋅ (-6)=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 = ; 2⋅3 6 −7 + 11 2 x1= = ; 6 3 −7 − 11 x2= = −3 . 6 7y −3 1 5 ; = − в) y − y 2 y − 1 y ( y − 1)

x=

7y −3 1 5 − + =0; y (1 − y ) y − 1 y ( y − 1)

-

(7 y − 3) 1 5 − + = 0; y ( y − 1) y − 1 y ( y − 1)

www.5balls.ru

-7y+3-y+5=0; -8y+8=0; -8(y-1)=0; y-1=0; y=1. При y=1 общий знаменатель обращается в ноль, значит, данное уравнение не имеет корней. г)

3 7 10 + = ; y−2 y+2 y

3 7 10 + − = 0; y−2 y+2 y

3y(y+2)+7y(y-2)-10(y2-4)=0; 3y2+6y+7y2-14y-10y2+40=0; -8y+40=0; y-5=0; y=5. д)

x +3 x −3 1 + =3 ; x−3 x+3 3

x + 3 x − 3 10 + − = 0; x−3 x+3 3

3( x + 3) 2 + 3( x − 3) 2 − 10 x 2 + 90 3( x 2 − 9)

=0;

3x2+18x+27+3x2-18x+27-10x2+90=0; -4x2+144=0; x2-36=0; (x-6)(x+6)=0; x1=6; x2=-6. е)

5 x + 7 2 x + 21 2 − =8 ; x−2 x+2 3

5 x + 7 2 x + 21 26 − − =0; x−2 x+2 3

3(x+2)(5x+7)-3(x-2)(2x+21)-26(x2-4)=0; 15x2+21+30x+42-6x2-63x+12x+126-26x2+104=0; -17x2+272=0; x2-16=0; (x-4)(x+4)=0; x1=4; x2=-4. №596. a)

3 y + 9 2 y − 13 + =2; 3y −1 2 y + 5

(3 y + 9)(2 y + 5) + (2 y − 13)(3 y − 1) −2 = 0; (3 y − 1)(2 y + 5)

(3y+9)(2y+5)+(2y-13)(3y-1)-2(3y-1)(2y+5)=0; 6y2+18y+15y+45+6y2-39y-2y+13-12y2-30y+4y+10=0; -34y+68=0; y-2=0; y=2. б)

5 y + 13 4 − 6 y − −3; 5y + 4 3y −1

www.5balls.ru

(3 y − 1)(5 y + 13) − (5 y + 4)(4 − 6 y ) −3 = 0 ; (5 y + 4)(3 y − 1) (3 y − 1) (5y+13)-(5y+4)(4-6y)-3(3y-1)(5y+4)=0;

15y2+39y-5y-13-(20y-30y2+16-24y)-(9y-3)(5y+4)=0; 15y2+39y-5y-13-20y+30y2-16+24y-45y2-36y+15y+12=0; 17y-17=0; y-1=0; y=1. в)

10 y +1 y + 1 10 ; + = ⋅ y −5 y +5 y −5 y +5

(y+5)(y+1)+10y-50=10y+10; y2+y+5y+5+10y-50-10y-10=0; y2+6y-55=0; D1=32-1 ⋅ (-55)=9+55=64; y=-3 ± 64 = −3 ± 8 ; y1=-3+8=5; y2=-3-8=-11. Поскольку при y=5 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=-11 удовлетворяет условию задачи. г)

6 y 6 y ; − = ⋅ y−4 y+2 y−4 y+2

6( y + 2) − y ( y − 4) 6y ; = ( y − 4)( y + 2) ( y − 4)( y + 2)

6(y+2)-y(y-4)=6y; 6y+12-y2+4y=6y; y2-4y-12=0; D1=22-1 ⋅ (-12)=16; y=2 ± 16 = 2 ± 4 ; y1=2+4=6; y2=2-4=-2. Поскольку при y=-2 общий знаменатель дробей обращается в ноль, то только y=6 удовлетворяет условию задачи. №597. a)

5 4 1 − = ; y −2 y −3 y

5 4 1 − − =0; y −2 y −3 y

5 y ( y − 3) − 4 y ( y − 2) − ( y − 2)( y − 3) =0; y ( y − 2)( y − 3)

5y(y-3)-4y(y-2)-(y-2)(y-3)=0; 5y2-15y-4y2+8y-y2+3y+2y-6=0;

www.5balls.ru

-2y-6=0; y+3=0; y=-3. б)

1 1 3 + − =0; 2( x + 1) x + 2 x + 3

1 1 3 ; + = 2( x + 1) x + 2 x + 3

( x + 2)( x + 3) + 2( x + 1)( x + 3) − 3 ⋅ 2( x + 1)( x + 2) =0; 2( x + 1( x + 2)( x + 3)

(x+2)(x+3)+(2x+2)(x+3)-(6x+6)(x+2)=0; x2+3x+2x+6+2x2+6x+2x+6-6x2-12x-6x-12=0; -3x2-5x=0; x(3x+5)=0; x1=0; 5 2 = −1 . 3 3 1 1 8 ; в) + 2 = 3 x + 2 x − 2x x − 4x 1 1 8 + − = 0; x + 2 x( x − 2) x( x − 2)( x + 2)

x2=-

x( x − 2) + x + 2 − 8 = 0 ; x2-2x+x+2-8=0; x( x − 2)( x + 2)

x2-x-6=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-6)=25; 1 ± 25 1 ± 5 = ; 2 2 1+ 5 = 3; x1= 2 1− 5 = −2 . x2= 2

x=

x=-2 не подходит, т.к. при х=-2 знаменатель обращается в ноль, поэтому уравнение имеет один корень х=3. г)

10 y3 − y

+

1 y − y2

=

1 ; 1+ y

10 1 1 − − =0; y ( y − 1)( y + 1) y ( y − 1) y + 1 10 − ( y + 1) − y ( y − 1) = 0; y ( y − 1)( y + 1)

10-y-1-y2+y=0; y2-9=0; (y-3)(y+3)=0; y1=3; y2=-3.

www.5balls.ru

д) 1+

45 x − 8 x + 16 2

=

14 ; x−4

1+

45 ( x − 4)

2

14 =0; x−4

(x-4) 2+45-14(x-4)=0; x2-8x+16+45-14x+56=0; x2-22x+117=0; D1=112-1 ⋅ 117=121-117=4; x=11 ± 4 = 11 ± 2 ; x1=11-2=9; x2=11+2=13. е)

5 4 − = 3; x − 1 3 − 6 x + 3x 2

3 ⋅ 5( x − 1) − 4 − 9 ⋅ ( x − 1) 2 3 ⋅ ( x − 1) 2

5 4 − −3 = 0; x − 1 3(1 − 2 x + x 2 )

= 0;

15(x-1)-4-9(x2-2x+1)=0; 15x-15-4-9x2+18x-9=0; 9x2-33x+28=0; D=332-4 ⋅ 9 ⋅ 28=1089-1008=81; 33 ± 81 33 ± 9 ; = 2⋅9 18 33 + 9 42 1 x1= = =2 ; 18 18 3 33 − 9 24 1 x2= = =1 . 18 18 3

x=

№598. a)

10 x 3 ; + = ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5

10 x 3 + − = 0; ( x − 5)( x + 1) x + 1 x − 5

10+x(x-5)=3(x+1); 10+x2-5x=3x+3; x2-8x+7=0; D1=(-4)2-7 ⋅ 1=16-7=9; x=4 ± 9 = 4 ± 3 ; x1=4-3=1; x2=4+3=7. б)

17 1 x ; − = ( x − 3)( x + 4) x − 3 x + 4

17-x-4-x(x-3)=0; 17-x-4-x2+3x=0;

www.5balls.ru

x2-2x-13=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-13)=1+13=14; x1,2=1 ± 14 . в)

4 ( x + 1) 4

( x + 1)

2

2

1 ( x − 1) 1

( x − 1)

2

2

+

+

1 2

x −1

=0;

1 =0; ( x − 1)( x + 1)

2

4( x − 1) − ( x + 1) 2 + ( x − 1)( x + 1) ( x + 1) 2 ( x − 1) 2

=0;

4(x2-2x+1)-(x2+2x+1)+x2-1=0; 4x2-10x+2=0; 2x2-5x+1=0; D=(-5)2-4 ⋅ 2 ⋅ 1=25-8=17; 5 ± 17 . 4 4 1 4 + = ; г) 9 x 2 − 1 3x 2 − x 9 x 2 − 6 x + 1 4 1 4 + − = 0; (3 x − 1)(3 x + 1) x(3 x − 1) (3 x − 1) 2

x1,2=

4 x (3x − 1) + (3x + 1)(3x − 1) − 4 x (3x + 1) x(3x − 1) 2 (3x + 1)

=0;

4x(3x-1)+9x2-1-12x2-4x=0; 9x2-8x-1=0; D1=(-4)2-9 ⋅ (-1)=16+9; 4 ± 25 4 ± 5 ; = 9 9 4+5 =1; x1= 9 4−5 1 x2= =− . 9 9

x=

№599. 21 16 6 21 16 6 − + =0; = − ; x +1 x − 2 x x +1 x − 2 x 21x( x − 2) − 16 x( x + 1) + 6( x + 1)( x − 2) =0; x( x + 1)( x − 2)

a)

www.5balls.ru

21x2-42x-16x2-16x+6(x2-2x+x-2)=0; 11x2-64x-12=0; D1=(-32)2-11 ⋅ (-12)=1024+132=1156; 32 ± 1156 32 ± 34 = ; 11 11 32 − 34 2 =− ; x1= 11 11 32 + 34 66 = = 6; x2= 11 11 2 1 5 ; б) 2 − = 3 y 3 − y − 3y y − 9y

x=

2 1 5 − − = 0; y ( y − 3) y − 3 y ( y − 3)( y + 3) 2( y + 3) − y ( y + 3) − 5 =0; y ( y − 3)( y + 3)

2y+6-y2-3y-5=0; y2+y-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; −1± 5 . 2 18 1 6 ; в) − = 4x + 4x + 1 2x2 − x 4 x2 − 1 18 1 6 − − =0; ( 2 x + 1) 2 x ( x − 1) (2 x − 1)(2 x + 1)

y1,2=

18 x( 2 x − 1) − (2 x + 1) 2 − 6 x (2 x + 1) =0; x (2 x − 1)(2 x + 1)

36x2-18x-(4x2+4x+1)-12x2-6x=0; 20x2-28x-1=0; D=(-14)2-20 ⋅ (-1)=196+20=216; x=

14 ± 216 14 ± 6 6 = ; 20 20

x=

2(7 ± 3 6) 7 ± 3 6 . = 20 10

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №600.

www.5balls.ru

x2-2xy+y2=(x-y)2; Подставим x=3+ 5 , y=3- 5 ; получаем:

(3 +

(

5 − 3− 5

Ответ:20.

)) = (3 + 2

5 −3+ 5

) = (2 5 ) = 4 ⋅ 5 = 20 . 2

2

№601. 1) А(1,5;7,25); 7,25=(1,5)2+2 ⋅ 1,5+5; 7,25=2,25+3+5=10,25; 7,25 ≠ 10,25; следовательно, точка А не принадлежит графику данной функции. 2) В(-3,2;9); 9=(-3,2)2+2 ⋅ (-3,2)+5; 9=10,24-6,4+5=8,84; 9 ≠ 8,84; следовательно, точка В не принадлежит графику данной функции. 3) С( 3 -1;7); 7=( 3 -1)2+2( 3 -1)2+5; 7=( 3 )2-2 3 ⋅ 1+12+2 3 -2+5; 7=3+1+5-2; 7=7, следовательно, точка С принадлежит графику данной функции. №602. x− y

a)

x− y

− x=

( x − y )(

x+ y

x− y

)−

=

( x − y )( x + y )− x ( x − y ) =

=

(

x− y

x− y

)( x +

y− x

x− y

= x+ y− x=

б)

x−

=

x

=

(

x− y x+ y

y;

= x−

(

)= x− y

x+ y

)(

x− x+ y

x+ y

x− x+ y =

)(

x+ y

x+ y

( x + y )− ( x − y )( x+ y

x=

x+ y

)=

)=

)=

y.

www.5balls.ru

№603. a) a2+b2>0 при a>0, 3ab<0, т.к. a>0, b>0, следовательно, б) При a<0 и b<0, a+b<0 и 5a3b2<0, следовательно,

3ab 2

a + b2

<0;

5a 3b 2 >0. a+b

25. Решение задач с помощью рациональных уравнений №604. Обозначим за х и (х+3) – числитель и знаменатель дроби, тогда (х+7) и (х+8) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет

1 . 2

Составляем уравнение: x+7 x 1 − = ; x +8 x +3 2

2(x+3)(x+7)-2x(x+8)=(x+8)(x+3); 2x2+14x+6x+42-2x2-16x-x2-3x-8x-24=0; x2+7x-18=0; D=72-4 ⋅ 1 ⋅ (-18)=49+72=121; − 7 ± 121 − 7 ± 11 ; = 2 2 −7 + 11 = 2; x1= 2 −7 − 11 = −9 . x2= 2 x −9 9 3 = = = - не подходит; 1) При х=-9: x+3 −9+3 6 2 x 2 = . 2) При х=2: x+3 5 2 Ответ: . 5

x=

№605.

www.5balls.ru

Обозначим за х и (х-5) - знаменатель и числитель дроби, тогда (х-7) и (х+16) – числитель и знаменатель новой дроби. Разность дробей составляет

1 . 3

Составляем уравнение: x −5 x −7 1 − − =0; x x + 16 3

x −5 x −7 1 − = ; x x + 16 3

3(x+16)(x-5)-3x(x-7)-x(x+16); 3x2-15x+48x-240-3x2+21x-x2-16x=0; x2-38x+240=0; D1=(-19)2-1 ⋅ 240=361-240=121; x=

19 ± 121 = 19 ± 11 ; 1

x1=19+11=30; x2=19-11=8. x − 5 30 − 5 25 5 = = = - не подходит; x 30 30 6 x −5 8−5 3 2) При х=8: = = . x 8 8 3 Ответ: . 8

1) При х=30:

№606. Обозначим за х км/ч и (х+20) км/ч – скорость первого и второго  120   ч – время, затраченное первым  x 

автомобилей, тогда 

 120   ч – время,  x + 20 

автомобилем на путь из города в село, 

затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20

120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0; D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500;

www.5balls.ru

x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №607. Обозначим за х км/ч и (х-32) км/ч – скорости мотоциклиста и  45   45   чи   ч – время, затраченное  x   x − 32 

велосипедиста, тогда 

мотоциклистом и велосипедистом на путь из А в В. Мотоциклист 3 5

8 5

был в пути на 1 ч 36 мин меньше: 2ч 36 мин=1 ч= ч. Составляем уравнение: 45 45 8 − = ; x − 32 x 5 5 ⋅ 45х-5 ⋅ 45(х-32)=8х(х-32);

225x-225х+7200-8x2+256x=0; x2-32x-900=0; D1=162-1 ⋅ (-900)=256+900=1156; x= 16 ± 1156 = 16 ± 34 ; x1=16-34=-18 (не подходит); x2=16+34=50; отсюда х-32=18. Ответ: 18 км/ч. №608. Обозначим за х км/ч и (х+2) км/ч – скорость первого и второго  20   20   чи   ч– время, затраченное первым  x   x+2

лыжника, тогда 

автомобилем на путь из города в село, ч – время, затраченное на этот путь вторым автомобилем. Так как второй автомобиль пришел к месту назначения на 1 ч раньше, чем второй, составим уравнение: 120 120 − =1; x x + 20

120(x+20)-120x=x(x+20); 120x+2400-120x-x2-20x=0; x2+20x+2400=0;

www.5balls.ru

D1=102-1 ⋅ (-2400)=100+2400=2500; x= − 10 ± 2500 = −10 ± 50 ; x1=-10-50=-60 (не подходит); x2=-10+50=40; тогда х+20=60. Ответ: 40 км/ч – скорость первого автомобиля, 60 км/ч – скорость второго автомобиля. №609. Обозначим за х км/ч и (х+10) км/ч – скорости второго и первого  560   560   чи   ч– время, затраченное  x   x +10 

автомобилей, тогда 

вторым и первым автомобилями на весь путь. По условию первый автомобиль приезжает на 1 ч раньше. Составляем уравнение: 560 560 − =1; x x + 10

560(x+10)-560x=x(x+10); 560x+5600-560x=x2+10x; x2+10x-5600=0; D1=52-1 ⋅ (-5600)=25+5600=5625; x= − 5 ± 5625 = −5 ± 75 ; x1=-5-75=-80 (не подходит); x2=-5+75=70; откуда х+10=80. Ответ: 80 км/ч – скорость первого автомобиля, 70 км/ч – скорость второго автомобиля. №610. Обозначим за х км/ч скорость поезда по расписанию, тогда (х+10)  720   ч - время на перегоне по  x 

км/ч – фактическая скорость поезда, 

 720   ч – фактическое время на перегоне.  x +10 

расписанию, 

Составляем уравнение: 720 720 − = 1; x x + 10

720(x+10)-720x=x(x+10); 720x+7200-720x=x2+10x; x2+10x-7200=0;

www.5balls.ru

D1=52-1 ⋅ (-7200)=25+7200=7225; x= − 5 ± 7225 = −5 ± 85 ; x1=-5-85=-90 (не подходит по смыслу задачи); x2=-5+85=80. Ответ: 80 км/ч. №611. Обозначим за х км/ч собственную скорость лодки (скорость движения по озеру), тогда (х-2) км/ч –скорость лодки против  6   15   ч - время передвижения по реке,   ч–  x−2 x

течения реки, 

время передвижения по озеру. На путь по озеру турист затратил на 1 ч больше, чем на путь по реке. Составляем уравнение: 15 6 − =1; x x−2

15(x-2)-6x=x(x-2); 15x-30-6x=x2-2x; x2-11x+30=0; D=112-4 ⋅ 1 ⋅ 30=121-120=1; 11 ± 1 11 ± 1 ; = 2 2 11 + 1 x1= =6; 2 11 − 1 x2= = 5 . Оба значения подходят. 2

x=

Ответ: 5 км/ч или 6 км/ч. №612. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (15+х) км/ч – скорость лодки по течению реки, (15-х) км/ч - скорость лодки  35   ч - время движения лодки по течению,  15 + x 

против течения, 

 25    ч– время движения против течения. На путь по течению  15 − x 

реки лодка затратила столько же, сколько на путь против течения. Составляем уравнение:

www.5balls.ru

35 25 ; = 15 + x 15 − x

35(15-x)-25(15+х)=0; 525-35х-375-25x=0; -60x=-150; х=2,5; Ответ: 2,5 км/ч. №613. Обозначим за х км/ч скорость течения реки, тогда (20+х) км/ч – скорость катера по течению реки, (20-х) км/ч - скорость катера  22   ч - время движения по течению,  20 + x 

против течения реки, 

 36    ч– время движения против течения. На путь было  20 − x 

затрачено 3 ч. Составляем уравнение: 22 36 + = 3; 20 + x 20 − x

22(20-x)+36(20+х)=3(20-х)(20+х); 440-22х+720+36x=3(400-х2); 440+720-22x+36x-1200+3x2=0; 3x2+14x-40=0; D1=72-4 ⋅ (-40)=49+120=169; − 7 ± 169 − 7 ± 13 ; = 3 3 20 2 −7 + 13 x1= =− = −6 (не подходит); 3 3 3 −7 − 13 x2= =2. 3

x=

Ответ: 2 км/ч. №614. Примем за 1 (единицу) объем выполняемой работы. Обозначим за n1 и n2 – производительности труда штукатуров; t1 и t2 – время выполнения задания каждым штукатуром в отдельности; n1= n2=

1 . Составим систему уравнений: t2

www.5balls.ru

1 ; t1

t1 = t 2 + 5,   1  n + n = 6; 2  1

t1 = t 2 + 5,   1 = 6;  1 + 1  t1 t 2

t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30

t1 = t 2 + 5,   t1t 2  t + t = 6; 1 2

t1 = t 2 + 5,   ( t 2 + 5) t 2  2 t + 5 = 6;  2

t 22 -7t2-30=0.

Корни уравнения: 1) t2=-3 (не подходит); 2) t2=10; тогда t1=15. Ответ: 15 ч и 10 ч. №615. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первого и второго рабочих обозначим за n1=

1 1 и n2= , где t1 t1 t2

и t2 время выполнения работы первым и вторым рабочим соответственно. Составим систему уравнений: t1 = t 2 + 10,   1  n + n = 12; 2  1

t1 = t 2 + 10,   1 = 12;  1 + 1  t1 t 2

t1 = t 2 + 10,   t1t 2  t + t = 12; 1 2

t1 = t 2 + 10,   ( t 2 + 10) t 2  2 t + 10 = 12; 2 

t 22 +10t2=24t2+120; t 22 -14t2-120=0.

1) t2=-6 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=20; тогда t1=30. Ответ: 30 дней и 20 дней. №616. Примем за 1 объем выполняемой работы. Производительность труда первой и второй бригады соответственно обозначим за n1= и n2=

1 , где t1 и t2 - время выполнения всей работы каждой t2

бригадой. Составим систему:

www.5balls.ru

1 t1

t1 = t 2 + 5,   1 = 6;  1 + 1  t1 t 2

t1 = t 2 + 5,   1  n + n = 6; 2  1

t1 = t 2 + 5, 2 t 2 + 5t 2 = 12 t 2 + 30

t1 = t 2 + 5,   t1t 2  t + t = 6; 1 2

t1 = t 2 + 5,   ( t 2 + 5) t 2  2 t + 5 = 6;  2

t 22 -7t2-30=0.

1) t2=-3 (не подходит по смыслу задачи); 2) t2=10; тогда t1=10+5=15. Ответ: 15 дней и 10 дней. №617. Обозначим за х км/ч – скорость первого поезда, тогда (х+4) км/ч –  360    x 

скорость второго поезда. Оба поезда прошли 360 км, значит, 

 360   ч –время, затраченное соответственно первым и вторым  x+4

чи 

поездом. Так как второй поезд вышел на 1 ч позднее первого, составляем уравнение: 360 360 ; +1 = x+4 x

360x+x2+4x=360(x+4); 360x+x2+4x-360x-1440=0; x2+4x-1440=0; D1=22-1 ⋅ (-1440)=4+1440=1444; x= − 2 ± 1444 = −2 ± 38 ; x1=-2-38=-40 (не подходит по смыслу задачи); x2=-2+38=36; х+4=40. Ответ: 36 км/ч и 40 км/ч. УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №618. a)

1 11 + 2 30

+

1 11 − 2 30

=

11 − 2 30 + 11 + 2 30

(11 + 2 30 )(11 − 2 30 ) =

www.5balls.ru

=

22

(

112 − 2 30

)

2

=

22 = 22 . Тождество доказано. 121 − 120

( 5 + 2) + ( 5 − 2) = ( 5 − 2)( 5 + 2) 5 −2 5+2 ( 5 ) + 2 ⋅ 2 5 + 4 + ( 5 ) − 2 ⋅ 2 5 + 4 = 18 = 18 . Тождество доказано. = 1 ( 5) − 4 5+2

б)

+

5 −2

2

2

=

2

2

2

№619. а) Подставим х=5+2 6 , y=5-2 6 :

(5 + 2 6 )(5 − 2 6 ) = 5 − (2 6 )

2

2

5+ 2 6 +5−2 6

10

=

25 − 24 1 = = 0,1 ; 10 10

а) Подставим х= 11 + 3 , y= 11 - 3 :

( 11 + 3 ) ( 11 − 3 ) ( 11 + 3 )( 11 − 3 ) 2

=

2

=;

11 + 2 11 ⋅ 3 + 3 + 11 − 2 11 ⋅ 3 + 3

( 11 ) − ( 3 ) 2

2

=

28 = 3,5 . 8

№620. Обозначим за х1 и х2 –0 корни данного уравнения. Тогда по теореме Виета х1+х2=10, а по условию х1-х2=6. Получаем систему уравнений: х1 − х 2 = 6, откуда х1=8, х2=2. По теореме Виета: q=x1x2=8 ⋅ 2=16.  х1 + х 2 = 10,

Ответ: 16. №621.

а) По условию задачи: х1=

3 −1 ; 2

х2=

3 +1 ; 2

по теореме Виета: х1+х2=-b; x1 ⋅ x2=c;

www.5balls.ru

 3 −1  3 −1 + 3 +1  3 + 1  =− 3; + = −  2    2 2    

b=- 

3 −1 3 +1 ⋅ = c= 2 2

( 3 ) −1 2

2

2 1 = ; 4 4 2 1 Искомое уравнение: х2- 3 х+ =0; 2 =

б) По условию задачи: х1=2- 3 ; х2=

1 2− 3

;

по теореме Виета: 

 = 2 − 3         2+ 3  = − 2 − 3 + 2 + 3  = − 2 − 3 + 2 + 3  = = − 2 − 3 +      4−3  1  2− 3 2+ 3    

b=-(х1+х2)=-  2 − 3 +

(

(

)(

1

)

) 1 c= x ⋅ x = (2 − 3 )⋅ =1. 2− 3 =- 2 − 3 + 2 + 3 = −4 ; 1

2

Искомое уравнение: х2-4х+1=0.

www.5balls.ru

26. Графический способ решения уравнений №622. а) х2=х+2; строим графики: y=x2; y=x+2; x1=-1; x2=2;

y 4

В

3 2 А1 х

0 -4 -3 -2 -1

1 2 3

б) х2+1,5х-2,5=0; строим графики: y=x2; y=-1,5x+2,5; x1=-2,5; x2=1; y 8 7 А

6 5 4 3 2 1

В х

0 -4 -3 -2 -1

1 2 3

www.5balls.ru

№623. а) х2=0,5х+3; 1) строим графики: y=x2 и y=0,5x+3; находим x1=-1,5; x2=2. 2) х2-0,5х-3=0; D=(-0,5)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-3)=0,25+12=12,25=3,52 x=

0,5 ± 3,5 ; 2

x1=2; x2=-1,5; y 8 7 6 5 А

4 3 В

2 1 х

0 -4 -3 -2 -1

1 2 3

б) х2-3х+2=0; 1) строим графики: y=x2 и y=3x-2; находим x1=1; x2=2. 2) D=(-3)2-4 ⋅ 1 ⋅ 2=1 x=

3± 1 ; 2

www.5balls.ru

x1=2; x2=1; y 8 7 6 5 4 3 2 1 х

0 -4 -3 -2 -1

1 2 3

№624. 8 =-х+6; строим графики х 8 y= и y=-х+6; находим: х

а)

х1=2; х2=4; y 5 4 3 2 1 х

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-2 -3 -4 -5 -6

www.5balls.ru

8 = х2; строим графики х 8 y= х2 и y= ; находим: х х ≈ 2;

б)

y 5 4 3 2 1 х

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-2 -3 -4 -5 -6

№625. 6 =х; строим графики х 6 y= и y=х; х х1 ≈ 2,5; х2 ≈ -2,5;

а)

y 5 4 3 2 1 х

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-2 -3 -4 -5 -6

www.5balls.ru

6 =-х+6; строим графики х 6 y= и y=-х+6; находим: х х1 ≈ 1,2; х2 ≈ 4,6.

б)

y 5 4 3 2 1 х

0 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5

-2 -3 -4 -5 -6

№626. 1 =ax+b; строим графики: х 1 y= и y=ax+b. х

а)

y

II IV III I

V 1 х 1

б)

www.5balls.ru

Из рисунка определяем, что для I прямой: у уравнения два корня; для II прямой: у уравнения один корень; для III прямой: у уравнения нет корней; для IV прямой: у уравнения один корень; для V прямой: у уравнения два корня. №627. а) х3-х+1=0; строим графики y=x3 и y=x-1; находим х ≈ -1,3;

y 3 2 1 х

0 -2 -1

1

-2 -3 б) х3+2х-4=0; х3=-2х+4; строим графики y=x3 и y=-2x+4; находим х ≈ 1,2;

www.5balls.ru

2

5 4 3 2 1 0 -4

-2 -1

-3

1

2

3

4

-2 -3 -4 -5 -6

№628. а) х =x+b; строим графики: y= х и y=x+b;

y π

2

m

l

1 -2

0

-1

1

2

1

www.5balls.ru

k y= х

3

х

б) х =-x+b; строим графики: y= х и y=-x+b;

y

q 2

p

y= х

1 -2

0

-1

1

2

3

х

1

Из рисунков находим ответ: а) При b<0: у уравнения один корень – прямая k; при b ≥ 0: у уравнения два корня – прямая l; один корень – прямая m; нет корней – прямая π . б) При b<0: нет корней – прямая p; при b ≥ 0: у уравнения один корень – прямая q. №629. a) х =6-x; строим графики: y= х и y=6-x; находим х ≈ 4;

www.5balls.ru

y

1 х

0 1

4

6

4 ; строим графики: х 4 y= х и y= ; находим х ≈ 2,5; х

б)

х =

y

1 0

1

www.5balls.ru

х

УПРАЖНЕНИЯ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ №630. Обозначим за х км/ч предполагаемую скорость туристов, тогда  18   ч– x

(х+0,5) км/ч – фактическая скорость туристов, 

18    x + 0,5 

предполагаемое время прохождения туристами маршрута, 

ч – фактическое время прохождения туристами маршрута. Так как туристы прошли намеченный маршрут на полчаса быстрее, получаем уравнение: 18 18 1 − = ; x x + 0,5 2

36(x+0,5)-36x= x2+0,5x; 36x+18-36x=x2+0,5x; x2+0,5x-18=0; 2x2+x-36=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-36)=289; − 1 ± 289 − 1 ± 17 = ; 4 4 −1 − 17 <0 (не подходит); x1= 4 −1 + 17 =4. x2= 4

x=

Ответ: 4 км/ч. №631. Обозначим за х га/день количество гектаров, которое засевала бригада ежедневно, , тогда (х-10) га/день – количество гектаров,  120   дней –  x 

которые планировалось засевать ежедневно, 

 120   дней –  x −10 

фактическое время выполнения работы, 

планируемой время выполнения работы. Составляем уравнение: 120 120 ; −2 = x − 10 x

www.5balls.ru

120x-2x(x-10)=120(x-10); 120x-2x2+20x=120x-1200; -2x2+20x+1200=0; x2-10x-600=0; D1=25+600=625; x=5 ± 625 = 5 ± 25 ; x1=5+25=30; x2=5-25=-20<0 (не подходит). Ответ: 30 га. №632. а)

x x+ y

y

+

x− y

=

( x − y) x + ( x + y) y = x+ y

x x− x y+ x y+ x y+ y y

x− y

x+y ; x−y

( x − y )( x + y ) x− y x + y ( x − y) +( x + y) + = б) ( x + y )( x − y ) x+ y x− y ( x) −2 x y +( y) +( x) + 2 x y +( y) = ( x − y )( x + y ) ( x ) + ( y ) + ( x ) + ( y ) = 2x + 2 y . = =

=

2

2

2

2

2

x−y

2

2

=

2

=

2

x−y

Дополнительные упражнения к главе III К ПАРАГРАФУ 8 №633. а) (x-3)(x2+3x+9)=x(x-8)(x+9); x3-27=x(x2+9x-8x-72); x3-27=x3+9x2-8x2-72x; x2-72x+27=0 – квадратное уравнение; б) (y+7)(y2-7y+49)-y(y+8)(y-7)=0; (y3-343)-y(y2-7y+8y-56)=0; y2-56y+343=0 - квадратное уравнение; в) (2x-1)(2x+1)+(x-3)2=17;

www.5balls.ru

4x2-1+x2-6x+9-17=0; 5x2-6x-9=0 - квадратное уравнение; г) (4x+1)2=2x(x-6)-1=0; 16x2+8x+1-2x2+12x-1=0; 14x2+20x=0; 7x2+10x=0 - квадратное уравнение. №634. а) y2-36=0; (y-6)(y+6)=0; y1=6; y2=-6; б)

1 2 8 8 1   8  y=0; 3  y 2  =3   ; y2= ; 3 27 9 3   27 

y1,2= ±

2 2 8 =± ; 9 3

в) –0,2y2+45=0; 0,2y2=45; y2=

45 ⋅ 10 =225; 2

y1,2= ± 225 = ± 15; г) -

3 2 1 3 7 49 y +2 =0; y2= ; y2= ; 7 3 7 3 9

y1,2= ±

49 7 1 =± =2 . 9 3 3

№635. а) 8x2-3x=0; x(8x-3)=0; x1=0; 3 8

8x2=3; x2= . б) –2x2+5x=0; x(2x-5)=0; x1=0; 2x2=5; x2=

5 . 2

в) x3+x=0; x(x2+1)=0; 1) x1=0; 2) x2=x2+1=0 – решений не имеет, т.к. D=-4<0. г) 2x3-50x=0; 2x(x2-25)=0 1) x1=0; 2) x=25; x2,3= ± 5.

www.5balls.ru

№636. а) (x+2)2+(x-3)2=13; x2+4x+4+x2-6x+9-13=0; 2x2-2x=0; x(x-1)=0; x1=0; x2=1. б) (3x-5)2-(2x+1)2=24; 9x2-30x+25-4x2-4x-1-24=0; 5x2-34x=0; x(5x-34)=0; 1) x1=0; 2) 5x=34; x2=6,8. в) (x-4)(x2+4x+16)+28=x2(x-25); x3-64+28=x3-25x2; 25x2-36=0; x2x2=

36 =0; 25

36 36 6 1 ; x1,2= ± ; x1,2= ± = ±1 . 25 25 5 5

г) (2x+1)(4x2-2x+1)-1=1,6x2(5x-2); 8x3+1-1=8x3-3,2x2; 3,2x2=0; x=0. №637. a) x2=a; 1) если a ≥ 0, то x1,2= ± а ; 2) если a<0, то уравнение не имеет корней; б) x2=a2; x1,2= ± а 2 = ± а = ± а ; в) x2+4b=0; x2=-4b; 1) если b ≤ 0, то x1,2= ± − 2b ; 2) если b>0, то уравнение не имеет корней; г) x2+9b2=0; x2=-9b2. Если b ≠ 0, то уравнение не имеет корней, так как х2 ≥ 0 при всех х, a-b2<0. Если b=0, то у уравнений один корень х=0. №638. а) x2-16x+48=0; x2-2 ⋅ 8x+64-64+48=0; (x-8)2=16; x-8= ± 16 = ±4 ; 1) x-8=4; x1=12; 2) x-8=-4; x2=4; б) x2+12x+27=0; x2+2 ⋅ 6x+36=36-27;

www.5balls.ru

(x+6) 2=0; x+6= ± 9 = ±3 ; 1) x+6=3; x1=-3; 2) x+6=-3; x2=-9; в) x2+10x-39=0; x2+2 ⋅ 5x+25=25+39; (x+5)2=64; x+5= ± 64 = ±8 ; 1) x+5=8; x1=3; 2) x+5=-8; x2=-13; г) x2-6x-55=0; x2-2 ⋅ 3x+9=9+55; (x-3)2=64; x-3= ± 64 = ±8 ; 1) x-3=8; x1=11; 2) x-3=-8; x2=-5; 2

д) x2+7x-18=0; x2+2 ⋅  х + 

2

7 7 7 x+   =18+   ; 2 2 2

2

7 121 7 121 11 ; x+ = ± =± ;  = 2 4 2 4 2

7 −11 −11 7 = ; x 1= - ; x1=-9; 2 2 2 2 7 11 11 7 2) x+ = ; x2= - =2; 2 2 2 2

1) x+

2

е) x2-11x+28=0; x2-2 ⋅

2

11  11   11  x+   =   -28; 2 2 2

2

11  9 9 3 11  =± ;  х −  = ; x- = ± 2 4 2 4 2  −3 11 11 −3 1) x- = ; x1= + ; x1=4; 2 2 2 2 11 3 11 3 2) x- = ; x2= + ; x2=7; 2 2 2 2 5 ж) 2x2-5x+2=0; x2- x+1=0; 2 2

x2-2 ⋅

2

5 5 5 x+   =   -1; 4 4 4 2

5 9 5 9 3  =± ;  х −  = ; x- = ± 4  16 4 16 4  5 3 3 5 1) x- = ; x= + ; x1=2; 4 4 4 4

www.5balls.ru

5 3 3 5 1 =- ; x=- + ; x2= ; 4 4 4 4 2 70 2 2 х з) 3x -x-70=0; x - − =0; 3 3

2) x-

2

x2-2 ⋅

2

х  1   1  70 +  =  + ; 6 6 6 3 2

1 841 1 841  ; x- = ± ; х −  = 6 36 6 36   1 −29 2 −28 1) x- = ; x1= = −4 ; 6 6 6 3 1 29 2) x- == ; x2=5. 6 6

№639*. a) a2+4a+11=(a2+4a+4)-4+11=(a+2)2+7>0 при всех значениях a; б)

(

)

х 2 − 2х + 7 х 2 − 2 х + 1 + 6 ( х − 1) 2 = = > 0 при всех значениях x; 19 19 19

в) m2-4m+51=(m2-4m+4)-4+51=(m-2)2+47>0 при всех значениях m; г)

р 2 − 6р + 18 р +1 2

=

р 2 − 6р + 9 + 9 р +1 2

=

(р − 3) 2 + 9 р2 + 1

> 0 , т.к. (p-3)2+9>0 при

всех значениях p. №640*. а) x2-8x+27=(x2-8x+16)-16+27=(x-4)2+11; (x-4)2 ≥ 0, следовательно, (x-4)2+11 ≥ 11 и (х-4)2+11=11 при х=4. б) a2-4a+20=(a2-4a+4)+16=(a-2)2+16; (a-2)2 ≥ 0, следовательно, (a-2)2+16 ≥ 16 и (a-2)2+16=16 при a=2. К ПАРАГРАФУ 9 №641. a) 4x2+7x+3=0; D=72-4 ⋅ 4 ⋅ 3=1; x=

−7 ± 1 ; 8

www.5balls.ru

−7 + 1 3 =− ; 8 4 −7 − 1 x2= = −1 ; 8

x1=

б) x2+x-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 = ; 2 2 −1 + 15 =7; x1= 2 −1 − 15 = −8 ; x2= 2

x=

в) x2-x-56=0; D=(-1)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; 1 ± 225 1 ± 15 ; = 2 2 1 + 15 =8; x1= 2 1 − 15 = −7 ; x2= 2

x=

г) 5x2-18x+16=0; D1=(-9)2-5 ⋅ 16=81-80=1;

9 ±1 ; 5 9 −1 3 =1 ; x1= 5 5 9 +1 =2; x2= 5

x=

д) 8x2+x-75=0; D=12-4 ⋅ 8 ⋅ (-75)=1+2400=2401; − 1 ± 2401 − 1 ± 49 ; = 2⋅8 16 −1 + 49 =3; x1= 16 −1 − 49 50 1 =− = −3 ; x2= 16 16 8

x=

е) 3x2-11x-14=0; D=(-11)2-4 ⋅ 3 ⋅ (-14)=121+168=289;

www.5balls.ru

11 ± 289 11 ± 17 ; = 2⋅3 6 11 + 17 28 2 = =4 ; x1= 6 6 3 11 − 17 = −1 ; x2= 6

x=

ж) 3x2+11x-34=0; D=112-4 ⋅ 3 ⋅ (-34)=121+408=529;

−11 ± 23 ; 6 −11 + 23 =2; x1= 6 −11 − 23 34 2 =− = −5 ; x2= 6 6 3

x=

з) x2-x-1=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-1)=5; x1,2=

1± 5 . 2

№642. a) (5x+3)2=5(x+3); 25x2+30x+9=15+5x; 25x2+25x-6=0; D=252-4 ⋅ 25 ⋅ (-6)=625+600=1225; − 25 ± 1225 − 25 ± 3 − 5 ± 7 ; = = 2 ⋅ 25 50 10 −5 + 7 1 = ; x1= 10 5 −5 − 7 1 = −1 ; x2= 10 5

x=

б) (3x+10)2=3(x+10); 9x2+60x+100=3x+30; 9x2+57x+70=0; D=572-4 ⋅ 9 ⋅ 70=3249-2520=729; − 57 ± 729 − 57 ± 27 − 19 ± 9 ; = = 2⋅9 18 6 2 −19 + 9 x1= = −1 ; 6 3

x=

www.5balls.ru

x2=

−19 − 9 2 = −4 ; 6 3

в) (3x-8)2=3x2-8x; (3x-8)2-3x+8x=0; (3x-8)2-x(3x-8)=0; (3x-8)(3x-8-x)=0; (3x-8)(2x-8)=0; 2(3x-8)(x-4)=0; 1) 3x-8=0; 3x=8; x1=2

2 ; 3

2) x-4=0; x2=4; г) (4x+5)2=5x2+4x; 16x2+40x+25-5x2-4x=0; 11x2+36x+25=0; D1=182-11 ⋅ 25=324-275=49; − 18 ± 49 − 18 ± 7 = ; 11 11 −18 − 7 −25 3 x1= = = −2 ; 11 11 11 −18 + 7 x2= = −1 ; 11

x=

д) (5x+3)2=5x+3; (5x+3)2-(5x+3)=0; (5x+3)(5x+3-1)=0; (5x+3)(5x+2)=0; 3 5 2 2) 5x+2=0; 5x=-2; x2=- ; 5

1) 5x+3=0; 5x=-3; x1=- ;

е) (5x+3)2=(3x+5)2; 25x2+30x+9=9x2+30x+25; 16x2-16=0; x2=1; x1,2= ± 1 ж) (4x+5)2=4(x+5)2; 16x2+40x+25=4(x2+10x+25); 16x2+40x+25-4x2-40x-100=0; 12x2-75=0; 4x2-25=0; (2x-5)(2x+5)=0; 5 =2,5; 2 5 2) 2x+5=0; 2x=-5; x2=- =-2,5; 2

1) 2x-5=0; 2x-5; x1=

з) (2x+10)2=4(x+5)2; 4x2+40x+100-4(x2+10x+25)=0; 4x2+40x+100-4x2-40x-100=0; 0=0; х – любое действительное число. №643. a) x2-2x-5=0;

www.5balls.ru

D=(-1)2-1 ⋅ (-5)=6; x1,2=1 ± 6 ; Произведем проверку:

(1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 + 2 (1 + 6 ) − 2(1 + 6 )− 5 = 1 − 2 2

6 +6−2−2 6 −5 = 7−7 = 0;

2

6 +6−2+2 6 −5 = 7−7 = 0;

б) x2+4x+1=0; D1=22-1 ⋅ 1=3; x1,2=-2 ± 3 ; Произведем проверку:

(− 2 + 3 ) + 4(− 2 + 3 )+ 1 = 4 − 4 (− 2 − 3 ) + 4(− 2 − 3 )+ 1 = 4 + 4 2

3 + 3 − 8 + 4 3 +1 = 8 − 8 = 0 ;

2

3 + 3 − 8 − 4 3 +1 = 0 ;

в) 3y -4y-2=0; D1=(-2)2-3 ⋅ (-2)=10; 2

y1,2=

2 ± 10 . 3

Произведем проверку: 2

 2 + 10   − 4 2 + 10 − 2 = 3 4 + 4 10 + 10 − 8 + 4 10 − 2 =   3 3 9 3  

3 =

14 4 10 8 4 10 + − − −2 = 0; 3 3 3 3 2

 2 − 10   − 4 2 − 10 − 2 = 3 4 − 4 10 + 10 − 8 − 4 10 − 2 = 3  3  3 9 3 

=

14 − 4 10 8 − 4 10 14 4 10 8 4 10 14 8 6 − −2 = − − + −2 = − − =0. 3 3 3 3 3 3 3 3 3

г) 5y2-7y+1=0; D=(-7)2-4 ⋅ 5 ⋅ 1=29; y1,2=

7 ± 29 . 10

Произведем проверку: 2

 7 + 29   − 7 7 + 29 + 1 = 5  10  10   5

49 + 14 29 + 29 49 + 7 29 − +1 = 100 10

www.5balls.ru

=

78 + 14 29 49 + 7 29 39 + 7 29 49 + 7 29 10 − +1 = − +1 = − +1 = 0 ; 20 10 10 10 10 2

 7 − 29   − 7 7 − 29 + 1 = 5 49 − 14 29 + 29 − 49 − 7 29 + 1 = 5  10  10 100 10  

=

39 − 7 29 49 − 7 29 10 − +1 = − +1 = 0 . 10 10 10

д) 2y2+11y+10=0; D=112-4 ⋅ 2 ⋅ 10=121-80=41; y1,2=

− 11 ± 41 . 4

Произведем проверку: 2

 − 11 + 41   + 11 − 11 + 41 + 10 = 2   4 4   162 − 22 41 11 41 − 121 81 − 11 41 11 41 − 121 + + 10 = + + 10 = 8 4 4 4 81 121 = − + 10 = −10 + 10 = 0 ; 4 4

=

2

 − 11 − 41   + 11 − 11 − 41 + 10 = 162 + 22 41 − 121 + 11 41 + 10 = 2   4 4 8 4  

=

81 + 11 41 121 + 11 41 81 11 41 11 41 121 − + 10 = + − − + 10 = 4 4 4 4 4 4

=-10+10=0; е) 4x2-9x-2=0; D=(-9)2-4 ⋅ 4 ⋅ (-2)=81+32=113; x1,2=

9 ± 113 . 8

Произведем проверку: 2

 9 + 113   − 9 9 + 113 − 2 = 4   8 8  

=4 =

81 + 18 113 + 113 81 + 9 113 − −2 = 64 8

97 + 9 113 81 + 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = + − − −2 = 2−2 = 0; 8 8 8 8 8 8

www.5balls.ru

2

 9 − 113   − 9 9 − 113 − 2 = 4   8 8  

=4 =

81 − 18 113 + 113 81 − 9 113 − −2 = 64 8

97 − 9 113 81 − 9 113 97 9 113 81 9 113 − −2 = − − + −2 = 2−2 = 0. 8 8 8 8 8 8

№644. a) x2-2x-2=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-2)=1+2=3; x=1 ± 3 ≈ 1 ± 1,73 ; x1 ≈ 1+1,73=2,73; x2 ≈ 1-1,73=-0,73; б) x2+5x+3=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ 3=25-12=13; − 5 ± 13 − 5 ± 3,61 ; ≈ 2 2 −5 + 3,61 1,39 =− = −0,695 ≈ −0,70 ; x1 ≈ 2 2 −5 = 3,61 −8,61 = = −4,305 ≈ −4,30 ; x2 ≈ 2 2

x=

в) 3x2-7x+3=0; D=(-7)2-4 ⋅ 3v3=13; 7 ± 13 7 ± 3,61 ≈ ; 3⋅ 2 6 7 − 3,61 3,39 = ≈ 0,57 ; x1 ≈ 6 6 7 + 3,61 10,61 = ≈ 1,77 ; x2 ≈ 6 6

x1,2=

г) 5x2+31x+20=0; D=312-4 ⋅ 5 ⋅ 20=961-400=561; − 31 ± 561 − 31 ± 23,69 ≈ ; 5⋅ 2 10 7,31 −31 + 23,69 x1 ≈ =− ≈ −0,73 ; 10 10

x=

www.5balls.ru

x2 ≈

−31 − 23,69 54,69 =− ≈ −5,47 . 10 10

№645. Один из корней уравнения равен 1 по условию задачи. ax2-3x-5=0;

ax 2 3 5 3 5 − x − =0; x2- x − =0. a a a a a

Обозначим за х2 – корень уравнения, который может быть не равным 1. Тогда по теореме Виета: 5 5   1 ⋅ x = − , x 2 = − ,   2 a a   1 − 5 = 3 ; 1 + x = 3 ; 2  a a  a a −5 3 a −5−3 = ; = 0; a a a

a-8=0; a=8.

Ответ: 8. №646*. ax2-(a+c)x+x=0; D=(a+c)2-4ac=a2+c2-2ac=(a-c)2; a + c ± a 2 + c 2 − 2ac a + c ± a − c a + c ± (a − c) = = ; 2a 2a 2a a +c+a −c x1= =1. 2a

x=

Таким образом, один из корней уравнения равен 1, что и требовалось доказать. №647*. cx2+bx+a=0; D=b2-4ac; x=

− b ± b 2 − 4ac ; 2c

ax2+bx+c=0; D=(-b)2-4ac=b2-4ac;

www.5balls.ru

− b ± b 2 − 4ac ; 2a  − b + b 2 − 4ac  − b − b 2 − 4ac    − b − b 2 − 4ac   = =   2c 2 − 2c b − b − 4ac   

x=

b2 − (b 2 − 4ac) 4ac =− = − 2c b − b 2 − 4ac  2c b − b 2 − 4ac      2a =− , т.е. соответствующие корни первого и второго b − b 2 − 4ac

=

уравнений взаимно обратны, ч.т.д. Для Другой пары корней доказательство проводится аналогичным образом. №648. a) a2+7a+6=a+1 a2+6a+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=9-5=4; a=-3 ± 4 = −3 ± 2 ; a1=-3+2=-1; a2=-3-2=-5; б) 3x2-x+1=2x2+5x-4; x2-6x+5=0; D1=32-1 ⋅ 5=4; x=3 ± 4 = 3 ± 2 ; x1=3+2=5; x2=3-2=1. №649. Обозначим за n – первое число, (n+1) – второе число, (n+2) – третье число, (n+3) – четвертое число, (n+4) - пятое число. По условию задачи составим уравнение: n2+(n+1)2+(n+2)2=(n+3)2+(n+4)2; n2+n2+2n+1+n2+4n+4=n2+6n+9+n2+8n+16; 3n2+6n+5=2n2+14n+25; 3n2+6n+5-2n2-14n-25=0; n2-8n-20=0;

www.5balls.ru

D1=42-1 ⋅ (-20)=16+20=36; n=4 ± 36 =4 ± 6; n1=10; n2=-2; 1) если n=10: n+1=11; n+2=12; n+3=13; n+4=14; 2) если n=-2; n+1=-1; n+2=0; n+3=1; n+4=2. Ответ: 10,11,12,13,14 или –2,-1,0,1,2. №650. Обозначим за 2n – первое четное число, (2n+2) – второе четное число, (2n+4) – третье четное число. По условию задачи составим уравнение: (2n)2+(2n+2)2=(2n+4)2; 4n2+4n2+8n+4-4n2-16n-16=0; 3n2-8n-12=0; n2-2n-3=0; D1=(-1)2-1 ⋅ (-3)=4; n=1 ± 4 =1 ± 2; n1=3; n2=-1; 1) если n=3: 2n=2 ⋅ 3=6; 2n+2=8; 2n+4=10; 2) если n=-1; 2n=2 ⋅ (-1)=-2; 2n+2=0; 2n+4=2. Ответ: 6,8,10 или –2,0,2. №651. Обозначим ширину прямоугольника за х м, тогда длина прямоугольника равна (х+5) м. Площадь прямоугольника S=1800м2. Составляем уравнение: x(x+5)=1800; x2+5x-1800=0; D=52-4 ⋅ 1 ⋅ (-1800)=25+7200=7225; − 5 ± 7225 − 5 ± 85 ; = 2 2 −5 + 85 = 40 ; x1= 2 −5 − 85 = −45 не подходит по смыслу; х+5=45. x2= 2

x=

Ответ: ширина площадки 40 м, длина 45 м.

www.5balls.ru

№652. Обозначим за n – первое натуральное число, а (n+1) – второе натуральное число. Тогда составляем уравнение: (2n+1)2-112=n2+(n+1)2; 4n2+4n+1-112=n2+n2+2n+1; 4n2+4n-111-2n2-2n-1=0; 2n2+2n-112=0; 2(n2+n-56)=0; n2+n-56=0; D=12-4 ⋅ 1 ⋅ (-56)=1+224=225; − 1 ± 225 − 1 ± 15 ; = 2 2 −1 + 15 1) n1= = 7 и n+1=8. 2 −1 − 15 2) n2= = −8 (не подходит по условию задачи); 2

n=

Ответ: 7 и 8. №653. Обозначим за b - ширину прямоугольника, т.е. сторону первого квадрата, тогда a - длина прямоугольника, т.е. сторона второго квадрата. По условию задачи сумма площадей квадратов равна: S1+S2=116 см2, периметр прямоугольника Р=28 см. Имеем: Р=2(a+b); S1=a2; S2=b2; 28=2(a+b); 14=a+b; a=14-b; a2+b2=116; (14-b)2+b2=116; 196-28b+b2+b2=116; 2b2-28b+80=0; b2-14b+40=0; b1=10; b2=4; a1=14-b1=4; a2=14-b2=10. Ответ: стороны прямоугольника 10 см и 4 см. №654. Обозначим за l см – искомую ширину рамки, тогда длина и ширина листа соответственно равны (12+2 l ) см и (18+2 l ) см.

www.5balls.ru

Фотокарточка вместе с рамкой по условию задачи занимает площадь 280 см2. Составляем уравнение: (12+2 l )(18+2 l )=280; 2 ⋅ 2(6+ l )(9+ l )=280; (6+ l )(9+ l )=70; 54+6 l +9 l + l 2 =70; l 2 +15 l +54-70=0; l 2 +15 l -16=0; l1 =1; l 2 =-16<0 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 1 см. №655*. Обозначим за n – число команд. Тогда (n-1) – количество матчей, сыгранных каждой командой, а всего сыграно откуда

n (n − 1) матчей, 2

n (n − 1) =36; n2-n-72=0. 2

По теореме Виета находим корни уравнения: n1=-8 (не подходит по смыслу задачи), n2=9. Ответ: 9 команд. №656*. Обозначим за N – число участников, каждый участник сыграл (N-1) партию, а всего сыграно

N ( N − 1) =45 партий. Значит, N(N-1)=90, 2

откуда: N1=10; N2=-9 (не подходит по смыслу задачи). Ответ: 10 шахматистов. №657*. Обозначим за a м и b м длину и ширину ящика соответственно. Площадь боковых стенок 0,5(2a+ab)=(a+b) м2; площадь дна (ab) м2. Получаем систему уравнений: ab + 1,08 = a + b,  a = 2b;

2b2+1,08=3b; 2b2-3b+1,08=0; D=32-4 ⋅ 2 ⋅ 1,08=0,36; b=

3 ± 0,36 3 ± 0,6 = ; 4 4

www.5balls.ru

3 + 0,6 = 0.9 ; 4 3 − 0,6 b2= = 0,6 ; 4

b1=

b1=0,9, a1=1,8, V1=a1 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,81(м2); b2=0,6, a2=1,2, V2=a2 ⋅ b2 ⋅ 0,5=0,36 (м2). Ответ: 0,81 м2 или 0,36 м2. №658*. Обозначим за a и b - длина и ширину листа соответственно, где a=1,5b. Так как сторона вырезанного квадрата равна 8 см, то объем получаемой коробки равен: 8(a-16)(b-16)=8(1,5b-16)(b-16) см3. Составляем уравнение: 8(1,5b-16)(b-16)=6080; 3b2-80b-1008=0; D1=(-40)2-3 ⋅ (-1008)=1600+3024=4624; 40 ± 4624 40 ± 68 ; = 3 3 40 − 68 28 (не подходит); b1= =− 3 3 40 + 68 b2= = 36 ; 3 a=1,5 ⋅ 36=54.

b=

Ответ: 36 см – ширина листа, 54 см – длина листа.

№659. a) x2-5 2 x+12=0;

(

)

2

D= − 5 2 − 4 ⋅ 1 ⋅12 =2; x=

5 2± 2 ; 2

x1=

5 2− 2 4 2 = =2 2; 2 2

x2=

5 2+ 2 6 2 = =3 2; 2 2

Произведем проверку: 1) x1+x2=5 2 ; 3 2 +2 2 =5 2 ;

www.5balls.ru

2) x1 ⋅ x2=12; 3 2 ⋅ 2 2 =6

( 2 ) =12. 2

б) x2+2 3 x-72=0; D 1=

( 3 ) -1 ⋅ (-72)-75; 2

x=- 3 ± 75 =- 3 ± 3⋅ 25 =- 3 ± 5 3 ; x1=- 3 +5 3 =4 3 ; x2=- 3 - 3 =-6 3 . Произведем проверку: 1) x1+x2=-2 3 ; -6 3 +4 3 =-2 3 ;

(

)

2) x1 ⋅ x2=-72; − 6 3 ⋅ 4 3 =-24 в) y2-6y+7=0; D1=(-3)2-1 ⋅ 7=2; y1,2=3 ± 2 . Произведем проверку: 1) y1+y2=6; 3+ 2 +3- 2 =6;

( 3 ) =-72. 2

( )

2

2) y1 ⋅ y2=7; (3+ 2 ) ⋅ (3- 2 )=9- 2 =7. г) p2-10p+7=0; D1=(-5)2-1 ⋅ 7=18; p1,2=5 ± 18 = 5 ± 9 ⋅ 2 = 5 ± 3 2 . Произведем проверку: 1) p1+p2=10; 5+3 2 +5-3 2 =10. 2) p1 ⋅ p2=7; (5+3 2 ) ⋅ (5-3 2 )=25-9

( 2 ) =25-18=7. 2

№660*. a) 2x2+ba-10=0; x1=5; x2+

b x-5=0; по теореме Виета: 2

x1 ⋅ x2=-5; x2=-1; по теореме Виета: x1+x2=4=-

b ; b=-8; 2

б) 3x2+bx+24=0; x1=3;

www.5balls.ru

x2+

b x+8=0; по теореме Виета: 3

x1 ⋅ x2=8; 8 3

x2=- ; по теореме Виета: x1+x2=-

b 8 b 17 =3+ ; - = ; b=-17; 3 3 3 3

в) (b-1)x2-(b+1)x=72; x1=3; b +1 72 =0; по теореме Виета: x− b −1 b −1 72 ; x1 ⋅ x2=b −1 24 ; по теореме Виета: x2=b −1 b +1 24 =3; x1+x2= b −1 b −1

x2-

3b-3-24=b+1; b=14; x2=-

24 ; 13

г) (b-5)x2-(b-2)x+b=0; 1 ; 2 b−2 b =0; по теореме Виета: x2+ b−5 b−5 b ; x1 ⋅ x2=b−5 2b ; по теореме Виета: x2= b−5 b−2 1 2b = +; x1+x2= b−5 2 b−5 1 b-5+4b=2b-4; b= ; 3 1 2⋅ 1 x2= 3 = − . 1 7 −5 3

x1=

www.5balls.ru

№661*. D=b2-4 ⋅ 7 ⋅ (-23)=b2+644>0 при всех b, поэтому данное уравнение имеет 2 корня при любых значениях b;и так как произведение корней равно -

23 <0 (по теореме Виета), то знаки этих корней 7

противоположны. №662*. Если x1 – корень уравнения, тогда должно выполняться равенство 12 х12 +70x1+a2+1=0, а это невозможно, поскольку при x1>0 его левая часть положительна. Следовательно, данное уравнение не имеет положительных корней. № 663. 3x2+bx+10=0; по теореме Виета: 10 b 1 13 , x1+x2=- ; по условию, x1-x2=4 = . 3 3 3 3 13 13 b x1=x2+ ; 2x2+ =- ; 3 3 3 b + 13 ; x2=6 13 b + 13 26 − b − 13 13 − b ; x1= − = = 3 6 6 6 (13 − b)(13 + b) 10 ; = 36 3

x 1 ⋅ x 2=

b2-169=120; b2=289; b2= ±17 . №664. 5x2-12x+c=0; по условию задачи: x1=3x2; по теореме Виета: x1+x2=

с 12 , x1 ⋅ x2= ; 5 5

www.5balls.ru

3 9 с с 27 27 12 ; x2= ; x1= ; =x1x2; = ; c= . 5 5 5 5 5 25 5 27 . Ответ: 5

3x2+x2=

№665*. 4x2+bx-27=0; по теореме Виета: b 27 , x1 ⋅ x2=; 4 4 х 27 ; по условию задачи: 1 =-3; x1=-3x2; -3 х 22 =х2 4

x1+x2=-

9 ; 4 3 9 1) x2= ; x1=- ; 2 2 3 9 2) x2=- ; x1= ; 2 2 х 22 =

3 2

9 2

 3 9 +  =-12.  2 2

b=-4(x1+x2); b1=-4  −  =12; b2=-4  − Ответ: b=12 или b=-12. №666*. 5x2+13x-6=0; по теореме Виета: x1+x2=-

13 6 , x1 ⋅ x2=- ; 5 5

х12 + х 22 =(x1+x2)-2x1x2=

169 12 169 + 60 229 916 + = = = = 9,16 25 5 25 25 100

Ответ: 9,16. №667*. 2x2-5x+с=0; по теореме Виета: x1+x2=

5 с , x1 ⋅ x2= ; 2 2

х12 - х 22 =(x1+x2)(x1-x2)=

5 (x1-x2)=0,25; x1-x2=0,1; 2

2x1=2,6; x1=1,3; x2=1,2;

www.5balls.ru

c=2x1x2=2 ⋅ 1,3 ⋅ 1,2=3,12. Ответ: 3,12. №668*. 4x2+bx+с=0; по условию: х1=0,5, х2=с; по теореме Виета: x1+x2=-

b с , x1 ⋅ x2= ; 4 4

4x1x2=c; 2c=c; c=0; 4x2+bx=0; x(4x+b)=0; x1=0; x2=0,5; 4x2+b=0; 2+b=0; b=-2. Ответ: b=-2, c=0. №669*. По теореме Виета x1+x2=-b, x1 ⋅ x2=c; по условию: x1=b, x2=c, откуда: bc=c; bc-c=0; c(b-1)=0; c ≠ 0, b=1; b+c=-b; 1+c=-1; c=-2. Ответ: b=1, c=-2 №670*. Пусть х1 и х2 – корни данного уравнения. По теореме Виета получаем: х12 + х 22 =(x1+x2)2-2x1x2=p2-2q. №671*. По теореме Виета x1+x2=-

2 k , x1 ⋅ x2= ; 3 3

по условию задачи: х2=-

2 х1. 3

www.5balls.ru

2  x1 + x 2 = − 3 , 2 2 x 2 x1- =- ; 1 =- ;  2 3 3 3 3 x = − x ; 1  2 3 4 4 x1=-2; x2= ; k=3x1x2=3 ⋅ (-2) ⋅ =(-2) ⋅ 4=8. 3 3

Ответ: -8. №672*. По теореме Виета x1+x2=8, x1 ⋅ x2=k; по условию задачи: 3х1+4х2=29; 24-3x2+4x2=29; x2=5, следовательно, x1=3; k= x1 ⋅ x2=15. Ответ: 15. К ПАРАГРАФУ 10 №673. x + 1 20 x + 1 20 + = 4; + − 4 = 0; 6 x −1 6 x −1 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1)

a)

(x-1)(x+1)+120-24x+24=0; x2-24x+143=0; D1=(-12)2-1 ⋅ 143=1; x=12 ± 1 =12 ± 1; x1=12-1=11; x2=12+1=13; x + 15 21 x + 15 21 − = 2; − −2 = 0; 4 x+2 4 x+2 ( x + 1)( x − 1) + 120 − 4 ⋅ 6( x − 1) = 0; 6( x − 1) (x+2)(x+15)-4 ⋅ 21-8(x+2)=0;

б)

x2+9x-70=0; D=92-4 ⋅ 1 ⋅ (-70)=81+280=361;

x=

− 9 ± 361 − 9 ± 19 ; = 2 2

www.5balls.ru

−9 + 19 =5; 2 −9 − 19 x2= = −14 ; 2 12 8 в) − =1; x −1 x +1

x1=

12 8 − −1 = 0 ; x −1 x +1

12(x+1)-8(x-1)-(x-1)(x+1)=0; 12x+12-8x+8-x2+1=0; x2-4x-21=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-21)=4+21=25; x=2 ± 25 = 2 ± 5 ; x1=2-5=-3; x2=2+5=7; г)

16 30 + = 3; x − 3 1− x

16 30 + −3 = 0; x − 3 1− x

16(1-x)+30(x-3)-3(x-3)(1-x)=0; 16+14x-90-3x+3x2+9-9x=0; 3x2+2x-65=0; D1=12-3 ⋅ (-65)=1+195=196; − 1 ± 196 − 1 ± 14 ; = 3 3 1 −1 + 14 13 x1= = =4 ; 3 3 3 −1 − 14 x2= = −5 ; 3 3 1 28 + = ; д) 1 − x 1 + x 1 − x2 3 1 28 + − = 0; 1 − x 1 + x (1 − x )(1 + x )

x=

3(1+x)+1-x-28=0; 2(x-12)=0; x=12; е)

5 3 20 5 3 20 − − =0; ; − = x − 2 x + 2 x2 − 4 x − 2 x + 2 x2 − 4

5(x+2)-3(x-2)-20=0; 2x-4=0; x-2=0; x=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней;

www.5balls.ru

ж)

x +2 x+3 29 ; + = x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)

x +2 x +3 29 + − =0; x + 1 x − 2 ( x + 1)( x − 2)

(x-2)(x+2)+(x+1)(x+3)-29=0; x2-4+x2+3x+x+3-29=0; 2(x2+2x-15)=0; x2+2x-15=0; D1=12-1 ⋅ (-15)=16; x=-1 ± 16 = −1 ± 4 ; x1=-1+4=3; x2=-1-4=-5; з)

x + 2 x +1 4 ; − = x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)

x + 2 x +1 4 − − = 0; x + 3 x − 1 ( x + 3)( x − 1)

(x-1)(x+2)-(x+1)(x+3)-4=0; -3(x+3)=0; x=-3 не подходит, так как при х=-3 обращается в ноль знаменатель одной из дробей, следовательно, уравнение не имеет корней. №674*. a) y= x=

2x − 5 = 0 ; 2x-5=0; 2x=5; x +3

5 =2,5. 2

Искомая точка – (2,5;0). б) y=

( x − 4)(3x − 15) =0; x −9

(3x-15)(x-4)=0; 1) 3(x-5)=0; x-5=0; x1=5; 2) x-4=0; x2=4. Искомые точки – (5;0) и (4;0). в) y=

x 2 − 5x + 6 = 0; x−2

x-5x+6=0; (x-2)(x-3)=0; x1=3; x2=2 не подходит, так как при х=2 обращается в ноль знаменатель дроби; искомая точка – (3;0);

www.5balls.ru

x 3 − 7 x 2 + 12 x = 0; x −3

г) y=

x-7x+12x=0; x(x-7x+12)=0; 1) x1=0; 2) x-7x+12=0; (x-4)(x-3)=0; x1=4; x2=3 не подходит, так как при х=3 обращается в ноль знаменатель дроби; искомые точки – (0;0) и (4;0). №675. a) y= 1)

5x − 7

x2 + 1 5x − 7 2

x +1

;

=-6;

5x − 7 x2 + 1

+6-0;

5x-7+6x2+6=0; 6x2+5x-1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ (-1)=25+24=49; − 5 ± 49 − 5 ± 7 = ; 2⋅6 12 −5 + 7 1 x1= = ; 12 6 −5 − 7 x2= = −1 ; 12 5x − 7

x=

2)

3)

x2 + 1 5x − 7 x2 + 1

=0; 5x-7=0; x= =0,8;

7 2 =1 ; 5 5

5x − 7 4 - =0; 5(5x-7)-4(x2+1)=0; x2 + 1 5

4x2-25x+39=0; D=(-25)2-4 ⋅ 4 ⋅ 39=625-624=1;

25 ± 1 25 ± 1 ; = 2⋅4 8 25 − 1 24 = =3; x1= 8 8 25 + 1 26 1 = =3 ; x2= 8 8 4 5x − 7 5x − 7 14 =0,56; 2 - =0; 4) 2 x +1 x + 1 25

x=

25(5x-7)-14(x2+1)=0; -14x2+125x-189=0; 14x2-125x+189=0;

www.5balls.ru

D=1252-4 ⋅ 14 ⋅ 189=12625-10584=5041; 125 ± 5041 125 ± 71 = ; 2 ⋅ 14 28 125 + 71 196 = =7; x1= 28 28 125 − 71 27 13 = =1 ; x2= 28 14 14

x=

б) y= 1)

x 2 − 2x + 6 ; x+4

x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 3 = 1,5 ; − =0; x+4 x+4 2

2x2-4x+12-3(x+4)=0; 2x2-7x=0; x(2x-7)=0; x1=0; x2= 2)

7 1 =3 ; 2 2

x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 = 3; −3 = 0 ; x+4 x+4

x2-2x+6-3(x+4)=0; x2-5x-6=0; (x+1)(x-6)=0; x1=-1; x2=6; 3)

x 2 − 2x + 6 x 2 − 2x + 6 =7; −7 = 0; x+4 x+4

x2-2x+6-7x-28=0; x2-9x-22=0; D=(-9)2-4 ⋅ 1 ⋅ (-22)=81+88=169; 9 ± 169 9 ± 13 = ; 2 2 9 + 13 x1= = 11 ; 2 9 − 13 x2= = −2 . 2

x=

№676. a) 2x+3=

34 ; x −5

(2x+3)(x-5)-34=0;

www.5balls.ru

2x(x-5)+3(x-5)-34=0; 2x2-7x-49=0; D=(-7)2-4 ⋅ 2 ⋅ (-49)=49+392=441; 7 ± 441 7 ± 21 = ; 4 4 7 + 21 = 7 ; y1=2 ⋅ 7+3=17; x1= 4 7 − 21 14 1 = − = −3 ; y2=2 ⋅ (-3,5)+3=-4. x2= 4 4 2

x=

Искомые точки пересечения: (7;17) и (-3,5;-4). б)

x 2 − 5x x 2 − 5x =2x; -2x=0; x2-5x-2x2-6x=0; x +3 x +3

x2+11x=0; x(x+11)=0; x1=0; y1=0; x2=-11; y2=2 ⋅ (-11)=-22. Искомые точки пересечения: (0;0) и (-11;-22). №677*. a)

2 x + 1 3( 2x − 1) 8 − + = 0; 2 x − 1 7(2 x + 1) 1 − 4 x 2

2 x + 1 3(2 x − 1) 8 − + =0; 2 x − 1 7(2 x + 1) (1 − 2 x )(1 + 2 x )

7(2x+1)2-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(2x-1)2-56=0; 7(4x2+4x+1)-3(4x2-4x+1)-56=0; 16x2+40x-52=0; 4x2+10x-13=0; D1=52-4 ⋅ (-13)=77; − 5 ± 77 ; 4 y 1 3 б) 2 − 2 + = 0; y − 9 y + 3y 6 y + 2 y 2

x1,2=

y 1 3 − + = 0; ( y − 3)( y + 3) y( y + 3) 2 y(3 + y)

2y2-2(y-3)+3(y-3)=0; 2y2+y-3=0; D=12-4 ⋅ 2 ⋅ (-3)=25;

www.5balls.ru

− 1 ± 25 − 1 ± 5 ; = 4 4 −1 + 5 = 1; y1= 4 −1 − 5 6 1 = − = −1 ; y2= 4 4 2 2y − 1 8 2y + 1 ; в) + = 2 2 2 14 y + 7 y 12 y − 3 6 y − 3y

y1,2=

2y − 1 8 2y + 1 + − =0; 7 y(2 y + 1) 3(4 y 2 − 1) 3y( y − 1) 3(2 y − 1) 2 + 56 y − 7( 2 y + 1) 2 3 ⋅ 7 y( 4 y 2 − 1)

=0;

3(4y2-4y+1)+56y-7(4y2+4y+1)=0; 12y2-12y+3+56y-28y2-28y-7=0; 16y2-16y+4=0; 4y2-4y+1=0; (2y-1)2=0; 2y=1; y=

1 1 не подходит, так как при y= общий знаменатель 2 2

дробей обращается в ноль, значит, корней нет. 3 1 3 − = ; x 2 − 9 9 − 6x + x 2 2x 2 + 6x 3 1 3 − − =0; 2 ( x − 3)( x + 3) (3 − x ) 2 x ( x + 3x )

г)

3 ⋅ 2 x ( x − 3) − 2 x ( x + 3) − 3( x − 3) 2 2 x ( x − 3) 2 ( x + 3)

=0;

6x(x-3)-2x(x+3)-3(x2-6x+9)=0; 6x2-18x-2x2-6x-3x2+18x-27=0; 6x2-2x2-3x2-6x-27=0; x2-6x-27=0; D1=(-3)2-1 ⋅ (-27)=36; x= 3 ± 36 = 3 ± 6 ; x1=3+6=9; x2=3-6=-3 не подходит, так как при x=-3 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=9; д)

9 x + 12 3

x − 64

1 2

x + 4 x + 16

=

1 ; x−4

www.5balls.ru

9x + 12 ( x − 4)( x + 4 x + 16) 2

1 x + 4 x + 16 2

1 =0; x−4

9x+12-x+4-x2-4x-16=0; -x2+4x+12+4-16=0; x2-4x=0; x(x-4)=0; x1=0; x2=4 не подходит, так как при x=4 общий знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень х=0; е)

3 3

8y + 1

1 y+3 = ; 2y + 1 4y2 − 2y + 1

3 2

( 2 y + 1)(4 y − 2 y + 1)

1 y+3 − 2 =0; 2y + 1 4y − 2y + 1

3-(4y2-2y+1)-(2y+1)(y+3)=0; 3-4y2+2y-1-2y2-6y-y-3=0; 6y2+5y+1=0; D=52-4 ⋅ 6 ⋅ 1=1;

−5 ± 1 −5 ± 1 ; = 2⋅6 12 4 1 −5 + 1 y1= =− =− ; 12 12 3 6 1 1 −5 − 1 y2= = − = − не подходит, так как при y=- общий 12 12 2 2

y=

знаменатель дробей обращается в ноль, значит, только один корень 1 3

y=- ; 32 1 1 ; + = x 3 − 2 x 2 − x + 2 ( x − 1)( x − 2) x + 1 32 1 1 + − = 0; ( x − 2)( x 2 − 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1

ж)

32 1 1 + − =0; ( x − 2)( x − 1)( x + 1) ( x − 1)( x − 2) x + 1

32+x+1-(x-2)(x-1)=0; x2-4x-31=0; D1=(-2)2-1 ⋅ (-31)=35; x1,2=2 ± 35 ; з)

1 1 1 + + =0; 3( x − 4) 2( x 2 + 3) x 3 − 4 x 2 + 3x − 12

www.5balls.ru

1 1 1 + + 2 =0 2 3( x − 4) 2( x + 3) x ( x − 4) + 3( x − 4) 1 1 1 + + =0 3( x − 4) 2( x 2 + 3) ( x − 4)( x 2 + 3)

2(x2+3)+3(x-4)+6=0; 2x2+3x=0; x(2x+3)=0; x1=0; 2x2+3=0; x2=-

3 1 = −1 . 2 2

www.5balls.ru