Issuu on Google+

Н.В. Дорофеев, Е.С. Шубин

Домашняя работа по алгебре за 7 класс к задачнику «Алгебра. 7 кл.: В двух частях. Ч. 2 : Задачник для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович, Т.Н. Мишустина, Е.Е. Тульчинская. — 6-е изд., испр.» — М.: «Мнемозина», 2003 г.


ГЛАВА 1. Математическая модель, математический язык § 1. Числовые и алгебраические выражения №1 а) 3,5 +4,5=8;

б) 3,5+(−4,5)= –1;

в) −3,5 +4,5=1; г) –3,5+(−4,5)=−8.

№2 а) 3,5–4,5=−1;

б) 3,5−(−4,5)=8;

в) −3,5−4,5=−8; г) –3,5−(−4,5)=1.

№3 а) 15+7,5=22,5; 3 1 1 183 16 549 − 80 469 4 − = = = 31 ; б) 36,6−5 =36 −5 = 3 3 5 3 15 15 15 5 7 5 137 7 959 19 ⋅3 = ⋅ = = 47 ; 10 10 10 2 20 20 2 1 23 7 23 2 г) 7 : 2 = : = =3 . 3 3 3 3 7 7

в) 13,7·3,5= 13

№4 а) 1,5 · 3 = 4,5; №5 а) 1,5 : 3 = 0,5; №6 ⎛ 1

б) −1,5 · 3 = −4,5; в) 1,5 · (−3)=−4,5; г) −1,5 · (−3)=4,5. б) −1,5 : 3 = −0,5; в) 1,5 : (−3)=−0,5; г) −1,5 : (−3)=0,5.

1⎞

а) ⎜ 2 + 3 ⎟ ⋅ 6 = 35; ; 3⎠ ⎝ 2 1 1 5 10 15 + 20 35 35 6 + = = 35; 2) ⋅6 = ⋅ = 35; 2 3 2 3 6 6 6 1 1 1 1 2 + 3 ⋅ 6 = 22 ; 2 3 2 1 10 6 1 5 20 5 + 40 45 1 3 ⋅ 6 = ⋅ = 20 ; 2) 2 + 20 = + = = = 22 ; 3 3 1 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 ⋅ 6 + 3 = 18 2 3 3 1 5 6 1 15 10 45 + 10 55 1 = = = 18 ; 2 ⋅ 6 = ⋅ = 5 ⋅ 3 = 15 ; 2) 15 + 3 = + 2 2 1 3 1 3 3 3 3 1 1 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 = 15 . 2 3 1 5 2 10 1 10 3 30 2 ⋅2 = ⋅ = = 5 ; 2) 3 ⋅ 3 = ⋅ = = 10 ; 3) 5 + 10 = 15. 2 2 1 2 3 3 1 3

1) 2 + 3 = б) 1) в) 1) г) 1) 2


№7 1 1 1 ; 3 5 15 1 1 13 16 65 + 48 113 8 1) 4 + 3 = + = = =7 ; 3 5 3 5 15 15 15 1 1 б) 17 : (4 − 3 ) = 15 ; 3 5 1 1 13 16 65 − 48 17 2 = =1 ; 1) 4 − 3 = − = 3 5 3 5 15 15 15 2 17 15 17 15 2) 17 :1 = 17 : = 17 ⋅ = ⋅ = 15 ; 15 15 17 1 17 1⎞ ⎛ 2 2⎞ ⎛ в) ⎜ 6 − 7 ⎟ ⋅ ⎜ + ⎟ = −1 ; 8⎠ ⎝9 3⎠ ⎝ 1 6 57 48 − 57 9 1 1) 6 − 7 = − = = − = −1 ; 8 1 8 8 8 8 1 8 9 8 3) −1 ⋅ = − ⋅ = −1 ; 8 9 8 9

а) (4 + 3 ) :113 =

2) 7

2)

8 113 1 1 :113 = ⋅ = ; 15 15 113 15

2 2 2+6 8 + = = ; 9 3 9 9

⎛ ⎝

1 ⎞ ⎛ 14 3⎞ 1 ⎠ ⎝ ⎠ 1 15 33 120 − 33 87 7 1) 15 − 4 = − = = = 10 ; 8 1 8 8 8 8 4 3 59 13 59 − 49 10 2 7 2 87 2 29 1 2) 3 − 2 = − = = = ; 3) 10 ⋅ = ⋅ = =7 . 15 5 15 5 15 15 3 8 3 8 3 4 4

г) ⎜15 − 4 ⎟ ⋅ ⎜ 3 − 2 ⎟ = 7 ; 8 15 5 4

№8 1 1 3 3 1 7 7 7 3 1) 7 : 2 = : = ⋅ = 3 ; 3 1 3 1 7

а) 7 : 2 + 4 :1 = 6; ;

2

1⎞

4

1 3

2) 4 :1 =

4 4 4 3 : = ⋅ = 3; 1 3 1 4

3) 3 + 3 = 6 ;

4

б) ⎜12 − 6 ⎟ : 7 = ; 5⎠ 3 5 ⎝ 5 2 1 62 31 31 1 1 3 31 31 31 4 4 2) 6 : 7 = : = ⋅ = ; − = =6 ; 5 5 5 5 5 5 5 4 5 4 5 31 5 1 1 5 в) 8 − 4 : 3 = 7 ; 7 7 8 1 5 29 29 29 8 8 1 1 1 1) 4 : 3 = : = ⋅ = = 1 ; 2) 8 − 1 = 7 ; 7 8 7 8 7 29 7 7 7 7

1) 12 − 6 =

3


1 6 1 3 14 ; 3 7 4 4 23 1 6 7 6 1 3 9 23 9 4 9 1) 2 ⋅ = ⋅ = 2 ; 2) 2 : 5 = : = ⋅ = ; 3 7 3 7 4 4 4 4 4 23 23 9 46 − 9 37 14 3) 2 − = = =1 . 23 23 23 23

г) 2 ⋅ − 2 : 5 = 1

№9 а) (0,018 + 0,982) : (8 · 0,5 – 0,8) = 0,3125; 1) 0,018 + 0,982 = 1; 2) 8 · 0,5 − 0,8 = 4 − 0,8 = 3,2; 3) 1 : 3,2 = 0,3125;

б) 27,3 ⋅ 5,1 ⋅ ( −2, 2 ) : ( −0,0018 ) = =

273 ⋅ 51 ⋅ ( −22 ) ⎛ 10000 ⎞ ⋅⎜− ⎟= 1000 18 ⎠ ⎝

273 ⋅ 51 ⋅ 220 273 ⋅ 51 ⋅ 220 = = 97 ⋅ 17 ⋅ 110 = 170170 ; 18 3⋅3⋅ 2

в) (0,008 + 0,992) : (5 · 0,6 – 1,4) = 1 : (3 – 1,4) = 1: 1,6 = 0,625; г) 13,5 ⋅ 9,1 ⋅ ( −3,3) : ( −0,00013) =

135 ⋅ 91 ⋅ ( −33) −100000 ⋅ = 10 ⋅ 10 ⋅ 10 13

= 135 · 3300 · 91 : 13 = 135 · 3300 · 7 = 3118500. № 10 1 3

1 3

а) 3 + 2,5 ⋅ 16 = 43 ; 1) 2,5 · 16 = 40; 1 3

1 3

2) 3 + 40 = 43 ;

1 4 7 5 1 4 15 14 1) 2 ⋅ 2 = ⋅ = 3 ⋅ 2 = 6 ; 7 5 7 5

б) 2 ⋅ 2 − 2, 4 = 3,6 ;

2) 6 – 2,4 = 3,6;

в) (24 +5,6) · (24 – 5,6) = 544,64; 1) 24 + 5,6 = 29,6; 2) 24 – 5,6 = 18,4; 3) 29,6 · 18,4 = 544,64; № 11 1 1 1 3 3 3 2 9 б) 2 ⋅ 1 − 1, 25 = 2 ; 25 16 2 9 52 25 52 13 1) 2 ⋅ 1 = ⋅ = = = 3, 25 ; 25 16 25 16 16 4

а) 2 + 2, 4 ⋅ 15 = 2 + 36 = 38 ;

2) 3,25 – 1,25 = 2; 4

⎛ 6 25 ⎞ 6 1 − ⎟ :1 = ; ⎝ 19 38 ⎠ 19 2 6 25 50 − 25 25 1) 1 − = = ; 19 38 38 38 25 6 25 19 1 2) ⋅ = . :1 = 38 19 38 25 2

г) ⎜1


в) (25 + 5,2) · (25 – 5,2) = 30,2 · 19,8 = 597,96; ⎛ 8

1⎞

1

2

г) ⎜ 4 − 1 ⎟ :1 = 2 ; 5 ⎝ 15 3 ⎠ 3 8 1 68 4 68 − 20 48 1 −1 = − = = =3 ; 15 3 15 3 15 15 5 1 1 16 4 16 3 12 2 2) 3 :1 = : = ⋅ = = 2 . 5 3 5 3 5 4 5 5

1) 4

№ 12 1 4 28 3 1 2 7 14 21 б) 2 + ⋅ 7 = + = = 7 ; = ⋅ =7; 3 3 3 4 3 3 3 3 3 1 16 16 35 ⎛ 2 1 ⎞ 16 в) ⎜ 4 − 1 ⎟ : = 3 : = ⋅ = 7 ; 5 35 5 16 ⎝ 5 5 ⎠ 35 1 2 13 41 17 103 123 + 85 − 103 105 г) 8 + 5 − 6 = + − = = =7; 5 3 15 5 3 15 15 15

а) 9 :

№ 13 а) 2 – 4,5 = –2,5; б) (2,3 + (–14,8)) : 5 = –12,5 : 5 = –2,5; ⎛ 1

2⎞

1

⎛ 19

22 ⎞ 75

в) ⎜ 3 − 4 ⎟ ⋅ 2 = ⎜ − ⎟ ⋅ = 5 ⎠ 37 ⎝ 6 5 ⎠ 37 ⎝ 6 г) 6 + 2,4 – 10,9 = 8,4 – 10,9 = –2,5.

95 − 132 75 37 75 ⋅ =− ⋅ = −2,5 ; 30 37 30 37

№ 14 а) Переместительный закон сложения. б) Переместительный закон умножения. в) Сочетательный закон сложения. г) Распределительный закон сложения относительно умножения. № 15

а) б) 1) в)

1 2 1 1 1 1 2 1 + 2 + 1 + 1 = 6; 1) + 1 = 2 ; 2) 2 + 1 = 4 ; 3) 4 + 2 = 6; 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 3 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 289 ; 5 7 2 17 3 11 3 ⋅ 5 = ⋅ 5 = 17 ; 2) 2 ⋅ 7 = ⋅ 7 = 17 ; 3)17 ·1 7 = 289. 5 5 7 7 1 3− 4 1 ⎛ 3 2 1⎞ ⎛ 3 2⎞ ⋅ 14 + 7 = − ⋅ 14 + 7 = 6 ; ⎜ − + ⎟ = ⎜ − ⎟ ⋅ 14 + ⋅ 14 = 14 7 2 14 7 2 14 14 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ⎝

2 2⎞ 6⎞ 2 8 1 ⎛ 2 ⎟ : 2 = ⎜ 12 + 24 ⎟ : 2 − 16 : 2 = 36 : 2 − 8 = 3 15 ⎠ 9⎠ 5 9 5 ⎝ 9 4 1 166 41 830 − 369 461 11 = 18 − 8 = − = = = 10 . 9 5 9 5 45 45 15 2 9

г) ⎜12 + 24 − 16

5


№ 16 а) 4,16 + 2,5 + 6,04 + 3,5 = 4,16 + 6,04 + 2,5 + 3,5 = 10,2 + 6 = 16,2; б) 7,3 + 1,6 – 0,3 – 0,6 = 7,3 – 0,3 + 1,6 – 0,6 = 7 + 1 = 8; в) –1,06 + 0,04 – 7,04 + 2,16 = – 1,06 + 2,16 –7 = 1,1 – 7 = –5,9; г) 18,9 – 6,8 – 5,2 – 4,1 = 12,1 – 4,1 – 5,2 = 8 – 5,2 = 2,8. № 17 а) 7,8 · 6,3 + 7,8 · 13,7 = 7,8 · ( 6,3 + 13,7 ) = 7,8 · 20 =15,6 б) 6,95 · 3,42 · 5,05 = 6,95 · 3,42 · ( 5 + 0,05 ) = 6,95 · ( 17,1 + 0,171 ) = = ( 7 – 0,05 ) · 17,271 = 120,897 – 0,86355 = 120,03345; в) 17,96 · 0,1 – 0,1 · 81,96 = 0,1 · ( 17,96 – 81,96 ) = 0,1 · (– 64 ) = – 6,4; г) 4,03 · 27,9 – 17,9 · 4,03 = 4,03 · ( 27,9 – 17,9 ) = 4,03 · 10 = 40,3. № 18 1 2

1 2

1 2

15 ⋅ 10 = 75 ; 2 3 3 3 3 б) 42, 4 ⋅ − 2, 4 ⋅ = ⋅ ( 42, 4 − 2, 4 ) = ⋅ 40 = 30 ; 4 4 4 4 1 1 1 1 в) 32,5 ⋅ − 16,5 ⋅ = ⋅ ( 32,5 − 16,5 ) = ⋅ 16 = 4 ; 4 4 4 4 1 1 г) 6 · 4,8 + 6 · 5, 2 = 6, 2 · (4,8 + 5, 2) = 6, 2 · 10 = 62. 5 5

а) 7 ⋅ 6,8 + 7 ⋅ 3, 2 = 7 ⋅ ( 6,8 + 3, 2 ) =

№ 19 а) а · 60 · 60 = а · 3600 – секунд в а часах; б) X · 24 · 60 = X · 1440 – минут в X сутках; 2 м. в) X · 1000 : 60 = X · 166 – ; 3 мин. г) u : 1000 · 3600 = u · 36 : 10 = u · 18 : 5 = 3,6 · u км/ч. № 20 а) x = –3,5; 3x = 3 · (–3,5) = –10,5; 4 4 12 5 в) x = ; 3x = 3 ⋅ = = 1 ; 7 7 7 7

№ 21 а) y = –1; –5y = –5 · (–1) = 5; в) y = 1; –5y = –5 · 1 = –5;

б) x = –1; 3x = 3 · (–1) = –3; 1 3

1 3

3 10 = 10 . 1 3

г) x = 3 ; 3x = 3 ⋅ 3 = ⋅

б) y = 0; –5y = –5 · 0 = 0; г) y = 3,4; –5y = –5 · 3,4 = –17.

№ 22 а) a = 3, d = 2; 48a + 12d = 48 · 3 + 12 · 2 = 144 + 24 = 168; б) u = 6, v = 1; u – 3uv = 6 – 3 · 6 · 1 = 6 – 18 = –12; в) z = –8, t = –2; 8z – 11t = 8 · (–8) – 11 · (–2) = –64 + 22 = –42; г) p = –3, q = 6; 5p – 4q = 5 · (–3) – 4 · 6 = –15 – 24 = –39.

6


№ 23 A

1

2

3

B

1

3

2

2A–2B

0

–2

2

1 4 1 3 1 6

1) 2 · 1 – 2 · 1 = 2 – 2 = 0;

1 4 1 − 3 1 − 6 −

–3

–2

–1

–2

–3

–1

–2

2

0

2) 2 · 2 – 2 · 3 = 4 – 6 = –2;

1 4 1 ⎛ 2⎞ 4−3 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = ; 5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ − 2 ⋅ ⎜ − ⎟ = − − ⎜ − ⎟ = 2 ⎝ 3⎠ 6 6 ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠

1 3

1 2 3−4 1 − = =− ; 2 3 6 6

3) 2 · 3 – 2 · 2 = 6 – 4 = 2;

4) 2 ⋅ − 2 ⋅ =

6) 2 · (–3) – 2 · (–2) = –6 + 4 = –2; 8) 2 · (–1) – 2 · (–1) = –2 + 2 = 0. № 24

7) 2 · (–2) – 2 · (–3) = 6 – 4 = 2;

A

1

2

3

B

1

3

2

2AB–1

1

11

11

1) 2 ·1 · 1 – 1 = 2 – 1 = 1;

1 4 1 3 5 6

1 4 1 − 3 5 − 6 −

–2

–1

–2

–3

–1

11

11

1

2) 2 · 2 · 3 – 1 = 12 – 1 = 11;

1 1 4 3 1 1 1 5 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ 5) 2 ⋅ ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ − ⎟ − 1 = ⋅ − 1 = − 1 = − ; 2 3 6 6 ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠

3) 2 · 3 · 2 – 1 = 12 – 1 = 11;

–3

1 1 2 3

4) 2 ⋅ ⋅ − 1 = ⋅ − 1 =

1 5 −1 = − ; 6 6

6) 2 · (–3) · (–2) – 1 = 12 – 1 =11; 7) 2 · (–2) · (–3) – 1 = 12 – 1 =11; 8) 2 · (–1) · (–1) – 1 = 2 – 1 =1. № 25 a+b = 10, c = 7. а) a + b +2 · c = 10 + 2 · 7 = 10 + 14 = 24; б) (a + b) : 2 – c = 10 : 2 – 7 = 5 – 7 = –2; a + b + c 10 + 7 17 1 = = = 8 = 8,5 ; 2 2 2 2 7 ( a + b ) + 2c 7 ⋅ 10 + 2 ⋅ 7 70 + 14 84 1 = = = = 4 = 4, 2 . г) 3c − 1 3⋅ 7 −1 21 − 1 20 5

в)

№ 26 а) Если a – b = 12, то b – a = –1 · (a – b) = –1 · 12 = –12; б) Если c – d = 0, то d – c = 0.

7


№ 27 2

a − b2 –? a −b а) a = 1, b = 2;

a 2 − b 2 12 − 22 1 − 4 3 = = = = 3 ; a + b = 1+ 2 = 3 ; a −b 1− 2 −1 1

б) a = 3, b = 1;

32 − 12 9 − 1 8 = = = 4 ; a + b = 3+1= 4 ; ; 3 −1 2 2 a 2 − b 2 1, 42 − 12 0,96 = = = 2, 4 , a + b =1,4 + 1 = 2,4; a−b 1, 4 − 1 0, 4

в) a = 1,4, b = 1; г) a = –3, b = 1;

9 −1 8 a 2 − b2 = = = −2 ; a + b = –3 + 1 = –2. −3 − 1 −4 a −b

№ 28

а) x=2, y=3;

2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 2 ⋅ 22 − 2 ⋅ 32 2 ⋅ 4 − 2 ⋅ 9 −10 = = = =2; −1 ⋅ 5 −5 ( x − y )( x + y ) ( 2 − 3)( 2 + 3)

32 12 9 2 2⋅ 2 − 2⋅ 2 − 1 2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y 2 77 36 2 3 = = 2 9= =2; б) x=1,5, y= ; 11 7 3 1 3 1 3 ( x − y )( x + y ) ⎛ 18 77 ⎞⎛ ⎞ ⎜ − ⎟⎜ + ⎟ 6 ⋅ 6 ⎝ 2 3 ⎠⎝ 2 3 ⎠

в) x = –2, y = 0;

2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ −22 − 2 ⋅ 02 8 = = =2 ( x − y )( x + y ) ( −2 − 0 )( −2 + 0 ) 4

г) x = 1,3, y = –0,5; 2 ⋅ 1,32 − 2 ⋅ ( −0,5 ) 2 ⋅ x2 − 2 ⋅ y2 2 ⋅ 1,69 − 2 ⋅ 0, 25 2,88 = = = =2. 0,8 ⋅ 1,8 1, 44 ( x − y )( x + y ) (1,3 + 0,5 )(1,3 − 0,5) 2

№ 29 а) x = 7, y = 4; 5x – 3y = 5 · 7 – 3 · 4 = 35 – 12 = 23; б) x = 6,5, y = 2,1; 5x – 3y = 5 · 6,5 – 3 · 2,1 = 32,5 – 6,3 = 26,2; 2 5

2 3

в) x = 12 , y = 9 ; 5x – 3y = 5 · 12

2 2 – 3 · 9 ⋅ = 62 – 29 = 33; 5 3

г) x = 18, y = 7,4; 5x – 3y = 5 · 18 – 3 · 7,4 = 90 – 22,2 = 67,8. № 30 6a + 7b 6 ⋅ 20 + 7 ⋅ 12 120 + 84 204 = = = = 17 ; 3a − 4b 3 ⋅ 20 − 4 ⋅ 12 60 − 48 12 6a + 7b 6 ⋅ 2, 4 + 7 ⋅ 0,8 14, 4 + 5,6 20 = = = =5; б) a = 2,4, b = 0,8; 3a − 4b 3 ⋅ 2, 4 − 4 ⋅ 0,8 7, 2 − 3, 2 4 6a + 7b 6 ⋅ 10,8 + 7 ⋅ 6 64,8 + 42 106,8 5 = = = = 12 ; в) a = 10,8, b=6; 3a − 4b 3 ⋅ 10,8 − 4 ⋅ 6 32, 4 − 24 8, 4 7

а) a = 20, b = 12;

8


г) a = 12, b=5,6;

6a + 7b 6 ⋅ 12 + 7 ⋅ 5,6 72 + 39, 2 111, 2 3 = = = =8 . 3a − 4b 3 ⋅ 12 − 4 ⋅ 5,6 36 − 22, 4 13,6 17

№ 31 а) x = 8, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 64 + 2 · 8 · 3 + 9 = 64 + 48 + 9 = 121; ( x + y )2 = 112 = 121 ;

б) x = 7,6, y = 1,4; x 2 + 2 xy + y 2 = 57,76 + 2 · 7,6 · 1,4 + 1,96 = = 57,76 + 21,28 +1,96 = 81; ( x + y ) 2 = 92 = 81 ; в) x = 10, y = 2,6; x 2 + 2 xy + y 2 = 100 + 2 · 10 ·2,6 + 6,76 = = 100 + 52 + 6,76 = 158,76; ( x + y )2 = 12,62 = 158,76 ; г) x = 1,5, y = 3; x 2 + 2 xy + y 2 = 2,25 + 2 · 1,5 · 3 + 9 = = 2,25 + 9 + 9 = 20,25; ( x + y ) 2 = 4,52 = 20, 25 . № 32 а) a = 13, b = 12; a – b = 13 – 12 = 1; a 2 − 2ab + b 2 132 − 2 ⋅ 13 ⋅ 12 + 122 169 − 312 + 144 = = =1; a−b 13 − 12 1 б) a = 2,4, b = 2,3; a – b = 2,4 – 2,3 = 0,1; a 2 − 2ab + b 2 2, 42 − 2 ⋅ 2, 4 ⋅ 2,3 + 2,32 5,76 − 11,04 + 5, 29 = = = 0,1 ; a−b 2, 4 − 2,3 0,1

в) a = 3,5, b = 2,5; a – b = 3,5 – 2,5 = 1; a 2 − 2ab + b 2 3,52 − 2 ⋅ 3,5 ⋅ 2,5 + 2,52 12, 25 − 17,5 + 6, 25 = = =1; a−b 3,5 − 2,5 1

г) a = 7,4, b = 3,6; a – b = 7,4 – 3,6 = 3,8; a 2 − 2ab + b 2 7, 42 − 2 ⋅ 7, 4 ⋅ 3,6 + 3,62 54,76 − 53, 28 + 12,96 = = = 3,8 a −b 7, 4 − 3,6 3,8

№ 33 а) x – любое число; б) а – не равно нулю; г) b – не равно нулю. в) y – любое число; № 34 а) x – не равно (–3); б) а – не равно (–2); в) d – не равно (–9); г) c – не равно (–13). № 35 а)z – не равно 3; б) t – не равно 2; в) m – не равно 9; г) n – не равно 6. № 36 а) 5x = 150; б) 6x = –54; в) –0,7x = 343; г) –0,5x = –0,25; x = 150 : 5; x = –54 : 6; x = 343 : –0,7; x = –0,25 : (–0,5); x = 30; x = –9; x = –490; x = 0,5.

9


№ 37 1 1 1 ⋅ x − = ; г) 17,5x – 0,5 = 34,5; 2 3 6 1 1 1 ⋅ x = + ; 17,5x = 34,5 + 0,5; 2 6 3 1 1 x = 35 : 17,5; x= : ; 2 2

а) 7x + 9 = 100;

б) 1,4x – 0,8 = 7; в)

7x = 100 – 9;

1,4x = 7 + 0,8;

x = 91 : 7;

x = 7,8 : 1,4;

x = 13;

4 x= 5 ; 7

x = 1;

x = 2.

№ 38 а) 13x + 9 = 35 + 26x; 13x – 26x = 35 – 9;

x = 26 : (–13);

x = 2;

7 2 б) ⋅ x + 3 = ⋅ x + 5 ; 9 3

1 ⋅x =2 ; 3

x = 6;

7 2 ⋅x− ⋅x =5−3; 9 3

в) 0,81x – 71 = 1,11x +1; 0,81x – 1,11x = 1 + 71; 2 1 1 1 1 г) ⋅ y − ⋅ y = ⋅ y − 5 ; ⋅ y − ⋅ y = −5 ; 3 2 4 6 4

–0,3x = 72; x = –240;

1 − ⋅ y = −5 ; 12

y = 60.

№ 39 а) u = –1,5, v = 2,4; (1,5 + 2, 4) 2 = 0,92 = 0,81; 1,52 + 2, 42 = 2, 25 + 5,76 = 8,01 ;

б) u = 3,1, v = –0,8; (3,1 + (0,8)) 2 = 2,32 = 5, 29; 3,12 + (0,8) 2 = 9,61 + 0,64 = 10, 25 ;

в) u = 14, v = 1,4; (14 + 1, 4) 2 = 15, 42 = 237,16; 142 + 1, 42 = 196 + 1,96 = 197,96 ;

г) u = –1,2, v = –2,8; (1, 2 + (2,8)) 2 = 42 = 16; 1, 22 + 2,82 = 1, 44 + 7,84 = 9, 28 .

№ 40 а) 3x – 2 = 10; б) 4y –1 = 3y + 5;

3x = 12; x = 12 : 3; 4y – 3y = 5 + 1;

x = 4; y = 6.

№ 41 а) 2 · 5k = 4k + 12; 10k – 4k = 12; 6k = 12; k = 2; p – 28p = –132 –3; б) p + 3 = 4 · (7p – 33); p + 3 = 28p – 132; p = 5. –27p = –135; № 42 5 1 5 а) ⋅ = ; 2 3 6 11 2 2 2 5 5 в) ⋅ : = ⋅ = ; 6 11 5 6 2 6

10

2 1 2 1 5 б) 1 + − 1 = + = ; 3 6 3 6 6

г) (–10 + 15) : 6 = 5 : 6 =

5 . 6


№ 43 4 9 25 9 − 25 16 1 − = = − = −3 ; 5 5 5 5 5 5 7 3 3 7 ⋅ 16 ⋅ 3 16 1 б) − : ⋅ = − = − = −3 ; 5 16 7 5⋅3⋅7 5 5 1 в) (–17 + 1) : 5 = –16 : 5 = −3 ; 5 1 ⎞ 32 7 − 40 32 32 32 16 1 ⎛ г) ⎜ −20 + 3 ⎟ ⋅ = ⋅ =− ⋅ = − = −3 . 2 165 2 165 2 165 5 5 ⎝ ⎠

а) −5 + 1 =

№ 44 17 ⎞ 1 5 ⎛ 7 а) ⎜ 8 − 2 ⎟ ⋅ 2,7 − 4 : 0,65 = 9 ; 36 ⎠ 3 6 ⎝ 12 7 17 21 17 4 1 1) 8 − 2 = 8 − 2 = 6 = 6 ; 12 36 36 36 36 9 1 55 27 33 1 ⋅ = = 16 ; 9 9 10 2 2 1 13 20 20 2 3) 4 : 0,65 = ⋅ = =6 ; 3 3 13 3 3 1 2 33 20 99 − 40 56 5 4) 16 − 6 = − = = =9 ; 6 3 2 3 6 6 6

2) 6 ⋅ 2,7 =

8 ⎛ 11 13 ⎞ б) ⎜1 + ⎟ ⋅ 1, 44 − ⋅ 0,5625 = 2,32 ; 24 36 15 ⎝ ⎠ 11 13 33 26 59 + =1 + =1 ; 24 36 72 72 72 59 131 144 131 ⋅ 2 262 2) 1 ⋅ 1, 44 = ⋅ = = = 2,62; ; 72 72 100 100 100 8 8 5625 375 15 ⋅ 25 3 ⋅ 0,5625 = ⋅ = = = = 0,3 ; 3) 15 15 10000 1250 50 ⋅ 25 10

1) 1

4) 2,62 – 0,3 = 2,32; 21 ⎞ 1 2 ⎛ 8 в) ⎜ 6 − 4 ⎟ ⋅ 4,5 − 2 : 0,52 = 5 ; 15 45 6 15 ⎝ ⎠ 8 21 24 21 3 1 −4 =6 −4 =2 =2 ; 15 45 45 45 45 15 1 31 9 31 45 31 ⋅ 3 93 2) 2 ⋅ 4,5 = ⋅ = ⋅ = = = 9,3 ; 15 15 2 15 10 10 10 1 13 52 13 25 25 1 = ⋅ = =4 ; 3) 2 : 0,52 = : 6 6 100 6 13 6 6

1) 6

11


1 93 25 279 125 154 2 − = − = =5 6 10 6 30 30 30 15 12 ⎞ 8 ⎛ 9 ⎜ + 1 ⎟ ⋅ 1,32 − ⋅ 0,1625 = 2, 24 ; 13 ⎝ 22 33 ⎠ 9 12 27 24 51 17 +1 = +1 =1 =1 ; 22 33 66 66 66 22 17 39 132 39 ⋅ 6 234 1 ⋅ 1,32 = ⋅ = = = 2,34 ; 22 22 100 100 100 8 8 1625 125 1 ⋅ 0,1625 = ⋅ = = = 0,1 ; 4) 2,34 – 0,1 = 2,24. 13 13 10000 1250 10

4) 9,3 − 4 = г) 1) 2) 3)

№ 45

а) 18 · (182 – 122) = 18 · (324 – 144) 18 · 180 = 3240 ; 12 4 ⎛ 18 + 12 ⎞ = = 0,8 ; б) 12 : ⎜ ⎟ = 12 :15 = 15 5 ⎝ 2 ⎠ в) 18 + 18 : 12=18 + 1,5 = 19,5; г) 18 · 12 – 18 : 12 = 216 – 1,5 = 214,5. № 46 ⎛ 7, 2 − 6, 4 ⎞ а) 7, 2 ⋅ ⎜ ⎟ = 7, 2 ⋅ 0, 4 = 2,88 ; 2 ⎝ ⎠

(

)

б) 6, 4 : 7, 22 − 6, 42 = 6, 4 : ( 51,84 − 40,96 ) = 6, 4 :10,88 =

6, 4 = 10,88

0,1 1 100 10 = ⋅ = ; 0,17 10 17 17 13 36 5 9 36 9 283 + 45 333 в) 7,2 + 7,2 : 6,4 = 7,2 + ⋅ = 7,2 + = + = = = 8 = 8,325 ; 40 5 32 8 5 8 40 40

=

г) 7,2 · 6,4 – 7,2 : 6,4 = 46,08 – 1,125 = 44,955 . № 47 A –3 –2 –1 0 B 2 4 6 3 C 7 –3 5 –2 4 13 34 1 A2 + 2 BC + 7 1 − − 2 2 49 57 5 7 A + 3B + C ( A + B)( B + C ) ( A + B)2 B( A + B + C ) ABC ( A + 3B )CA2 A2 B 2 + 2C

12

1 5 4 3 5

3 –2 1 6 11

6 0 8 15 1 44

1 2

–1

1

–9

1 2

2

1 5

1 3

1

–3

2

–5

–6

−7

9 25

5 1 13

3

12 19

1

8 9

3

1 2

3

15 16

−1

5 7

1 3

–42 3 13


№ 48 ⎛ 1 ⎞ ⎜ 2 : 2 − 1,8 ⎟ ⋅ 0, 4 + 0,3 10 ⎝ ⎠ а) – дробь равна нулю; 3,15 : 22,5 1 21 21 1) 2 : 2 = : 2 = = 1,05 ; 10 10 20 2) 1,05 – 1,8 = –0,75; 3) –0,75 · 0,4 = –0,3; 4) –0,3 + 0,3 = 0; 1 ⎞ 1 1 ⎛ ⎜ 1, 24 − 1 ⎟ ⋅ 2,5 − : 25 6 3 ⎠ – дробь не равна нулю; б) ⎝ 1, 4 : 0,1 − 2 1 1) 1, 24 − 1 = 1, 24 − 1,04 = 1, 2 ; 2) 1,2 · 2,5 = 3 ; 25 1 1 1 3 1 4) 3 – 0,5 = 2,5; 3) : = ⋅ = = 0,5 ; 6 3 6 1 2 Числитель дроби не равен нулю, значит и сама дробь не равна нулю. № 49 3,5 · 1, 24 – дробь не имеет смысла; ⎛3 ⎞ 10 + 1, 6 : ⎜ · 0, 4 − 0, 4 ⎟ ⎝5 ⎠ 3 3 2 6 1) ⋅ 0, 4 = ⋅ = 2) 0,24 – 0,4 = –0,16; = 0, 24 ; 5 5 5 25

а)

3) 1,6 : (–0,16) = 160 : (–16) = –10; 4) 10 + (–10) = 0; Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь не имеет смысла; б)

4, 2 : 2 − 1 – дробь смысла не имеет; 1 5 ⎛ 1 1⎞ + ⋅ ⎜ 0,8 ⋅ − ⎟ 9 9 ⎝ 6 3⎠

1 6

4 1 5 6

1) 0,8 ⋅ = ⋅ =

4 2 ; = 30 15

2)

2 1 2 − 5 −3 1 − = = =− ; 15 3 15 15 5

3) 5 ⋅ ⎛⎜ − 1 ⎞⎟ = − 5 ⋅ 1 = − 1 ; 4) 1 + ⎜⎛ − 1 ⎟⎞ = 0 ; 9 ⎝ 9⎠ 9 ⎝ 5⎠ 9⋅5 9 Знаменатель дроби равен нулю, значит дробь смысла не имеет. № 50 а) 7 · 6 + 24 : 3 – 2 = 42 + 8 – 2 = 48 – наименьшее; б) 7 · (6 + 24 : (3 – 2)) = 7 · (6 + 24) = 7 · 30 = 210 – наибольшее. № 51 а) (1 + 23 – 4) · 5 = 20 · 5 = 100; б) 111 – 11 = 100; в) (5 + 5 + 5 + 5) · 5 = 100; г) (1 + 23 – 4) · 5 – 6 + 7 + 8 – 9 = 100. № 52 1) 4 + 4 – 4 – 4 = 0; 2) 4 : 4 –4 + 4 = 1; 3) 4 : 4 + 4 : 4 = 2; 4) (4 + 4 + 4) : 4 = 3; 5) (4 – 4) · 4 + 4 = 4; 6) (4 · 4 + 4) : 4 =5; 7) (4 + 4) : 4 + 4 =6; 8) 44 : 4 – 4 = 7; 9) 4 · 4 – 4 – 4 = 8; 10) 4 + 4 + 4 : 4 = 9; 11) (44 – 4) : 4 = 10. 13


§ 2. Что такое математический язык № 53 а) a + b;

б) с – d;

в) x · y;

г) t : v.

№ 54

а) (z + x) : 2;

б) (p – q) : 2; в) x 2 ;

г) y 3 .

№ 55 а) x + a · b;

б) y – a : b;

г) z : (x – y).

в) a · (b + c);

№ 56 а) (m + n ) : 3; б) (p – q) · 2; в) (x + y) · 2 · z; г) p : (a + b) : 2. № 57

а) (a + b) 2 ;

б) ( x − y )3 ;

в) t 2 − w2 ;

г) c3 + d 3 .

№ 58

а)

m+n ; m⋅n

б)

c−d m2 + n2 ; в) ; m⋅n 2 ⋅ (c + d )

№ 59 а) Сумма чисел x и 2; б) Разность чисел c и d;

г)

p3 − q3 . 2 ⋅ ( p + q)

в) Произведение чисел 8 и z; г) Частное от деления числа p на q.

№ 60 а) Сумма квадратов чисел a и b; б) Разность квадратов чисел x и y; г) Разность кубов чисел m и n. в) Сумма кубов чисел z и t; № 61 а) Квадрат суммы чисел s и p; б) Квадрат разности чисел u и v; г) Куб разности чисел f и q. в) Куб суммы чисел p и q; № 62 а) Отношение суммы чисел x и y к числу 2; б) Отношение разности чисел a и b к числу 2; в) Отношение произведения чисел x и y к их удвоенной разности; г) Отношение суммы чисел x и y к их произведению. № 63 а) a + b = b + a; б)ab = ba; г) a + (b – c) = (a + b) – c. в) a + (b + c) = (a + b) + c; № 64 а) Чтобы к числу прибавить сумму двух чисел, можно сначала прибавить к нему первое слагаемое, а затем к полученной сумме второе слагаемое. б) Чтобы из числа вычесть сумму двух других чисел, можно сначала вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности вычесть другое слагаемое. 14


в) При сложение любого числа а с нулюм, полусается тоже самое число а. г) При умножение любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. № 65 а) При умножении любого числа а на ноль получается ноль. б) Частное от деления нуля на любое число а не равное нулю, получается ноль. в) При делении любого числа а на еденицу, получается тоже самое число а. г) При умножении любого числа а не равного нулю на частное от деления единицы на это же самое число а, получается еденица. № 66 а) Произведение числа 3 и квадрата суммы чисел x и y. б) Произведение числа 2 и квадрата суммы чисел a и b. в) Произведение числа 2 и квадрата разности чисел p и q. г) Произведение числа 3 и квадрата разности чисел z и r. № 67 а) Отношение квадрата разности чисел m и n к числу 2. б) Отношение квадрата суммы чисел t и w к числу 2. в) Отношение куба суммы чисел a и b к числу 3. г) Отношение квадрата разности чисел p и q к числу 4. № 68 а) (a + b) · c = a · c + b · c; в) a – (b +c) = (a – b) – c; № 69

б) x · (y – z) = x · y – x · z; г) a – (b – c) = (a – b) + c

а)

a a⋅c , где с не равно нулю; = b b⋅c

б)

a x a⋅x ⋅ = ; b y b⋅ y

в)

a c = , где с не равно нулю; b b

г)

a c a d a⋅d : = ⋅ = b d b c b⋅c

№ 70

а) b =

a⋅ p ; 100

в) Если

б) a =

a c = , то ad=bc; b d

b ⋅ 100 ; p

г) Если

a c δ χ α β = , то = и = . b d β α χ δ

§ 3. Что такое математическая модель № 71 а) x · y = 9; № 72

б) a : b = 2;

а) a – 18 = b; б) b + 39 = c;

в) b = c;

г) 2 · p = 3 · q.

в) x : y = 6; г) a : b =

1 . 29 15


№ 73 а) a + b = 43;

б) m – n = 214;

в) a + b + 6 = ab;

№ 74 а) a + b = d – c; б) a – d = b + c; в) a = b + c + d;

г) p – q – 17 = p : q. г) a + b = 2 · (c – d).

№ 75 t – v = 3.

№ 76 3 · x = 2 · y.

№ 77 5 · b = 6 · a.

№ 78 x+25>3 · x – 15.

№ 79

№ 80

№ 81

№ 82

0,5⋅a<0,5⋅a + b.

x–5,8=y + 14,2.

x+3,7=1,5 x–5,36.

z z+6 . = 3 4

№ 83 5a + 3b = m.

№ 84 (x+7) · 3–4,7=x

№ 85 (x–8) · 2=y + 8.

№ 86 x+4⋅x+x+50=470

№ 87

№ 88

№ 89

d+15=4 · d + 3.

x x + 2,5 . = 5 4

c+4,8=1,4⋅c–5,2

№ 90 а) На чайных весах на одной чаше лежит яблоко весом x кг., а на другой чаше лежит апельсин весом y кг. Весы находятся в равновесии. б) Стоимость одного килограмма яблок – b рублей, а стоимость одного килограмма апельсинов – a рублей. Причем апельсины в два раза дороже яблок. в) Три килограмма огурцов стоят столько же, скольео два килограмма помидоров. При этом известно что 1 кг. Огурцов стоит с рублей, а один килограмм помидоров d рублей. г) В первом цехе работает 6 бригад по m человек в каждой, а во втором цече работает 11 бригад по n человек в каждой. При этом известно что число рабочих в обоих цехах одинаково. № 91 а) Первое число равно а, второе число равно b. Если из первого числа вычесть единицу, а второе оставить без изменений то получатся два одинаковых числа. б) В одной корзине лежит а персиков, а в другой b персиков. Если в первую корзину положить два персика, то в корзинах персиков станет поровну в) В первом букете z гвоздик, во втором в два раза больше. Когда к первому букету добавили три гвоздики, число гвоздик в обоих букетах стало поровну. г) У Кости x марок, а у Васи y марок. Если Костя добавит в свою коллекцию 3 марки, то у него станет марок в коллекции в два раза меньше, чем у Васи в коллекции.

16


№ 92 а) В первой бригаде работает a человек, а во второй бригаде работает b человек. Если в первую бригаду придет 7 человек, то в обоих бригадах число человек станет равное. б) Первый спортсмен пробежал дистанцию за a секунд, а второй спортсмен пробежал дистанцию за b секунд. При этом первый спортсмен пробежал дистанцию на 3 секунды быстрее. в) Первое число равно а, второе число равно b. Если к первому числу прибавить 2, а ко второму 8 то получатся одинаковые результаты. г) В первой корзине лежало а кг. Мандаринов, а во второй b кг. Мандаринов. После того как из первой корзины взяли три кг. мандаринов, а во вторцю добавили 1 кг., то мандаринов в корзинах станет поровну. № 93 а) Первое число равно а, второе число равно b. При этом известно, что первое в 4 раза больше второго. 1 второго б) Первое число равно x, второе число равно y. При этом 3 числа равна первому числу. в) На стройке работало 5 бригад по d человек в каждой. После того, как на работу пришло еще двое человек, рабочих стало с. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если второе число умно-

жить на 3 и вычесть из него 4, то его

1 часть будет равна первому числу. 7

№ 94 а) В саду 7 участков. На каждом растет по x яблонь. После того как на каждом участке посадили по одной яблоне, деревьев в саду стало равно y. б) Первое число равно a, второе число равно b. Удвоенная сумма этих чисел равна 3. в) Расстояние от пункта А до пункта B – с км., а от пункта B до пункта С – d км. Из пункта А в пункт B выехало 3 велосипедиста, а из пункта B в С путь продолжили только два велосипедиста. В общей сложности велосипедисты проделали путь 8 км. г) Первое число равно m, а второе число равно n. Если первое число умножить на три, а второе на семь, то их сумма будет равнятся 12. № 95 Пусть x км/ч – скорость велосипедиста. Тогда (x +18) – скорость мотоциклиста. 5 · x = (x + 18) · 2; 5 · x – 2 · x =2 · 18; 3 · x = 36; x = 12 км/ч – скорость велосипедиста. 18 + 12 = 30 км/ч – скорость мотоциклиста. 5 · 12 = 60 км – расстояние между городами. Ответ: 12, 30, 60.

17


№ 96 Пусть x квартир в первом доме. Тогда (x + 86) квартир во втором доме. x + x + 86 = 792; 2 · x = 706; x = 353 – квартир в первом доме. 353 + 86 = 439 – квартир во втором доме. Ответ: 353; 439. № 97 Пусть x трехкомнатных квартир в доме. Тогда (x + 10) – двухкомнатных квартир в доме, (x – 5) – однокомнатных квартир в доме. x + x +10 + x – 5 = 215; 3 · x = 210; x = 70 – трехкомнатных квартир. 70 + 10 = 80 – двухкомнатных квартир. 70 – 5 = 65 – однокомнатных квартир. Ответ: 65. № 98 Пусть x мест в малом зале. Тогда 3 · x мест в большом зале. 3 · x + x = 460; 4 · x =460; x = 115 – мест в малом зале. 115 · 3 = 345 – мест в большом зале. Ответ: 345. № 99 Пусть x книг на второй полке. Тогда 2 · x книг на второй полке. 2 · x + x = 48; 3 · x = 48; x = 16 – книг на второй полке. 2 · 16 = 32 – книг на первой полке. Ответ: 32. № 100 Пусть x деталей изготовил ученик за один день. Тогда 3 · x деталей изготовил мастер за один день. (x + 3 · x) · 2 = 312; 4 · x = 156; x = 39 – деталей изготовляет ученик за один день. 3 · 39 = 117 – деталей изготовляет мастер за один день. Ответ: 117, 39. № 101 Пусть x деталей изготовили на первом станке. Тогда (x + 10) деталей изготовили на втором станке. x + x +10 = 346; 2 · x = 336; x = 168 – деталей изготовили на первом станке. 168 + 10 = 178 – деталей изготовили на втором станке. Ответ: 168; 178. 18


№ 102 Пусть x тонн зерна собрали с первого участка. Тогда 1,2 · x тонн зерна собрали со второго участка. 1,2 · x + x = 39,6; 2,2 · x = 39,6; x = 18 тонн зерна собрали с первого участка. 1,2 · 18 = 21,6 тонн зерна собрали со второго участка. Ответ: 18; 21,6. № 103 Пусть x – это число. Тогда имеем: x + 23 = 7 · (x – 1); x + 23 = 7 · x – 7; –6 · x = –30; x = 5; Ответ: 5. № 104 Пусть x лет дочке. Тогда (x + 25) – лет маме, x +25 + x = 35; 2 · x = 10; x = 5 – лет дочке; 5 + 25 = 30 – лет маме. № 105 Пусть x яблонь на первом участке. Если с первого участка пересадить на второй одну яблоню, то (x – 1) – на первом останется, 3 · (x – 1) на втором. x – 1 + 3 · (x – 1) = 84; 4 · (x – 1) = 84; x – 1 = 21; x = 22 – на первом участке. 84 – 22 = 62 – на втором. Ответ: 22; 62. № 106

а) a + b = 7 · a · b; б) x = 3 · y + 1;

в) 3 ⋅ (c − d ) =

c ; d

г) a = 12 · b + 5.

№ 107 а) N=10 · a+b; б) M = 100 · a+10 · b+c; в) a · 1000 + b · 10; г) 100 · r + 7. № 108 Пусть t часов был в пути первый теплоход. Тогда (t – 3) часов был в пути второй теплоход. 22 · t + 26 · (t – 3) = 306; 48 · t = 306 + 78; t = 384 : 48; t = 8 часов был в пути первый теплоход. 8 – 3 = 5 часов был в пути второй теплоход. Ответ: 8; 5. № 109 Пусть x книг на первой полке. Тогда 2 · x – книг на первой полке. 2 · x – 5 – книг на третей полке. x + 2 · x + 2 · x – 5 =75; 5 · x = 80; x = 16 – книг на второй полке.

19


2 · 16 = 32 – книг на первой полке. 32 – 5 = 27 – книг на третей полке. Ответ: 36; 18; 31. № 110 Пусть x – рабочих во втором цехе. Тогда 1,5 · x – рабочих в первом цехе. 1,5 · x + 110 – рабочих в третем цехе. x + 1,5 · x + 1,5 · x + 110 = 310; 4 · x = 200; x = 50 – рабочих во втором цехе. 1,5 · 50 = 75 – рабочих в первом цехе. 75 + 110 = 185 – рабочих в третем цехе. Ответ: 75; 50; 185. № 111 Пусть x см. – AB. Тогда 2 · x см. – BC. (x + 4) см. – AC. x + 2 · x + x + 4 = 44; 4 · x = 40; x = 10 см. – АB. 2 · 10 = 20 см. – BC. 10 + 4 = 14 см. – АС. Ответ: 10; 20; 14. № 112 Пусть x учеников учится в старших классах. Тогда 3 · x учеников учится в начальных классах. 6 · x учеников учится в средних классах. x + 3 · x + 6 · x = 900; 10 · x = 900; x = 90 – учеников учится в старших классах. 3 · 90 = 270 – учеников учится в начальных классах. 6 · 90 = 540 – учеников учится в средних классах. Ответ: 270; 540; 90. № 113 Пусть x учеников всего.

Тогда

x – учеников изучает математику. 2

x – учеников изучает природу. 4 x – учеников размышляет. 7 x x x x x x + + +3= x ; x− − − =3; 2 4 7 2 4 7 3⋅ x = 3 ; x = 28 – учеников всего. 28

Ответ: 28. 20

28 ⋅ x − 14 ⋅ x − 7 ⋅ x − 4 ⋅ x =3; 28


№ 114 Пусть x – дней отработали. Тогда (30 – x) – дней не работали. 48 · x = 12 · ( 30 – x); 48 · x + 12 · x = 12 · 30; x = 6 дней отработали. Ответ: 6. № 115 Пусть x – учеников всего. x x ⎞ ⎛ Если придет ⎜ x + + + 1⎟ учеников, то 2 4 ⎠ ⎝ x x 3⋅ x x + x + + +1= 100; 2 · x + = 99 ; 4 2 4 x = 36 – учеников всего. Ответ: 36.

60 · x = 360;

11 ⋅ x = 99 ; 11 · x = 396; 4

№ 116 Пусть x – мужчин; 4 алтына = 12 коп.; 120 гривен = 1200 коп. Тогда (120 – x) – женщин; 3 алтына = 9 коп. 12 · x + (120 – x) · 9 = 1200; 12 · x + 1080 – 9 · x = 1200; 3 · x = 1200 – 1080; x = 40 – мужчин. 120 – 40 = 80 – женщин. Ответ: 40; 80.

ГЛАВА 2. Степень с натуральным показателем и ее свойства § 4. Что такое степень с натуральным показателем № 117 а) 3 · 3 · 3 · 3 = 34; б) 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = 76;

в) 0,5 · 0,5 = ( 0,5 )2; г) 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 · 8,4 = ( 8,4 )5.

№ 118 а) x8; б) y5; в) z6; г) q3. № 119 4

2

⎛ 7⎞ ⎛ 2⎞ а) (–4)5; б) ⎜ − ⎟ ; в) (–2,5)3; г) ⎜ −5 ⎟ . 3 ⎝ 8⎠ ⎝ ⎠

№ 120 а) (– c )4; б) (– d )3; в) (– r )5; г) (– s )6. № 121 а) ( ab )4; б) ( pq )3; в) ( mn )5; г) ( xy )6. № 122 а) ( c – d )3; б) ( z + t )2; в) ( p – q )4; г) ( x + y )6.

21


№ 123 2

⎛ 1⎞ а) 135 · 53; б) 0,72 · ⎜ − ⎟ ; в) (– 0,45 )2 · 73; г) ⎝ 2⎠

3

⎛1⎞ 2 ⎜ ⎟ · 0,1 . 9 ⎝ ⎠

№ 124 2

⎛3⎞ а) 53 · 73; б) (– 0,3 )3 · ⎜ ⎟ ; в) ( 7,95 )2 · 133; г) ⎝5⎠

3

⎛ 1⎞ 2 ⎜ −2 ⎟ · ( 17,8 ) . ⎝ 3⎠

№ 125 а) x · x · x · x · x · x · x · x; в) (– y )3 · (– y )3 · (– y )3 · (– y )3; б) (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ) · (– 2a ); г) ( 3b )2 · ( 3b )2 · ( 3b )2. № 126 а) 4pq · 4pq; 2

в) (z – x) · (z – x) · (z – x); 2

⎛ a⎞ ⎛ a⎞ б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ; b ⎝ ⎠ ⎝ b⎠

г)

№ 127 а) 2; б) 4; в) 32;

г) 16.

№ 128 а) 27; б) 0; в) –8;

г) 1.

5c 5c 5c 5c 5c · · · · . 6d 6d 6d 6d 6d

№ 129 а) 25; б) –5; в) –125; г) –3125. № 130

а) 1; б) 81; в)

1 1 ; г) . 16 81

№ 131 а) 35 = 405;

б) (– 0,5)4 = 0,0625;

3

2

27 ⎛3⎞ ; в) ⎜ ⎟ = 4 64 ⎝ ⎠

2

64 15 ⎛ 1⎞ ⎛8⎞ г) ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ = =1 . 7 7 49 49 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

№ 132

а) 9 см2; б) 49 см2; в) 2,25 см2; г)

1 см2. 16

№ 133

а) 2197 м3; б) 64 м3; в) 0,216 м3; г)

27 3 м. 343

№ 134 3

4

1 1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ а) (– 3)5 = – 405; б) ⎜ ⎟ = ; в) (–0,4)2 = 0,16; г) ⎜ ⎟ = . 8 625 ⎝2⎠ ⎝5⎠ 22


№ 135 а) 171 = 17; б) 115 = 1; в) 321 = 32; г) 072 = 0. № 136 а) – 72 = – 49; б) (– 1)4 = 1; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) – 82 = – 64. № 137 3

2

1 ⎛ 1⎞ а) ⎜ − ⎟ = − ; 64 ⎝ 4⎠

9 ⎛ 3⎞ б) ⎜ − ⎟ = ; 100 ⎝ 10 ⎠

3

8 ⎛ 2⎞ в) − ⎜ − ⎟ = ; 3 27 ⎝ ⎠

г) – (– 0,1)4 = – 0,0001.

№ 138 а) 3 · (– 4)2 = 3 · 16 = 48; б) (– 2)5 · 3 = – 32 · 3 = – 96;

в) 81 · 71 = 8 · 7 = 56; г) (– 0,5)2 · (– 2)2 = 0,25 · 4 = 1.

№ 139 2

3

1 9 4 3 ⎛3⎞ ⎛ 2⎞ а) ⎜ ⎟ ⋅ 1 = ⋅ = ; б) 34 · ⎜ − ⎟ = 81 · 3 16 3 4 ⎝4⎠ ⎝ 3⎠ 3

⎛ 1⎞ в) 1 : ⎜ − ⎟ = 1 : ⎝ 3⎠

⎛ 8 ⎞ ⎜ − ⎟ = 3 · (– 8) = – 24; ⎝ 27 ⎠

2

2 9 5 3 ⎛ 1 ⎞ ⎛3⎞ ⋅ = ⎜ − ⎟ = – 27; г) ⎜ ⎟ · 1 = 3 25 3 5 ⎝5⎠ ⎝ 27 ⎠

№ 140

а) б)

0, 24 0,0016 = = 0,00004 ; 40 40 1,8

( 0,3)

2

=

1,8 = 20 ; 0,09

в) г)

1 3

( −0,1) 1,6

( 0, 4 )

2

=

=

1

( −0,001)

= −1000 ;

1,6 = 10 . 0,16

№ 141 2

2

121 21 ⎛ 1⎞ ⎛ 11 ⎞ а) ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = =4 ; 25 25 ⎝ 5⎠ ⎝5⎠ 3

3

1000 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 10 ⎞ б) ⎜ −3 ⎟ = ⎜ − ⎟ = − ; = −37 3 3 27 27 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

4

625 58 ⎛ 2⎞ ⎛ 5⎞ в) ⎜ −1 ⎟ = ⎜ − ⎟ = =7 ; 81 81 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 2

2

441 9 ⎛ 1⎞ ⎛ 21 ⎞ г) ⎜ 5 ⎟ = ⎜ ⎟ = = 27 . 4 4 16 16 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

№ 142 а) 29; б) 1845; в) (– 5)17; г) (– 9)12.

23


№ 143 а) x7; б) ( ab )45; в) ( z – y )105; г) ( r + s )31. № 144 а) 6 m; б) (– 7) n; в) a r; г) b m. № 145 а) ( xy ) n; б) (– cd ) m; в) ( m – n ) r; г) ( t + v ) n. № 146 а) c r · d n; б) (– a) n · b r; в) ( a – b ) m · ( x – z ); г) ( p – q ) 2 · ( x – y) m. № 147 Пусть S – площадь одной стороны. Тогда 6 · S – полная поверхность. S = 7 · 7 = 49 см2; 6 · 49 = 294 см2 – полная поверхность. Ответ: 294 см2. № 148 Пусть S – площадь пола, P – площадь одной стены, S = 9 = 3 · 3. Так как пол квадратный, то сторона квадрата равна трем. P = 3 · 3 = 9 м2; 9 · 4 = 36 м2 – потребуется обоев. Ответ: 36 м2. № 149 Пусть S – площадь пола. S = 4 · 4 = 16 м2; 16 · 200 = 3200 г. = 3,2 кг. – потребуется краски. Ответ: 3,2 килограмма. № 150 Пусть S – площадь стороны куба, V – объем куба. S = 40 · 40 =1600 см2 = 0,16 м2; V = 1600 · 40 = 64000 см3 = 0,064 м3; Ответ: 0,064 м3. № 151 а) 3 · 24 + 2 · 34 = 3 · 16 + 2 · 81 = 48 + 162 = 210; б) 7 · 32 + 3 · 72 = 7 · 9 + 3 · 49 = 63 + 147 = 210; в) 5 · 33 + 3 · 52 = 5 · 27 + 3 · 25 = 135 + 75 = 210; г) 7 · 52 + 5 · 72 = 7 · 25 + 5 · 49 = 175 + 245 = 420. № 152 а) 7 · 103 – 8 · 102 = 7 · 1000 – 8 · 100 = 7000 – 800 = 6200; б) 92 · 3 + 100 · (0,1)2 = 81 · 3 + 100 · 0,01 = 243 + 1 = 244. № 153 2

1 1 1 2+3 5 ⎛1⎞ а) ⎜ ⎟ · 27+(0,1)4 · 5000 = ⋅ 27 + 0,0001 ⋅ 5000 = + = = ; 81 3 2 6 6 ⎝9⎠ 2

1 ⎛1⎞ б) 100 : 52 – ⎜ ⎟ · 128 = 100 : 25 – ⋅ 128 = 4 − 2 = 2 . 64 ⎝8⎠ 24


№ 154 3

3

3

3

512 125 387 1 ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛8⎞ ⎛5⎞ а) ⎜ 2 ⎟ – ⎜1 ⎟ = ⎜ ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = 14 ; 3 3 3 3 27 27 27 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4

2

4

2

625 1089 1714 89 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 5⎞ ⎛ 33 ⎞ . б) ⎜ −1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = + = = 256 256 256 128 ⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 16 ⎠

№ 155 а) 228 = 2 · 114 = 2 · 2 · 57 = 2 · 2 · 3 · 19 = 22 · 3 · 19; б) 432 = 2 · 216 = 2 · 2 · 108 = 2 · 2 · 2 · 54 = 24 · 27 = 24 · 33; в) 600 = 2 · 300 = 2 · 2 · 150 = 23 · 75 = 23 · 5 · 15 = 23 · 52 ·3; г) 752 = 2 · 376 = 2 · 2 · 188 = 2 · 2 · 2 · 94 = 24 · 47. № 156 а) 3969 = 3 · 1323 = 3 · 3 ·441 = 3 · 3 · 3 ·147 = 34 ·49 = 34 · 72; б) 64800 = 2 · 32400 = 2 · 2 · 16200 = 23 · 8100 = 23 · 90 · 90 = = 23 · 9 ·10 · 9 · 10 = 23 · 32 · 5 · 2 · 32 · 5 · 2 = 25 · 34 · 52; в) 21600 = 2 · 10800 = 2 · 2 · 5400 = 2 · 2 · 2 · 2700 = 2 3 · 27 · 100 = = 23 · 3 · 3 · 3 · 10 · 10 = 23 · 33 · 2 · 5 · 2 · 5 = 25 · 33 · 52; г) 17640 = 2 · 8820 = 2 · 2 · 4410 = 2 · 2 · 2 · 2205 = 23 · 5 · 441 = = 23 · 5 · 3 · 147 = 23 · 5 · 3 · 3 · 49 = 23 · 5 · 32 · 72. № 157 а) 22 · 23 и 22 + 3; б) 32 · 31 и 32 + 1; 2 3 5 1) 32 · 31 = 3 · 3 · 3 = 33; 1) 2 · 2 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2 ; 2+3 5 =2. 2) 32 + 1 = 33. 2) 2 Ответ: числа равны. Ответ: числа равны. г) 41 · 43 и 41 + 3; в) 71 · 72 и 71 + 2; 1 2 3 1) 41 · 43 = 4 · 4 · 4 · 4 = 44; 7 ·7 =7·7·7=7 ; 1+2 3 =7. 2) 41 + 3 = 44. 7 Ответ: числа равны. Ответ: числа равны.

§ 5. Таблица основных степеней № 158 N 3n 5n 7n

1 3 5 7

2 9 25 49

3 27 125 343

4 81 625 2401

5 243 3125 16807

6 729 15625 117649

№ 159

а) 16 = 42; б)

2

4 ⎛2⎞ 25 ⎛ 5 ⎞ = ⎜ ⎟ ; в) 0,81 = (0,9)2; г) =⎜ ⎟ 49 ⎝ 7 ⎠ 64 ⎝ 8 ⎠

2

2

.

№ 160

а) 125 = 53; б)

3

3

1 ⎛1⎞ 343 ⎛ 7 ⎞ = ⎜ ⎟ ; в) – 0,216 = (– 0,6)3; г) = ⎜− ⎟ . 64 ⎝ 4 ⎠ 512 ⎝ 8 ⎠

25


№ 161 а) 1; б) 1; в) – 1; г) 1. № 162 а) 0; б) 0; в) – 1; г) 0. № 163 а) (– 1)10 + 012 + 145 = 1 + 0 + 1 = 2; б) (– 1)6 + (– 1)7 – 08 = 1 – 1 – 0 = 0; в) 012 + 141 + (– 1)11 = 0 + 1 – 1 = 0; г) 0502 – 114 + 113 + (– 1)2 = 0 – 1 + 1 + 1 = 1. № 164 а) (– 1)4 + (– 1)3 + (– 1)2 + (– 1) = 1 – 1 + 1 – 1 = 0; б) (– 1)7 + 18 + 015 + 119 + (– 1)4 = –1 + 1 + 0 + 1 + 1 = 2; в) (– 1)2 – (– 1)3 – (– 1)4 – (– 1)5 = 1 – (– 1) – 1 – (– 1) = 2; г) (– 1)12 + 01 – 124 + 03 – (–1)5 = 1 + 0 – 1 + 0 + 1 = 1. № 165 а) 103 = 1000; б) 104 = 10000; в) 105 = 100000; г) 107 = 10000000. № 166 а) 1000000000 = 109; б) 10 = 101; в) 1000000 = 106; г) 10 n. № 167 2

1 ⎛ 1⎞ а) (– 2)5 = –32; б) (– 3)4 = 81; в) (– 0,5)3 = – 0,125; г) ⎜ − ⎟ = . 16 ⎝ 4⎠ № 168 а) (– 2,5)2 + 1,52 = 6,25 + 2,25 = 8,5; ⎛ 2⎞

4

⎛2⎞

2

16

4

16 − 4

1

1 ⎞

12

4

; б) ⎜ − ⎟ – ⎜ ⎟ = − = = = 81 81 81 81 27 ⎝ 3⎠ ⎝9⎠ в) (– 0,5)3 + (– 0,4)2 = –0,125 + 0,16 = 0,035; ⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

3

1

1

3+ 4

7

. г) ⎜ − ⎟ – ⎜ − ⎟ = −⎜− ⎟ = + = = 36 ⎝ 27 ⎠ 36 27 108 108 ⎝ 6⎠ ⎝ 3⎠ № 169 а) a2 ≥ 0; б) – a2 ≤ 0; в) (x + 5)2 ≥ 0; г) –3 · (x – 7)2 ≤ 0. № 170 а) x2 + y2 ≥ 0; в) 5 · (a2 + b2) ≥ 0; № 171 а) 2 r = 512; r=9 Ответ: 9

26

б) (a + 51)2 + (b2 – 13)2 ≥ 0; г) –94 · (x + y)2 ≤ 0. б) 5 m = 625; m=4 Ответ: 4

в) 7 m = 343; m=3 Ответ: 3

г) 3 r = 729 r=6 Ответ: 6


№ 172 а) 3 · 104 + 4 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 4 = = 30000 + 40000 + 7000 +200 + 80 + 4 = 77284; б) 8 · 106 + 9 · 103 + 5 = 8000000 + 9000 + 5 = 8009005; в) 1 · 104 + 1 · 102 + 1 = 10000 + 100 + 1 = 10101; г) 3 · 105 + 5 · 103 + 4 · 102 + 8 = 300000 + 5000 + 400 + 8 = 305408. № 173 а) 17285 = 10000 + 7000 + 200 + 80 + 5 = = 1 · 104 + 7 · 103 + 2 · 102 + 8 · 10 + 5; б) 213149 = 200000 + 10000 + 3000 + 100 + 40 + 9 = = 2 · 105 + 1 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 10 + 9; в) 1495643 = 1000000 + 400000 + 90000 + 5000 + 600 + 40 + 3 = = 1 · 106 + 4 · 105 + 9 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102 + 4 · 10 + 3; г) 75003400 = 70000000 + 5000000 + 3000 + 400 = = 7 · 107 + 5 · 106 + 3 · 103 + 4 · 102. № 174 а) При а = 1, а2 = 12 = 1, (– а)2 = (– 1)2 = 1, – а2 = – 12 = – 1. При а = – 1, а2 = (– 1)2 = 1, (– а)2 = 12 = 1, – а2 = – (– 1)2 = – 1. При а = 0, а2 = 02 = 0, (– а)2 = (– 0)2 = 0, – а2 = – 02 = 0. При а = 10, а2 = 102 = 100, (– а)2 = (– 10)2 = 100. – а2 = – 102 = – 100. б) При b = 1, b4 = 14 = 1, (– b)5 = (– 1)5 = – 1, – b5 = – 15 = – 1. При b = 0, b4 = 04 = 0, (– b)5 = (– 0)5 = 0, – b5 = – 05 = 0. При b = –1, b4 = (– 1)4 = 1, (– b)5 = 15 = 1, – b5 = – (– 1)5 = 1. При b = 10, b4 = 104 = 10000, (– b)5 = (– 10)5 = – 100000. – b5 = – 105 = – 100000. в) c2 + (– c)3 + c4. При c = 1, 12 + (– 1)3 + 14 = 1 – 1 + 1 = 1. При c = 0, 02 + (– 0)3 + 04 = 0 + 0 + 0 = 0. При c = 10, 102 + (– 10)3 + 104 = 100 – 1000 + 10000 = 9100. При c = –1, (– 1)2 + 13 + (– 1)4 = 1 + 1 + 1 = 3. г) d4 – d2 + d + 1. При d = –1, (– 1)4 – (– 1)2 + (– 1) + 1= 1 – 1 – 1 + 1 = 0. При d = 0, 04 – 02 + 0 + 1= 0 – 0 + 0 + 1 = 1. При d = 1, 14 – 12 + 1 + 1= 1 – 1 + 1 + 1 = 2. При d = 10, 104 – 102 + 10 + 1= 10000 – 100 + 10 + 1 = 9911. № 175

а) б)

−24 24 16 16 48 16 64 1 − = − − = − − = − = −7 ; 3 9 3 9 9 9 9 9

( −2 )2 − 52 3

2

4

=

4 25 2 25 23 3 − = − = − = −5 ; 8 4 4 4 4 4

27


в) г)

( −2 )3 − 5

14 3

3

8 3 32 + 15 47 7 =− − =− =− = −2 ; 5 4 20 20 20 2 3

2

24

( −3)

2

=

14 16 14 − 48 34 7 − = =− = −1 . 27 9 27 27 27

№ 176 а) 322 > 0;

б) (– 54)2 > 0; ⎛1⎞

3

⎛1⎞

2

в) 32 и 23;

г) ⎜ ⎟ и ⎜ ⎟ ; ⎝ 3⎠ ⎝2⎠

1) 32 = 9; 2) 23 = 8.

1) ⎜ ⎟ = ; 2) ⎜ ⎟ = . 9 4 ⎝ 3⎠ ⎝2⎠

Ответ: 32 > 23.

Ответ: ⎜ ⎟ > ⎜ ⎟ . ⎝2⎠ ⎝ 3⎠

⎛1⎞

4

⎛3⎞

2

⎛1⎞

2

1

3

в) (– 0,3)3 < (– 0,3)2;

4

⎛ 1⎞

б) ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎟ ; ⎝ 5⎠ ⎝5⎠

⎛1⎞

1

⎛1⎞

№ 177 а) (– 17,2)2 > (– 17,2)3; ⎛ 3⎞

3

2

⎛1⎞

4

г) ⎜ − ⎟ > ⎜ ⎟ . ⎝ 5⎠ ⎝5⎠

№ 178 1 7

а) (– 7)3 < (– 0,4)3 < ( )3 < (– 1,5)2; 1 3 3 7 2 в) (− )3 < (0,8)3 < (– 1,1)2 < (– 1,5)2; 3 3 3 2 г) (− ) < (0,3)2 < (− ) 2 2 < (– 1,2)2. 4 5

б) (−1 )3 < (− )3 < (– 1,8)2 < (– 2,1)2;

№ 179 а) 2 n = 1024; 3 r =81; n =10; n + r = 10 + 4 = 14. Ответ: 14. № 180 а) 22x = 128; 2x = 7; x = 3,5. Ответ: 3,5.

28

б) 3 x – 3 = 243; x – 3 = 5; x = 8. Ответ: 8.

б) 7 n = 49; 5 r = 625. r = 4; n = 2; r = 4; n + r = 2 + 4 = 6. Ответ: 6. в) 5 x : 2 = 125; x : 2 = 3; x = 6. Ответ: 6.

г) 2 2 – 3x = 256; 2 – 3x = 8; x = –2. Ответ: –2.


§ 6. Свойства степеней с натуральными показателями № 181 а) x2 · x3 = x5; б) y6 · y4 = y10; в) z5 · z12 = z17; г) t10 · t24 = t34. № 182 а) a5 · a = a6; б)b · b6 = b7; в)c7 · c = c8; г)d n · d = d n+1. № 183 а) s3 · s5 · s8 = s3 + 5+ 8 = s16; в) m13 · m8 · m = m13 + 8 + 1 = m22;

б) r14 · r12 · r51 = r14 + 12 + 51 = r67. г) n4 · n · n10 = n4 + 1 + 10 = n15.

№ 184 а) u15 · u23 · u · u7 = u15 + 23 + 1 + 7 = u46; б) r4 · r12 · r51 = r4 + 12 +51 = r67; в) v3 · v9 · v4 · v = v3 + 9 + 4 + 1 = v17; г) q13 · q8 · q7 · q21 = q13 + 8 + 7 + 21 =q49. № 185 а) ( a – b )3 · ( a – b )2 = ( a – b )3 + 2 = ( a – b )5; б) ( c + d )7 · ( c + d )8 = ( c + d )7 + 8 = ( c + d )15; в) ( q + r )15 · ( q + r )8 = ( q + r )15 + 8 = ( q + r )23; г) ( m – n )5 · ( m – n )4 = ( m – n )5 + 4 = ( m – n )9. № 186 а) ( ax )5 · ( ax )7 · ( ax ) = ( ax )5 + 7 + 1 = ( ax )13; б) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; в) ( cd )8 · ( cd )8 · ( cd ) = ( cd )8 + 8 + 1 = ( cd )17; г) (– pq)13 · (– pq) · ( pq ) = (– pq)13 + 1 · ( pq ) = ( pq )15. № 187 а) x7 · x18; № 188 а) r3 · ∗ = r11; 11 – 3 = 8; r3 · r8 = r11;

б) x9 · x16;

в) x24 · x;

г) x · x24.

б) ∗ · r14 = r10; в) r13 · ∗ · r18 = r43; 10 – 14 = –4; 43 – 13 – 18 = 12; r –4 · r14 = r10; r13 · r12 · r18 = r43;

г) ∗ · r21 · r11 = r40; 40 – 21 – 11 = 8; r8 · r21 · r11 = r40.

№ 189 а) r12 · ∗ · r3 · ∗ = r26; 26 – 12 – 3 = 11; 11 = 5 + 6; r12 · r5 · r3 · r6 = r26; б) r44 · ∗ · r · ∗ = r51; 51 – 44 – 1 = 6; 6 = 3 + 3; r44 · r3 · r · r3 = r51;

в) ∗ · r7 · ∗ · r9 · r13 = r48; 48 – 7 – 9 – 13 = 19; 19 = 9 + 10; r9 · r7 · r10 · r9 · r13 = r48; г) r · r14 · ∗ · r20 · ∗ = r72; 72 – 1 – 14 – 20 = 37; 37 = 17 + 20; r · r14 · r17 · r20 · r20 = r72.

№ 190 а) 25 · 24 = 25 + 4 = 29 = 512; в) 72 · 7 = 72 + 1 = 73 = 343;

б) 33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243; г) 9 · 92 = 91 + 2 = 93 = 729. 29


№ 191 а) 4 · 2 = 22 · 2 = 22 + 1 = 23; в) 64 · 512 = 26 · 29 = 26 + 9 = 215;

б) 32 · 8 = 25 · 23 = 25 + 3 = 28; г) 16 · 32 = 24 · 25 = 24 + 5 = 29.

№ 192 а) 5 · 25 = 5 · 52 = 51 + 2 = 53; в) 54 · 125 = 54 · 53 = 54 + 3 = 57;

б) 53 · 625 = 53 · 54 = 53 + 4 = 57; г) 59 · 3125 = 59 · 55 = 59 + 5 = 514.

№ 193 а) a = (– 13)9 · (– 13)8; 9 + 8 = 17 – нечетное. Ответ: отрицательное. в) а = (– 28)2 · (– 28)6; 2 + 6 = 8 – четное. Ответ: положительное.

б) a = (– 17)17 · (– 17)71; 17 + 71 = 88 – четное. Ответ: положительное. г) а = (– 43)41 · (– 43)14; 41 + 14 = 55 – нечетное. Ответ: отрицательное.

№ 194 а) x · 73 = 75; б) 122 · x = 123; в) 46 · x = 48; г) x · 56 = 59; 5 3 3 2 8 6 x=7 :7; x = 12 : 12 ; x=4 :4; x = 59 : 56; 2 1 2 x=7; x = 12 ; x=4; x = 53; x = 49. x =12. x =16. x = 125. Ответ: 49. Ответ: 12. Ответ: 16. Ответ: 125. № 195 а) x7 : x4 = x7 – 4 = x3; б) y16 : y12 = y16 – 12 = y4; в) z13 : z = z13 – 1 = z12; г) m28 : m27 = m28 – 27 = m1 = m. № 196 а) a12 : a10 : a = a12 – 10 – 1 = a1 = a; б) b45 : b15 : b29 = b45 – 15 – 29 = b1 = b; 3 3–1–1 1 в) c : c : c = c = c = c; г) d43 : d14 : d5 = d43 – 14 – 5 = d24. № 197 а) (a – b)3 : (a – b)2 = (a – b)3 –2 = (a – b)1 = (a – b); б) (z + r)13 : (z + r)8 : (z + r)3 = (z + r)13 – 8 – 3 = (z + r)2; в) (c + d)8 : (c + d)5 = (c + d)8 – 5 = (c + d)3; г) (m – n)42 : (m – n)12 : (m – n)29 = (m – n)42 – 12 – 29 = (m – n)1 = (m – n). № 198 а) 1013 : 108 = 1013 – 8 = 105 = 100000; б) 1217 : 1216 = 1217 – 16 = 12; в) (–324)3:(–324)2=(– 324)3 – 2 = –324; г) 0,75127:0,75126=0,75127 – 26=0,751; № 199

а)

78 7

5

= 73 = 343;

б)

0,67

= 0,62 = 0,36;

5

0,6

4

6

в)

30

( −0, 2 ) = (– 0,2)4 = 0,0016; ( −0, 2 )2

⎛ 1⎞ 1 ⎜1 ⎟ 1 ⎛ 1⎞ 3 г) ⎝ ⎠3 = ⎜1 ⎟ = 1 . 3 ⎝ 3⎠ ⎛ 1⎞ ⎜1 ⎟ 3 ⎝ ⎠


№ 200 18

⎛ ⎝

18 −17

17

⎛ 1⎞

⎛ 1⎞

а) ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠

: ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠

1⎞

6

⎛ ⎝

⎛ 1⎞

1 3

= ⎜1 ⎟ ⎝ 3⎠ 1⎞

4

⎛ ⎝

=1 ; 1⎞

6−4

б) ⎜ −2 ⎟ : ⎜ −2 ⎟ = ⎜ −2 ⎟ 7 7 7 ⎠

⎛ 2⎞

23

⎛ 2⎞

в) ⎜ 3 ⎟ ⎝ 9⎠

⎛ 2⎞

: ⎜3 ⎟ ⎝ 9⎠ 15

⎛ ⎝

21

7⎞

г) ⎜ −1 ⎟ 8

14

⎛ ⎝

23− 21

7⎞

⎛ ⎝

⎛ 29 ⎞

15 −14

7⎞

841

31

№ 201 а) x5 : x2 = x3; б) x18 : x7 = x11;

1

7⎞

7

= ⎜ −1 ⎟ = −1 . 8 ⎝ 8⎠

= ⎜ −1 ⎟ 8

2

= ⎜ ⎟ = = 10 ; 81 81 ⎝ 9 ⎠

= ⎜3 ⎟ ⎝ 9⎠

: ⎜ −1 ⎟ 8

2

225 29 ⎛ 15 ⎞ =4 ; ⎟ = 49 49 ⎝ 7⎠

= ⎜−

в) x49 : x36 = x13; г) x104 : x5 = x99.

№ 202 а) x52 : x10 : x2 = x52 – 10 – 2 = x40; в) x45 : x30 : x15 · x = x45 – 30 – 15 + 1 = x;

б) r44 · r20 · r : r14 = r44 + 20 + 1 – 14 = r51; г) x100 : x26 : x = x100 – 26 – 1 = x73.

№ 203 а) 128 n : 12856 = 12842; б) 2163 : 216 n = 216; в) 395 n : 395 = 3959; г) 5484 : 548 n = 5483;

n = 98; n = 2; n = 10; n = 1;

№ 204 а) x : 25 = 23; x = 23 · 25; x = 28; x = 256. Ответ: 256.

n – 56 = 42; 3 – n =1; n – 1 = 9; 4 – n = 3;

б) 36 : x = 34; x = 36 : 34; x = 32; x = 9. Ответ: 9.

Ответ: 98. Ответ: 2. Ответ: 10. Ответ: 1.

в) 78 : x = 74; x = 78 : 74 x = 74; x = 2401. Ответ: 2401.

г) x : 52 = 5; x = 5 · 52; x = 53; x = 125. Ответ: 125.

№ 205

а) в)

73 ⋅ 712 14

7

= 73+12 −14 = 71 = 7 ;

15 ⋅ 1513 12

15

б)

= 151 + 13 – 12 = 152 = 225; г)

1015 ⋅ 107

= 1015 + 7 – 19 = 103 = 1000;

1019 4312 6

5

43 ⋅ 43

=

4312 4311

= 4312 −11 = 43 .

№ 206 16

( 0,3)

3

а)

12

⋅ 0,3 13

0,3

=

15

0,3

13

0,3

= 0,32 = 0,09 ;

17

⎛7⎞ 7 ⎛7⎞ 2 ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ 49 8 8 8 ⎛7⎞ б) ⎝ ⎠ 15 = ⎝ ⎠15 = ⎜ ⎟ = ; 8 64 ⎝ ⎠ ⎛7⎞ ⎛7⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝8⎠ ⎝8⎠

31


⎛1⎞ ⎜ ⎟ 0,09 ⋅ 0,09 0,09 3 2 в) = = 0,09 = 0,0081 ;г) ⎝ ⎠ 7 7 0,09 0,09 5

4

3

№ 207

а) в)

x 5 ⋅ x8 x3

c12 ⋅ c10 c

x13

=

21

x3

=

= x10 ;

c 22 c

21

y 7 ⋅ y9

б)

=c;

y5

№ 208 а) ( x3 )2 = x3 · 2 = x6; в) ( x7 )12 = x7 · 12 = x84;

d

15

y16

=

d 18 ⋅ d 12

г)

2

5

⎛1⎞ ⎛1⎞ ·⎜ ⎟ 4 ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠ = ⎝ 3⎠ = ⎛1⎞ = 1 . ⎜ ⎟ 1 1 81 ⎝ 3⎠ 3 3

9

y5 =

= y11 ;

d 30 d

15

= d 15 .

б) ( x5 )6 = x5 · 6 = x30; г) ( x10 )13 = x10 · 13 = x130.

№ 209 а) ( 28 )5; б) ( 210 )4; в) ( 220 )2; г) ( 24 )10. № 210 а) ( m6 )3; б) ( m16 )3; в) ( a18 )3; г) ( b7 )3. № 211 а) ( 73 )2 = 73 · 2 = 76 = 117649; в) ( 42 )3 = 42 · 3 = 46 = 4096;

б) ( 33 )2 = 33 · 2 = 36 = 729; г) ( 22 )5 = 22 · 5 = 210 = 1024.

№ 212 а) ( a6 )5 = a6 · 5 = a30; в) ( z4 )3 = z4 · 3 = z12;

б) ( b2 )7 = b2 · 7 = b14; г) ( p12 )2 = p12 · 2 = p24.

№ 213 а) ( a3 )6 · a4 = a3 · 6 + 4 = a22; в) c6 · ( c2 )3 = c6 + 2 · 3 = c12;

б) b5 · ( b3 )4 = b5 + 3 · 4 = b17; г) ( d8 )4 · d23 = d8 · 4 + 23 = d55.

№ 214

а)

a 2 ⋅ a5 : a6 7

8

14

a ⋅a :a

=

a 2 + 5− 6 a

7 + 8 −14

=

a =1 ; a

б)

b13 ⋅ b12 : b3 b

20

4

⋅b :b

=

b13+12 −3 b

20 + 4 −1

z 3 ⋅ z17 q 43 ⋅ q 2 z 3+17 q 43+ 2 ⋅ = 19 ⋅ 44 = z ⋅ q ; в) z19 q 44 z q

г)

m79 ⋅ m 4 m63 ⋅ m57 m79 + 4 m63+ 57 1 ⋅ = ⋅ = 16 ⋅ m 24 = m8 . m99 m96 m99 m96 m

№ 215 а) y3; б) y6; в) y10; г) y20. № 216 а) ( x5 )4 · ( x6 )7 = x5 · 4 + 6 · 7 = x20 + 42 = x62; б) ( y8 )2 · ( y12 )3 = y8 · 2 + 12 · 3 = y16 + 36 = y52;

32

=

b 22 b

23

=

1 ; b


в) ( z13 )3 · ( z5 )9 = z13 · 3 + 5 · 9 = y39 + 45 = y84; г) ( t25 )2 · ( t10 )4 = t25 · 2 + 10 · 4 = y50 + 40 = y90. № 217 а) ( z5 )6 : z7 = z5 · 6 – 7 = z30 – 7 = z23; б) ( p3 )4 : p10 = p3 · 4 – 10 = p12 – 10 = p2; в) ( u14 )3 : u20 = u14 · 3 – 20 = u42 – 20 = z22; г) ( q8 )6 : q70 = q8 · 6 – 70 = q48 – 70 = q– 22. № 218

( x3 ) а)

4

⋅ x7

x3⋅4 + 7

=

x15

x15

=

x19 x15

( y5 ) ⋅ ( y 2 ) = y5⋅7+ 2⋅4 = y 43 = y ; б) 14 y 3⋅14 y 42 ( y3 ) 3 d 2 ) ⋅ d 15 d 2⋅3+15 d 21 ( = = 12 = d 9 . г) 4⋅3 4 3 d d (d ) 7

4

=x ;

( c3 ) ⋅ c5 = c3⋅5+5 = c20 = c2 ; в) 3 6⋅3 18 ( c6 ) c c 5

4

№ 219 а) ( x3 )n = x 3n; б) ( yn )5 = y5n; в) (– a4 )2n = a8n; г) (– b3 )6n = b18n. № 220

а)

( )

26 ⋅ 23

=

18

2

(3 )

6 2

в)

5

3

3 ⋅9

=

26 + 3⋅5

36⋅2 3+ 2

3

18

2

=

312 5

3

=

221 18

2

(56 ) б)

3

3

=2 =8 ;

= 37 = 2157 ;

5

г)

⋅ 58

22

47 ⋅ 16

( ) 4

2 4

=

=

56⋅3+8 5

47 + 2 4

2⋅4

22

=

=

49 48

526 5

22

= 54 = 625 ;

=4.

§ 7. Умножение и деление степеней с одинаковыми показателями № 221 а) (2a)4 = 24 · a4; б) ( 3b )5 = 35 · b5; в) ( 6n )3 = 63 · n3; г) ( 8n )2 = 82 · n2. № 222 а) (– 2p)3 = (– 2)3 · p3; в) (– 7c)2 = (– 7)2 · c2;

б) (– 5q)4 = (– 5)4 · q4; г) (– 3d)5 = (– 3)5 · d5.

№ 223 а) ( mn )6 = m6 · n6; б) ( ab )4 = a4 · b4; в) ( pq )3 = p3 · q3; г) (cd)10=c10 ·d10. № 224 а) (– ac )17 = (– a)17 · c17; б) (– am )8 = (– a)8 · m8; в) (– rs )3 = (– r)3 · s3; г) (– xy )12 = (– x)12 · y12. № 225 а) ( xy3 )2 = x2 · y6; б) ( a2bc3 )4 = a8 · b4 · c12; в) ( p3cd6 )18 = p54 · c18 · d108; г) ( u5v4t7 )8 = u40 · v32 · t56.

33


№ 226 а) ( 3p2r8 )5 = 35 · p10 · r40; в) ( 10a2b5 )4 = 104 · a8 · b20; № 227 а) 36a2 = (6a)2;

б) ( 6a5bx3 )3 = 63 · a15 · b3 · x9; г) ( 4r5q8p9 )2 = 42 · r10 · q16 · p18.

б) 49b2 = (7b)2;

№ 228 а) a2 · b2 · c2 = (abc)2; в) m5 · n5 · s5 = (mns)5;

в) 81c2 = (9c)2;

г) 64d2 = (8d)2.

б) x3 · y3 · z3 = (xyz)3; г) p12 · q12 · r12 = (pqr)2.

№ 229 б) 125 · c3 · d3 · z3 = (5cdz)3; а) 16 · x4 · y4 · z4 = (2xyz)4; 2 2 2 2 в) 81 · m · p · q = (9mpq) ; г) 32 · r5 · s5 · q5 = (2rsq)5. № 230 а) a2 · b10 = (ab5)2; в) x2 · y4 · z24 = (xy2z12)2;

б) x8 · y12 = (x4y6)2; г) p8 · q10 · z30 = ( p4q5z15 )2.

№ 231 а) x4 · y6 = (x2y3)2; в) 81 · c8 · d16 · f28 = ( 9c4d8f14 )2;

б) 16 · q18 · r34 = (4q9r17 )2; г) 121 · m12 · n16 · r54 = ( 11m6n8r27 )2.

№ 232 а) 23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = (2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5) = 103 = 1000; б) 1 ; в) 0,66 · 56 = (0,6 · 5)6 = 36 = 729; 3 ⎛ 35 ⎞

3

⎛6⎞

3

⎛2⎞

3

⎛ 35 · 6 · 2 ⎞

3

⎛ 35 · 12 ⎞

3

⎛1⎞

3

1

г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = . 8 ⎝ 24 ⎠ ⎝ 7 ⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 24 · 7 · 5 ⎠ ⎝ 24 · 35 ⎠ ⎝ 2 ⎠ № 233 12

⎛a⎞ ⎝ ⎠

а) ⎜ ⎟ = b

a12 b12

17

⎛c⎞ ⎝ ⎠

; б) ⎜ ⎟ d

=

c17 d 17

⎛ a⎞ ⎝ ⎠

4

; в) ⎜ − ⎟ = b

a4

⎛ c⎞

5

№ 234 6

2

⎛ 7x ⎞ 26 · a 6 64a 6 7 2 · x 2 49 x 2 ⎛ 2a ⎞ ; б) ⎜ ⎟ = 2 2 = ; ⎟ = 6 6 = 6 ⎝ 3b ⎠ 3 ·b 729b 8 · y 64 y 2 ⎝ 8y ⎠

а) ⎜

5

3

c5 c5 33 · m3 27 m3 ⎛ c ⎞ ⎛ 3m ⎞ ; г) ⎜ − ⎟ = − 3 3 = − . = ⎟ = 5 5 5 ⎝ 2d ⎠ ⎝ 5n ⎠ 2 ·d 32d 5 ·n 125n3

в) ⎜

№ 235 2

⎛ 35 ⎞ 310 59049 а) ⎜ 2 ⎟ = 4 = ; ⎜7 ⎟ 2401 7 ⎝ ⎠

34

2

⎛ c5 ⎞

; г ) ⎜ − ⎟ = −⎜ 5 ⎟ . ⎜d ⎟ ⎝ d⎠ b4 ⎝ ⎠

⎛ 25 ⎞ 210 1024 399 б) ⎜ 2 ⎟ = 4 = ; =1 ⎜5 ⎟ 625 625 5 ⎝ ⎠


4

2

⎛ −b 2 ⎞ b8 b8 ; ⎟ = 4 = ⎜ 8 ⎟ 4096 8 ⎝ ⎠

⎛ ( −3)3 ⎞ 36 729 . ⎟ = 4 = 2⎟ 2401 ( 7) 7 − ⎝ ⎠

в) ⎜

г) ⎜ ⎜

№ 236 а)

8

8

9

79 ⎛ 7 ⎞ ⎛3⎞ = ⎜ ⎟ ; б) 9 = ⎜ ⎟ ; ⎝5⎠ 5 11 ⎝ 11 ⎠ 3

8

3

в)

4

m3 ⎛ m ⎞ =⎜ ⎟ ; 8 ⎝2⎠

г)

c4 ⎛ c ⎞ =⎜ ⎟ . 16 ⎝ 2 ⎠

№ 237 а) b3x3=(bx)3; б) 25a4=(5a2)2; в) 32x10y5 = (2x2y)5; г) 16a8b12 = ( 2a2b3 )4. № 238 а) 85 · 0,1255 = (8 · 0,125)5 = 15 = 1; б) 46 · 0,256 = (4 · 0,25)6 = 16 = 1; в) 54 · 0,44 = (5 · 0,4)4 = 24 = 16; г) 1,257 · 87 = (1,25 · 8)7 = 107 = 10000000. № 239 ⎛ 5⎞

3

⎛ 7⎞

3

⎛⎛ 5 ⎞ ⎛ 7 ⎞⎞

3

⎛5⎞

3

125

17

=4 а) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = ⎜ ⎟ = ; 27 27 ⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝⎝ 7 ⎠ ⎝ 3 ⎠⎠ ⎝ 3 ⎠ 10

10

10

⎛ 7⎞ ⎝ ⎠

⎛⎛ 7 ⎞ ⎛ 8 ⎞⎞ ⎠ ⎝ ⎠⎠ ⎝⎝

⎛ 8⎞ ⎝ ⎠

б) ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ = ⎜ ⎜ − ⎟ · ⎜ − ⎟ ⎟ = 110 = 1 ; 8 7 8 7 ⎛5⎞

6

⎛ 12 ⎞

6

⎛ 5 12 ⎞

6

⎛3⎞

4

⎛8⎞

4

⎛ 3 8⎞

4

в) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 26 = 64 ; г) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ · ⎟ = 24 = 16 . ⎝6⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝6 5 ⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4 3⎠ № 240 а)

в)

56 ⋅ 125 25

4

25 ⋅ 8 43

=

56 ⋅ 53

(5 )

2 4

25 ⋅ 23

=

=

(22 )3

=

59 8

5

28 26

=5;

б)

= 22 = 4 ; г)

311 ⋅ 27 9

6

16 47 ⋅ 64

=

=

311 ⋅ 27 2 6

(3 )

=

(24 )6 (22 )7 ⋅ 26

314 312 =

= 32 = 9;

224 220

= 24 = 16 .

№ 241 а)

в)

28 ⋅ 38 66

( 2 ⋅ 3)8 = 68

=

711 ⋅ 911 6310

66

=

66

= 62 = 36 ; б)

( 7 ⋅ 9 )11 = 6311 = 63 ; г) 10 10 63

63

35 ⋅ 45 123 28 ⋅ 88 167

=

( 3 ⋅ 4 )5 = 125 = 122 = 144 ;

=

( 2 ⋅ 8)8 = 168

123

167

123

167

= 16 .

№ 242 а) б)

27 2 ⋅ 94 812 102 26 ⋅ 56

=

=

27 2 ⋅ (32 )4 812 1012

( 2 ⋅ 5 )6

=

=

1012 106

( 27 ⋅ 3)2 ⋅ 36 812

= 36 = 729 ;

= 106 = 1000000 ;

35


516 ⋅ 316

в)

1514

=

( 5 ⋅ 3)16 1514

1516

=

= 152 = 225 ;

1514

г)

126 35 ⋅ 45

=

126

( 3 ⋅ 4 )5

=

126 125

= 12 .

№ 243 ( x 8 ) 4 ⋅ ( x 5 )9

а)

( x15 ) 4 ⋅ ( x 4 ) 4 x17 ⋅ x 23

б)

( x8 ) 3 ⋅ x 5 ⋅ ( x 2 ) 5 ( x45 )2 : ( x40 )2

в) г)

= 5;

5 4

11

(x ) : x

x

x15⋅4 + 4⋅4

=104;

= 1347 ;

( x51)2 ⋅ ( x14 )7 ⋅ x 300

x8⋅4 + 5⋅9

25 4

: (x )

= 349 .

=5;

x17 + 23 x8⋅3+ 5+ 2⋅5

x45⋅2−40⋅2 5⋅4−11

x x

= 5;

x 60 +16

= 349 ;

x 77 x 76

x 40

= 104 ;

= 1347 ;

x51⋅2+14⋅7+1 300−25⋅4

x32 + 45

x 24 + 5+10

x90 −80 x

20 −11

= 5 ; x = 5.

= 1347 ;

x102+98+1 300−100

x

x 40

= 104 ;

x10

= 349 ;

= 104 ; x=104.

x39

x9

= 1347 ; x=1347.

x 201 x 200

= 349 ; x=349.

§ 8. Степень с нулевым показателем № 244 ⎛2⎞

R

Найдите ⎜ ⎟ . ⎝3⎠ ⎛2⎞

R

⎛2⎞

R

⎛2⎞

3

⎛2⎞

8

= ⎜ ⎟ = ; 27 ⎝3⎠

а) R = 3; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

1

⎛2⎞

⎛2⎞

2

= ⎜ ⎟ = ; 3 ⎝3⎠

в) R = 1; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

R

б) R = 0; ⎜ ⎟ ⎝3⎠ г) R = 5; ⎜ ⎟ ⎝3⎠

⎛2⎞

0

= ⎜ ⎟ =1; ⎝3⎠

R

⎛2⎞

5

32

= ⎜ ⎟ = ;. 243 ⎝3⎠

№ 245 а) a = 1; a5 = 15 = 1 ; б) a = 0; a5 = 05 = 0 ; в) a = – 2; a5 = (– 2)5 = – 32 ; г) a = 10; a5 = 105 = 100000 . № 246 ⎛1⎞

2

⎛1⎞

0

2

1

а) ⎜ ⎟ < ⎜ ⎟ ; < 1 ; 9 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 3 0 в) (– 2) < (– 2) ; – 8 < 1;

0

1 ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ < 1; б) ⎜ − ⎟ < ⎜ ⎟ ; ⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠ 16 г) 50 < 54 . 1 < 625.

№ 247 0

2

2

⎛3⎞ ⎛ 3⎞ ⎛1⎞ а) - 23 < – 20 ;б) ⎜ ⎟ > − ⎜ ⎟ ; в) − ⎜ ⎟ < (−2)0 ;

–8 < – 1; 36

⎝4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝2⎠ 9 1 1 > − ; − < 1 ; – 3125 < –1. 16 4

г) – 55 < – 50 .


№ 248 а) 35 + 44 + 80 = 243 + 256 + 1 = 500; ⎛2⎞

2

3

⎛1⎞ ⎛7⎞

0

4

32 + 9

1

41

= ; б) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ·⎜ ⎟ = + · 1 = 9 8 72 72 ⎝3⎠ ⎝2⎠ ⎝8⎠ в) 30 · 25 – 152 = 1 · 32 – 225 = – 193; г) (1,5)3 + 44 + 150 =3,375 + 256 + 1 = 260,375.

№ 249 а) a12 · a5 : a17 = a12 + 5 – 17 = a0 = 1; в) b13 : b5 : b8 = b13 – 5 – 8 = b0 = 1;

б) c9 : (c5 · c4) = c9 – (5 + 4) = c0 = 1; г) d15 �� d4 : d19 = d15 + 4 – 19 = d0 = 1.

№ 250 а) (a – b)10 · (a – b) : (a – b)11 = (a – b)10 + 1 – 11 = (a – b)0 = 1; ⎛ p⎞

5

⎛ p⎞

3

8

⎛ p⎞

⎛ p⎞

5 + 3 −8

⎛ p⎞

0

= ⎜ ⎟ =1; б) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ в) (r + l)4 : (r + l)3 · (r + l)2 : (r + l)3 = (r + l)4 – 3 + 2 – 3 = (r + l)0 =1; г) (–pq)14 · (–pq)13 : (–pq)27 = (–pq)14 + 13 – 27 = (–pq)0 = 1.

№ 251 2

⎛ 5 ⎞ ⎛ 25 ⎞ а) ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 4 ⎠ 3

0 2 2 0 ⎛5⎞ ⎛5⎞ ⎛ ⎛5⎞ ⎞ ⎛5⎞ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ · 1 = − ⎜ ⎟ = −1 ; ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 2⎠ 5

3

2⎞

5

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ б) ⎜ ⎟ ·⎜ − ⎟ : ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ·⎜ − ⎜ ⎟ ⎟ : ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎟⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3⎠ 1

1

1

1

1

1

1

3+ 2 − 5

0

⎛1⎞ = −⎜ ⎟ = 1 ; ⎝ 3⎠

в) 1,54 : (– 1,5)3 · (– 1,5)2 : 1,5 = 1,53 : (– 1,5) = – 1,52 = – 2,25; ⎛ 8 ⎞ ⎛2⎞

2

⎛ 16 ⎞

0

⎛ 2⎞

3

⎛ 2⎞

2

2

г) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ · 1 = . 3 ⎝ 27 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 81 ⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ № 252

а) б)

1,62 − 3,80 ·16·⋅0, 4 + 0, 42 1,88 − 0, 2

2

1, 22 − 1,82 0

1, 2 ·0,6 − 1,80 ·0,96

=

2

=

2,56 − 1 ·6, 4 + 0,16 2,72 − 6, 4 3,68 = = = −2 ; 1,88 − 0,04 1,84 1,84

1, 44 − 3, 24 1,8 = =5; 0,6 − 0,96 0,36 2

3 3 ⎛ 1⎞ ⎛3⎞ – (120)3 – ⎜1 ⎟ + 43 · 0,1 = – 13 – ⎜ ⎟ + 64 · 0.1 = 2 4 4 ⎝ ⎠ ⎝2⎠ 9 = 0,75 – 1 – + 6,4 =5,4 – 1,5 = 3,9; 4 1 0 5 – 52 · 0,2 = 15 – 36 : 6 – 25 · 0,2 = 1 – 6 – 5 = – 10. г) ((– 8) ) – 62 · 6

в)

37


ГЛАВА 3. Одночлены. Операции над одночленами § 9. Понятие одночлена. Стандартный вид одночлена № 253 1 2 3 a bc – одночлен; 2

а) 3xy – одночлен;

б)

3 – коэффициент;

1 – коэффициент; 2

xy – буквенная часть; в) – 0,3c5d9 – одночлен; – 0,3 – коэффициент; c5d9 – буквенная часть;

a2bc3 – буквенная часть; г) (– 2)3u nz nw n – одночлен; (– 2)3 – коэффициент; u nz nw n – буквенная часть.

№ 254 а) 0 – одночлен; 0 – коэффициент. б) y – одночлен; y–буквенная часть; в)–0,6–одночлен; –0,6–коэффициент. г) zn–одночлен; zn–буквенная часть. № 255

а) x – y – не одночлен;

б)

в) 2(c2 + d2) – не одночлен;

г)

3 p3 4q 4

– не одночлен;

c3 + d 3 c3 − d 3

– не одночлен.

№ 256

а)

9c – не одночлен; 3d

б) – 12m3n2 – одночлен; – 12 – коэффициент; m3n2 – буквенная часть;

г)

18m3

– не одночлен;

19n3 6cd в) – одночлен; 11 6 – коэффициент; 11

cd – буквенная часть.

№ 257 а) 6a2b3, 0,5ab8; б) a8b9, a3b4; в) 3ab, 3a10b; г) 6a2b, 10a2b. № 258 а) 4pq3, 20pq3, 0,1pq3; б) 3p2q, 3p8q4, 3pq10. № 259 а) при x = 0 7x3 = 7 · 03 =0; при x = 1 7x3 = 7 · 13 =7; при x = – 1 7x3 = 7 · (– 1)3 = – 7; б) при y = 2 9y2 = 9 · 22 = 36; при y = – 2 9y2 = 9 · (– 2)2 = 36; при y = 10 9y2 = 9 · 102 = 900; в) c = 15, d = – 2; 0,04cd2 = 0,04 · 15 · (– 2)2 = 0,6 · 4 = 2,4; 3 3 3 · 8 = 3. г) p = 1, q = 2; pq3 = · 1 · 23 = 8 8 8 38


№ 260 а) 3m4 · m = 3m5; б) 5x · 10y2 = 50xy2; в) 42y5 · y8 · y12 = 42y25; г) – 7z3 · 4t8 = – 28z3t8;

3 – коэффициент; 50 – коэффициент; 42 – коэффициент; 28 – коэффициент;

m5 – буквенная часть; xy2 – буквенная часть; y25 – буквенная часть; z3t8 – буквенная часть.

№ 261 а) 7a · 3b · 4c = 84abc; 84 – коэффициент; abc – буквенная часть;

б) 15q · 2p2 · 4r5 = 120qp2r5; 120 – коэффициент; qp2r5 – буквенная часть; 1 в) 8u4 · 4v3 · (– 2w5) = – 64u4v3w5; г) – c12 · 2d18 · s10 = – c12d18s10; 2 – 64 – коэффициент; – 1 – коэффициент; u4v3w5 – буквенная часть; c12d18s10 – буквенная часть. № 262 а) a2b10cd2; a = 0,2, b = – 1, c = 15, d = – 2; a2b10cd2 = 0,22 · (– 1)10 · 15 · (– 2)2 = 0,04 · 1 · 15 · 4 = 2,4; 4 34 6 s t r ; s = 1, t = 2, r = – 1; 9 4 34 6 4 3 4 4 64 1 =7 . s t r = · 1 · 2 · (– 1)6 = · 16 · 1 = 9 9 9 9 9

б)

№ 263 а) 13a · 2b · 4b · 8a = 104a2 · 8b2 = 832a2b2; 832 – коэффициент, a2b2 – буквенная часть. б) 52 · pq2 · (– 4)2 · qpq = 25 · 16 · p2 q4 = 400 p2 q4; 400 – коэффициент, p2q4 – буквенная часть; в) 43c3d6 · (– 5)2cd2c4d = 64 · 25 · c8d9 = 1600c8d9; 1600 – коэффициент, c8d9 – буквенная часть; г) 24x9y8 · (– 2)2(– x)4(– y)3 = – 16 · 4 · x13y11 = – 64x13y11; 64 – коэффициент, x13y11 – буквенная часть. № 264 1 9

а) 0,45a2bc5 · 1 a7b6c =

9 10 9 7 6 9 7 6 ⋅ a b c = 0,5a b c ; 20 9

0,5 – коэффициент, a5b7c6 – буквенная часть, б) 0,4b3x4y ·

1 2 1 1 4 7 8 bx3y7 = ⋅ b4x7y8 = bxy; 24 5 24 60

1 – коэффициент, b4x7y8 – буквенная часть; 60 ⎛ 1 2 2⎞ в) – 6p4n3 ⎜⎝ − 3 n p ⎟⎠ = 2p6n5; 2 – коэффициент, p6n5 – буквенная часть; ⎛ 1 3 4⎞ 1 1 г) – 3a2b4 ⎜⎝ − 9 a b ⎟⎠ = a5b8; – коэффициент, a5b8 – буквенная часть. 3 3

39


№ 265

а) 17x ny8z3 · 2xy5z4 = 34x n + 1y13z7;

34 – коэффициент, x n + 1y13z7 – буквенная часть; ⎛1

5 6 б) 12p3q2r10 ⎜⎝ 12 pr q ⎟⎠ = p4q8r15;

1 – коэффициент, p4q8r15 – буквенная часть; ⎛ 1

6 в) – 2x3c5d3 ⎜⎝ − 2 c dx ⎟⎠ = – 2x4c11d4;

2 – коэффициент, x4c11d4 – буквенная часть; ⎛

1

n r m г) – 99a ms nt n ⎜⎝ − 33 a s t ⎟⎠ = 3am + ns n + r t n + m;

3 – коэффициент, am + n sn + r tn + m – буквенная часть. № 266 а) 1. 3ab · 4a2 = 12a3b; 2. 2,5b 2 · 5a3 = 12,5a3b2; 2 2 4. 7a2b · 12ab = 84a3b. 3. 1,2a · 5b = 6a b; У 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. 2. 1,4p2 · 15pq = 21p3q; б) 1. 8pq · 3p2 = 24p3q; 3 3 4. 4,3p23q = 12,9p2q. 3. 0,7 · 12p = 8,4p ; У 1-го и 2-го одинаковая буквенная часть. 2. 0,25t4 · 4s = st4; в) 1. 0,125st2 · 8t2 = st4; 5 6 4. 0,2st · 14t3 = 2,8st4. 3. 2,5t · 8st = 20st ; У 1-го, 2-го и 4-го одинаковая буквенная часть. г) 1. 15mn3 · 2m2 = 30m3n3; 2. 4m3 · 3n2 = 12m3n2; 4. 2m2n · 6,4n2 = 12,8m2n3. 3. 7,8n3 · 5m2 = 39n3m2; У 3-го и 4-го одинаковая буквенная часть.

§ 10. Сложение и вычитание одночленов № 267 а) 3a и 4a подобные; в) 3y3 и 3y3 подобные;

б) 19x2 и 35x2 подобные; г) mn и 5mn подобные.

№ 268

а) 3a2b3c и 4a2b3c подобные;

б)

2 3 4 9 3 4 xyzи x y z подобные; 7 10

в) –0,2m2n4p8 и –0,38m2n4p8 подобные; г)

3 3 2 5 11 3 2 5 rst и r s t подобные. 13 18

№ 269 а) 7a2 и 3a3 не подобные;

б) 6x2 и 15x5 не подобные;

в) 17,8c3d6 и 3,01c12d 4 не подобные;

г)

40

1 2 1 y z и yz2 не подобные. 2 3


№ 270 а) 1,7x2y6 и 5,1x2y6;

б) 10,8a2b2c9 и 3,6a2b2c9;

в) c3d12z5 и 3c3d12z5;

г)

1 2 8 14 m n p и m2n8p14. 3

№ 271 а) 3x2y; 7x2y; 0,25x2y подобные;

б) 12a2b2; 5a2b2; 2,04a2b2 подобные;

в) 9c5d12; 0,1c5d12; c5d12 подобные;

г)

1 11 15 3 11 15 m n ; m n подобные. 7 8

№ 272 12 12 9 m · m3 · m5 = m; 13 13 1 в) 36m3 · m · 2 · m · 0,1 · m4 = 7,2m9; г) m13 · m7 · 0,5 = m20. 2

а) m · m2 · m3 · 8 · m =8m7;

б)

Одночлены под пунктами б) и в) подобны. № 273 а) 3x + 5x = 8x; б) 6y + 7y = 13y; в) 3p + 5p + p = 9p; г) 7q+9q+4q = 20q. № 274 а) 1,2c + 1,2c = 2,4 c; 1 1 3 б) m + m = m; 2 4 4

№ 275 а) 13x2 + 20x2 = 33x2;

б)

1 7 3 7 13 7 p + p = p ; 2 7 14

№ 276 а) 1,7d4 – 0,7d4 = d4; б) 7p8 – 3p8 – 2p8 = 2p8; № 277 а) 20y – 12y – y – 2y = 5y;

б)

2a 2 a 2 a 2 ; − = 3 3 3

№ 278 а) 5x2y + 6x2y = 11x2y; 1 1 б) c3d + c3d = c3d; 2 2

№ 279 а) 5a2b3 + 8a2b3 = 13a2b3; б) – 12x3 – 12x3 = – 24x3;

в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; 1 5

г) n +

3 1 n= n. 10 2

в) 2,1z3 + 3,05z3 = 5,15z3; 1 3

г) p k +

1 k 7 k p = p . 4 12

в) m4 – m4 = 0; г) 2x8 – x8 = x8. в) 30x2 – 15x2 – 7x2 =8x2; 3 1 1 г) a 2b a 2b = a 2b . 4 4 2

в) 3,5d + 8,4d = 11,9d; 3 8

г) 1 m3n4 + 3

1 3 4 5 m n = 4 m3n4. 16 16

в) 7,4pq – 3,4pq = 4pq; г) 1,2m2n + 0,5m2n = 1,7m2n. 41


№ 280

а) – 18a5b7 – (– 18a5b7) = 0; в) – 7,2st4 + 6st4 = – 1,2t4; 3 3 3 б) – 12x yz – (– 36x yz) = 24x yz; г) 13xyz – (– 5,3xyz) = 18,3xyz. № 281 а) 1. 4cd2 + 2cd2 = 6cd2; 3. 10cd2 – 4cd2 = 6cd2; б) 1. 50x3y2 – x3y2 = 49x3y2; 3. 40 x3y2 + 9 x3y2 = 49 x3y2;

2. cd2 + 5cd2 = 6cd2; 4. –5cd2 + 11cd2 = 6cd2; 2. –11 x3y2 + 60 x3y2 = 49 x3y2; 4. 33 x3y2 + 16 x3y2 = 49 x3y2.

№ 282 а) 5x · 2y + 3x · 6y + 2x · 7y = 10xy + 18xy + 14xy = 42xy; б) 3y2x + 6x · 3y · 2y + 2yxy = 3y2x + 36y2x + 2y2x = 41y2x; в) – 11ab + a · 8 · b + 5ab = 2ab; г) ab2 + 9abb + 3bab + abb = ab2 + 9ab2 + 3ab2 + ab2 = 14ab2. № 283 а) 3a2b + 7a · 9ba + 10b · 3a2 · (–1) = 3a2b + 63a2b – 30a2b = 36a2b; б) x2y2 · 7 + 19x · 2xyy – 9x · 3yxy = 7x2y2 + 38x2y2 – 27x2y2 = 18x2y2; в) az3 + 7az3 – 6z · 2az2 – 5az3 = 8az3 – 12az3 – 5az3 = – 9az3; г) m8n4 + 2m3 · 3m5n4 – 7m8n4 = – 6m8n4 + 6m8n4 = 0. № 284 а) 5x + 4x = 9; 9x = 9; x = 1. 7x = 14; x = 2. б) 11x – 4x = 14; в) 19x – 3x + 4x = 80; 20x = 80; x = 4.

Ответ: x = 1. Ответ: x = 2. Ответ: x = 4.

1 5

1 5

г) 20x – 13x – 12x = 6; 5x = 6;

x = 1 . Ответ: x = 1 .

№ 285 2 1 9 4 15 9 10 а) ·x + 1 ·x − ·x = −1 ; · x + · x − · x = −1 · x = −1 . x = – 1. 5 2 10 10 10 10 10 5 5 17 1 20 63 34 1 1 1 б) ·x − ·x + ·x = − ; ·x − ·x + ·x = − ; − ⋅ x = − ; x = 1. 9 4 18 4 26 30 26 4 4 4 1 1 1 4 3 1 1 в) ·x + ·x − ·x = 5 ; ·x + ·x − ·x = 5 ; ·x = 5 . 3 4 12 12 12 12 2 x x x 3x 2 x x г) + + = 24 ; + + = 24 ; x = 24 . 2 5 6 2 5 6

№ 286

а) 0,71x – 13 = 10 – 0,29x; 0,71x + 0,29x = 10 + 13;

42

5 7 ⋅ x + 1,3 = 0,53 + ⋅ x 12 8 5 7 · x − · x = 0,53 − 1,3 ; 12 8

в)


11 · x = −0,77 ; 24

x = 23.

Ответ: 23.

x = 1,68. Ответ: 1,68.

1 9

7 11 1 ·x − ·x = 2 ; 18 27 2 6 21 22 1 ·x + ·x ·x = 2 ; 54 54 54 2 5 5 ·x = ; x = 27. 54 2

1 6

б) ·x +

3 8

г) ·x − 0,82 = · x − 1,37 ; 1 3 · x − · x = −1,37 + 0,82 ; 6 8 5 − ⋅ x = −0,55 ; x = 2,64. 24

Ответ: 27.

Ответ: 2,64.

№ 287

а) 1,2 +

3 8 16 9 7x ⋅ x = ⋅ x + 0,78 ; = 1, 2 − 0,78 ; = 4, 2 ; x = 18. ·x − 10 15 30 30 30

Ответ: x = 18. 1 9

б) ·x +

7 11 1 6 21 22 1 5 5 ·x − ·x = 2 ; ·x + ·x ·x = 2 ; · x = ; x = 27. 18 27 2 54 54 54 2 54 2

Ответ: 27. в)

5 7 5 7 11 · x + 1,3 = 0,53 + · x ; · x − · x = 0,53 − 1,3 ; − · x = −0,77 ; x = 1,68. 12 8 12 8 24

Ответ: 1,68. 1 6

3 8

г) ⋅ x − 0,82 = ⋅ x − 1,37 ;

1 3 5 · x − · x = −1,37 + 0,82 ; − · x = −0,55 ; x=2,64. 6 8 24

Ответ: 2,64. № 288 Пусть x – страниц в книге; 2 3 ⋅ x + 240 = x; · x = 240 ; x = 400 – страниц в книге. 5 5

Отвтет : 400. № 289 Пусть x м. – длина дистанции; 3 5 · x + 3125 = x; ·x = 3125 ; x = 5000 м. – длина дистанции. 8 8

Ответ: 5000 м. № 290 5 8

3,2⋅ = 2 т. – отходов; 3,2 – 2 = 1,2 – льняного шоита. Ответ: 1,2 т. 43


№ 291 Пусть х т. – масса одного мотора. 5 7

Тогда 2 ·х кг. – масса другого мотора; 5 5 x + 2 ·x = 52 ; 3 ·x = 52 ; 7 7

26 ·x = 52 ; 7

x = 14 т. – масса первого мотора; 5 19 2 ·14 = ·14 = 38 т. – масса другого мотора. 7 7

Ответ: 14; 38. № 292 Пусть x – первое число. 8 2 ⋅ x – второе число; 2 ⋅ x – третее число. 15 5 8 3 15 8 39 62 х + ·х + 2 ·х = 496 ; ·х + ·х + ·х = 496 ; ·х = 496 ; 15 5 15 15 15 15 8 x = 120 – первое число; ·120 = 64 – второе число; 15 13 ·120 = 312 – третее число. 5

Тогда

Ответ: 120; 64; 312. № 293

Пусть х – неизвестное число;

2 1 7 · x + · x = x + 7 ; · x − x = 7 ; х = 42. 3 2 6

Ответ: 42. № 294 Пусть х – неизвестное число; 1 1 1 1 1 1 6 3 2 х =5; ·х + ·х + 5 = ·х ; ·х − ·х − ·х = 5 ; ·х − ·х − ·х = 5 ; 12 4 6 2 2 4 6 12 12 12 х = 60 – это неизвестное число. Ответ: 60. № 295 Пусть х – второе число. Тогда 2,5 · х – первое число; 2,5 + 1,5 = х + 8,4; 1,5 · х = 6,9; х = 4,6 – второе число; 2,5 · 4,6 = 11,5 – первое число. Ответ: 4,6; 11,5. № 296 Пусть х – второе число. Тогда 1,5 · х – первое число;

44


1 3

1 3

2 · 1,5 · х = ·х + 24 ; 3х − ·х = 24 ;

8 ·х = 24 ; х = 9 – второе число; 3

1,5 · 9 = 13,5 – первое число. Ответ: 9; 13,5 № 297 а) 42b2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2; б) 1,8m2c3d2 + 54b2c3d4 + 48b2c3d2 + 12b2c3d2 = 102b2c3d2 + 54 b2c3d2. № 298

1 1 12 8 3 1 2 2 n a b c + 3 a2b2cn + 8 a2b2cn = 24 a2b2cn + 24 a2b2cn + 24 a2b2cn= 2 23 = 24 a2b2cn; 1 1 б) 3,09xnynzn + 10 xnynzn + 0,01xnynzn + 20 xnynzn = 3,1xnynzn +

а)

+ 0,1xnynzn + 0,05xnynzn = 3,25xnynzn. № 299 а) – 1,4a3 – (– 0,09a3) + (– 1,5a3) + 2a3 = – 1,31a3 + 0,5a3 = – 0,81a3; б) 3,9x4 + (– 2,7x4) – (– 0,8x4) + (– 2x4) = 1,2x4 – 1,2x4 = 0. № 300 c ⎛ c ⎞ ⎛ 2c ⎞ c c c 2c c 3 а) − + ⎜ − ⎟ − ⎜ − ⎟ − = − − + − = − c ; 5 ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ 60 5 3 5 60 20 p ⎛ 2p ⎞ p ⎛ p ⎞ p 2p p p p б) − − ⎜ − ⎟ − + ⎜ − ⎟ = − + − − = . 5 ⎝ 5 ⎠ 4 ⎝ 60 ⎠ 5 3 4 60 5 № 301 а) 3x · 2y + 5x · 2y + 6x · 2y = 6xy + 10xy + 12xy = 28xy; б) 1,2a2b + 3,2aba + 6,8aab + 8,8baa = 1,2a2b + 3,2a2b + 6,8a2b + + 8,8a2b = 8a2b + 12a2b = 20a2b; 1 2 1 1 3 2 1 xy x + xyxy + xy2x = x2y2 + x2y2 + x2y2 = x2y2; 2 3 6 6 6 6 3 7 2 5 3 3 32 14 3 8 7 2 n r nr m + mr n nr = mn3r8 + mn3r8 + г) 1 mn r + 5 10 20 20 20 3 9 mn3r8 = 2 mn3r8.. + 20 20

в)

№ 302 а) 12a2b – 3aba – 4baa = 12a2b – 3a2b – 4a2b = 5a2b; б) 31c3d2 – 12cdc2d – 3cdccd = 31c3d2 – 12c3d2 – 3c3d2 = 16c3d2; в) 21xyx2y3x–8x2y2xyxy–2xy3x3y–3x4y3y=21x4y4–8x4y4–2x4y4 – 3x4y4 = 8x4y4; г) 5znqn – 3zn – 1qnz – qn – 1zqzn – 1 =5znqn – 3znqn – znqn = znqn.

45


№ 303 1 3 1 5 а) abca + b(– a)ca – acba + (– b)aca = 2 4 12 24 12 2 18 2 2 2 5 2 13 2 a bc – a bc – a bc – a bc = – a bc; = 24 24 24 24 24 1⎞ 3 2 ⎛ 2⎞ ⎛ б) 3nmr · 4n – nm · ⎜ 2 ⎟ · nr + n2m · ⎜ − 4 ⎟ r = 8 9 4⎠ ⎝ 3⎠ ⎝

= 12n2mr – n2mr – n2mr = 10n2mr. № 304 (16x2y4 – 13x2y4) + (23x2y4 + 10x2y4) = 3x2y4 + 33x2y4 = 36x2y4. № 305 (43a3b4 + (– 27a3b2)) + (34a3b2 – 20a3b2) = = 43a3b4 – 27a3b2 + 14a3b2 = 43a3b4 – 13a3b2. № 306 (2,38n4p + (– 1,48n4p)) + (4,72n4p – (– 1,28n4p)) = 0,9n4p + 6n4p = 6,9n4p. № 307 (2,57r3n4 – (– 1,43r3n4)) – ( – 8,39r3n4 + 5,39r3n4)=4r3n4 – (– 3r3n4) = 7r3n4. № 308 а) 25a2b4 = 3a2b4 + 5a2b4 + 7a2b4 + 10a2b4; б) 43x3y9 = 50x3y9 – 7x3y9; в) 79c8d10 = 85 c8d10 – 10c8d10 + 4c8d10; г) 99pnqnzn = 100pnqnzn + 10pnqnzn – 15pnqnzn + 4pnqnzn. № 309 Пусть x кг – апельсинов; 3x кг – бананов. 3x 2 3 2 5 = x + 70; x – x = 70; x = 70; x = 84 кг – апельсинов; 2 3 2 3 6

3 ·84 = 256 – бананов. Ответ: 84; 256. № 310

Пусть x км – длина пути, тогда

7 x км – в первый день, 22

1 7 (x – x) км – во второй день. 3 22 7 1 7 7 1 7 x + (x – x) + 25 = x; x + (x – x) – x = – 25; 22 3 22 22 3 22 7 5 22 10 x+ x− x = −25 ; − x = −25; x=55. 22 22 22 22

Ответ: 55 км. 46


№ 311 Пусть x – количество кирпича в начале дня, 1 x – отправили на первую стройку, 5 1⎛ 1 ⎞ ⎜ x − x ⎟ – на вторую стройку. 3⎝ 5 ⎠

тогда

Пусть y – остаток кирпича на складе, тогда

3 y =120, y = 160. 4

1 1⎛ 1 ⎞ 1 4 x + ⎜ x − x ⎟ + 120 = x – 160; x + x + 280 = x; 5 3⎝ 5 ⎠ 5 15 15 3 4 7 x − x − x = 280 ; x = 280; x = 600. 15 15 15 15

Ответ: 600. № 312 Пусть x – некоторое число. (x – 0,15x) + 0,1(x – 0,15x) + 13 = x; 0,85x + 0,085x + 13 = x; x – 0,85x – 0,085x = 13; 0,065x = 13; x = 200. Ответ: 200. № 313 Пусть x – задуманное число. (x + 0,12) – 0,24(x + 0,12x) + 186 = x; 1,12x – 0,24 · 1,12x + 186 = x; 28 6 28 700 168 x – · x + 186 = x; x– x + 186 = x; 25 25 25 625 625 625 532 93 x– x = 186; x = 186; x = 1250. 625 625 625

Ответ: 1250. № 314 Пусть x – учеников 7-х классов; 1 2 5 0,3( x + x) = 21; 0,3 · x = 21; 0,25x = 21; x = 84. 6 3 6 Ответ: 84.

§ 11. Умножение одночленов. Возведение одночлена в натуральную степень № 315 а) 2x · 3y = 6xy; б) 7a · 5b = 35ab; в) 31c · 3d = 93cd; г) 15z · 3t = 45zt. № 316 а) 7a · 2b · 3c = 42abc; в) 10m · 5n · 2q = 100mnq;

б) 10x2 · 2y2 · 3z3 = 60x2y2z3; г) 17p2 · 2q2 · 0,5s3 = 17p2q2s3. 47


№ 317 1 2 1 3 1 4 1 2 3 4 a · b · c = abc; 2 2 6 24

а) 7x2 · 5x2 · 6x3 = 210x7;

б)

в) 71x2y3z8 · 2xyz = 142x3y4z9;

г) 54c2d2f3 · cd3f = 54c3d5f4.

№ 318 а) – 5a2b · (– 6ab2) = 30a3b3; б) 41c2d · (–4cd) = 164c3d2; в) – 17x3y · (– 2x2y2) = 34x5y3; г) – 13m2n2p3 · (– 2mn2p) = 26m3n4p4. № 319

а) 0,2c2d · 5,4c3d3 = 1,08c5d4; в) – b3 · 0,5b2 = – 0,5b5;

1 2 3 1 m p · 5 mp = 12m3p4; 3 7 3 3 г) 8x2 · (– y) = – x2y. 16 2

б) 2

№ 320

а) 0,6x2y3z · 0,8xy2z = 0,48x3y5z2; в) 0,75d3 · (– d4) = – 0,75d7;

1 2 1 n q · 7 nq3 = 46n3q4; 2 13 3 2 40 2 6 г) – x y· xy = – x3y3. 20 41 41

б) 6

№ 321 3 4 z ) = – 1,62z7; 5

а) 5,1p3q4 · (– 2pq8) = – 10,2p4q12;

б) – 27z3 · (

в) – 7,81abc3 · 2ab2c = – 15,62a2b3c4;

⎛ 3⎞ г) ⎜ − ⎟ xy2 · (–0,1x2y3)= 0,075x3y5. ⎝ 4⎠

№ 322

а) (3a2c)2 = 3a4c2; в) (– 0,2c3d)4 = 0,0016c12d4;

1 24 1 4 8 xy ) = xy; 3 81 1 1 5 5 5 г) (– abc)5 = – abc. 2 32

б) (–

№ 323 1 24 1 4 8 xy ) = xy; 3 81

а) (– 6x3y3)0 = 1;

б) (–

в) (– 10x2y4)5 = – 100000x10y20;

г) – (– 2ax3y2)4 = – 16a4x12y8.

№ 324 а) 56x2y3z8 = 28xy2z7 · 2xyz;

в) 0,21c9d14f43 = 0,3c5d3f40 · 0,7c4d11f3; № 325 а) – 6x3y4 · 4x3y5; в) x2y · (– x2y3) · (2xy) · 12xy4; 48

б) 102m2n3p4 = 51m2np · 2n2p3; 1 1 г) r7s9t12 = r3s8t4 · 2r4st8. 2 4

б) 2xy · (– 3x4y5) · 4xy3; г) 24xy3 · x3y · (– y2) · xy · xy2.


№ 326 а) 3b · 3b2 = 9b3; в) – 4a3b4 · (– 4a4b5) = 16a7b9;

б) 8a2b4 · (– a3b) = – 8a5b5; г) – 17a8b12 · (– 2ab) = 34a9b13.

№ 327 а) (6x3y6)2 = 36x6y12; в) (– m3n)5 = – m15n5;

б) (– 2ab3)4 = 16a4b12; г) (– 3a2bc3)3 = – 27a6b3c9.

№ 328 а) 81a4 = (9a2)2; б) 36b6 = (6b3)2; в) 144c12 = (12c6)2; г) 169d4 = (13d2)2. № 329 а) 0,008b6 = (0,2b2)3;

б) 0,027b9 = (0,3b3)3;

в) 0,001y24 = (0,1y8)3;

г) –

8 6 2 a = (– a2)3. 27 3

№ 330 а) 20a3 · (5a)2 = 20a3 · 25a2 = 500a5; б) – 0,4x5 · (2x3)4 = – 0,4x5 · 16x12 = – 6,4x17; в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12; г) (4ac2)3 · (0,5a3c) = 64a3c6 · (0,5a3c) = 32a6c7. № 331 1 1 xy2) = 81x24y12 · (– xy2) = – x25y14; 81 81 2 8 6 9 x y · 81x8 = 24x14y9; б) ( x2y3)3 · (– 9x4)2 = 3 27

а) (3x6y3)4 · (–

в) (3a2)2 · (– 6a3) = 9a4 · (– 6a3) = – 54a7; 1 1 г) ( x2y3) · (2x6y)4 = x2y3 · 16x24y4 = 2x26y7. 8 8 № 332

а) (0,2b6) · 5b = b7;

б)

9 7 1 9 7 p · (– 1 p4)0 = p; 16 3 16

в) (– c3)2 · 12c6 = c6 · 12c6 = 12c12; г) (3

1000 6 1 23 a ) · 81a5 = a · 81 · a5 =3000a11 3 27

№ 333 3 1 3 1 а) a2b2c · 5ab2c3 · ac2 = · 5 · a4b4c6 = a4b4c6; 5 3 5 3 1 5 4 3 3 6 7 4 б) x y z · (– 8xy z) = – x y z ; 8 1 в) 3,5xz3 · (– 3 x2z) · (– 5xz) = – 3,5 · 3,5 · (– 5)x4z5 = 61,25x4z5; 2

49


г) 2cd3 · (–

1 2 ⎛ 1⎞ cd ) · (–2c2d2) = 2 · ⎜ − ⎟ · (–2)c4d7 = 2c4d7. 2 ⎝ 2⎠

№ 334 а) ab · (– a2b) ·(– ab2) = a4b4; в) mn · (–m2n5) · (– m8n4) = m11n10;

б) x2y · xy · (– x2y2) = – x5y4; г) (–p3q4) · (–pq) · (– 2p2q2) = – 2p6q7.

№ 335 1 6 cd · (– c3d2) = – c4d3; 6 7 4 1 4 16 3 10 15 64 3 10 15 · ab c = ab c ; б) – a2b3c7 · (– 1 ab7c8) = 5 15 5 15 75

а) 1

в) 0,75d3 · (–d4) = – 0,75d7; г) – 14xyz · (– 2

4 2 3 6 14 3 4 7 1 x y z ) = 14 · x y z = 39 x3y4z7.. 5 15 5

№ 336 а) (0,2a3b4)4 = 0,0016a12b16; 1 2 5 83 4 16 6 15 24 7 x y z ) = ( x2y5z8)3 = x y z = 1 x6y15z24; 3 3 9 9 1 в) ( – 0,3b8c7d6)2 = 0,09b16c14d12; г) (– a3x3y3)0 = 1. 9

б) (1

№ 337

а) (– 0,5a2b3c9)2 = 0,25a4b6c18; в) (– 2a8b5c9)8 = 256a64b40c72;

1 2 5 8 1 x y z ) = 1 x2y5z8; 3 3 27 3 2 3 83 г) (– x y z ) = – 64 x6y9z24. 4

б) (1

№ 338 а) (–a2b3c5)0 = 1; 1 5 25 8 8 32 9 p q z = 1 p8q8z32; б) (– 1 p2q2z8)4 = (– p2q2z8)4 = 4 4 16 16 в) (– 1,6m3n2p9)2 = 2,56m6n4p18;

г) (– 2

3 9 15 12 2 13 169 18 30 24 19 18 30 24 r s t ) = (– r9s15t12)2 = r s t =6 r s t . 5 5 25 25

№ 339 а) 9a3b4c6; б) 12a3b5c9;

в) 5xy3z9;

№ 340 а) 6c3b4f9; б) 12a3b5c9;

в) 2p2q10r100; г) 4a9b54c324.

№ 341 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет.

50

г)4xy3z6.


№ 342 а) нет; б) нет; в) нет; г) нет. № 343 а) (10a2y)2 · (3ay2)3 = 100a4y2 · 27a3y6 = 2700a7y8; 1 1 б) (– xy3)3 · (4y5)2 = – x3y9 · 16y10 = – 2x3y19; 2 8 в) – (3x6y2)3 · (– x2y)4 = – 27x18y6 · x8y4 = – 27x26y10; г) (– 5ab6)4 · (0,3a6b)4 = 25a4b24 · 0.0081a24b4 = 0,2025a28b28. № 344 а) (– 4a3b4)2 · 0,25b7 = 16a6b8 · 0,25b7 = 4a6b15;

б) (–

2 40 pq ) · (– 27pq5) = 1 · (– 27pq5) = – 27pq5; 3

в) (0,4a2bc)2 · (– 1,5ab3c4) = 0,16a4b2c2 · (– 1,5ab3c4) = – 0,24a5b5c6; 1 1 1 12 3 г) ( m4n)3 · (–32m4n) = m n · (– 32m4n) =– m16n4.. 4 64 2 № 345 а) (– 4,5a3b2y)2 · (– 2aby) = 20,25a6b4y2 · (– 2aby) = – 40,5a7b5y3; 1 2 1 2 b cx) = – 27b3c9d3 · (– b cx) = b5c10d3x; б) (– 3bc3d)3 · (– 27 27 в) (– 0,8p3x2z)2 · (– 2,5px3z4) = 0,64p6x4z2 · (– 2,5px3z4) = –1,6p7x7z6;

г) (– 3

1 23 10 1000 6 a ) · 81a7 = (– a2)3 · 81a7 = – a · 81a7 = – 3000a13. 3 3 27

№ 346

1 2 23 1 6 6 1 a x ) = 36a6x4 · (– a x ) = – 1 a12x10; 3 27 3 1 1 1024 22 38 3 2 5 4 7 15 10 m7n28) = = m n ; б) (– 4m n ) · (– mn ) = – 1024m n · (– 3 2187 2187 1 1 4 8 1 a c · 9a10c6 = a14c14; в) (– a2c4)2 · (– 3a5c3)2 = 9 81 9 3 7 42 2 6 0 9 14 8 1 14 8 г) (– a b ) · (– a b) = a b · 1 = 2 a b . 2 3 4 4 а) (– 6a3x2)2 · (–

№ 347 а) (2bc)2 · (ac)3 = 4a3b2c5; в) (2cd)4 · (d3n)3 = 16c4d13n3;

б) (– 3p)3 · (x2y)2 = – 27p3x4y2; г) (bn)5 · (9b4t2)2 = 81b13n5t4.

§ 12. Деление одночлена на одночлен № 348 а) a3 : a2 = a; б) y20 : y18 = y2; в) x8 : x3 = x5; г) z54 : z50 = z4.

51


№ 349 1 1 а) x : 3 = x; 3 9 5 ⎛ 25 ⎞ 7 в) a : ⎜ − ⎟ = − a ; 7 ⎝ 49 ⎠ 5

10 11 1 = y: y; 11 50 5 13 ⎛ 26 ⎞ 1 г) − b : ⎜ − ⎟ = 1 b . 15 ⎝ 45 ⎠ 2 б)

№ 350 а) – 8x : (– 4x) = 2; б) 3c : c = 3; в) 7a : (– a) = – 7; № 351 а) 6x3 : x2 = 6x; в) – 15z8 : z8 = – 15;

б) – 27y2 : (– 9y2) = 3; г) – 90p4 : (– 5p) = 18p3.

№ 352 а) – 19a : (– 19a) = 1; в) – 100cd : 20cd = – 5;

б) – 45b : (– 15b) = 3; г) 18dy : 6dy = 3.

№ 353 а) 16abc : 8a = 2bc; в) – 42cdm : 12c = – 3,5dm;

г) – 9b : (– b) = 9.

б) 24pqr : ( – 4pq) = – 6r; г) – 99xyz : (– 9x) = 11yz.

№ 354 а) 4,8axy : 1,6xy = 3a;

б) (– 8,8abc) : 1,1b = – 8ac; 12 в) – 0,81pqs : 0,009pq = – 90s; г) 6,4xz : (–1,3z) = – 4 x. 13 № 355 а) 18a12 : 6a4 = 3a8; в) 12a7y4 : 6a2y3 = 2a5y; 10 10 б) 24b : 6b = 4; г) 6b5x3 : 3b3x2 = 2b2x. № 356 а) 44a3b2c6 : 11a2bc5 = 4abc; б) 198x4y4z2 : 2x4y3z = 99yz; 8 9 4 2 7 6 2 3 в) 144m n r : 12m n r = 12m n r ; г) 258p8q4r17 : 3p6q2r15 = 86p2q2r2. № 357 а) некорректно; б) корректно; в) некорректно; г) корректно. № 358

а) нет; б) да; в) да; г) нет. № 359 а) 30x5y6z7 : 6x2y4z = 5x3y2z6; б) 75a8b11c31 : 5a3b4c10 = 15a5b7c21; в) p11m6q16 : p3m2q7 = p8m4q9; г) d2n3z10 : dnz5 = dn2z5. № 360 а) (5a2b2)3 : (5ab)2 = 125a6b6 : 25a2b2 = 5a4b4; б) (10x3y3)4 : (2x4y3)2 = 10000x12y12 : 4x8y6 = 2500x4y6; в) ( 49z10t14) : (7zt)0 = 49z10t14 : 1 = 49z10t14; г) (– x2y3z)4 : xyz = x8y12z4 : xyz = x7y11z3. 52


№ 361 а) (2m2n2)4 : (4mn)2 = 16m8n8 : 16m2n2 = m6n6; б) 55p3q4 : (5pq)0 = 55p3q4 : 1 = 55p3q4; в) (– x2y3z4)5 : (– xyz)6 = x10y15z20 : x6y6z6 = x4y9z14; г) (– 5ac3d)3 : (5cd)2 = – 125a3c9d3 : 25c2d2 = – 5a3c7d. № 362

а) б) в) г)

(2cy 3 ) 2 ·8c5 y 2

(4c y )

3

=

3 4 3

(9a b )

(3a 2b)2 ·27 a 4b9 (3 x 2c3 ) 2 ·9 x15c 4 2

(3x c)

5

4c 2 y 6 ·8c5 y 6 3

64c y

=

3 2 3

(−2a b )

32c7 y 7

729a b

9a 4b 2 ·27 a 4b9

=

6 3

64c y

9 12

=

(7 a 3b3 ) 2 ·(− a 2b)3

=

9 x 4c 6 ·9 x15c 4 5 10 5

3 x c

92 ·3a8b11 34 x19c10 35 x10c5

49a 6b6 ·(− a 6b3 ) 9 6

−8 a b

1 4 cy ; 2

93 a9b12

= =

=

= 3ab;

=

1 9 5 xc; 3

49a12b9

=

8a9b6

1 = 6 a3b3.. 8

ГЛАВА 4. Многочлены. Операции над многочленами § 13. Основные понятия № 366 а) 3a + 4b – многочлен; в) 5(5x2 – 12y2) – многочлен;

б) 5x2 – 3y2 – многочлен; г) (a +1)(b – 2) – многочлен.

№ 367

а) 5x2 – 6x2 + в)

1 – не многочлен; x

b2 ab + 12z2 – – многочлен; 4 5

б)

3a 2b 4ab 2

– не многочлен;

г) 0,3p2 + 13p – 1 – многочлен.

№ 368

а) 3x2 + 5y +

7 – не многочлен; c

б)

a8 b 6 c4 d3 – + + – многочлен; 4 5 7 9 10 2 5 11

в) 9x3 – 4y2 – 5 – многочлен;

г)

№ 369 а) 5a + 8a2 – 2,5ab;

б) 5a – 4ab + 8a2 – 2,5ab;

в) 5a – 4ab + 8a2; 12a – 2,5ab – a2;

г) 5a – 4ab +

z5

+

z3

+

z2

1 8a 2

z1

– многочлен.

. 53


№ 370 а) 0,5x2 + 12xy + 4xy2; б) 0,5x2y – xy2 – 3xy2; в) 0,5x2y – xy2 + 12xy; –3x2y – 0,2xy + 4xy2 1 – 0,2xy. г) 12xy – 3x2y + 4xy 2 № 371 а) 5x2–3x2 – x3 = 2x2 – x3;

б) 1,2c5 + 2,8c5 – 4c5;

в) 7y3 + y3 + 12y3 = 20y3;

г)

1 n 1 n 1 n 1 n d – d + d = d. 2 3 6 3

№ 372 а) 5x2 – 3xy – 2xy = 5x2 – 5xy; б) 7a2b – 5a2b + ab2 + 2ab2 = 2a2b + 3ab2; в) 3t2 – 5t2 – 11t – 3t2 + 5t + 11 = –5t2 – 6t + 11; г) z3 + 2z2 + z3 – 4z – z2 = 2z3 + z2 – 4z. № 373 а) 4b2 + a2 + 6ab – 11b2 – 6ab = –7b2 + a2; б) 3a2x + 3ax2 5a3 – 3ax2 – 8a2x – 10a3 = –5a2x – 5a3; в) 9x3 – 8xy – 6y2 – 9x3 – xy = – 9xy – 6y2; г) m4 – 3m3n + n2m2 – m2n2 = m4 – 3m3n. № 374 а) m · m · m · m – n · n · n = m4 – n3; б) pq · pq – qp · qp = (pq)2 – (qp)2 = (qp)2 – (qp)2 = 0; в) 3s · 2r + 2rs + 4r · 8s = 6rs + 2rs + 32rs = 40rs; г) 12m · 2n – 3m · 4n – 7m · 8n = 24mn – 12mn – 56mn = –44mn. № 375 а) 4p3 · 2p+3p2 · 4p+2p2 · 2p2 – 2p3 · 4 = 8p4 + 12p3 + 4p4 – 8p3=12p4 + 4p3; б) y · 2y – 3y – y2 – 5 + 2y · y – y · 5 + y · 7y2 = = 2y2 – 3y – y2 – 5 + 2y2 – 5y + 7y3 = 7y3 + 3y2 – 8y – 5; 2 1 1 8 2 3 4 1 1 1 x+ x+0,8x – x · x – x = x + x + x – x2–x= x2+ x; 3 4 6 12 12 5 6 2 20 5 1 1 1 г) 5/6a · a 1/3a – 0,6a · a + a · 0,1a = a2 + a 0,6a2 + 0,1a2 = a + a2. 6 3 3 3

в) x ·

№ 376 а) 2x · 4y – 3x · 2y – 0,2x · 5y + y · 5x – 5xy + 8xy = = 8xy – 6xy – xy + 5xy – 5xy + 8xy = 9xy; б) x · p · x · x – p · 3px – p · 4x3 + 7p · x · p = = x3 · p – 3p2 · x – 4x3 · p + 7p2 · x = 4p2 · x – 3x3 · p; в) 7x⋅a⋅x+a · 2a⋅x+x · 9x · a–8a · x · a=7x2 · a+2a2x+9x2a–8a2x=10x2a– 6a2x; г) 15r3s – s · r · s · r2 – 3s · r · r · r + 2r2 · s · r = 15r3s – 5r3s + 2r3s = 9r3s. 54


№ 377 а) 15p + 18p2 + 4 – 12p + 3p2 – p4 = –p4 + 21p2 + 3p + 4; б) 1,4x2 – 4,1x3 + x – 3,1 + x + 1,3x3 = –2,8x3 + 1,4x2 + 2x – 3,1; 1 3 3 7 2 3 2 5 7 – a=– a – a+ ; в) a + a2 – a2 + 4 5 4 8 3 20 12 8 г) 0,2y4 – 3,5y – 1,2y4 – 1 + 3,5y = – y4 – 1. № 378 а) a3b + a2b – 3ab + 2a2b + 2ab2 = a3b + 3a2b + 2ab2 – 3ab; при а = – 1; b = 2; (– 1) 3 · 2 + 3 · (– 1) 2 · 2 + 2 · 1 · 22 – 3 · (– 1) · 2 = = – 2 + 6 + 8 + 6 = 18; 1 1 5 2 б) x – y3 + 0,3x – x + y2 = – 0,2x + y2; 2 3 9 9 2

3 2 ⎛3⎞ 1 7 ; – 0,2 · 5 + · ⎜ ⎟ =–1+ =– ; 4 9 ⎝4⎠ 8 8 в) m4 – 3m3n + m2n2 – m3n – 4m2n2 = m4 – 4m3n – 3m2n2;

при x = 5; y =

4

3

2

2

1 1 1 ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ ⎛1⎞ – 3 · ⎜− ⎟ · ⎜ ⎟ ; ; y = ; ⎜− ⎟ – 4 · ⎜− ⎟ · 2 3 ⎝ 2⎠ 3 ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝3⎠ 2 2 3 2 3 2 2 2 г) 6p q – 5pq + 5p + 2pq – 8p – 3p q = 3p q – 3pq – 3p3.

при m = –

№ 379

а) x3 + 2x2 + 7x + 8x – x3 – x2 – x2 = 15x; 15x = 1; x = Ответ:

1 . 5

1 . 5

б) 0,5y3 + 2,7y2 + 3,5y + 6,5y – 0,5y3 – 2y2 – 0,7y2 = 10y; 10y = 1; y =

1 . 10

1 . 10 4 2 в) 3z – z + 4z + z + z2 – 2z4 – z4 + 8 = 5z + 8; 5z + 8 = 1; 5z = – 7; 7 2 z = – ; z = –1 . 5 5 Ответ: – 1,4 г) 6p3 – p2 + 4p3 + p2 – 10p3 – 3p + 19 = – 3p + 19; –3p + 19 = 1; 3p = 18; p = 6. Ответ: 6.

Ответ:

№ 380 3a + 11; a = 5x + 4; 11 + 3(5x + 4) = 11 + 15x +12 = 15x + 23. 55


№ 381 14 – 8a; a = 3x2 – 4x + 2; 14 – 8(3x2 – 4x + 2) = 14 – 24x2 + 32x – 16 = – 24x2 + 32x – 2. № 382 1 1 а) c · c – 0,1c5 – c3 + c · c2 · 2c2 – c · c + c · c · c = 2 8 1 2 1 4 1 3 = c –0,1c5–c3 + 2c5 – c2 + c3 = 2c5 – 0,1c5 + c2 – c2=1,9c5 + c2; 2 8 8 8 8 1 1 1 1 1 б) m · m–m · m · m+0,5m+m · m · 1/8m–1/3m2 + m= m2– m3+ 9 2 2 9 2 1 3 1 3 3 12 3 8 3 1 3 1 2 + 0,5m + m + m = m – m – m + m + m +m= 8 2 24 24 24 9 9 17 3 1 2 = − m + m + m; 9 24 в) aba + aa – a · 2ab + bab – 2ba · 2b – 6a · 2b2 – aa= = a2b + a2 – 2a2b + ab2 – 4b2a – 12ab2 – a2 = – a2b – 15ab2; г) y · 2yy – y · 5xy + x· 3xy – xy · 6y + x · 12xy – y3= = 2y3 – 5xy2 + 3x2y – 6xy2 + 12x2y – y3 = y3 – 11xy2 + 15x2y. № 383 а) 12m · 0,2 m3 + 3,5m · 2m – 27 + 4,5m2 · 0,2m – 15m = = 2,4m4 + 7m2 – 27 + 0,9m3 – 15m = 2,4m4 + 0,9m3 + 7m2 – 15m – 27; б) 3,6r · 5r2 – 0,4r2 · 7r + 1,4r3 – 10r2 · 2r + 15r · 0,5r2 = = 18r4 – 2,8r3 + 1,4r3 – 20r3 +7,5r3 = 18r4 – 13,r3; в) 9a3 · 0,3a – 12a · 0,4a2 + 7a · 0,2a3 + 1,7a2 · (– 3a) – 13a · 0,5a = = 2,7a4 – 4,8a3 + 1,4a4 – 5,1a3 – 6,5a2 = 1,3a4 – 9,9a3 – 6,5a2; г) 0,5b · 4b2 – 5b · 0,3b – 3b2 · (–0,2b) + 14b2 · 0,5 – 25b · 0,3b2 = 2b3 – – 1,5b2 + 0,6b3 + 7b2 – 7,5b3 = – 4,9b3 + 5,5b2. № 384 а) 5a–13+8a–7a + 25 + (– 6a) = 12; б) 7b–15+10a – 2a + 13 – 8a = 7b – 2; в) 12a–23+2a–3a + b + (– 11a) = b – 23; г) 8a2 – 7a2 – 4 + (– a2) = – 4. № 385 а) a2 + 2a2 – b2 – 3c + (– 3a2) = – b2 – 3c; б) 3ax2 – 5x3 +4a2 + 8x2a2 – 5 + 11a2 + (– 15a2 = 3ax2 – 5x3 + 8x2a – 5; в) 2x2 + 3ax – 9a2 + 8x2 – 5ax + 8a2 + a2 = 10x2 – 2ax; г) 2y2 – 5ay + a2 + 7y2 + 3ay – 5a2 + 4a2 = 9y2 – 2ay. № 386 а) 7x + 4y – 11; y = 3x2 – 12x + 5; 7x + 4(3x2 – 12x + 5) – 11 = 7x + 12x2 – 48x + 20 – 11 = 12x2 – 41x + 9; б) 13a + 6b – 7; b = 4 – a2 + 3a; 13a + 6(4 – a2 + 3a) – 7 = 13a + 24 – 6a2 + 18a – 7 = – 6a2 + 31a + 17. 56


№ 387 Пусть x = 3a +12; y = 13 – a; z = 5 +4a; а) x + y + z = 3a + 12 +13 – a + 5 + 4a = 6a + 30; б) x – y + z = 3a + 12 – 13 + a + 5 + 4a = 8a + 4; в) y – x + z = 13 – a – 3a – 12 + 5 + 4a = 6; г) z – x – y = 5 +4a – 3a – 12 – 13 + a = 2a – 20. № 388 Пусть a = 3x2 + 4x + 8; b = 1,2 – 2x2 – 7x; c = 12,5x2 – 3,5x + 21,8; а) a+b+c=3x2+4x+8+1,2–2x2 – 7x + 12,5x2 – 3,5x + 21,8=13,5x2 – 6,5x + 31; б) a–b+c=3x2 + 4x + 8–1,2+2x2+7x + 12,5x2–3,5x+21,8=17,5x2+7,5x + 28,6; в) b–a–c=1,2–2x2–7x–3x2–4x–8 – 12,5x2 + 3,5x – 21,8=–17,5x2–7,5x – 28,6; г) c– b–a=12,x2–3,5x+21,8–1,2+2x2 + 7x – 3x2 – 4x – 8=11,5x2 – 0,5x + 12,6. № 389 Пусть R = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3, L = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3, m = –12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3; а) R + L + m = 5a3 + 4a2b + 8ab2 – 24b3 + 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + + (– 12a3) + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = 8b3; б) L + R – m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 + 5a3 + 4a2b +8ab2 – 24b3 + + 12a3 – 9a2b + 4ab2 – 15b3 = 24a3 – 18a2b + 8ab2 – 22b3; в) m – L – r = – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 – 7a3 + 13a2b + 4ab2 – 17b3 – – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 = – 24a3 + 18a2b – 8ab2 +22b3; г) L – R + m = 7a3 – 13a2b – 4ab2 + 17b3 – 5a3 – 4a2b – 8ab2 + 24b3 – – 12a3 + 9a2b – 4ab2 + 15b3 = – 10a3 – 8a2b – 16ab2 + 56b3.

§ 14. Сложение и вычитание многочленов № 390 Найдите P(a) = P1(a) + P2(a), если а) P1(a) = 2a + 5; P2(a) = 3a – 7; P(a) = 2a + 5 + 3a – 7 = 5a – 2; б) P1(a) = 7 – 2a; P2(a) = – 1 – 5a; P(a) = 7 – 2a – 1 – 5a = – 7a + 6; в) P1(a) = 3a – 4; P2(a) = 11 – 3a; P(a) = 3a – 4 + 11 – 3a = 7; г) P1(a) = – 4 – 3a; P2(a) = 7 – 8a; P(a) = – 4 – 3a + 7 – 8a = 11a + 3. № 391 Найдите P(x) = P1(x) + P2(x), если : а) P1(x) = 2x3 + 5; P2(x) = 3x3 + 7; P(x) = 2x3 + 5 + 3x3 + 7 = 5x3 + 12; б) P1(x) = 6x2 – 4; P2(x) = 5x2 – 10; P(x) = 6x2 – 4 + 5x2 – 10 = 11x2 – 14; в) P1(x)=4x5+2x+1; P2(x)=x5+x–2; P(x)=4x5+2x+1+x5+x–2=5x5 + 3x – 1; г) P1(x)=x11+x6–3; P2(x)=2x11+3x6+1; P(x)=x11+x6–3+2x11+3x6+1=3x11+4x6 – 2. № 392 Найдите P(a,b) = P1(a,b) +P2(a,b) а) P1(a,b) = a + 3b; P2(a,b) = 3a – 3b;P(a,b) = a + 3b + 3a – 3b = 4a; б) P1(a,b) = a2 – 5ab – 3b2; P2(a,b) = a2 + b2;

57


P(a,b) = a2 – 5ab – 3b2 + a2 + b2 = 2a2 – 5ab – 2b2; в) P1(a,b) = 8a3 + 3a2b – 5ab2 + b3; P2(a,b) = 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3; P(a,b) = 8a3+3a2b–5ab2 + b3 + 18a3 – 3a2b – 5ab2 + 2b3=26a3 – 10a2b +3b3; г) P1(a,b) = 10a4 – 7a3b – a2b2 + 6; P2(a,b) = 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3; P(a,b) =10a4 – 7a3b – a2b2 + 6 + 17a4 – 10a3b + a2b2 + 3 = 27a4– 17a3b + 9. № 393 Найдите P(y) = P1(y) – P2(y), если: а) P1(y) = 2y2 + 8y – 11; P2(y) = 3y3 – 6y + 3; P(y) = 2y2 + 8y – 11 – 3y3 + 6y – 3 = – 3y3 + 2y2 + 14y – 14; б) P1(y) = 4y4 + 4y2 – 13; P2(y) = 4y4 – 4y2 + 13; P(y) = 4y4 + 4y2 – 13 – 4y4 + 4y2 – 13 = 8y2 – 26; в) P1(y) = y3 – y + 7; P2(y) = y3 + 5y +11; P(y) = y3 – y + 7 – y3 – 5y – 11 = – 6y – 4; г) P1(y) = 15 – 7y2; P2(y) = y3 – y2 – 15; P(y) = 15 – 7y2 – y3 + y2 + 15 = – y3 – 6y2 + 30. № 394 Найдите P(c,d) = P1(c,d) – P2(c,d), если: а) P1(c,d) = 3c2 + d; P2(c,d) = 2c2 – 3d; P(c,d) = 3c2 + d – 2c2 + 3d = c2 + 4d; б) P1(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3; P2(c,d) = 2c2 – 3c2d + d2; P(c,d) = 5c4 + 3c2d – d3 – 2c2 + 3c2d – d2 = 5c4 + 6c2d – d3 – d2 – 2c2; в) P1(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4; P2(c,d) = 6c2d – 5cd2 + 2c; P(c,d) = 12c2d – 3cd2 + 4 – 6c2d + 5cd2 – 2c = 6c2d + 2cd2 – 2c + 4; г) P1(c,d) = c2 + 2cd + d2; P2(c,d) = 5c2 – 6cd – 7d2; P(c,d) = c2 + 2cd + d2 – 5c2 + 6cd + 7d2 = – 4c2 + 8cd + 8d2. № 395 а) (5x – 3) + (7x – 4) = 8 – (15 – 11x); 5x – 3 + 7x – 4 = 8 – 15 + 11x; 12x – 11x = – 7 + 7; x = 0. Ответ: 0. б) (4x + 3) – (10x + 11) = 7 + (13 – 4x); 4x + 3 – 10x – 11 = 7 + 13 – 4x; 4x – 10x + 4x = 20 + 11 – 3; – 2x = 28; x = – 14. Ответ: –14. в) (7 –10x) – (8 – 8x) + (10x +6) = – 8; 7 – 10x – 8 + 8x + 10x + 6 = – 8;

8x = – 8 – 6 + 8 – 7; x = –

13 5 ; x=–1 . 8 8

5 8

Ответ: – 1 . г) (2x + 3) + ( 3x + 4) + (5x + 5 ) = 12 – 7x; 2x + 3 + 3x + 4 + 5x + 5 = 12 – 7x; 10x + 7x = 12 – 12; 17x = 0; x = 0. Ответ: 0. 58


№ 396 3 9 10 ⎛5 ⎞ а) y – ⎜ y − 1, 25 ⎟ = 0,55; y– y + 1,25 = 0,55; 4 12 12 ⎝6 ⎠ 1 1 y = 0,55 – 1,25; – y = – 0,7; y = 8,4. – 12 12

Ответ: 8,4. 3 9 8 ⎛1 ⎞ x – ⎜ x − 2, 4 ⎟ = – 0,4; x– x + 2,4 = – 0,4; 3 8 24 24 ⎝ ⎠ 1 1 x = – 0,4 – 2,4; x = – 2,8; x = – 67,2. 24 24

б)

Ответ: – 67,2. в)

3 x – (0,25x – 3) = 1,2; 0,75x – 0,25x + 3 = 1,2; 0,5x = – 1,8; x = – 3,6. 4

Ответ: – 3,6. г)

1 x – (2,5x – 3) = 1,8; 0,5x – 2,5x +3 = 1,8; – 2x = – 1,2; x = 0,6. 2

Ответ: 0,6. № 397 а) x – 1; б) (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 3x –3; в) x + x – 0,5 = 2x – 0,5; г) x + (x – 0,5) + (x – 1) + (x – 1,5) = 4x – 3. № 398 P1(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1; P2(a) = 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a; P3(a) = 2a5 + 3a4 – a3 + a2; а) P1(a) + P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 7a3 + 2a2 + a + 1 + 7a4 + 2a5; б) P1(a) – P2(a) + P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a + + 2a5 + 3a4 – a3 + a2 = 2a5 – a4 – 5a3 + 6a2 – 3a + 1; в) P1(a) + P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 + 4a4 + 6a3 – 2a2 + 2a – – 2a5 – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 3a4 + a3 – a2; г) P1(a) – P2(a) – P3(a) = 2a3 + 3a3 – a + 1 – 4a4 – 6a3 + 2a2 – 2a – 2a5 – – 3a4 + a3 – a2 = – 2a5 – 7a4 – 3a3 + 4a2 – 3a + 1. № 399 P1(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3; P2(x,y) = 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3; P3(x,y) = 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2; а) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 67x3 – 30x2y + 8xy2 – 4y3 + y2; б) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) + P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 + 10x3 + 12x2y – 5xy2 + y2 = = 17x3 + 10x2y + 2y3 + y2;

59


в) P(x,y) = P1(x,y) + P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 + + 20x3 – 15x2y + 4xy2 – 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = 37x3 – 44x2y + 18xy2 – 4y3 – y2; г) P(x,y) = P1(x,y) – P2(x,y) – P3(x,y) = 27x3 – 27x2y + 9xy2 – y3 – – 20x3 + 15x2y – 4xy2 + 3y3 – 10x3 – 12x2y + 5xy2 – y2 = = – 3x3 – 24x2y + 10xy2 + 2y3 – y2. № 400 а) 2x2 – (2x2 – 5x) – (4x – 2) = 5; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 2 = 5; x = 5 – 2; x = 3. Ответ: 3. б) 3y3 – (3y3 – 6y) – (3y + 4) = 2; 3y3 – 3y3 + 6y – 3y – 4 = 2; 3y = 6; y =2. Ответ: 2. в) (x2 – 7x – 11) – (5x2 – 13x – 18) = 16 – 4x2; x2 – 7x – 11 – 5x2 + 13x + 18 = 16 – 4x2; x2 – 5x2 + 4x2 – 7x + 13x = 16 – 18 +11; 6x = 9; x = 1,5. Ответ: 1,5. г) (y2 – 5y – 19) – (5y2 – 6y – 9) = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y – 19 – 5y2 + 6y + 9 = 26 – 4y – 4y2; y2 – 5y2 + 4y2 – 5y + 6y + 4y = 26 – 9 + 19; 5y = 36; y =7,2. Ответ: 7,2. № 401 Второй столбец 4x + 1 0 – 4mn – 2c2d – 3cd2 + 8

а) 9x + 7 – 5x – 6 = 4x + 1; б) a3 + 2a2b + b3 – a3 – 2a2b – b3 = 0; в) m2 – 2mn + n2 – m2 – 2mn – n2 = – 4mn; г) 0 – 2c2d – 3cd2 + 8 = – 2c2d – 3cd2 + 8.

№ 402 а) 6a2 – (2 – (1,56a – (a2 + 0,36a)) + (5,5a2 + 1,2a – 1)) = = 6a2 – (2 – 1,56a + a2 + 0,36a + 5,5a2 + 1,2a – 1) = = 6a2 – a2 – 5,5a2 + 1,56a – 0,36a – 1,2a – 2 + 1 = 0,5a2 – 1; б) (a2 + 2x2) – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – (1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2))) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + (2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2)) = = a2 + 2x2 – (5a2 – 1,2ax + 2,8x2 – 1,5a2 + 0,5ax – 1,8x2) = = a2 + 2x2 – 5a2 + 1,2ax – 2,8x2 + 1,5a2 – 0,5ax + 1,8x2 = = a2–5a2 +1,5a2 + 2x2 – 2,8x2 + 1,8x2 + 1,2ax – 0,5ax=– 2,5a2 + x2 + 0,7ax; в) 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + (5,5x2 – 6y2))) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 – ( – 10x2 + 5,5x2 – 6y2)) = = 12,5x2 + y2 – (8x2 – 5y2 + 10x2 – 5,5x2 + 6y2) = = 12,5x2 + y2 – 8x2 + 5y2 – 10x2 + 5,5x2 – 6y2 = = 12,5x2 – 8x2 – 10x2 + 5,5x2 + y2 + 5y2 – 6y2 = 0;

60


г) (y3 + 3z2) – (y3 – 6az + (2y3 – (3z2 + 4az – 1,2y3))) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + (2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3)) = = y3 + 3z2 – (y3 – 6az + 2y3 – 3z2 – 4az + 1,2y3) = = y3 + 3z2 – y3 + 6az – 2y3 + 3z2 + 4az – 1,2y3 = = y3 – y3 – 2y3 – 1,2y3 +3z2 + 3z2 +6az + 4az = – 3,2y3 + 6z2 + 10az.

§ 15. Умножение многочлена на одночлен № 403 а) 2x(x2 + 5x + 3) = 2x3 10x2 + 6x; б) – 2xy(x2 + 2xy – y2) = – 2x3y – 4x2y2 + 2xy3; в) 3y(y3 – 3y – 4) = 3y4 – 9y2 – 12y; г) – 5mn(m3 + 3m2n – n3) = – 5m4n – 15m3n2 + 5mn4. № 404 а) x2y2 (x + y) = x3y2 + x2y3; б) – c3d4 (c2 – d3) = – c5d4 + c3d7; 5 8 3 4 8 8 в) – p q (p + 3pq – q ) = – p q – 3p6q9 + p5q12; г) r7s12 (r10 + 2rs – s5) = r17s12 + 2r8s13 – r7s17. № 405 а) 3x(x + y) – 3x2 = 3x2 + 3xy – 3x2 = 3xy; б) 7a(a – b) – 7a2 = 7a2 – 7ab – 7a2 = – 7ab; в) 5c(c2 – d2) – 5c3 = 5c3 – 5cd2 – 5c3 = – 5cd2; г) 10m( m5 + n6) – 10m6 + 10mn6 – 10m6 = 10mn6. № 406 а) 3x(x – 5) – 5x(x + 3) = 3x2 – 15x – 5x2 – 15x = – 2x2 – 30x; б) 2y(x – y) + y(3y – 2x) = 2xy – 2y2 + 3y2 – 2xy = y2; в) 2a(a –b) + 2b(a + b) = 2a2 – 2ab + 2ab +2b2 = 2a2 + 2b2; г) 3p(8c + 1) – 8c(3p – 5) = 24pc + 3p – 24pc + 40c = 3p + 40c. № 407 а) 5x(2x – 3) – 2,5x(4x – 2) = 10x2 – 15x – 10x2 + 5x = – 10x; При x = – 0,01; – 10x = – 10 · (– 0,01) = 0,1. Ответ: 0,1. б) 5a(a2 – 4a) – 4a(a3 – 5a) = 5a3 – 20a2 – 4a3 + 20a2 = a3; При a = – 3; a3 = (– 3) 3 = – 27. Ответ: – 27. в) 12(2 – p) + 29p – 9(p + 1) = 24 – 12p + 29p – 9p – 9 = 8p + 15; 1 1 При p = ; 8p + 15 = 8 · + 15 = 17. 4 4 Ответ: 17. г) 3(3d – 1) + 7(2d + 1) = 9d – 3 + 14d + 7 = 23d + 4;

При d = 2

4 50 ; 23d + 4 = 23 · + 4 = 54. 23 23

Ответ: 54. 61


№ 408 а) 3(x – 1) – 2(3 – 7x) = 2(x –2); 3x – 3 – 6 + 14x = 2x – 4;

17x – 2x = – 4 + 9;

15x = 5;

x=

1 . 3

1 3

Ответ: . б) 10(1 – 2x) = 5(2x – 3) – 3(11x – 5);

10 – 20x = 10x – 15 – 33x + 15;

– 20 – 10x + 33x = – 10; 3x = – 10;

x=–3 .

1 3

1 3

Ответ: – 3 . в) 2(x + 3) – 3(2 – 7x) = 2(x – 2); 16x – 2x = – 4; Ответ: –

14x = – 4;

2x + 6 – 6 +14x = 2x – 4;

x=–

2 . 7

2 7

г) 5(3x – 2) = 3(x +1) – 2(x +2);

15x – 10 = 3x + 3 – 2x – 4;

15x – x = 3 –4 + 10; 14x = 9;

x=

Ответ:

9 . 14

9 . 14

№ 409 2x + 1 а) = 1; 5

2x + 1 = 1;

2x = 4; x = 2.

Ответ: =2. б)

11 − 3 x 1 = ; 4 2

11 – 3x = 2; 3x = 9; x = 3.

Ответ: 3. в)

3x + 7 6 x + 4 ; 3x + 7 = 6x + 4; – 3x = – 3; = 5 5

x = 1.

Ответ: 1. 7x − 3 1 = 5x + ; 6 2 6 Ответ: – . 23

г)

7x – 3 = 30x + 3;

23x = – 6; x = –

6 . 23

№ 410 2 x + 1 3x + 1 а) = 2; + 5 7

в) 2x –

7(2x + 1) + 5(3x + 1) = 70;

2x · 3 = 2x + 3 + x – 6;

62

2x + 3 x−6 = ; 3 3


14x + 7 + 15x + 5 = 70; 29x = 58; x = 2. Ответ: 2. б)

8x − 3 3x + 1 – = 2; 7 10

10(8x – 3) – 7(3x + 1) = 140; 80x – 30 – 21x – 7 =140; 59x = 177; x = 3. Ответ: 3.

6x = 3x – 3; 3x = – 3; x = – 1. Ответ: – 1. г)

x + 14 6 x + 1 = 2. − 5 7

7(x+14) – 5(6x + 1) =70; 7x + 98 – 30x – 5 =70; – 23x = – 23; x = 1. Ответ: 1.

№ 411 а) 2x2 – x(2x – 5) – 2(2x – 1) – 5 = 0; 2x2 – 2x2 + 5x – 4x + 4 – 5 = 0; x = 5 – 4; x = 1. Ответ: 1. б) 6x(x + 2) – 0,5(12x2 – 7x) – 31 = 0; 6x2 + 12x – 6x2 + 3,5x – 31 = 0; 15,5x = 31; x = 2. Ответ: 2. в) 12x(x – 8) – 4x(3x – 5) = 10 – 26x; 12x2 – 96x – 12x2 + 20x = 10 – 26x;

–76x + 26x = 10 – 26x; –50x = 10;

x=–

1 . 5

Ответ: – 1,2. г) 8(x2 – 5) – 5x(x + 8) = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 40 – 5x2 – 40x = 3x2 – 11x + 18; 8x2 – 5x2 – 3x2 – 40x + 11x = 19 + 40; –29x = 58; x = –2. Ответ: – 2. № 412 Пусть t ч. – время затраченное первым велосипедистом. Тогда (t – 0,5) ч. – время затраченное вторым велосипедистом. 12t = 14(t – 0,5); 12t = 14t – 7; 2t = 7; t = 3,5 ч. Значит расстояние между пунктами А и В равно 3,5 · 12 = 42 км. Ответ: 42 км. № 413 км. – скорость лодки. ч. км. Тогда (V + 3) – скорость лодки по течению; ч. км. (V – 3) – скорость лодки против течения; ч.

Пусть V

6 · (v + 3) + 4(v – 3) = 126; 6v + 18 + 4v – 12 = 126; 63


10v + 6 = 126; 10v = 120; V = 12 Ответ: 12

км. – скорость лодки. ч.

км. . ч.

№ 414 Пусть t ч. – время затраченное на обратный путь. Тогда (t + 1) ч. – затраченно на обратный путь. 10(t + 1) = 15t; 10t + 10 = 15t; 5t = 10; t = 2 ч. Значит расстояние равно 2 · 15 = 30 км. Ответ: 30 км. № 415 км. Пусть V – скорость катера. ч. км. – скорость катера по течению; Тогда (V + 2) ч. км. (V – 2) – скорость катера против течения; ч. 4(V + 2) + 3(V – 2) = 93; 4v + 8 + 3v – 6 = 93; 7v + 2 = 93; 7v = 91; км. . v = 13 ч. км. Ответ: 13 ч. № 416 a+2 4 − 3a а) 14a · + 25a2 · = 2a · (a + 2) + 5a2 · (4 – 3a) = 7 5 = 2a2 + 4a + 20a2 – 15a3 = – 15a3 + 22a2 + 4a; b3 + b − 1 b3 − 3b2 + 4 б) 24b3 · + 26b2 · = 6 13 = 4b3 (b3 + b – 1) + 2b2 (b3 – 3b2 + 4) = = 4b6 + 4b4 – 4b3 + 2b5 – 6b4 + 8b2 = 4b6 + 2b5 – 2b4 – 4b3 + 8b2;

5r 2 − 4 7 r 3 − 3r + 5r · = 30r2 (5r2 – 4) + 10r(7r3 – 3r) = 0,1 0,5 = 150r4 – 120r2 + 70r4 – 30r2 = 220r4 – 150r2; 13a 3 − 12a 2 + 5 4a 2 + 12a − 1 – 9a2 · = г) 8a · 0,4 0,3 = 20a(13a3 – 12a2 + 5) – 30a2 (4a2 + 12a – 1) = 260a4 – 240a3 + 100a – – 120a4 – 360a3 + 30a2 = 140a4 – 600a3 + 30a2 + 100a.

в) 3r2 ·

64


№ 417

a 2 − 3a + 1 a 3 − 3a 2 + a – 2a · + a4 – 3a3 + a2 = 9 0,4 = 2a2 (a2 – 3a + 1) – 5a(a3 – 3a2 + a) + a4 – 3a3 + a2 = 2a4 – 6a3 + 2a2 – – 5a4 + 15a3 – 5a2 + a4 – 3a3 + a2 = – 2a4 + 6a3 – 2a2; x+ y 2x − y – 27y · – y(y + 1) = 2x(x +y) – 3y(2x – y) – y2 – y = б) 12x · 6 9 = 2x2 + 2xy – 6xy + 3y2 – y2 – y = 2x2 + 2y – 4xy – y; а) 18a2 ·

c3 − 5c 2 + c c +1 + c4 – 3c = – 10c · 11 5 = 3c3 (c+1) – 2c(c3 – 5c2 + c) + c4 – 3c = = 3c4 + 3c3 – 2c4 + 10c3 – 2c2 + c4 – 3c = 2c4 + 13c3 – 3c;

в) 33c3 ·

p2 + 5 p − 1 p 3 + 0,5 p 2 − p + 2p4 + 10p3 – 2p2 = – 3p · 0,7 0,1 = 40p2 (p2 + 5p – 1) – 30p(p3 + 0,5p2 – p) + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 40p4 + 200p3 – 40p2 – 30p4 – 15p3 + 30p2 + 2p4 + 10p3 – 2p2 = = 12p4 + 195p3 – 12p2. № 418 a = 3x2 + 4x – 8, b = 2x2 – 7x + 12, c = 5x2 + 3x – 27; а) 2(3x2 + 4x – 8) + 3(5x2 + 3x – 27) + 4(2x2 – 7x + 12) = = 6x2 + 8x – 16 + 15x2 + 9x – 81 + 8x2 – 28x + 48 = 29x2 – 11x – 49; б) 7x(3x2+4x–8)–12x + 15x(5x2 + 3x – 27) – 13 = 21x3 + 28x2 – 56x – 12x + + 75x3 + 45x2 – 405x – 13 = 96x3 + 73x2 – 473x – 13; в) 72x(3x2 + 4x – 8) – 4(2x2 – 7x + 12) + 3x(5x2 + 3x – 27) + 4 = = 216x3 + 288x2 – 576x – 8x2 + 28x – 48 +15x3 + 9x2 – 81x + 4 = = 31x3 + 289x2 – 629x – 44; г) 0,1x2 (3x2 + 4x – 8) + 0,5x(5x2 + 3x – 27) – 0,6x3 (2x2 – 7x + 12) – 17= = 0,3x4 + 0,4x3 – 0,8x2 + 2,5x3 + 1,5x2 – 13,5x – 1,2x5 + 4,2x4 – 7,2x3 – – 17 = – 1,2x5 + 4,5x4 – 4,3x3 + 0,7x2 – 13,5x – 17. № 419 x = 3a2 + 4, y =12a – 13, z = a2 – a + 1, r = 5a3, L = 12a2, m = 4a а) 2(3a2 + 4) + 5a3 (12a – 13) – 12a2 (a2 – a + 1) = = 6a2 + 8 + 60a4 – 65a3 – 12a4 + 12a3 – 12a2 = 48a4 – 53a3 – 60a2 + 8; б) 12a2 (3a2 + 4) – 3 · 4a(12a – 13) = 36a4 + 48a2 – 144a2 + 156a = = 36a4 – 96a2 + 156a; в) 5a3 (3a2 + 4) + 12a2 (12a – 13) – 4a(a2 – a + 1) = 15a5 + 20a3 + + 144a3 – 156a2 – 4a3 + 4a2 – 4a = 15a5 + 160a3 – 152a2 – 4a; г) 4a(3a2 + 4) – 12a2 (a2 – a + 1) + 4 · 5a3 (3a2 + 4) – 14 = = 12a3 + 16a – 12a4 + 12a3 – 12a2 + 60a5 + 80a3 – 14 = = 60a5 – 12a4 + 104a3 + 16a – 14. 65

г) 28p2 ·


№ 420 x(3 + 2) – x2 (x + 3) + (x3 2x + 9) = 3x2 + 2x – x3 – 3x2 + x3 – 2x + 9 = 9. Тождественно равно 9. № 421

6x(x – 3) – 9(

2 2 2 2 x – 2x +4) = 6x – 18x – 6x + 18x – 36 = – 36. 3

Тождественно равно – 36. № 422 2x − 3 7 x − 13 5 − 2x а) + + = x – 1; 3 6 2

2(2x – 3) + 7x – 13 +3(5 – 2x) = 6(x –1); 4x – 6 + 7x – 13 + 15 – 6x = 6x – 6; 5x – 6x = – 6 + 4; x = – 2; x = 2. Ответ: 2. б)

x−2 2x − 5 4x − 1 + + = 4 – x; 5 4 20

4(x – 2) + 5(2x – 5) + 4x – 1 = 20(4 – x); 4x – 8 + 10x – 25 + 4x – 1 = 80 – 20x; 20x + 4x + 10x + 4x = 80 + 8 + 25 + 1; 38x = 114; x = 3. Ответ: 3. в)

5x − 4 3x − 2 2x − 1 + + = 3x – 2; 3 6 2

2(5x – 4) + 3x – 2 + 6x – 3 = 18x – 12; 10x + 3x + 6x – 18x = – 12 + 3 + 2 + 8; x = 1. Ответ: =1. 1 3x 2 − 5 x − 7 = ; 3(x2 – 5x + 3) – (3x2 – 5x – 7) = 1; г) x2 – 5x + 3 – 3 3 3x2 – 15x + 9 – 3x2 + 5x + 7 = 1; Ответ: 1

–10x = 1 – 7 – 9; –10x = – 15; x =1

1 . 2

1 2

№ 423 а) 2x + x(3 – (x + 1)) = x(2 – x) + 12; 2x + 3x – x2 – x = 2x – x2 + 12; 4x = 2x – x2 + 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: 6. б) x(2x + 3) – 5(x2 – 3x) = 3x(7 – x); 2x2 + 3x – 5x2 + 15x = 21x – 3x2; 18x = 21x – 3x2 + 5x2 – 2x2; –3x = 0; x = 0. Ответ: 0. в) x(4x + 11) – 7(x2 – 5x) = – 3x(x + 3); 4x2 + 11x – 7x2 + 35x = – 3x2 – 9x; 4x2 – 7x2 + 3x2 + 11x + 35x + 9x = 0; 55x = 0; x = 0. Ответ: 0.

66


г) x(12 – x) – 5 = 4x – x(10 – (3 – x)); 12x – x2 – 5 = 4x – 10x + 3x – x2; 12x – 4x + 10x – 3x = 5; 15x = 5; x = Ответ:

1 . 3

1 . 3

№ 424 Пусть t ч. – время затраченное пешеходом. Тогда (t – 0,25) ч. – время затраченное велосипедистом. 1 4t + 12(t – 0,25) = 17; 4t + 12t – 3 = 17; 16t = 20; t = 1 ч. 4 1 1 · 4 = 5 км – прошел пешеход. 4 1 1 (1 – ) · 12 = 12 км – проехал велосипедист. 4 4 Ответ: 5; 12. № 425 Пусть х км – прошел в первый день. 3 Тогда (х – 5) км – во второй день; (х + (х – 5)) – в третий день. 7 3 3 (2x – 5) + x + x – 5 = 110; 2x – 5 + (2x – 5) = 110; 7 7 10 (2x – 5) = 110; 2x – 5 = 77; 2x = 82; 7 x = 41 км – в первый день; 41 – 5 = 36 км – во второй день; 3 (2 · 41 – 5) = 33 км – в третий день. 7 Ответ: 41; 36; 33. № 426 км. – скорость первого самолета. Пусть х ч. км. Тогда 1,5х – скорость второго самолета. ч. 0,5x + 0,5 · 1,5x = 2400 – 1400; 1,25x = 1000; км. – скорость первого самолета. x = 800 ч. км. 1,5 · 800 = 1200 – скорость второго самолета. ч. км. км. Ответ: 800 ; 1200 . ч. ч.

67


№ 427 км. Пусть х – скорсть велосипедиста. ч. км. – скорость автомобиля. Тогда 4х ч. 2 2 x+ · 4x = 30 – 10; 2x = 20; 5 5 км. – скорость велосипедиста. x = 10 ч. км. 4 · 10 = 40 – скорость автомобиля. ч. км. . Ответ: 10 ч. № 428 Пусть х га – убрал за день первый фермер. Тогда (х – 2,5) га – убрал за день второй фермер. 8x = 10(x – 2,5) + 2; 8x = 10x – 25 + 2; 2x = 23; 1 x = 11 га – убрал первый фермер за день. 2 1 1 11 – 2 = 9 га – убрал за день второй фермер. 2 2 1 Ответ: 11 га; 9 га. 2 № 429 Пусть х деталей изготовил ученик за 2 часа. Тогда (х + 8) деталей изготовил мастер. 6x + 8(x + 8) = 232; 6x + 8x + 64 = 232; 14x = 168; x = 12 – деталей изготовил ученик. Ответ: 12 деталей. № 430 Пусть х жителей в первом поселке. Тогда 2х жителей живет во втором поселке. (2х – 400) жителей живет в третем поселке. x + 2x + (2x – 400) = 6000; 5x = 6400; x = 1280 – жителей в первом поселке. 2 · 1280 = 2560 – жителей во втором поселке. 2560 – 400 = 2160 – жителей в третьем поселке. Ответ: 1280; 2560; 2160.

68


№ 431 Пусть х рабочих – во втором цехе. Тогда 1,5х рабочих в первом цехе. (х – 200) рабочих в третем цехе. 1,5x + x – 200 = 800; 2,5x = 1000; x = 400 – рабочих во вторм цехе. Ответ: 400 рабочих. № 432 Пусть х деталей изготовил третий цех. Тогда 3х деталей изготовил вторй цех. (3х + х) деталей изготовил первый цех. x + 3x + 3x + x =2648; 8x = 2648; x = 331 деталей изготовил третий цех. 3 · 331 = 993 детали изготовил второй цех. 4 · 331 = 1324 детали изготовил первый цех. Ответ: 1324; 993; 331. № 433 км. – разность скорости велосипедиста и пешехода. ч. 4 км. Тогда V = 10 – 2; V = 10 – разность между скоростями. 5 ч. 2 · 10 = 20 км. – расстояние между ними. Ответ: 20 км.

Пусть V = (Vв – Vп)

№ 434

км. – разность скорости велосипедиста и пешехода. ч. км. 3 3 Тогда V = 7 – 1; V = 6; V = 8 – разность скоростей. 4 4 ч. 1,5 · 8 = 12 км. Ответ: 12 км. Пусть V = (Vв – Vп)

§ 16. Умножение многочлена на многочлен № 435 а) (x +1)(x + 2) = x(x + 1) + 2(x+1) = x2 + x + 2x + 1 = x2 + 3x + 1; б) (a – 3)(a + 8) = a(a + 8) – 3(a + 8) = a2 + 8a – 3a – 24 = a2 + 5a – 24; в) (b+10)(b–4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (y – 5)(y – 9) = y(y – 5) – 9(y – 5) = y2 – 5y – 9y + 45 = y2 – 14y + 45. № 436 а) (x – 5)(9 – x) = 9(x – 5) – x(x – 5) = 9x – 45 – x2 + 5x = –x2 + 14x – 45; б) (y–10)(–y–6) = –y(y – 10) – 6(y – 10) = –y2 + 10y – 6y + 60=–y2 + 4y – 60;

69


в) (b + 10)(b – 4) = b(b – 4) + 10(b – 4) = b2 – 4b + 10b – 40 = b2 + 6b – 40; г) (–7 – b)(a – 4) = a( –7 – b) – 4( –7 – b) = –7a – ab + 28 + 4b. № 437 а) (2a + 4)(5a + 6) = 2a(5a + 6) + 4(5a + 6) = 10a2 +32a + 24; б) (7b – 3)(8b + 4) = 7b(8b + 4) – 3(8b + 4) = 56b2 + 4b – 12; в) (8c + 12)(3c – 1) = 8c(3c – 1) + 12(3c – 1) = 24c2 + 28c + 12; г) (15d + 27)(–5d – 9) = –75d2 – 135d – 135d – 243 = –75d2 – 270d – 243. № 438 а) (m2 + n)(m + n) = m2 (m + n) + n(m + n) = m3 + m2n + mn + n; б) (2x2 – 1)(x + 3) = 2x2 (x + 3) – (x + 3) = 2x3 + 6x2 – x + 3; в) (3y2 + 5)(y – 6) = 3y2 (y – 6) + 5(y – 6) = 3y3 + 5y – 18y2 – 30; г) (7c2 – 1)(c – 3) = 7c2 (c – 3) – (c – 3) = 7c3 – 21c2 – c + 3. № 439 а) (3a + 5)(3a – 6) + 30 = 9a2 + 15a – 18a – 30 + 30 = 9a2 – 3a; б) (8 – y)(8 + y) – (y2 + 4) = 64 – y2 –y2 – 4 = 60 – 2y2; в) x(x – 3) + (x + 1)(x + 4) = x2 – 3x + x2 + 5x + 4 = 2x2 + 2x + 4; г) (c + 2)c – (c + 3)(c – 3) = c2 + 2c – c2 + 9 = 2c + 9. № 440 а) 0,3a(4a2 – 3)(2a2 + 5 = 0,3a(8a4 – 6a2 + 20a2 – 15) = = 0,3(8a4 + 14a2 – 15) = 2,4a4 + 4,2a2 – 4,5; б) 1,5x(3x2 – 5)(2x2 + 3) = 1,5x(6x4 – x2 – 15 = 9x5 – 1,5x3 – 22,5x; в) 3p(2p + 4) · 2p(2p – 3) = 6p2 (4p2 + 2p – 12) = 24p4 + 12p3 – 72p2; г) –0,5y(4 – 2y2)(y2 + 3) = –0,5y(4y2 – 2y4 + 12 – 6y2) = y3 + y5 – 6y. № 441 а) (3m3+5)(3m2–10)=3m3 (3m2–10) + 5(3m2 – 10)=9m5 + 15m2 – 30m3 – 50; б) (4n5 – 1)(2n3 + 3) = 4n5 (2n3 + 3) – (2n3 + 3) = 8n8 – 2n3 + 12n5 – 3; в) (5k4 + 2)(6k2 – 1) = 5k4 (6k2 – 1) + 2(6k2 – 1) = 30k6 + 12k2 – 5k4 – 2; г) (6p8 – 4)(2p2 + 5) = 6p8(2p2 + 5) – 4(2p2 + 5) = 12p10 – 8p2 + 30p8 –20. № 442 а) (a + 2)(a2 – a – 3) = a3 + 2a2 – a2 – 2a – 3a – 6 = a3 + a2 – 5a – 6; б) (5b – 1)(b2 – 5b + 1) 5b3 – b2 – 25b2 + 5b + 5b – 1 = 5b3 – 26b2 + 10b – 1; в) (m – n + 1)(m + n) = m2 + mn – mn – n2 + m + n = m2 – n2 + m + n; г) (c – 2d)(c + 2d – 1) = (c – 2d)(c + 2d) – c + 2d = c2 – 4d2 – c + 2d. № 443 а) (x2 – xy + y2)(x + y) =x(x2 – xy + y2) + y(x2 – xy + y2) = = x3 – x2y + y2x + yx2 – x2y + y3 = x3 + y3; б) (n2 + np + p2)(n – p) = n(n2 + np + p2) – p(n2 + np + p2) = = n3 + n2p + np2 – pn2 – np2 – p3 = n3 – p3; в) (a + x)(a2 + ax + x2) = a(a2 + ax + x2) + x(a2 + ax + x2) = = a3 + a2x + ax2 + xa2 + ax2 + x3 = a3 + x3 + 2ax2 + 2a2x;

70


г) (c2 + cd + d2)(c – d) = c(c2 + cd + d2) – d(c2 + cd + d2) = = c3 + c2d + cd2 – dc2 – d2c – d3 = c3 – d3. № 444 а) (2a+ 3b)(4a2 – 6ab + 9b2) = 2a(4a2 – 6ab + 9b2) + 3b(4a2 – 6ab + b2) = = 8a3 – 12a2b + 18ab2 + 12a2b – 18ab2 + 27b2 = 8a3 + 27b3; б) (5x + 2y)(25x2 + 10xy + 4y2)=5x(25x2+10xy+4y2)+2y(25x2 + 10xy + 4y2) = = 125x3 + 50x2y + 20xy2 + 50yx2 + 20xy2 + 8y3; в) (5 – 2a + a2)(4a2 – 3a – 1) = 20a2 – 8a3 + 4a4 – 15a + 6a2 – 3a3 – 5 + + 2a – a2 = 4a4 – 11a3 + 25a2 – 13a – 5; г) (m2 – m + 2)(3m2 + m – 2) = 3m4 – 3m3 + 6m2 + m3 – m2 + 2m – 2m2 + + 2m – 4 = 3m4 – 2m3 + 3m2 + 4m – 4. № 445 а) (a–1)(a–2)–(a–5)(a + 3) = a2 – 3a + 2 – a2 + 2a + 15 = 17 – a=17+8 = 27; б) (a–3)(a+4)–(a+2)(a+5)=a2 + a – 12 – a2 – 7a – 10= –6a–24=1–24 = – 23; в) (a–7)(a+4)–(a+3)(a–10)=a2 – 3a – 28 – a2 + 7a + 30=4a+2=–0,6+2 = 1,4; г) (a + 2)(a + 5) – (a + 3)(a + 4) = a2 + 7a + 10 – a2 – 7a – 12=10 – 12 = –2. № 446 а) 12x2 – (4x – 3)(3x + 1) = –2; 12x2 – 12x2 + 5x + 3 = –2; 5x + 5 = 0; x = – 1. Ответ: –1. б) (x + 1)(x + 2) – (x + 3)(x + 4) = 0; x2 + 3x + 2 – x2 – 7x – 12 = 0; –4x – 10 = 0; x = – 2,5. Ответ: – 2,5. в) 10x2 – (2x – 3)(5x – 1) = 31; 10x2 – 10x2 + 17x – 3 = 31; 17x = 34; x = 2. Ответ: 2. г) 16x2 – (4x – 1)(4x – 3) =13; 16x2 – 16x2 + 16x – 3 = 13; 16x = 16; x = 1. Ответ: 1. № 447 а) (3x + 5)(4x – 1) = (6x – 3)(2x + 7); 12x2 + 17x – 5 = 12x2 + 36x – 21; 16 . 19x = 16; x = 19 16 Ответ: . 19 б) (5x – 1)(2 – x) = (x – 3)(2 – 5x); 11x – 2 – 5x2 = 17x – 6 – 5x2; 2 6x =4; x = . 3 2 Ответ: . 3

71


в) (5x + 1)(2x – 3) = (10x – 3)(x + 1); 10x2 – 13x – 3 = 10x2 + 7x – 3; 20x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (7x – 1)(x + 5) = (3 + 7x)(x + 3); 7x2 + 34x – 5 = 7x2 + 24x + 9; 10x = 14; x = 1 Ответ: 1

2 . 5

2 . 5

№ 448 Пусть х м. – длина прямоугольника. Тогда (х – 20) м. – его ширина. (x – 10)(x – 20 + 6 = x(x – 20) + 12; x2 – 10x – 20x + 200 + 6x = x2 – 20x + 12; –4x + 200 = 12; 4x = 188; x = 47; 47 – 20 = 27 м. – ширина прямоугольника. Ответ: 47; 27. № 449 Пусть х – наименьшее натуральное число из этих чисел. Тогда (x + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. (х + 3) – четвертое число. (x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = 58; x2 + 5x + 6 – x2 – x = 58; 4x = 52; x = 13; 13 + 1 = 14 – второе число. 13 + 2 = 15 – третее число. 13 + 3 = 16 – третее число. Ответ: 13; 14; 15; 16. № 450 Пусть х см. – длина прямоугольника. ⎛ 60 ⎞ Тогда ⎜ − x ⎟ см. – ширина прямоугольника. 2 ⎝ ⎠ (x + 10)(30 – x – 6) = x(30 – x) – 32; (x + 10)(24 – x) = 30x – x2 – 32; 14x + 240 – x2 = 30x – x2 – 32; 16x = 272; x = 17 см. – длина прямоугольника. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину следует, что S = 17 · (30 – 17) = 17 · 13 = 221 см2. Ответ: 221 см2. № 451 Пусть х – меньшее число. Тогда (х + 1) – второе число. (х + 2) – третее число. x2 + 65 = (a + 1)(a +2); x2 + 65 = x2 + 3a + 2; 3x = 63; 72


x = 21 – первое число. 21 + 1 = 22 – второе число. 21 + 2 = 23 – третее число. Ответ: 21; 22; 23. № 452 а) a(3a2–4)(3a2+4)=(3a3 – 4a)(3a2 + 4) = 9a5 – 12a3 + 12a3 – 16a=9a5–16a; б) (a – 5)(a + 5)(a2 + 25) = (a2 – 5a + 5a – 25)(a2 + 25) = = (a2 – 25)(a2 + 25) = a4 – 25a2 + 25a2 – 625 = a4 – 625; в) (a2 + 9)(a +3)(a – 3) = (a2 + 9)(a2 – 3a + 3a – 9) = (a2 + 9)(a2 – 9) = = a4 – 9a2 + 9a2 – 81 = a4 – 81; г) (a2 + 16)(a – 4)(a + 4) = (a2 + 16)(a2 – 4a + 4a – 16) = = (a2 + 16)(a2 – 16) = a4 – 16a2 + 16a2 – 256 = a4 – 256. № 453 а) (3,5p–1,2k)(3,5p + 1,2k) = 12,25p2 – 4,2p + 4,2p – 1,44 = 12,25p2 – 1,44; б) (1,7s+0,3t2)(0,3t2–1,7s)=0,09t4 – 0,51st2 + 0,51st2 – 2,89s2=0,09t4–2,89s2; в) (2,4m2–0,8n2)(0,8n2+2,4m2)=5,76m4–1,92m2n2+1,92m2n2–0,64n4 = = 5,76m4 – 0,64n4; г) (1,3x3–1,8y2)(1,8y2+1,3x3)=1,69x6–2,34y2x3+2,34y2x3–3,24y4=1,69x6–3,24y4. № 454 а) (a2 + a – 1)(a2 – a + 1) = a4 – a3 + a2 + a3 – a2 + a – a2 + a – 1 = = a4 – a2 + 2a – 1; б) (m2 + 2m – 1)(m2 – 2m + 1) = m4 + 2m3 – m2 – 2m3 – 4m2 + 2m + m2 + + 2m – 1 = m4 – 4m2 + 4m – 1; в) (2x2 + 3x + 2)(–2x2 + 3x – 2) = = – 4x4 – 6x3 – 4x2 + 6x3 + 9x2 + 6x – 4x2 – 6x – 4 = –4x4 + x2 – 4; г) (b3 + 5b + 3)(– b3 – 5b + 3) = –b6 – 5b4 –3b3 – 5b4 – 25b2 – 15b + + 3b3 + 15b + 9 = 9 – b6 – 10b4 – 25b2. № 455 а) (m – 1)(m3 + m2 + m +1) =m4 – m3 + m3 – m2 + m2 – m + m – 1=m4 – 1; б) (2 – s)(16 + 8s + 4s2 + 2s3 + s4) = = 32 – 16s + 16s – 8s2 + 8s2 – 4s3 + 4s3 – 2s4 + 2s4 – s5 = 32 – s5; в) (x + y)(x3 – x2y + xy2 – y3) = = x4 + x3y – x3y – x2y2 +x2y2 + xy3 – xy3 – y4 = x4 – y4; г) (a + 3)(81 – 27a + 9a2 – 3a3 + a4) = 81a + 243 – 27a2 – 81a + 9a3 + + 21a2 – 3a4 – 9a3 + a5 + 3a4 = 243 – 6a2 + a5. № 456 Пусть х см. – длина первого прямоугольника. Тогда (61 – х) – ширина первого прямоугольника; (х – 5) см. – длина второго прямоугольника; (61 – (х – 5) см. – ширина второго прямоугольника; (x – 5)(66 – x) – 120 = x(61 – x); 66x – 330 + 5x – x2 – 120 = 61x – x2;

73


9x = 450; x = 50 см. Из того что площадь прямоугольника равна произведению его сторон следует: 50 · (61 – 50) = 50 · 11 = 550 см2 – площадь первого; 550 + 120 = 670 см2 – площадь второго прямоугольника. Ответ: 550 см2; 670 см2. № 457 Пусть х см. – длина ��рямоугольника. Тогда (120 – х) см. – ширина прямоугольника. (x – 14)(130 – x) – 4 = x(120 – x); 130x – 1820 + 14x – x2 – 4 = 120x – x2; 24x = 1824; x = 76 см. – длина прямоугольника; 120 – 76 = 44 см. – ширина прямоугольника. Ответ: 44 см.; 76 см. № 458 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 6) – третее число. x(x + 6) + 54 = (x + 3)(x + 6); x2 + 6x + 54 = x2 + 9x + 18; 3x = 36; x = 12 – первое число; 12 + 3 = 15 – второе число; 12 + 6 = 18 – третее число. Ответ: 12; 15; 18. № 459 Пусть х – первое число. Тогда (х + 12) – второе число; (х + 24) – третее число. x(x + 12) + 432 = (x + 12)(x + 24); x2 + 12x + 432 = x2 + 36x + 288; 24x = 144; x = 6 – первое число; 6 + 12 = 18 – второе число; 6 + 24 = 18 – третее число. Ответ: 6; 12; 18. № 460 Пусть х – первое число. Тогда (х + 3) – второе число; (х + 8) – третее число; (х + х + 3) – четвертое число. x(x+3)=(x + 8)2 – (2x + 3) – 74,2; x2 + 3x = x2 + 8x + 8x + 64 – 2x – 3 – 74,2; 8x + 8x – 2x – 3x = –64 + 3 + 74,2; 11x = 13,2; x = 1,2 – первое число; 1,2 + 3 = 4,2 – второе число; 1,2 + 8 = 9,2 – третее число; 2 · 1,2 + 3 = 5,4 – четвертое число. Ответ: 1,2; 4,1; 9,2; 5,4.

§ 17. Формулы сокращенного умножения № 461 а) (a + x) 2 = a2 + 2ax + x2; б) (b – y) 2 = b2 – 2by + y2; в) (c + d) 2 = c2 + 2cd + d2; г) (m – n) 2 = m2 – 2mn + n2.

74


№ 462 а) (x + 1) 2 = x2 + 2x + 1; в) (a – 5) 2 = a2 – 10a + 25;

б) (y – 2) 2 = y2 – 4y + 4; г) (c + 8) 2 = c2 + 16c + 64.

№ 463 а) (7 – a) 2 = 49 – 14a + a2; в) (4 + n) 2 = 16 + 8n + n2;

б) (9 + b) 2 = 81 + 18b + b2; г) (12 – p) 2 = 144 – 24p + p2.

№ 464 а) (–x + 1) 2 = 1 – 2x + x2; б) (–z – 3) 2 = z2 + 6z + 9; 2 2 в) (–n + 8) = 64 – 16n + n ; г) (–m – 10) 2 = m2 – 20m + 100. № 465 а) (2a + 1) 2 = 4a2 + 4a + 1; б) (3c – 2) 2 = 9c2 – 12c + 4; в) (6x – 3) 2 = 36x2 – 36x + 9; г) (7y + 6) 2 = 49y2 + 84y + 36. № 466 а) (8x + 3y) 2 = 64x2 + 48xy + 9y2; в) (9p – 2q) 2 = 81p2 – 36pq + 4q2;

б) (6m – 4n) 2 = 36m2 – 48mn + 16n2; г) (10z + 3t) 2 = 100z2 + 60zt + 9t2.

№ 467 а) ( –3a + 5x)2 = 25x2 – 30ax + 9a2; б) (– 6y – 2z)2 = 36y2 + 24yz +4z2; 2 2 2 в) (– 3m + 4n) = 16n – 24mn + 9m ; г) (–12z – 3t)2 =9t2 + 72tz + 144z2. № 468 а) (0,2x – 0,5a) 2 = 0,04x – 0,2xa + 0,25a2; 2

2

1⎞ 3 1 1 ⎛1 ⎞ ⎛ ; в) ⎜ 6a − ⎟ = 36a2 – 2a + ; б) ⎜ + 3n ⎟ = 9n2 + mn + 2 16 36 6⎠ ⎝4 ⎠ ⎝ г) (10c + 0,1) 2 = 100c + 2cy + 0,01y2. № 469 а) (x2 + 1) 2 = x4 + 2x2 + 1; в) (p2 – 10) 2 = p4 – 20p2 + 100;

б) (y2 – 6) 2 = y4 – 12y2 + 36; г) (q2 + 8) 2 = q4 + 16q2 + 64.

№ 470 а) (a2 + 3x) 2 = a4 + 6a2x + 9x2; в) (m2 – 6n) 2 = m4 – 12m2n + 36n2;

б) (b2 – 5y) 2 = b4 – 10b2y + 25y2; г) (r2 + 4s) 2 = r4 + 8r2s + 16s2.

№ 471 а) (c2 + d2) 2 = c4 + 2c2d2 + d4; в) (p2 – q2) 2 = p4 – 2p2q2 + q4;

б) (m2 – n3) 2 = m4 – 2m2n3 + n6; г) (z2 + t3) 2 = z4 + 2z2t3 + t6.

№ 472 а) (a3 + 3b) 2 = a4 + 6a2b + 9b2; б) (4x2 – 3c) 2 = 16x4 – 24x2x + 9c2; в) (5m2 + 3n2) 2 = 25m4 + 30m2n2 + 9n4; г) (6p2 – 8q3) 2 = 36p4 – 96p2q3 + 64q6.

75


№ 473 2

2

1 ⎞ 15 ⎞ 49 2 225 2 ⎛7 ⎛ 1 а) ⎜ 2 a − 1 b ⎟ = ⎜ a − b ⎟ = a – 5ab + b = 3 14 3 14 9 196 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4 29 = 5 a2 – 5ab 1 ; 9 196 2

2

13 ⎞ ⎛ 40 ⎞ 2 1600 2 ⎛ y = б) ⎜ 0,9 x + 1 y ⎟ = ⎜ 0,9 x + 1 y ⎟ = 0,81x2 + 2 xy + 27 ⎠ ⎝ 27 ⎠ 3 729 ⎝ 2 142 = 0,81x2 + 2 xy + 2 ; 3 729 2

2

1 ⎞ 25 ⎞ 625 2 ⎛ ⎛ y ⎟ =1,44x2 + 10xy + y = в) ⎜ − 1,2 x − 4 y ⎟ = ⎜1,2 x + 6 ⎠ 6 ⎠ 36 ⎝ ⎝ 13 = 1,44x + 10xy + 17 ; 36 2

2

2 ⎞ 23 ⎞ 625 2 ⎛ 25 ⎛ y⎟ = b – 5ab + 5,29a2 = г) ⎜ − 2,3a − 1 b ⎟ = ⎜ b − 529 23 23 10 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 96 2 2 =1 b – 5ab + 5,29a . 529 № 474 а) 792 = (80 – 1) 2 = 6400 – 160 + 1 = 6241; б) 392 = (40 – 1) 2 = 1600 – 80 + 1 = 1521; в) 592 = (60 – 1) 2 = 3600 – 120 + 1 = 3481; г) 692 = (70 – 1) 2 = 4900 – 140 + 1 = 4761. № 475 а) 212 = (20 + 1) 2 = 400 + 40 + 1 = 441; б) 312 = (30 + 1) 2 = 900 + 60 + 1 = 961; в) 612 = (60 + 1) 2 = 3600 + 120 + 1 = 3721; г) 912 = (90 + 1) 2 = 8100 + 180 + 1 = 8281. № 476 а) 422 = (40 + 2) 2 = 1600 + 160 + 4 = 1764; б) 622 = (60 + 2) 2 = 3600 + 240 + 4 = 3844; в) 822 = (80 + 2) 2 = 6400 + 320 + 4 = 6724; г) 322 = (30 + 2) 2 = 900 + 120 + 4 = 1024. № 477 а) 982 = (100 – 2) 2 = 10000 – 400 – 4 = 9596; б) 282 = (30 – 2) 2 = 900 – 120 – 4 = 776; в) 882 = (90 – 2) = 8100 – 360 + 4 = 7736; г) 582 = (60 – 2) 2 = 3600 – 240 – 4 = 3356. 76


№ 478 2

2

2

2

1⎞ 1 1 ⎛ ⎛ 1⎞ а) ⎜12 ⎟ = ⎜12 + ⎟ = 144 + 2 + = 146 ; 12 12 144 144 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎞ 2⎞ 4 4 ⎛ ⎛ ; б) ⎜ − 7 ⎟ = ⎜ − 7 − ⎟ = 49 + 4 + = 53 7 7 49 49 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2

2

3⎞ 3⎞ 9 9 ⎛ ⎛ в) ⎜ − 13 ⎟ = ⎜ − 13 − ⎟ = 169 + 6 + ; = 175 13 ⎠ 13 ⎠ 169 169 ⎝ ⎝ 2

2

3⎞ 9 9 ⎛ 3⎞ ⎛ г) ⎜ 7 ⎟ = ⎜ 7 + ⎟ = 49 + 3 + . = 52 14 ⎠ 196 196 ⎝ 14 ⎠ ⎝ № 479 2

2

2

2

1⎞ 1 1 ⎛ 12 ⎞ ⎛ ; а) ⎜12 ⎟ = ⎜13 − ⎟ = 169 − 2 + = 169 13 13 169 169 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2⎞ 4 4 ⎛ 13 ⎞ ⎛ б) ⎜14 ⎟ = ⎜15 − ⎟ = 225 − 4 + ; = 221 15 ⎠ 225 225 ⎝ 15 ⎠ ⎝ 2

2

1 ⎞ 1 1 ⎛ 39 ⎞ ⎛ в) ⎜ 39 ⎟ = ⎜ 40 − ⎟ = 1600 − 2 + ; = 1598 40 ⎠ 1600 1600 ⎝ 40 ⎠ ⎝ 2

2

9 3⎞ 9 ⎛ 13 ⎞ ⎛ г) ⎜15 ⎟ = ⎜16 − ⎟ = 256 − 6 + . = 250 16 ⎠ 256 256 ⎝ 16 ⎠ ⎝ № 480 а) (a – b)(a + b) = a2 – b2; в) (m – n)(m + n) = m2 – n2;

б) (c – d)(c + d) = c2 – d2; г) (p – q)(p + q) = p2 – q2.

№ 481 а) (x – 1)(x + 1) = x2 – 1; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16;

б) (c – 2)(c + 2) = c2 – 4; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 482 а) (3b – 1)(3b + 1) = 9b2 – 1; в) (10m – 4)(10m + 4) = 100m2 – 16;

б) (6x – 2)(6x + 2) = 36x2 – 4; г) (8a – 1)(8a + 1) = 64a2 – 1.

№ 483 а) (4a – b)(4a + b) = 16a2 – b2; в) (4b + 1)(4b – 1) = 16b2 – 1;

б) (x + 7)(7 – x) = 49 – x2; г) (5m + 2)(5m – 2) = 25m2 – 4.

№ 484 а) (3x – 5y)(3x + 5y) = 9x2 – 25y2; б) (7a – 8b)(7a + 8b) = 49a2 – 64b2 2 в) (13c – 11d)(13c + 11d) = 169c – 121d2; г) (8m – 9n)(8m + 9n) = 64m2 – 81n2.

77


№ 485 а) (5x – 2y2)(5x + 2y2) = 25x2 – 4y4; б) (2c – 3a2)(2c + 3a2 = 4c2 – 9a4; 3 3 6 2 в) (10p –7q)(10p +7q)=100p – 49q ; г) (8d + 6c3)(6c3 – 8d) = 36c6 – 64d2. № 486 а) (4x2–2y2)(4x2+2y2)=16x4–4y4; б) (10a3+5b2)(10a3–5b2)=100a6–25b4; в) (3n4–m4)(3n4 + m4) = 9n8 – m8; г) (10m8+8n8)(10m8–8n8)=100m16–64n16. № 487 а) 69 · 71 = (70 – 1)(70 + 1) = 4900 – 1 = 4899; б) 31 · 29 = (30 + 1)(30 – 1) = 900 – 1 = 8999; в) 89 · 91 = (90 – 1)(90 + 1) = 8100 – 1 = 8099; г) 99 · 101 = (100 – 1)(100 + 1) = 10000 – 1 = 9999. № 488 а) 58 · 62 = (60 – 2)(60 + 2) = 3600 – 4 = 3596; б) 82 · 78 = (80 + 2)(80 – 2) = 6400 – 4 = 6396; в) 42 · 38 = (40 + 2)(40 – 2) = 1600 – 4 = 1596; г) 18 · 22 = (20 – 2)(20 + 2) = 400 – 4 = 396. № 489 а) 0,49 · 0,51 = (0,5 – 0,01)(0,5 + 0,01) = 0,25 – 0,0001 = 0,2499; б) 0,78 · 0,82 = (0,8 – 0,02)(0,8 + 0,02) = 0,64 – 0,0004 = 0,6396; в) 0,67 · 0,73 = (0,7 – 0,03)(0,7 + 0,03) = 0,49 – 0,0009 = 0,4891; г) 1,21 · 1,19 = (1,2 + 0,01)(1,2 – 0,01) = 1,44 – 0,01 = 1,4399. № 490 2

1⎞ 9 1 5 ⎛ 13 3 ⎞⎛ 13 3 ⎞ ⎛ а) 10 ⋅ 9 = ⎜ 9 + ⎟⎜ 9 − ⎟ = ⎜10 − ⎟ − = 14 ⎠ 196 7 7 ⎝ 14 14 ⎠⎝ 14 14 ⎠ ⎝ 10 1 9 20 8 280 + 8 = 100 − + − = 100 − − = 100 − = 7 196 196 14 196 196 92 104 26 ; = 100 − 1 = 98 = 98 196 196 49 45 2 5 ⎛ 2 ⎞⎛ 2⎞ 4 = 80 ; б) 10 ⋅ 9 = ⎜ 9 + ⎟⎜ 9 − ⎟ = 81 − 7 7 ⎝ 7 ⎠⎝ 7⎠ 49 49 8 2 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 в) 99 ⋅100 = ⎜100 + ⎟⎜100 − ⎟ = 10000 − = 9999 ; 3 3 ⎝ 3 ⎠⎝ 3⎠ 9 9 4 4 1 ⎛ 1 ⎞⎛ 1⎞ 1 24 = 63,96. г) 7 ⋅ 8,2 = 7 ⋅ 8 = ⎜ 8 − ⎟⎜ 8 + ⎟ = 64 − = 63 5 5 5 ⎝ 5 ⎠⎝ 5⎠ 25 25

№ 491 а) (x – 1)(x2 + x + 1) = x3 – 1; в) (x + 3)(x2 – 3x + 9) = x3 – 27;

78

б) (x – 2)(x2 + 2x + 4) = x3 – 8; г) (x + 4)(x2 – 4x + 16) = x3 – 64.


№ 492 а) (5m + 3n)(25m2 – 15mn + 9n2) = 125m3 + 27n3; б) (2a – 3x)(4a2 + 6ax + 9x2) = 8a3 – 27x3; в) (4x – 5y)(16x2 + 20xy + 25y2) = 64x3 – 125y3; г) (3x + 5y)(9x2 – 15xy + 25y2) = 27x3 + 125y3. № 493 а) 3(x – y) 2 = 3x2 – 6xy + 3y2; б) b(1 +2b) 2 = b(1 + 4b + 4b2 = b + 4b2 + 4b3; в) –6(5m – n) 2 = –6(25m2 – 10mn + n2) = – 150m2 + 60mn – 6n2; г) –c(3a + c) 2 = –c(9a2 + 6ac + c2) = –9a2c – 6ac2 – c3. № 494 а) a2 + (3a – b) 2 = a2 + 9a2 – 6ab + b2 = 10a2 – 6ab + b2; б) 9p2 – (q – 3p) 2 = 9p2 – q2 + 6qp – p2 = 8p2 + 6qp – q2; в) (5c + 7d) 2 – 70cd = 25c2 + 70cd + 49d2 – 70cd = 25c2 + 49d2; г) (8m – n) 2 – 64m2 = 64m2 – 16mn + n2 – 65m2 = n2 – 16mn. № 495 а) (a – 4) 2 + a(a + 8) = a2 – 8a + 16 + a2 + 8a = 2a2 + 16; б) (x – 7)x + (x +3) 2 = x2 – 7x + x2 + 6x + 9 = 2x2 – x + 9; в) (y – 5) 2 – (y – 2) = y2 – 10y + 25 – y + 2 = y2 – 11y + 27; г) b(b +4) – (b + 2) 2 = b2 + 4b – b2 – 4b – 4 = –4. № 496 а) (3a – b)(3a + b) + b2 = 9a2 – b2 + b2 = 9a2; б) 9x2 – (y +4x)(y – 4x) = 9x2 – y2 + 16x2 = 25x2 – y2; в) (5c – 6d)(5c + 6d) – 25c2 = 25c2 – 36d2 – 25c2 = – 36d2; г) (7m – 10n)(7m + 10n) – 100n2 = 49m2 – 100n2 – 100n2 = 49m2 – 200n2. № 497 а) 2(a – 2)(a + 2) = 2(a2 – 4) = 2a2 – 8; б) x(x + 4)(x – 4) = x(x2 – 16) = x3 – 16x; в) 5c(c + 3)(c – 3) = 5c(c2 – 9) = 5c3 – 45c; г) 7d2 (d – 1)(d + 1) = 7d2 (d2 – 1) = 7d4 – 7d2. № 498 а) (a – c)(a + c) – (a – 2c) 2 = a2 – c2 – a2 + 4ac – 4c2 = –5c2 + 4ac; б) (x – 4)(x + 4) – (x + 8)(x – 8) = x2 – 16 – x2 + 64 = 48; в) (3b – 1)(3b + 1) – (b – 5)(b + 5) = 9b2 – 1 – b2 + 25 = 8b2 + 24; г) (m+3n) 2 + (m + 3n)(m – 3n) = m2 + 6mn + 9n2 + m2 – 9n2 = 2m2 + 6mn. № 499 а) (b – 5)(b + 5)(b2 + 5) = (b2 – 25)(b2 + 25) = b4 – 625; б) (3 – y)(3 + y)(9 + y2) = (9 – y2)(9 + y2) = 81 – y4; в) (a – 2)(a + 2)(a2 – 4) = (a2 – 4)(a2 + 4) = a4 – 16; г) (c2 – 1)(c2 + 1)(c4 + 1) = (c4 – 1)(c4 + 1) = c8.

79


№ 500 (2a – b)(2a + b) + (b – c)(b + c) + (c – 2a)(c + 2a) = = 4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0. № 501 а) (a+3) 2–(a – 2)(a + 2) = a2 + 6a + 9 – a2 + 4 = 6a + 13=–3,5 · 6 + 13 = –8; б) (x–3) 2–(x +3)(x – 3) = x2 – 6x + 9 – x2 + 9 = 18 – 6x = 18 + 0,1 · 6 = 18,6; в) (m+3) 2–(m – 9)(m + 9) = m2 + 6m + 9 – m2 + 81 = 6m + 100=100–3 = 97; г) (c + 2) 2 – (c +4)(c – 4) = c2 +4c + 4 – c2 + 16 = 4c + 20 = 1 +20 = 21. № 502 а) (5a – 10) 2 – (3a – 8) 2 + 132a = 25a2 – 100a + 100 – 9a2 + 48a – 64 + + 132a = 16a2 + 80a + 36 = 16a2 + 48a + 36 + 32a = (4a + 6) 2 + 32a = = 182 – 192 = 324 – 192 = 132; б) (3p – 8) 2 + (4p + 6) 2 + 100p = 9p2 – 48p + 64 + 16p2 + 48p + 36 + + 100p = 25p2 + 100p + 100 = (5p + 10) 2 = 0; в) (5b – 3) 2 + (12b – 4) 2 – 4b = 25b2 – 30b + 9 + 144b2 – 96b + 16 – – 4b = 169b2 – 130b + 25 = (13b – ) 2 = 182 = 324; г) (13 – 5m) 2 – (12 – 4m) 2 + 4m = 169 – 130m + 25m2 – 144 + 96m – – 16m2 + 4m = 9m2 – 30m + 25 = (3m – 5) 2 = 72 = 49. № 503 а) 8x(1 + 2x – (4x + 3)(4x – 3) = 2x; 8x + 16x2 – 16x2 + 9 = 2x; 3 6x = – 9; x = – . 2 3 Ответ: – . 2 б) x – 3x(1 – 12x) = 11 – (5 – 6x)(5 + 6x); x – 3x + 36x2 = 11 – 25 + 36x2; –2x = –14; x = 7. Ответ: 7. в) (6x – 1)(6x + 1) – 4x(9x + 2) = – 1; 36x2 – 1 – 36x2 – 8x = –1; –8x = 0; x = 0. Ответ: 0. г) (8 – 9x)x = –40 + (6 – 3x)(6 + 3x) ; 8x – 9x2 = – 40 + 36 – 9x2;

8x = –4; x = – Ответ: –

1 . 2

1 . 2

№ 504 а) (x – 6) 2 – x(x + 8) =2; x2 – 12x + 36 – x2 – 8x = 2;

20x = 34; x = 1 Ответ: 1,7. 80

7 . 10


б) 9x(x + 6) – (3x + 1) 2 = 1; 9x2 + 54x – 9x2 – 6x – 1 = 1; 1 48x = 2; x = . 24 1 . Ответ: 24 в) x(x – 1) – (x – 5) 2; x2 – x – x2 + 10x – 25 = 0; 25 . 9x = 25; x = 9 7 Ответ: 2 . 9 г) 16x(2 – x) + (4x – 5) 2 = 1; 32x – 16x2 + 16x2 – 40x + 25 = 1; –8x = –24; x = 3. Ответ: 3. № 505 а) 9x2 – 1 – (3x – 2) 2 = 0; 9x2 – 1 – 9x2 + 12x – 4 = 0; 5 . 12x = 5; x = 12 5 Ответ: . 12 б) x + (5x +2) 2 = 25(1+ x2); x + 25x2 + 20x + 4 = 25 + 25x2; 21x = 21; x = 1. Ответ: 1. в) (2x – 3) 2 – 2x(4 + 2x) = 11; 4x2 – 12x + 9 – 8x – 4x2 = 11; –20x = 2; x = –

2 . 20

Ответ: –0,1. г) (4x – 3)(3 + 4x) – 2x(8x – 1) = 0; 16x2 – 9 – 16x2 = 2x = 0; 2x=9; x =

9 . 2

Ответ: 4,5. № 506 а) (x – 1)(x +1) = 2(x – 3) 2 – x2; x2 – 1 = 2x2 – 24x + 18 – x2;

24x = 19 30x = –71; x = Ответ:

19 . 24

19 . 24

б) 3(x +5) 2 – 4x2 = (2 – x)(2 + x); 3x2 + 30x + 75 – 4x2 = 4 – x2; x = – Ответ: – 2

71 . 30

1 . 30

81


в) (2x + 3) 2 – 4(x – 1)(x + 1) = 49; 4x2 + 12x + 9 – 4x2 + 4 = 49; 13 12x = 26; x = . 6 1 Ответ: 2 . 6 г) (3x + 1) 2 – (3x – 2)(2 + 3x) = 17; 9x2 + 6x + 1 – 9x2 + 4 = 17; 6x = 12; x = 2. Ответ: 2. № 507 а) (10x2 – 4xy3) 2 = 100x4 – 80x3y3 + 16x2y6; б) (8p3 + 5p2q) 2 = 64p6 + 80p5 + 25p4q2; в) (0,6b3 – 5b2c4) 2 = 0,36b6 – 6b5c4 + 25b4c8; г) (3z7 + 0,5z3t) 2 = 9z14 + 3z10t + 0,25z6t2. № 508 а) 20x3z + 0,03z2) 2 = 400x6z2 + 1,2x3z3 + 0,0009z4; ⎛3

2

9

б) ⎜ n3 + 4mn 2 ⎟ = n6 + 3mn516m2n 4 ; 64 ⎝8 ⎠ в) (0,15r4n3 – 10n4) 2 = 0,625r8n6 – 3r4n7 + 100n8; ⎛

1

2

1

г) ⎜ 6a 2 − ab ⎟ = 36a4 – 4a3b + a2b2. 3 ⎠ 9 ⎝ № 509 а) (xn – 23)(xn + 23) = x2n – 26; б) (a2n + bn)(a2n – bn) = a4n – b2n; в) (cn – d3n)(cn + d3n) = c2n – d6n); г) (an + 1 – bn – 1)(an + 1 + bn – 1) = a2n + 2 – b2n – 2. № 510 а) (3x2 – 2)(9x4 + 6x2 + 4) = 27x6 – 8; б) (5x2 + 3)(25x4 – 15x2 + 9) = 152x6 + 27; в) (8b2 + 3)(64b4 – 24b2 + 9) = 512b6 + 27; г) (7a2 – 1)(49a4 + 7a2 + 1) = 343a3 – 1. № 511 а) (x – 2) 2 (x + 2) 2 = (x2 – 4) 2 = x4 – 8x2 + 4; б) (y – 4) 2 (y + 4) = (y2 – 4) (y – 4) = y3 – 4y – 4y2 + 16; в) (m – 6) 2 (m + 6) 2 = (m2 – 36) = m4 – 72m2 + 1296; г) (n – 7) 2 (7 + n) = (n2 – 7)(n – 7) = n3 – 7n – 7n2 + 49. № 512 а) (x – y)(x + y)(x2 + y2) = (x2 – y2)(x2 + y2) = x4 – y4; б) (3a – b)(3a + b); б) (9a2 + b2) = (9a2 – b2)(9a2 + b2) = 81a4 – b4;

82


в) (p3 + q)(p3 – q)(p6 + q2) = (p6 – q2)(p6 + q2) = p12 – q4; г) (s4 + r4)(s – r)(s + r)(s2 + r2) = (s4 – r4)(s4 + r4) = s8 – r8. № 513 а) (3x2 + 4) 2 + (3x2 – 4) 2 – 2(5 – 3x2)(5 + 3x2) = 9x4 + 24x2 + 16 + + 19x4 – 24x2 + 16 + 9x4 – 24x2 + 16 – 50 + 18x4 = 36x4 – 18; б) (4a3+5) 2+(4a3–1) 2–2(4a3+5)(4a3 – 1) = (4a3 + 5 – 4a3 + 1) 2 = 62 = 36; в) p(p – 2c)(p +2c) – (p – c)(p2 + pc + c2) = p3 – p · 4c2 – p3 + c3 = c3 – 4pc2; г) m(2m–1) 2–2(m+1)(m2 –m + 1) = 4m3–4m2+m–2m3–2=2m3 – 4m2 + m – 2. № 514 а) (a – b)(a + b)(a2 + b2)(a4 + b4)(a8 + b8) = (a8 – b8)(a8 + b8) = a16 – b16; б) x32 – (x – 1)(x + 1)(x2 + 1)(x4 +1)(x8 + 1) (x16 + 1) = x32 – x32 + 1 = 1. № 515 а) (6a5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 25x2; ∗12 = 25x2, значит ∗1 = 5x; ∗2 = (6a5) 2 = 36a10; ∗3 = 6a5 · ∗1 · 2 = 6a5 · 5x · 2 = 60a5x; б) (10m5 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 36m4n6; ∗12 = 36m4n6, значит ∗1 = 6m2n3; ∗2 = (10m5) 2 = 100m10; ∗3 = 2 · ∗1 · 10m5 = 2 · 6m2n3 · 10m5 = 120m7n3; в) (∗1 – 4x7) 2 = 25x4y2 – ∗2 + ∗3; (∗1) 2 = 25x4y2, значит ∗1 = 5x2y; ∗2 = 2 · ∗1 · 4x7 = 2 · 5x2y · 4x7 = 40x9y; ∗3 = (4x7) 2 = 16x14; г) (8a3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 49a8b6; ∗12 = 49a8b6, значит ∗1 = 7a4b3; ∗2 = (8a3) 2 = 64a6; ∗3 = 2 · 8a3 · ∗1 = 16a3 · 7a4b3 = 112a7b3. № 516 а) (∗1 + 4d4) 2 = ∗2 + 24c2d5 + ∗3; ∗3 = (4d4) 2 = 16d8; 2 · ∗1 · 4d4 = 24c2d5, значит ∗1 = 3c2d; ∗2 = (∗1) 2 = (3c2d) 2 = 9c4d2; 4 2 6 2 2 б) (∗1 – 8a ) = 81a b – ∗2 + ∗3; (∗1) = 81a6b2, значит ∗1 = 9a3b; ∗2 = 2 · ∗1 · 8a4 = 2 · 9a3b · 8a4 = 144a7b; ∗3 =(8a4) 2 = 64a8; в) (4p2q2 + ∗1) 2 = ∗2 + ∗3 + 0,01q8; (∗1) 2 = 0,01q8, значит ∗1 = 0,1q4; ∗2 = (4p2q2) 2 = 16p4q4; ∗3 = 2 · ∗1 · 4p2q2 = 8p2q2 · 0,1q4 = 0,8 p2q6; г) (8q4t 3 – ∗1) 2 = ∗2 – ∗3 + 0,16t4; (∗1) 2 = 0,16t4, значит ∗1 = 0,4t2; 4 3 2 8 6 4 3 ∗2 = (8q t ) = 64q t ; ∗3 = 2 · 8q t · ∗1 = 16q4t3 · 0,4t2 = 6,4q4t5. № 517 а) (5b3 – 7c) 2 = 25b6 – 70b3c + 49c2; б) (9x – 10x2y3) 2 = 81x2 – 180x3y3 + 100x4y6; в) (7x3 +5y2) 2 = 49x6 + 70x3y2 + 25y4; г) (6c5 – 4d3) 2 = 36c10 – 48c5 + 16d6. № 518 а) (2c – 15a)(2c + 15a) = 4c2 – 225a2; б) (9a + 11c)(9a – 11c) = 81a2 – 121c2; ⎛ ⎝

3

⎞⎛ ⎠⎝

3

⎞ ⎠

9

в) ⎜ 0,5 y 2 − x3 ⎟⎜ 0,5 y 2 + x3 ⎟ = 0, 25 y 4 − x6 ; 4 4 16 г) (10m3 – 0,4n2)(10m3 + 0,4n2) =100m6 – 0,16n4. 83


№ 519 а) (0,7x3 – 10z2)(0,7x3 +10z2) = 0,49x6 – 100z4; ⎛

4

⎞⎛

4

16

q4; б) ⎜ 7 p 6 + q 2 ⎟⎜ 7 p 6 − q 2 ⎟ = 49p12 – 11 ⎠⎝ 11 ⎠ 121 ⎝ ⎛ 3 ⎝ 4

⎞⎛ 3 ⎠⎝ 4

⎞ ⎠

в) ⎜1 x7 − 8 y 2 z 5 ⎟⎜1 x 7 + 8 y 2 z 5 ⎟ = 3

1 14 x – 64y4z10; 16

г) (5a4 – 6x2) 2 25a8 – 60a4x2 + 36x4. № 520 64 = –64; 27 б) 25 – (2 – 3a)(4 + 6a + 9a2) = 25 – 8 + 27a3 =17 + 27a3 = 17 – 1 = 16; в) 127+(5c–3)(25c2+15c+9)=127+125c–27=125c+100=100–125 · 1,2= – 50; г) 64 – (4 – 3a)(16 + 12a + 9a2) = 64 – 64 + 27a3 = – 8.

а) 125 – (5 – 3x)(25 + 15x + 9x2) = 125 – 125 + 27x3=27x3=– 27 ·

№ 521 а) (2 – 1)(2 + 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1) – 216 = 216 – 216 = 0; б) 3(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = = (22 – 1)(22 + 1)(24 + 1)(28 +1)(216 +1) – 232 = 232 – 232 = 0. № 522 (32 + 22)(34 + 24)(38 +28)(316 + 216) =

=

(32 − 22 )(32 + 22 )(34 + 24 )(38 + 28 )(316 + 216 ) 2

3 −2

2

=

332 − 232 = 0,2(332 – 232). 5

§ 18. Деление многочлена на одночлен № 523 а) (12 + 8) : 4 = 20 : 4 = 5; в) (44y + 22) : 11 = 4y + 2;

б) (54d + 36) : (– 18) = – 3d – 2; г) (– 15y – 5y) : (– 5) = – 20y : (– 5) = 4y.

№ 524 а) (a – ab) : a = 1 – b; в) (– m – mn) : m = – 1 – n;

б) (x – xy) : (– x) = y – 1; г) (– c + cd) : (– c) = 1 – d.

№ 525 а) (a2 + 3ab) : a = a + 3b; в) ( c2 – 2cd) : c = c – 2d;

б) (m3 – m2n) : m2 = m – n; г) (p4 – p3q) : p3 = p – q.

№ 526 а) (4ab2 + 3ab) : ab = ab + 3; б) (1,2cd3 – 0,7cd) : cd = 1,2d2 – 0,7; в) (– 3,5m2n – 0,2mn) : mn = – 3,5m – 0,2; 1 1 1 ⎛ 1 ⎞ г) ⎜ − xy + x 3 y ⎟ : mn = – + x2. 3 2 3 ⎝ 2 ⎠

84


№ 527

3 4 x – y = 0,6x – 0,8y; 5 5 б) (4x + 12y – 16) : (– 4) = – x – 3y + 4; в) (2ab + 6a2b2 – 4b2) : (– 2b) = – a – 3a2b + 2b; г) (– a5b3 + 3a6b2) : 4a2b2 = – 0,25a3b + 0,75a4. № 528 а) (18a4 – 27a3) : 9a2 – 10a3 : 5a = 2a2 – 3a – 2a2 = – 3a = 24; 1 б) (36x2y – 4xy2) : 4y + yx = 9x2 – xy + xy = 9x2 = . 9 № 529 а) x, x2, 1; б) x, 2x, 7x; в) ab, 5ab, a2b2; г) mn, m2n2, 5mn. № 530 а) нет; б) нет; в) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : xy = 2x2y + 3x – 5x3y3; г) (2x3y2 + 3x2y – 5x4y4) : (– x2y) = – 2xy – 3 + 5x2y3. а) (3x2y – 4xy2) : 5xy =

№ 531

а)

12a8b6 + 60a 6b8 5 5

4a b

= 3a3b + 15ab3 ; б)

15a 7 x9 − 45a9 x7 5a 6 x 6

в)

132n3 p 2 − 44n 2 p3 + 110n 2 p 4 = 6n2p – 2np2 + 5np3; 22np

г)

108k 4 n 2 − 144k 3n3 − 180k 2 n 4 = 3k3n – 4k2n2 – 5kn3. 36kn

= 3ax3 – 9a3x;

№ 532

а) (7a2 + 10a3b) : a4 =

7 + 10ab a2

б) (4x2 – 3x) : (– x2) = – 4 +

=

7 a2

b + 10 ; a

3 1 3 ; в) (27a3 – 81b3) : 9a3b3 = 3 – 9 · 3 ; x b a

г) (42x3y – 63xy3 + 14xy) : 7xy = 6x2 – 9y2 + 2. № 533 а) kL, kL; б) pq, p2q2; в) cd, c2d2; г) xy, x2y2. № 534 а) bc, b2c2, b2c, b2c3, b2c4; в) z, m, zm, z2m, z3m;

б) xy, x2y2, xy2, x2y, x; г) k, L, kL, kL2, kL3.

№ 535 а) xy; в) y2, 3, 142xyz, 15x;

б) xy2z, 5z, 6xyz, 20xy; г) 4xy2, y2z, 8, 7xyz, 2xy2z. 85


№ 536

а)

15a 4b − * + 24a 2b3 5 a 2b

Ответ: б)

= 3a 2 −

* 5a 2 b

15a 4b − 35a3b 2 + 24a 2b3 2

5a b

*1 − 100a 2b 4 + 75ab 2

∗1 = 3a2 · 25ab3 = 75a3b3; ∗2 =

в)

24 2 2 3 2 b ; ∗ = 5a · 7ab = 35a b . 5 2

= 3a – 7ab +

24 2 b. 5

= 3a2 – ∗2 + ∗3;

25ab3

Ответ:

+

100a 2b 4 25ab

75a3b3 − 100a 2b 4 + 75ab 2 25ab3

3

= 4ab; ∗3 =

= 3а2 – 4ab +

75ab 2 25ab3

=

3 . b

3 . b

*1 − 24a3 x 4 24a3 x 4 = 7a2 – 8ax3; ∗2 = = 3a2x; 3 *2 8ax

∗1 = ∗2 · 7a2 = 7a2 · 3a2x = 21a4x.

Ответ: г)

3a 2 x − 24a3 x 4 21a 4 x

= 7a2 – 8ax3.

57c 4 d 3 − 38c 3 d 2 57c 4 d 3 = 3cd2 – ∗2; ∗1 = = 19c3d; *1 3cd 2

∗2 =

38c3d 2 38c3d 2 = = 2d. *1 19c3d

Ответ:

57c 4 d 3 38c3d 2 19c3d

= 3cd2 – 2d.

№ 537

а)

4a 2 x 4 21a3 x3 + 72a 4 x 2 = ∗2 – ∗3 + 12a2x; *1

∗1 = ∗3 =

б)

72a 4 x 2 2

72a x

= 6a2x;

∗2 =

4a 2 x 4 6a 2 x

2 3 x; 3

21a3 x3 21a3 x3 7 = = ax2; *1 2 6a 2 x

30k 3 p3175k 2 p 4 − *1 = 3k2 – ∗3 – 14p2; *2

∗1 = 14p2 · 10kp3 = 240kp5; ∗3 =

86

=

∗2 =

30k 3 p3 3k 2

=10kp3;

175k 2 p 4 175k 2 = =17,5kp; *2 10kp3


в)

45c10 d 3 + 54c n + 2 d 7 − *1 =∗3 + 3,6cnd5 – 2c6d8; *2

∗2 = ∗3 =

г)

54c n + 2 d 7 3,6c n d 5

= 15c2d2;

∗1 = 2c6d8 · ∗2 = 2c6d8 · 15c2d2 = 30c8d10;

45c10 d 3 45c10 d 3 = = 3c8d; *2 15c 2 d 2

*1 − *2 + 63a n x5 = 2a5x3 – 3a6x2 + 4,5an – 3x; *3

∗3 =

63a n x5 4,5a n −3 x

= 14a3x4;

∗1 = ∗3 · 2a5x3 = 14a3x4 · 2a5x3 = 28a8x7; ∗2 = ∗3 · 3a6x2 = 14a3x4 · 3a6x2 42a9x6. № 538 а) 3a3 – 1, 2ab – частное; 10b3 – делитель; 30a4b – 12ab2 – частное; b2 делитель; б) нет; в) нет; г) 15a4b3 – 6a2b4 – частное; 2 – делитель; 3a2 – 1,2b – частное; 10a2b3 – делитель. № 539 а) (6x4y3 + 8x3y) · 7xy = 42x5y4 + 56x4y2; б) (21x2y3 + 28xy) · 2x3y = 42x5y4 + 56 x4y2; в) (4,2x4y2 + 5,6x3) · 10xy2 = 42x5y2 + 56x4y2; г) (10,5x2y3 + 14xy) · 4x3y = 42x5y4 + 56x4y2.

ГЛАВА 5. Разложение многочленов на множители § 19. Что такое разложение многочленов на множители и зачем оно нужно № 540 а) x(x + 2) = 0; б) y( y – 8) = 0; в) z(z + 1,6) = 0; ⎛ 1⎞ г) t ⎜ t − ⎟ = 0; ⎝ 2⎠

x = 0; x = – 2; y = 0; y = 8; z = 0; z = – 1,6; 1 t = 0; t = . 2

№ 541 а) (x + 1)(x + 4) = 0; x = – 1; x = – 4. Ответ: – 1; – 4. в) (y + 2)(y – 6) = 0; y = – 2; y = 6. Ответ: – 2; 6. б) (c – 12)(c + 25) = 0; c = 12; c = – 25. Ответ: 12; – 25. г) (d – 7)(d + 1,4) = 0. d = 7; d = – 1,4. Ответ: 7; – 1,4.

87


№ 542 а) (2x + 3)(3x – 6) = 0; 2x + 3 = 0; 3x – 6 = 0; 2x = – 3; 3x = 6; x = – 1,5; x = 2. Ответ: – 1,5; 2. в) (4a – 8)(6a – 12) = 0; 4a – 8 =0; 6a – 12 = 0; 4a = 8; 6a = 12; a = 2; a = 2. Ответ: 2.

б) (11b + 44)(13b + 26) = 0; 11b + 44 = 0; 13b + 26 = 0; 11b = – 44; 13b = – 26; b = – 4; b = – 2. Ответ: – 4; – 2. г) (25c – 125)(54c – 108) =0; 25c – 125 = 0; 54c – 108 = 0; 25c = 125; 54c = 108; c = 5; c = 2. Ответ: 5; 2.

№ 543 а) m(m + 1)(m + 2) = 0; б) n(n – 3)(n – 8) = 0; m = 0; m + 1 =0; m + 2 =0; n = 0; n – 3 =0; n – 8 =0; m = – 1; m = – 2. n = 3; n = 8. Ответ: – 1; – 2. Ответ: 3; 8. в) p(p + 13)(p – 17) = 0; г) q(q – 21)(q – 105) = 0; p =0; p + 13 = 0; p – 17 = 0; q = 0; q – 21 = 0; q – 105 = 0; p = – 13; p = 17. q = 21; q = 105. Ответ: – 13; 17. Ответ: 21; 105. № 544 а) (4x + 12)(15x + 30)(17x + 34) = 0; 4x + 12 = 0; 15x + 30 = 0; 17x + 34 = 0; 4x = – 12; 15x = – 30; 17x = – 34; x = – 3; x = – 2; x = – 2. Ответ: – 3; – 2. б) (9y + 18)(12y – 48)(36y – 72) = 0; 9y + 18 = 0; 12y – 48 =0; 36y – 72 = 0; y = – 2; y = 4; y =2. Ответ: – 2; 4; 2. в) (23z – 46)(45z + 90)(3z + 24) = 0; 23z – 46 = 0; 45z + 90 = 0; 3z + 24 = 0; z = 2; z = – 2; z = – 8. Ответ: 2; – 2; – 8. г) (4t – 1)(8t – 3)(12t – 17) = 0; 4t – 1 = 0; 8t – 3 = 0; 12t – 17 = 0; 1 3 17 5 ;t= ;t= =1 . 4 8 12 12 1 3 5 Ответ: ; ; 1 . 4 8 12

t=

№ 545 а) x2 – x = 0; x(x – 1) =0; x = 0; x = 1. Ответ: 0; 1. б) 2x2 + 4x = 0; 2x(x + 2) = 0; x = 0; x = – 2. Ответ: 0; – 2. 1 3

1 3

в) 3x2 – 7x = 0; x(3x – 7) = 0; x = 0; x = 2 . Ответ: 0; 2 . г) x2 =4x; x(x – 4) = 0; x = 0; x= 4. Ответ: 0; 4. 88


№ 546 а) x2 – 16 = 0; б) y2 – 25 = 0; в) z2 – 36 = 0; г) t2 – 100 = 0;

(x – 4)(x + 4) = 0; x = 4; x = – 4. y – 5)(y + 5) = 0; y = 5; y = – 5. (z – 6)(z + 6) = 0; z = 6; z = – 6. (t – 10)(t + 10) = 0; t = 10; t = – 10.

Ответ: 4; – 4. Ответ: 5; – 5. Ответ: 6; – 6. Ответ: 10; – 10.

№ 547 а) 532 – 432 = (53 – 43)(53 + 43) = 10 · 96 = 960; б) 1082 – 982 = (108 – 98)(108 + 98) = 10 · 206 = 2060; ⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

2

⎛ 1⎞

2

⎛ 1

1 ⎞⎛ 1

1⎞

⎛ 1

1 ⎞⎛ 1

1⎞

2

2

в) ⎜ 6 ⎟ − ⎜ 5 ⎟ = ⎜ 6 − 5 ⎟⎜ 6 + 5 ⎟ = 1 ⋅ 11 = 11 ; 3 ⎠⎝ 3 3⎠ 3 3 ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎛ 1⎞

2

г) ⎜ 7 ⎟ − ⎜ 3 ⎟ = ⎜ 7 − 3 ⎟⎜ 7 + 3 ⎟ = 4 · 11 = 44. 2 ⎠⎝ 2 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 2 № 548 а) 0,25a2 – 9 = 0; (0,5a – 3)(0,5 + 3) = 0; 0,5a – 3 = 0; 0,5a + 3 = 0; a = 6; a = – 6. Ответ: 6; – 6. в) 4x2 – 144 = 0; (2x – 12)(2x + 12) = 0; 2x – 12 = 0; 2x + 12 = 0; x = 6; x = – 6. Ответ: 6; – 6.

б) 0,04b2 – 4 = 0; (0,2b – 2)(0,2b + 2) = 0; 0,2b – 2 = 0; 0,2b + 2 = 0; b = 10; b = – 10. Ответ: 10, – 10. г) 0,25y2 – 25 = 0; (0,5y – 5)(0,5y + 5) = 0; 0,5y – 5 = 0; 0,5y + 5 =0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10.

№ 549 910 910 910 13 1 а) = = = = ; 137 2 − 1232 (137 − 123)(137 + 123) 14 ⋅ 260 14 ⋅ 26 4 б)

2742 − 342 ( 274 − 34 )( 274 + 34 ) 240 ⋅ 308 308 = = = = 77 ; 960 960 960 4

в)

3242 − 362 ( 324 − 36 )( 324 + 36 ) 288 ⋅ 360 288 = = = = 72 ; 1440 1440 1440 4

г)

3522 − 522 ( 352 − 52 )( 352 + 52 ) 300 ⋅ 404 300 = = = = 150 . 808 808 808 2

№ 550

(144 − 18)(144 + 18) = 126 ⋅ 162 = 2 ⋅ 2 ⋅ 34 = 4 = 1 1 ; 3 3 1532 − 902 (153 − 90 )(153 + 90 ) 63 ⋅ 243 35 532 − 27 2 ( 53 − 27 )( 53 + 27 ) 24 ⋅ 80 6 ⋅ 8 48 б) ; = = = = 792 − 512 ( 79 − 51)( 79 + 51) 28 ⋅ 130 7 ⋅ 13 91 а)

1442 − 182

=

89


в) г)

782 − 302 662 − 62 1012 − 312 1392 − 292

( 78 − 30 )( 78 + 30 ) = 48 ⋅ 108 = 4 ⋅ 108 = 108 = 6 = 1 1 ; ( 66 − 6 )( 66 + 6 ) 60 ⋅ 72 5 ⋅ 72 5 ⋅ 18 5 5 (101 − 31)(101 + 31) = 70 ⋅ 132 = 7 ⋅ 132 = 7 ⋅ 12 = 1 = (139 − 29 )(139 + 29 ) 110 ⋅ 168 11 ⋅ 168 168 2

=

№ 551

а) б) в) г)

7,8 ⋅ 8,7 + 7,8 ⋅ 1,3 7,8 ( 8,7 + 1,3) 7,8 ⋅ 10 = = = 0,78; 100 100 100 13, 2 ⋅ 9,8 + 13, 2 ⋅ 2, 2 13, 2 ( 9,8 + 2, 2 ) 13, 2 ⋅ 12 = 6,6; = = 24 24 24 2,6 ⋅ 5, 4 + 5, 4 ⋅ 0,6 5, 4 ( 2,6 + 0,6 ) 5, 4 ⋅ 3, 2 = = = 1,6; 10,8 10,8 10,8 4,5 ⋅ 3,1 + 4,5 ⋅ 2,1 4,5 ( 3,1 + 2,1) 4,5 ⋅ 5, 2 = = = 4,5 · 52 = 234. 0,1 0,1 0,1

§ 20. Вынесение общего множителя за скобки № 552 а) 1, 2, 2m; б) x, 2x, 4x; в) a, b, ab; г) z, 2z, 7z. № 553 а) (3x + 3y) = 3(x + y); б) (5a – 5b) = 5(a – b); в) 7a + 7y = 7(a + y); г) 8x – 8a = 8(x – a). № 554 а) 3x + 6y = 3(x + 2y); б) 5a – 15b = 5(a – 3b); г) 8x – 32a = 8(x – 4a). в) 7a + 14y = 7(a + 2y); № 555 а) 8x + 28y = 4(x + 3y); б) 15a – 25 b = 5(3a – 5b); в) 21a + 28y = 7(3a + 4y); г) 24x – 32a = 8(3x – 4a). № 556 а) 2,4x + 7,2y = 2,4(x + 3y); б) 1,8a – 2,4b = 0,6(3a – 4b); в) 0,01a + 0,03y = 0,01(a + 3y); г) 1,25x – 1,75a =0,25(5x – 7a). № 557 1 4 1 8 16 8 2 а) x + y = (x + 4y); б) a – b = (a – b); 3 3 3 9 27 9 3 в)

18 12 a+ y= 25 35

6⎛3 2 ⎞ ⎜ a + y⎟ ; 5⎝5 7 ⎠

г)

3⎛ 4 1 ⎞ 12 3 x– y = ⎜ x − y⎟ . 7⎝7 4 ⎠ 49 28

№ 558 1 5

2 5

а) 3 x + 3 y = 90

16 17 1 x + y = (16x + 17y); 5 5 5


2 7

б) 4 a − 1

1 30 15 15 (4a – b). b= a− b= 14 7 14 14

№ 559 а) 3b2 – 3b = 3b(b – 1); в) 4c2 – 12c5 = 4c2(1 – 3c3);

б) a4 + 2a2 = a2(a2 + 2); г) 8d4 – 32d2 = 8d2(d2 – 4).

№ 560 а) x3 – 3x2 – x = x(x2 – 3x – 1); б) y5 – 2y4 + y2 = y2(y3 – 2y2 + 1); № 561 а) ab – a2b = ab(1 – a); в) x2y – xy2 = xy(x – y);

в) 2m6–4m3 + 6m = 2m(m5 – 2m3 + 3); г) 9p4 – 18p2 – 27p = 9p(p3 – 2p – 3).

б) – p2q2 – pq = – pq(pq + 1); г) m3n2 – n3m2 = n2m2(m – n).

№ 562 а) 2z5q2 – 4z3q + 6z2q3 = 2z2q(z3q – 2z + 3q3); б) xy3 + 5x2y2 – 3x2y = xy(y2 + 5xy – 3x); в) 7a4b3 – 14a3b4 + 21a2b5 = 7a2b3(a2 – 2ab + 3b2); г) 8x3y2 + 88x2y3 – 16x3y4 = 8x2y2(x + 11y – 2xy2). № 563 а) 15x3y2 + 10x2y – 20x2y3 = 5x2y(3xy + 2 – 4y2); б) 12a2b4 – 36a2b + 44abc = 4ab(3ab3 – 9a + 11c); в) 195c6p5 – 91c5p6 + 221c3p10 = 13c3p5(15c3 – 7c2p + 17p5); г) 42a4b – 48a3b2 – 78a2b3 = 6a2b(7a2 – 8ab – 13b2). № 564 а) 3x(a+b)+y(a+b)=(a +b)(3x + y); б) m(x – y) – (x – y) = (x – y)(m – 1); в) (c + 2) – d(c + 2) = (c + 2)(1 – d); г) 5p(r–s) + 6q(r – s) = (r – s)(5p +6q). № 565 а) 15c(a+b)+8(b+a)=(15c+8)(a + b); б) n(2a+1)+m(1+a) = (n +m)(2a + 1); в) 4a(x+y)–9b(y+x)=(4a–9b)(x+); г) 11p(c+8d)–9(8d+c)=(11p–9)(8d+c). № 566 а) a(b–c)+3(c–b)=(a – 3)(b – c); в) 4(p–q)–a(q–p)=(4+a)(p – q);

б) 6(m – n) + s(n – m) = (6 – s)(m – n); г) 7z(x – y) – 5(y – x) = (7z + 5)(x – y).

№ 567 а) (x – y)2 – a(x – y) = (x –y)(x – y –a); б) 5(a + 3)2 – (a +3) = (a +3)(5(a +3) – 1) = (a +3)(5a + 14); в) 8c(m+n)2 + 9d(m + n) = (m + n)(8c(m + n) + 9d)=(m + n)(8mc + 8cn + 8); г) (p2 – 6) – q(p2 – 6) = (p2 – 6)(1 – q(p2 – 6)) = (p2 – 6)(1 – qp2 + 6q). № 568 а) x2 – 3x = 0; x(x – 3) = 0; x = 0; x = 3. Ответ: 0; 3. б) y2 – 5y = 0; y(y – 5) = 0; y = 0; y = 5. Ответ: 0; 5. 91


в) a2 + 10a = 0; a(a + 10) = 0; a = 0; a = – 10. Ответ: 0; – 10. г) b2 + 20b = 0; b(b + 20) = 0; b = 0; b = – 20. Ответ: 0; – 20. № 569 а) 0,45p2 + 18p = 0; 9 p(p + 40) = 0; 20 9 p = 0; p + 40 = 0; 20

p =0; p = – 40. Ответ: 0; – 40. в) 4q2 + 3q = 0; q(4q + 3) = 0; 3 . 4 3 Ответ: 0; – . 4

q = 0; q = –

б) 9m2 + 0,27m = 0; ⎛ 100 ⎞ m + 1⎟ = 0; ⎝ 3 ⎠

0,27m ⎜

100 m + 1 = 0; 3 m = 0; m = – 0,03. Ответ: 0; – 0,03. г) 7x2 + 2x = 0; x(7x + 2) = 0; 0,27m = 0;

2 . 7 2 Ответ: 0; – . 7

x = 0; x = –

№ 570 а) 1542 + 154 · 46 = 154(154 + 46) = 154 · 200 = 308 · 100 = 30800; б) 0,23 + 0,22 · 0,8 = 0,22(0,2 + 0,8) = 0,22 = 0,04; в) 1672 – 167 · 67 = 167(167 – 67) = 167 · 100 = 16700; г) 0,93–0,81 · 0,29=0,81 · 0,9–0,81 · 2,9=0,81(0,9–2,9)=0,81 · (– 2) = – 1,62. № 571 а) a(2a–b)(a+b)–3a(a + b)2 = a(a + b)(2a – b – 3a – 3b) = – a(a + b)(a + 4b); б) 5x2(3x–8) + 10x(3x – 8)2 = 5x(3x – 8)(x + 6x – 16) = 5x(3x – 8)(7x – 16); в) 4c(4c – 1) – 3(4c – 1)2 = (4c – 1)(4c – 12c + 3) = (4c – 1)(3 – 8c); г) 6d2(2d–5)2–12d2(2d–5)(d+5)=6d2(2d–5)(2d–5 – 2d – 10) = – 90d2(2d – 5). № 572 а) 0,7562 – 0,241 · 0,756 – 0,415 · 0,756 = = 0,756(0,756 – 0,241 – 0,415) = 0,756 · 0,1 = 0,0756; б) 2,49 · 1,63–2,12 · 1,63 + 1,632 = 1,63(2,49 – 2,12 + 1,63)=1,63 · 2 = 3,26; в) 0,252 · 2,4 + 0,25 · 2,42 – 0,25 · 2,4 · 0,65 = = 0,25 · 2,4(0,25 + 2,4 – 0,65) = 0,25 · 2,4 · 2 = 0,5 · 2,4 = 1,2; г) 0,16 · 6,41 · 1,25 – 0,16 · 1,252 – 0,162 · 1,25 = = 0,16 · 1,25(6,41 – 1,25 – 0,16) = 0,16 · 1,25 · 5 = 1. № 573 а) 176 + 175 = 175(17 + 1) = 175 · 18; кратно 18; б) 428 + 427 = 427(42 + 1) = 427 · 43; кратно 43; в) 317 + 315 = 315(32 +1) = 315 · 10 = 314 · 30; кратно 30; г) 223 + 220 = 220(23 + 1) = 220 · 9 = 217 · 8 · 9 = 217 · 72; кратно 72. 92


№ 574 а) 87 – 218 = 87 – 86 = 86(8 – 1) = 4 · 2 · 85 · 7; кратно 4; б) 106 – 57 = 56 · 26 – 57 = 56(64 – 5) = 56 · 59; кратно 59; в) 97 + 312 = 97 + 96 = 96(9 + 1) = 95 · 90; кратно 90; г) 810 – 227 = 810 – 89 = 89 (8 – 1) = 88 · 4 · 14. кратно 14.

§ 21. Способ групировки № 575 а) 2x – x2 = x(2 – x); – 3ax + 2x2 = x(2x – 3a); 2ax2 – 3a2x = ax(2x – 3a); 4xy – 2x2y = 2xy(2 – x). Ответ: 2x – x2, 4xy – 2x2y; 2x2 – 3ax, 2ax2 – 3a2x. б) ab – 3b2 = b(a – 3b); a2 – 3ab = a(a – 3b); 5 + 10x = 5(1 + 2x); a + 2ax = a(1 + 2x). Ответ: ab – 3b2, a2 – 3ab; 5 + 10x, a + 2ax. в) n2 – nm = n(n – m); 6a2 – 9ab = 3a(2a – 3b); mn – n2 = n(m – n); 2ab – 3b2 = b(2a – 3b). Ответ: 6a2 – 9ab, 2ab – 3b2. г) 4x – 8 = 4(x – 2); x2 – 2x = x(x – 2); –5 – 15m = – 5(m + 3); 21mn + 7n = 7n(3m + 1). Ответ: 4x – 8, x2 – 2x. № 576 а) 2by – bz = b(2y – z); 4ax – az = a(4x – z); 2ay – az = a(2y – z); 4bx – bz = b(4x – z). Ответ: 2by – bz, 2ay – az; 4ax – az, 4bx – bz. б) 6ax – 3x = 3x(2a – 1); – 2a – 1; 3by – 3y = 3y(b – 1); c – cb = c(1 – b). Ответ: таких двучленов нет. в) a3 – 2a2 = a2(a – 2); 4ab – 2a2b = 2ab(2 – a); 5ac2 – 10ac = 5ac(c – 2); 3a – 6 = 3(a –2). Ответ: a3 – 2a2, 3a – 6. г) 3mn2 – 6m2n = 3mn(n – 2m); abn – 2abm = ab(n – 2m); a2x3 – 9a2x = a2x(x2 – 9); 9x2 – x4 = x2(9 – x2). Ответ: 3mn2 – 6m2n, abn – 2abm. № 577 а) 3a + 3 – na – n = 3(a + 1) – n(a +1) = (a + 1)(3 – n); б) 6mx – 2m + 9x – 3 = 2m(3x – 1) + 3(3x – 1) = (2m + 3)(3x – 1); в) ax – 3x – 4a + 12 = x(a – 3) – 4(a – 3) =(x – 4)(a – 3); г) 2mx – 3m – 4x + 6 = m(2x – 3) – 2(2x – 3) = (m – 2)(2x – 3). № 578 а) 7kn – 6k +14n – 12 = k(7n – 6) + 2(7n – 6) = (k + 2)(7n – 6); б) 5a2 – 5ax – 7a + 7x = 5a(a – x) – 7(a – x) = (5a – 7)(a – x);

93


в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = 9m(m – n) – 5(m – n) = (9m – n)(m – n); г) 6a2 – 2ab – 3ac + bc = 2a(3a – b) – c(3a – b) = (2a – c)(3a – b). № 579 а) 7c2 – c – c3 + 7 = c2(7 – c) + 7 – c = (c2 +1)(7 – c); б) x3 + 28 – 14x2 – 2x = x(x2 – 2) – 14(x2 – 2) = (x – 14)(x2 – 2); в) 2b3 – 6 – 4b2 + 3b = 2b2(b – 2) + 3(b – 2) = (2b3 + 3)(b – 2); г) x3 – 6 + 2x – 3x2 = x2(x – 3) + 2(x – 3) = (x2 + 2)(x – 3). № 580 а) 16ab2+5b2c+10c3+32ac2=16a(b2+2c2)+5c(b2+2c2) = (16a + 5c)(b2 + 2c2); б) 18a2+27ab + 14ac + 21bc = 9a(2a + 3b) + 7c(2a + 3b)=(9a+7c)(2a + 3b); в) 20n2 – 35a – 14an + 50n = 10n(2n + 5) – 7a(2n + 5) = (10n – 7a)(2n + 5); г) 2x2yz–15yz–3xz2+10xy2 = xz(2xy – 3z) + 5y(2xy – 3z) = (xz + 5y)(2xy – 3z). № 581 ax – 2a – 3x + 6 = x(a – 3) – 2(a – 3) = (x – 2)(a – 3); а) 4; б) 0; в) – 2,25; г) 0. № 582 2a + b + 2a2 + ab = (2a + b) + a(2a + b) = (2a + b)(a + 1); а) (– 2 + 998)(– 1 + 1) = 0; б) (91 – 3)(45,5 + 1) = 46,5 · 88 = 4092; в) (2 · 7,4 + (– 2))(7,4 + 1) = 12,8 · 8,4 = 107,52; ⎛

2⎞

2

23 1

5

г) ⎜ −1 + 8 ⎟ (– 0,5 + 1) = 7 · 0,5 = ⋅ =3 . 3⎠ 3 3 2 6 ⎝ № 583 5ab – 7b + 5a2 – 7a = b(5a – 7) + a(5a – 7) = (a + b)(5a – 7); а) (0,2+1)(1 – 7) = 1,2 · (– 6) = – 7,2; б) (2,5–0,5)(12,5 – 7) = 2 · 5,5 = 11; в) (3,7 – 3,7)(5 · 3,7 – 7) = 0; г) ((1,4 + 11)(7 – 7) = 0. № 584 а) 40a3b2c + 21bc – 56ac2 – 15a2b3 = 8ac(5a2b2 – 7c) + 3b(7c – 5a2b2) = = (8ac – 3b)(5a2b2 – 7c); б) 16xy2–5y2z–10z3+32xz2 = 16x(y2 + 2z2) – 5z(y2 + 2z2)=(16x – 5z)(y2 + 2z2); в) 30x2 + 10c – 25cx – 12x = 5x(6x – 5c) + 2(5c – 6x) = (5x – 2)(6x – 5c); г) 18x2z – 10kxy + 20k2y – 36kxz = 18xz(x – 2k) – 10ky(x – 2k) = = (18xz – 10ky)(x – 2k) = 2(9xz – 5ky)(x – 2k). № 585 а) ax2–ay–bx2 + cy + by – cx2 = a(x2–y)–b(x2–y)– c(x2– y)=(x2 – y)(a – b – c); б) xy2–by2 – ax + ab + y2 – a = x(y2 – a) – b(y2 – a)+y2–a=(y2 – a)(x – b + 1); в) ax + bx + cx + ay + by + cy = (x + y)(a + b + c); г) ab – a2b2 + a3b3 – c + abc – ca2b2 = = ab(1 – ab +a2b2) – c(1 – ab + a2b2) = (ab – c)(1 – ab + a2b2).

94


№ 586 21a2b – 4b – 12a + 7ab2 = 7ab(3a + b) – 4(b + 3a) = (3a + b)(7ab – 4); 26 2 ⎛ 14 ⎞ ⎛ −14 − 12 ⎞ − 4 ⎟ = 1⋅ ⎜ = −8 ; ⎟=− 3 3 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

а) (– 1 + 2) ⎜ − ⎛ ⎝

1⎞

б) ⎜12 + ⎟ ( 4 − 4 ) =0; 7

⎠ 1 ⎞⎛ 8 1 1⎞ ⎛8 ⎞ ⎛8 в) ⎜ ⋅ 3 + ⎟⎜ ⋅ 7 ⋅ − 4 ⎟ = ⎜ ⋅ 3 + ⎟ ⋅ (4 – 4) = 0; 2 ⎠⎝ 7 2 2⎠ ⎝7 ⎠ ⎝7 ⎛ 2 ⎝ 3

⎞ ⎠

г) (– 2 + 3) ⎜ − ⋅ 3 ⋅ 7 − 4 ⎟ = 1 · (– 14 – 4) = – 18. № 587 а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = = 2,7(6,1 – 1,2) – 9,3(1,2 – 6,2) = (6,2 – 1,2)(2,7 + 9,3) = 12 · 5 = 60; б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 – 125 · 83 = 125(48 – 83) – 31(82 + 53) = = 125(48 – 83 – 31) = 125 · (– 66) = – 8250; в) 14,9 · 1,25 + 0,75 · 1,1 + 14,9 · 0,75 + 1,1 · 25 = = 14,9(1,25 + 0,75) + 1,1(25 + 0,75) = 14,9 · 2 + 1,1 · 25,72 = = 29,8 + 28,325 = 58,125; 1 1 2 1 4 3 5 3 3 5 1 1 = 3 ⋅ 7 + 3 ⋅ 7 = 7 ⋅ 4 = 28 . 3 3

2 3

г) 3 ⋅ 4 + 4, 2 ⋅ + 3 ⋅ 2 + 2,8 ⋅ =

2 1 1 4 ( 2,8 + 4, 2 ) + 3 ⎛⎜ 4 + 2 ⎞⎟ = 3 3⎝ 5 5⎠

№ 588 а) 109 · 9,17 – 5,37 · 72 – 37 · 9,17 + 1,2 · 72 = = 9,17(109 – 37) – 72(5,37 – 1,2) = 9,17 · 72 – 72 · 4,17 = 72 · 5 = 360; б) 19,9 · 18 – 19,9 · 16 + 30,1 · 18 – 30,1 · 16 = = (19,9 + 30,1)(18 – 16) = 50 · 2 = 100; в) 15,5 · 20,8 + 51,5 · 9,2 – 3,5 · 20,8 – 3,5 · 9,2 = = 15,5(20,8 + 9,2) – 3,5(20,8 + 9,2) = 30 · 12 = 360; г) 77,3 · 13 + 8 · 37,3 – 77,3 · 8 – 13 · 37,3 = = 13(77,3 – 37,3) + 8(37,3 – 77,3) = 40 · 5 = 200. № 589 а) x2 + 6x + 8 = x2 + 2x + 4x + 8 = x(x + 2) + 4(x + 2) = (x + 4)(x + 2); б) x2 – 8x + 15 = x2 – 3x – 5x + 15 = x(x – 3) – 5(x – 3) = (x – 5)(x – 3); в) x2 + 3x + 2 = x2 + x + 2x + 2 = x(x + 1) + 2(x + 1) = (x + 2)(x + 1); г) x2 – 5x + 6 = x2 – 2x – 3x + 6 = x(x – 2) – 3(x – 2) = (x – 2)(x – 3). № 590 а) a2 – 7a + 6 = a2 – a – 6a + 6 = a(a – 1) – 6(a – 1) = (a – 6)(a – 1); б) b2 + 9b – 10 = b2 – b + 10b – 10 = b(b – 1) + 10(b – 1) = (b – 1)(b + 10);

95


в) y2 – 10y + 24 = y2 – 4y – 6y + 24 = y(y – 4) – 6(y – 4) = (y – 6)(y – 4); г) z2 – 18z – 40 = z2 + 2z – 20z – 40 = z(z + 2) – 20(z + 2) = (z – 20)(z + 2). № 591 а) a2 + 8ab – 9b2 = a2 + ab – 9ab – 9b2 = a(a + b) – 9b(a+b)=(a – 9b)(a + b); б) a2 + 16ab + 55b2 = a2 + 5ab + 11ab + 55b2 = = a(a + 5b) + 11b(a + 5b) = (a +11b)(a + 5b); в) x2 + 4xy – 12y2 = x2 – 2xy + 6xy – 12y2 = = x(x – 2y) + 6y(x – 2y) = (x + 6y)(x – 6y); г) x2 + 16xy + 39y2 = x2 + 13xy + 3xy + 39xy2 = = x(x + 3y) + 13y(x + 3y) = (x + 13y)(x + 3y). № 592 а) x – 3x + 2 = 0; x2 – x – 2x + 2 =0; x(x – 2) – (x – 2) =0; (x – 1)(x – 2) =0; x = 1; x = 2. Ответ: 1; 2. в) x2 – 6x + 8 =0; x2 – 2x – 4x + 8 =0; (x – 2)(x – 4) = 0; x = 2; x = 4. Ответ: 2; 4.

б) x2 + 8x + 15 = 0; x2 + 3x + 5x + 15 = 0; x(x + 3) + 5(x + 3) = 0; (x + 3)(x + 5) = 0; x = – 3; x = – 5. Ответ: – 3; – 5. г) x2 – 3x – 4 = 0; x2 + x – 4x – 4 = 0; (x – 4)(x + 1) = 0; x = 4; x = – 1. Ответ: 4; – 1.

№ 593 а) 2x2 – 5x + 2 = 0; 2x2 – 4x – x + 2 = 0; 2x(x – 2) – (x – 2) = 0; (2x – 1)(x – 2) = 0;

б) 3x2 + 10x + 3 = 0; 3x2 + 9x + x + 3 = 0; 3x(x + 3) + (x + 3) = 0; (3x + 1)(x + 3) = 0;

2

1 ; x = 2. 2 1 Ответ: ; 2. 2

1 ; x = – 3. 3 1 Ответ: – ; – 3. 3

x=

x=–

в) 4x2 + 5x – 6 =0; 4x2 + 8x – 3x – 6 = 0; 4x(x + 2) – 3(x + 2) = 0; (4x – 3)(x + 2) = 0;

г) 3x2 – x – 2 = 0; 3x2 – 3x + 2x – 2 = 0; 3x(x – 1) + 2(x – 1) = 0; (3x + 2)(x – 1) = 0;

3 ; x = – 2. 4 3 Ответ: ; – 2. 4

x=

96

2 ; x = 1. 3 2 Ответ: – ; 1. 3

x=–


§ 22. Разложение многочлена на множители с помощью формул сокращенного умножения № 594 а) 4z2 = 2z · 2z = (2z)2; 9b4 = 3b2 · 3b2 = (3b2)2; 25m2 = 5m · 5m = (5m)2; 64p2 = 8p · 8p = (8p)2; б) 16a2b4 = (4ab2)2; 81x6y4 = (9x3y2)2; 49s2t8 = (7st4)2; 25k2t10 = (5kt5)2; 2

в)

2

16 2 4 2 ⎛ 4 2 ⎞ 9 4 12 ⎛ 3 2 6 ⎞ p s t = ⎜ ps t ⎟ ; mn = ⎜ m n ⎟ ; 25 ⎝5 ⎠ 16 ⎝4 ⎠ 2

2

4 2 12 ⎛ 2 6 ⎞ 25 4 8 16 ⎛ 5 2 4 8 ⎞ a b = ⎜ ab ⎟ ; xyz = ⎜ x y z ⎟ ; 49 81 ⎝9 ⎠ ⎝9 ⎠

г) 0,01a4b8 = (0,1a2b4)2; 0,04x6y6 = (0,2x3y3)2; 0,49k2L10 = (0,7k4L5)2; 1,21m6n4 = (1,1m3n2)2.

№ 595 а) 4 – 36a2 = 22 – (6a)2 = (2 – 6a)(2 + 6a); б) 100 – 49b2 = 102 – (7b)2 = (10 – 7b)(10 + 7b); в) 400 – 121c2 = 202 – (11c)2 = (20 – 11c)(20 + 11c); г) 225 – 144d2 = 152 – (12d)2 =(15 – 12d)(15 + 12d). № 596 а) a2 – 9b2 = (a – 3b)(a + 3b); в) m2 – 64n2 = (m – 8n)(m + 8n);

б) c2 – 16d2 = (c – 4d)(c + 4d); г) p2 – 100q2 = (p – 10q)(p + 10q).

№ 597 а) 59x2–121a2=(7x – 11a)(7x + 11a); б) 64p2 – 81q2 = (8p – 9q)(8p + 9q); в) 9m2 – 16n2 = (3m – 4n)(3m + 4n); г) 144y2–81r2 = (12y – 9r)(12y + 9r). № 598 а) x2y2–1=(xy)2–12 = (xy – 1)(xy + 1); б) c2d2–4=(cd)2–22=(cd – 2)(cd + 2); в) m2n2 – 25 = (mn)2 – 52 = (mn – 5)(mn + 5); г) p2q2 – 100 = (pq)2 – 102 = (pq – 10)(pq + 10). № 599 а) 25 – 36p2c2 = 52 – (6pc)2 = (5 – 6pc)(5 + 6pc); б) 100m2n2 – 81 = (10mn)2 – 92 = (10mn – 9)(10mn + 9); в) 49x2y2 – 400 = (7xy)2 – 202 = (7xy – 20)(7xy + 20); г) 225 – 144c2d2 = 152 – (12cd)2 = (15 – 12cd)(15 + 12cd). № 600 а) c2d2 – m2 = (cd)2 – m2 = (cd – m)(cd + m); б) a2x2 – 0,25p2q2 =(ax)2 – (0,5pq)2 = (ax – 0,5pq)(ax + 0,5pq); в) 16y2z2 – 4a2n2 = (4yz)2 – (2an)2 = (4yz – 2an)(4yz + 2an); г) x2y2 – 0,25p2q2 = (xy)2 – (0,5pq)2 = (xy – 0,5pq)(xy + 0,5pq). 97


№ 601 а) 144a4 – 625c2 = (12a2)2 – (25c)2 = (12a2 – 25c)(12a2 + 25c);

б) 25p10 –

2

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 12 ⎛1 ⎞ ⎛ q = (5p5)2 – ⎜ q 6 ⎟ = ⎜ 5 p5 − q 6 ⎟⎜ 5 p5 + q 6 ⎟ ; 3 ⎠⎝ 3 ⎠ 9 ⎝3 ⎠ ⎝

в) 169x8 – 400y16 = (13x4 )2 – (20y8)2 = (13x4 – 20y8)(13x4 + 20y8); г) 4b16 –

2

1 ⎞⎛ 1 ⎞ 1 4 ⎛1 ⎞ ⎛ d = (2b8)2 – ⎜ d 2 ⎟ = ⎜ 2b8 − d 2 ⎟⎜ 2b8 − d 2 ⎟ . 4 ⎠⎝ 4 ⎠ 16 ⎝4 ⎠ ⎝

№ 602 а) x2 – 49 = 0; (x – 7)(x + 7) = 0; x – 7 = 0; x + 7 = 0; x = 7; x = – 7. Ответ: 7; – 7. в) z2 – 625 = 0; (z – 25)(z + 25) = 0; z – 25 = 0; z + 25 = 0; z = 25; z = – 25. Ответ: 25; – 25.

б) y2 – 100 = 0; (y – 10)(y + 10) = 0; y – 10 = 0; y + 10 = 0; y = 10; y = – 10. Ответ: 10; – 10. г) t2 – 1 = 0; ( t – 1)(t + 1) = 0; t – 1 = 0; t + 1 = 0; t = 1; t = – 1. Ответ: 1; – 1.

№ 603 а) 4x2 – 1 = 0; (2x – 1)(2x + 1) = 0; 2x – 1 = 0; 2x + 1 = 0;

б) 25y2 – 49 = 0; (5y – 7)(5y + 7) = 0; 5y – 7 = 0; 5y + 7 = 0;

1 1 ;x=– . 2 2 1 1 Ответ: ;– . 2 2

5 5 ;y=– . 7 7 5 5 Ответ: ; – . 7 7

x=

y=

в) 26a2 – 25 = 0; (6a – 5)(6a + 5) = 0; 6a = 5; 6a = – 5;

г) 144z2 – 1 = 0; (12z – 1)(12z + 1) = 0; 12z = 1; 12z = – 1;

a = 1,2; a = – 1,2.

Ответ: 1,2; – 1,2.

1 1 ;z=– . 12 12 1 1 ;– . Ответ: 12 12

z=

№ 604 а) a + b; a2 – ab + b2; в) 2c + 3d; 2c2 – 6cd + 9d2;

б) m2 + 2n2; m4 – 2m2n2 + 4n4 г) 3p + 4q2; 9p2 – 12pq2 + 16q4.

№ 605 а) k –L; k2 + kL + L2; в) 3p – 2m; 9p2 + 6pm + 4m2;

б) 5a2 – b2; 25a4 + 5a2b2 + b4; г) 4s – 3t2; 16s2 + 125t2 + 9t4.

98


№ 606 а) a3b3 = (ab)3, x6y9 = (x2y3)3, 8m3n9 = (2mn3)3, 125k9t27 = (5k3t9)3;

б)

1 9 ⎛1 p = ⎜ 64 ⎝4

3

3

27 18 ⎛ 3 6 ⎞ 1 ⎞ ⎛1 ⎞ 125 24 ⎛ 5 8 ⎞ p⎟ , s = ⎜ s ⎟ ; m12 = ⎜ m 4 ⎟ , a =⎜ a ⎟ ⎠ 125 ⎝ 5 ⎠ 343 ⎝7 ⎠ 216 ⎝6 ⎠

в) 0,064a3b3 = (0,4ab)3, 0,216m3n18 = (0,6mn6)3, г) 125x3y6z9 =(5xy2z3)3, 8m6n3p12 = (2m2np4)3,

3

0,125x9y3 = (0,5x3y)3, 0,008p9q12 = (0,2p3q4)3; 216a12b36c24 = (6a4b12c8)3, 0,343k9L18p15 = (0,7k3L6p5)3.

№ 607 а) a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 – 2a + 4); б) b3 – 27 = b3 – 33 = (b – 3)(b2 + 3b + 9); в) c3 – 64 = c3 – 43 = (c – 4)(c2 + 4c + 16); г) d3 + 125 = d3 + 53 = (d + 5)(d2 – 5d + 25). № 608 а) 216 – m3 = 63 – m3 = (6 – m)(36 + 6m + m2); б) 1000 + m3 = 103 + m3 = (10 + m)(100 – 10m + m2); в) 729 + p3 = 93 + p3 = (9 + p)(81 – 9p + p2); г) 343 – q3 = 73 – q3 = (7 – q)(49 + 7q + q2). № 609 а) 64a3 + 1 = (4a + 1)(16a2 – 4a + 1); б) 27d3 – 8=(3d – 2)(9d2 + 6d + 4); в) 512b3 – 125 = (8b – 5)(64b2 + 40b + 25); г) 216c3 + 1000 = (6c + 10)(36c2 – 60c + 100). № 610 а) a3b3–1=(ab – 1)(a2b2 + ab + 1); в) m3n3–27=(mn–3)(m2n2+3mn+9); № 611 а) a2 – 2ab + b2 = (a – b)2; в) z2 + 2zt + t2 = (z + t)2;

б) 8 + c3d3 = (2 + cd)(4 – 2cd + c2d2); г) p3q3+64=(pq + 64)(p2q2 – 4pq + 16).

б) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2; г) m2 – 2mn + n2 = (m – n)2.

№ 612 а) m2 + 4m + 4 = m2 + 2 · 2m + 22 = (m + 2)2; б) a2 – 12a + 36 = a2 – 2 · 6a + 62 = (a – 6)2; в) 1 – 2b + b2 = (1 – b)2; г) y2 + 18y + 81 = y + 2 · 9y + 92 = (y + 9)2. № 613 а) p2 + 10p + 25 = p2 + 2 · 5p + 52 = (p + 5)2; б) x2 – 14x + 49 = x2 – 2 · 7x + 72 = (x – 7)2; в) 225 – 30y + y2 = 152 – 2 · 15y + y2 = (15 – y)2; г) 64 + 16z + z2 = 82 + 2 · 8z + z2 = (z + 8)2.

99


№ 614 а) 4y2 – 12y + 9 = (2y)2 – 2 · 3 · 2y + 32 = (2y – 3)2; б) 9p2 + 48pq + 64q2 = (3p)2 + 2 · 3p · 8q + (8q)2 = (3p + 8q)2; в) 9m2 + 24m + 16 = (3m)2 + 2 · 4 · 3m + 42 = (3m + 4)2; г) 9a2 – 30a + 25 = (3a)2 – 2 · 5 · 3a + 52 = (3a – 5)2. № 615 а) 9x2 + 24xy + 26y2 = (3x)2 + 2 · 3x · 4y + (4y)2 = (3x + 4y)2; б) 36a2 – 84ab + 49b2 = (6a)2 – 2 · 6a · 7b + (7b)2 = (6a – 7b)2; в) 4m2 – 28mn + 49n2 = (2m)2 – 2 · 2m · 7n + (7n)2 = (2m – 7n)2; г) 0,25x2 + 3xy + 9y2 = (0,5x)2 + 2 · 0,5x · 3y + (3y)2. № 616 а) a2 – 10a + 25 = (a – 5)2 – неотрицательное; б) 49 + 14a + a2 = (a + 7)2 – неотрицательное; в) – a2 – 4a – 4 = – 1 · (a2 + 4a + 4) = – (a + 2)2 – неположительное; г) – a2 – 12a – 36 = – 1 · (a2 + 12a + 36) = – (a + 6)2 – неположительное. № 617 а) 342 + 2 · 34 · 36 + 362 = (34 + 36)2 = 702 = 4900; б) 272 – 2 · 27 · 13 + 132 = (27 – 13)2 = 142 = 196; в) 982 – 2 · 98 · 8 + 82 = (98 – 8)2 = 902 = 8100; г) 76,4 + 13,6 + 2 · 76,4 · 13,6 = (76,4 + 13,6)2 = 902 = 8100. № 618 а) 2572 – 1432 = (257 – 143)(257 + 143) = 114 · 400 = 45600; б) 73,62 – 26,42 = (73,6 – 26,4)(73,6 + 26,4) = 37,2 · 100 = 3720; в) 1652 – 652 = (165 – 65)(165 + 65) = 100 · 230 = 23000; г) 72,52 – 47,52 = (72,5 – 47,5)(72,5 + 47,5) = 25 · 120 = 3000. № 619 а) (x + 1)2 – 25 = (x + 1 – 5)(x + 1 + 5) = (x – 4)(x + 6); б) (y – 2)2 – 4 = (y – 2 – 2)(y – 2 + 2) = y(y – 4); в) (z + 10)2 – 100 = (z + 10 – 10)(z + 10 + 10) = z(z + 20); г) (t – 7)2 – 100 = (t – 7 – 10)(t – 7 + 10)= (t – 17)(t + 3). № 620 а) 49 – (m – 3)2 = (7 – m + 3)(7 + m – 3) = (m + 4)(10 – m); б) 400 – (a + 9)2 = (20 – a – 9)(20 + a + 9) = (11 – a)(29 + a); в) 625 – (n + 12)2 = (25 – n – 12)(25 + n + 12) = (13 – n)(37 + n); г) 121 – (b – 13)2 = (11 – b + 13)(11 + b – 13) = (24 – b)(b – 2). № 621 а) (a+4)2–(b+2)2=(a + 4 – b – 2)(a + 4 + b + 2) = (a – b + 2)(a + b + 6); б) (x–5)2–(y + 8)2 = (x – 5 – y – 8)(x – 5 + y + 8) = (x – y – 13)(x + y +3); в) (m+10)2–(n–12)2 = (m+10–n+12)(m+10+n – 12)=(m – n + 22)(m + n – 2); г) (c–1)2–(d – 23)2 = (c – 1 – d + 23)(c – 1+ d – 23) =(c – d + 22)(c + d – 24). 100


№ 622 а) (3x+1)2–(4x + 3)2 = (3x + 1 – 4x – 3)(3x + 1 + 4x + 3) = – (x + 2)(7x + 4); б) (6y – 7)2–(9y + 4)2=(6y – 7 – 9y – 4)(6y – 7 + 9y +4)=(– 3y – 11)(15y – 3); в) (15z + 4)2 – (3z – 2)2 = (15z + 4 – 3z + 2)(15z + 4 + 3z – 2) = = (12z + 6)(18z + 2) = 12(2z + 1)(3z + 2); г) (3t – 9)2 – (8t – 7)2 = (13t – 9 – 8t + 7)(13t – 9 +8t – 7)=(5t – 2)(21t – 16). № 623 1 2 1 1 ⎞⎛ 1 1⎞ 1 1 1 1 ⎛1 a − а) = 0; ⎜ a − ⎟⎜ a + ⎟ = 0; a = ; a = − ; 5 ⎠⎝ 4 5⎠ 16 25 4 5 4 5 ⎝4 4 4 4 4 ; a = − . Ответ: ; − . 5 5 5 5 4 2 16 4 ⎞⎛ 2 4⎞ 2 4 2 4 ⎛2 b − = 0; ⎜ b − ⎟⎜ b + ⎟ = 0; b = ; b = − б) 11 ⎠⎝ 7 11 ⎠ 49 121 7 11 7 11 ⎝7 3 3 3 3 b = 1 ; b = – 1 . Ответ: 1 ; – 1 . 11 11 11 11 9 ⎞⎛ 3 9⎞ 9 2 81 3 9 3 9 ⎛3 = 0; ⎜ c − ⎟⎜ c + ⎟ = 0; c = ; c = − ; в) c − 10 ⎠⎝ 4 10 ⎠ 16 100 4 10 4 10 ⎝4 1 1 1 1 c = 1 ; c = – 1 . Ответ: 1 ; – 1 . 5 5 5 5 8 ⎞⎛ 6 8⎞ 36 2 64 ⎛ 6 d – = 0; ⎜ d − ⎟⎜ d + ⎟ = 0; г) 21 ⎠⎝ 35 21 ⎠ 1225 441 ⎝ 35 6 8 6 8 2 2 2 2 ; d = − ; d = 2 ; d = – 2 . Ответ: 2 ; – 2 . d= 35 21 35 21 9 9 9 9

a=

№ 624 а) (2x – 5)2 – 36 =0; (2x – 41)(2x + 31) = 0; 2x = 41; 2x = – 31; 1 1 x = 20 ; x = – 15 . 2 2 1 1 Ответ: 20 ; – 15 . 2 2 в) (5z – 3)2 – 9z2 = 0; (2z – 3)(14z – 3) = 0; 2z = 3; 14z = 3; 1 3 z=1 ;z= . 2 14 3 . Ответ: 1; 14

б) (4 – 11y)2 – 1= 0; (3 – 11y)(5 – 11y) = 0; 11y = 3; 11y = 5; 3 5 y= ;y= . 11 11 3 5 Ответ: ; . 11 11 2 г) (4t – 3) – 25t2 = 0; (– t – 3)(9t – 3) = 0; – t = 3; 9t = 3; 1 t = – 3; t = . 3 1 Ответ: – 3; . 3 101


№ 625 а) (a + 1)2 – (2a + 3)2 = 0; (– a – 2)(3a + 4) = 0; a = – 2; 3a = – 4; 1 a=–1 . 3

1 . 3 в) (5c + 8)2 – (c – 10)2 = 0; (4c + 18)(6c – 2) = 0; 4c = – 18; 6c = 2; 1 c=–4 ; 2

Ответ: – 2; – 1

c = 3.

Ответ: – 4

а) б) в) г)

б) (3b – 2)2 – (b + 1)2 = 0; (2b – 3)(4b – 1) = 0; 2b = 3; 4b = 1; 1 b=1 ; 2 1 b= . 4 1 1 Ответ: 1 ; . 2 4 г) (7d – 13)2 – (9d – 25)2 = 0; (– 2d + 12)(16d – 38) = 0; 2d = 12; 16d = 38; d = 6; d =2

1 ; 3. 2

3 . 8

Ответ: 6; 2

3 . 8

№ 626 1 3 8 3 ⎛1 2 ⎞⎛ 1 1 4 ⎞ a − b = ⎜ a − b ⎟⎜ a 2 + ab + b 2 ⎟ ; 8 27 3 ⎠⎝ 4 3 9 ⎠ ⎝2 64 3 729 3 ⎛ 8 9 ⎞⎛ 64 36 81 2 ⎞ c + d = ⎜ c + d ⎟⎜ c 2 − cd + d ⎟; 343 1000 7 10 49 35 100 ⎝ ⎠⎝ ⎠ 125 3 216 3 ⎛ 5 6 ⎞⎛ 25 2 15 36 2 ⎞ x − y = ⎜ x − y ⎟⎜ x + xy + y ⎟; 512 343 7 ⎠⎝ 64 28 49 ⎠ ⎝8 1 3 125 3 ⎛ 1 5 ⎞⎛ 1 5 25 ⎞ m + n = ⎜ m + n ⎟⎜ m 2 − mn + n 2 ⎟ . 729 216 6 ⎠⎝ 81 54 36 ⎠ ⎝9

№ 627 а) a6 – 8 = (a2)3 – 23 = (a2 – 2)(a4 + 2a2 + 4); б) 27 + b9 = 33 + (b3)3 = (3 + b3)(9 – 3b3 + b6); 2

( )

3 ⎛1 1 ⎛1⎞ ⎞⎛ 1 1 ⎞ − x 6 = ⎜ ⎟ − x 2 = ⎜ − x 2 ⎟⎜ + x 2 + x 4 ⎟ ; 8 ⎝2⎠ ⎝2 ⎠⎝ 4 2 ⎠ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 1 ⎞ – x6 = − ⎜ + y 6 ⎟ = ⎜ − − y 2 ⎟⎜ − y 2 + y 4 ⎟ . г) – 64 ⎝ 64 ⎠ ⎝ 4 ⎠⎝ 16 4 ⎠

в)

102


№ 628 а) x3y3 – c3 = (xy)3 – c3 = (xy – c)(x2y2 + xyc + c2); б) a3 + m3n9 = a3 + (mn3)3 = (a + mn3)(a2 – amn3 + m2n6); в) m6n3 – p12 = (m2n)3 – (p4)3 = (m2n – p4)(m4n2 + m2np4 + p8); г) q3 + c15d18 = q3 + (c5d6)3 = (q + c5d6)(q2 – qc5d6 + c10d12). № 629 3

( )

а)

1 6 ⎛1 ⎞ a − b9 = ⎜ a 2 ⎟ − b3 8 ⎝2 ⎠

1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ a 2 − b3 ⎟⎜ a 4 + a 2b3 + b6 ⎟ ; 2 ⎝2 ⎠⎝ 4 ⎠

б)

8 3 a + x9 = 27

в)

1 3 ⎛1 ⎞ x + y6 = ⎜ x ⎟ + y2 125 ⎝5 ⎠

г)

64 3 343 6 ⎛ 4 ⎞ ⎛ 7 ⎞ 7 ⎞⎛ 16 14 49 4 ⎞ ⎛4 m − n = ⎜ m ⎟ − ⎜ n ⎟ = ⎜ m − n2 ⎟⎜ m2 + mn2 + n ⎟. 729 1000 10 ⎠⎝ 81 45 100 ⎠ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 10 ⎠ ⎝9

3

3

⎛2 ⎞ ⎛2 3 3 3 ⎞⎛ 4 2 2 3 6⎞ ⎜ a ⎟ + (x ) = ⎜ a + x ⎟⎜ a − ax + x ⎟ ; 3 ⎝3 ⎠ ⎝3 ⎠⎝ 9 ⎠ 3

( )

3

3

1 ⎛1 ⎞⎛ 1 ⎞ = ⎜ x + y 2 ⎟⎜ x 2 − xy 2 + y 4 ⎟ ; 5 ⎝5 ⎠⎝ 25 ⎠ 6

№ 630 а)(2с + 1)3 – 64 = (2c + 1)3 – 43 =(2c + 1 – 4)((2c + 1)2 + 4(2c + 1)+42) = = (2c – 3)(4c2 + 4c + 1 + 8c + 4 + 16) = (2c – 3)(4c2 + 12c + 21); б) (3p – 4)3 + 1 = (3p – 4 + 1)((3p – 4)2 – 3p + 4 + 1) = = (3p – 3)(9p2 – 24p + 16 – 3p + 4 + 1) = 3(p – 1)(9p2 – 27p + 21) = = 9(p – 1)(3p2 – 9p + 7); в) 8 – (3 – k)3 = (k – 1)(4 + 6 – 2k + 9 – 6k + k2) = (k – 1)(k2 – 8k + 19); г) (5a + 4)3 – 27 = (5a + 1)(25a2 + 40a + 16 + 15a + 12 + 9) = = (5a + 1)(25a2 + 55a + 37). № 631 а) (6b + 8)3 – 125 = (6b + 8 – 5)((6b + 8)2 + 5(6b + 8) + 25) = = 9(2b + 1)(12b2 + 42b + 43); б) 1000 + (3q + 12)3 = (3q + 12)(100 – 10(3q + 12) + (3q + 12)2) = = (3q + 12)(100 – 30q – 120 + 9q2 + 72q + 144) =3(q + 4)(9q2 + 42q + 124); в) 8x3–(5x–3)3=(2x–5x+3)((2x)2 + 2x(5x – 3) + (5x–3)2)=– 3(x–1)(4x2+10x2 – – 6x + 25x2 – 30x + 9) = – 9(x – 1)(13x2 – 12x + 3); г)(3x + 2y)3 + 729y3 = (3x + 2y + 9y)((3x + 2y)2 – 9y(3x + 2y) + 81y2) = = (3x+11y)(9x2+12xy+4y3–27xy–18y2+81y2)= (3x + 11y)(9x2 – 15xy + 67y2). № 632 2

2

2

9 2 16 4 ⎞ ⎛3 ⎞ ⎛4 ⎞ ⎛3 a − 2ab + b 2 = ⎜ a ⎟ − 2ab + ⎜ b ⎟ = ⎜ a − b ⎟ ; 16 9 3 ⎠ ⎝4 ⎠ ⎝3 ⎠ ⎝4 2 2 2⎞ ⎛3 2 5 2⎞ ⎛ 9 6 2 4 4 25 2 6 2 2 ⎛ 3 2 ⎞ 2 2⎜ a + b ⎟ 2 2 ⎛5 2⎞ ⎜ ⎟ б) = a b a b +a b + a b = a b ⎜ a ⎟ +a b +⎜ b ⎟ 6 ⎠ ; ⎝5 ⎜⎝ 5 ⎠ 25 36 ⎝ 6 ⎠ ⎟⎠ ⎝

а)

103


2 2 1 4 1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ a =(b4)2 + a2b4 + ⎜ a 2 ⎟ = ⎜ b 4 + a 2 ⎟ ; 2 ⎠ 4 ⎝2 ⎠ ⎝ 4 2 2 2 2 2 2 г) 0,01x + y – 0,2x y = (0,1x ) – 0,2x y + y = (0,1x2 – y)2.

в) b8 + a2b4 +

№ 633 а) 513 – 263 = (51 – 26)(512 + 51 · 26 + 262) = 25 · (512 + 51 · 26 + 262) 25 – это сомножитель, значит, выражение делится на 25; б) 433 + 173 = (43 + 17)(432 – 43 · 17 + 172) = 60(432 – 43 · 17 + 172) 60 – это сомножитель, значит, выражение делится на 60; в) 543 – 143 = (54 – 14)(542 – 54 · 14 + 142) = 40(542 – 54 · 14 + 142) 40 – это сомножитель, значит, выражение делится на 40; г) 383 + 373 = (38 + 37)(382 – 38 · 37 + 372) = 75(382 – 38 · 37 + 372) 75 – это сомножитель, значит, выражение делится на 75. № 634 а) (532+222–472–162) : (652 – 2 · 65 · 59 + 592) = (532 – 472 + 222 – 162) : : (65 – 59)2 = ((53 – 47)(53 + 47) + (22 – 16)(22 + 16)) : 62 = = (100 · 6 + 38 · 6) : 36 = 6 · (100 + 38) : 36 = 138 : 6 = 23;

б)

593 − 413 + 59 · 41 = (59 – 41)(592 + 59 · 41 + 412) : 18 + 59 · 41 = 18

592 + 2 · 59 · 41 + 412 = (59 + 41)2 = 1002 = 10000; в) (1092 – 2 · 109 · 61 + 612) : (792 + 732 – 492 – 552) = = (109 – 61)2 : ((79 – 49)(79 + 49) + (73 – 55)(73 + 55)) =

= 482 : (30 · 128 + 18 · 128) = 482 : (128· (30 + 18)) = 48 : 128 = г)

3 ; 8

673 + 523 – 67 · 52 = (67 + 52)(672 – 67 · 52 + 522) : 119 – 67 · 52 = 119

= 672 – 2 · 67 · 52 + 522 = (67 – 52)2 = 152 = 225. № 635

(

⎛ ( 97 − 53) 97 2 + 97 ⋅ 53 + 532 ⎛ 973 − 533 ⎞ 2 2 + 97 ⋅ 53 ⎟ : (152,5 – 27,5 ) = = ⎜ а) ⎜ ⎜ ⎟ ⎜⎜ 44 44 ⎝ ⎠ ⎝

: ((152,5–27,5)(152,5+27,5)) = (972 +2 · 97 · 53 + 532) : (125 · 180) = = (97 + 53)2 : 22500 = 1502 : 22500 = 1; ⎛ 573 + 333

б) (36,52 – 27,52) : ⎜ ⎜ ⎝

90

⎞ − 57 ⋅ 33 ⎟ = ⎟ ⎠

(

⎛ ( 57 + 33) 57 2 − 57 ⋅ 33 + 332

= ((36,5–27,5)(36,5+27,5)) ⎜ ⎜⎜ ⎝

90

) − 57 ⋅ 33 ⎞⎟ =

= (9 · 64) : (572 – 2 · 57 · 33 + 332) = 576 : (57 – 33)2 = 1; 104

⎟⎟ ⎠

) ⎞⎟ : ⎟⎟ ⎠


(

)

⎛ ( 79 − 41) 792 + 79 ⋅ 41 + 412 ⎞ ⎛ 793 − 413 ⎞ + 79 ⋅ 41⎟ : (133,52 – 58,52) = ⎜ в) ⎜ + 79 ⋅ 41⎟ ⎜ 38 ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ 38 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

· (133,5–58,5)(133,5+ 58,5) = (79 + 41)2 : (75 · 192) = 1202 : 14400 = 1; ⎛ 693 + 293

г) (94,52 – 30,52) : ⎜ ⎜ ⎝

98

⎞ − 69 ⋅ 29 ⎟ = ⎟ ⎠

⎛ (69 + 29)(692 − 69 · 29 + 292 ) ⎞ 69 · 29 ⎟ = ⎟ 98 ⎝ ⎠

= (94,5 – 30,5)(94,5 + 30,5) ⎜ ⎜

= 64 · 125 : (69 – 29)2 = 8000 : 1600 = 5. № 636 а) a2 + ∗ + b2 = (a + b)2; б) b2 + 20ab + ∗ = (b + 10)2; в) ∗ – 56a + 49 = (4a – 7)2; г) ∗1 – 12c + ∗2 = (3c – 2)2;

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2; ∗ = 2ab; (b + 10)2 = b2 + 20ab + 100; ∗ = 100; (4a – 7)2 = 16a2 – 56a + 49; ∗ = 16a; (3c – 2)2 = 9c2 – 12c + 4; ∗1 = 9c2, ∗2 = 4.

№ 637 а) b2 – 20b + ∗1 = (∗2 – 10)2; (∗2–10)2=∗22 – 2 · ∗2 · 10 + 100; ∗1=100, ∗2=b; б) ∗1 – 42pq+49q2 = (3p – ∗2)2; (3p–∗2)2=9p2–2 · ∗2 · 3p+∗22; ∗1=9p2, ∗2=7q; 1 1 в) 25a2 + ∗1 + b2 = (∗2 + b)2; 4 2 1 2 1 2 2 (∗2 + b) = ∗2 + ∗2b + b ; ∗2 = 5a, ∗1 = ∗2 · b = 5ab; 2 4 г) 0,01b2 + ∗1 + 100c2 = (0,1b + ∗2)2; (0,1b + ∗2)2 = 0,01b2 – 0,2b · ∗2 + ∗22; ∗2 = 10c, ∗1 = ∗2 · 0,2b = 10c · 0,2b = 2bc. № 638 а) ∗1 + 56ab + 49b2 = (4a + ∗2)2; (4a + ∗2)2 = 16a2 + 2 · ∗2 · 4a + ∗22; ∗1 = 16a2, ∗2 = 7b; б) 225x2 – ∗1 + 64y2 = (15x – ∗2)2; (15x – ∗2)2 = 225x2 – 2 · 15x · ∗2 + ∗22; ∗2 = 8y, ∗1 = 30x · ∗2 = 30x · 8y = 240xy; в) ∗1 + 96xy + 36y2 = (8x + ∗2)2; (8x + ∗2)2 = 64x2 + 16x · ∗2 + ∗22; ∗1 = 64x2, ∗2 = 6y; г) 100a2 + ∗1 + 49b2 = (10a + ∗2)2; (10a + ∗2)2 = 100a2 + 20a · ∗2 + ∗22; ∗2 = 7b, ∗1 = 140ab. № 639 а) m2 + 40m + ∗1 = (∗2 + 20)2; (∗2 + 20)2 = ∗22 + 2 · 20 · ∗2 + 400; ∗1 = 400, ∗2 = m; б) ∗1 – 70pq + ∗2 = (7p – ∗3)2; (7p – ∗3)2 = 49p2 – 2 · 7p · ∗3 + ∗32;

105


70 pq = 5q, ∗2 = 25q2; 14 p в) ∗1 + 42ac + 49c2 = (∗2 + ∗3)2; 21ac ∗3 = 7c, 2 · ∗2 · ∗3 = 42ac, ∗2 = = 3a, ∗1 = ∗22 = 9a2; 7c г) 25z2 – ∗1 + ∗2 = (∗3 – 8t)2; ∗2 = (8t)2 = 64t2, ∗3 = 5z, ∗1 = 5z · 8t · 2 = 80zt. ∗1 = 49p2, ∗3 =

§ 23. Разложение многочлена на множители с помощью комбинаций различных приемов № 640 а) 5x2 – 5 = 5(x2 – 1) = 5(x – 1)(x + 1); б) 10x2 – 10y2 = 10(x2 – y2) = 10(x – y)(x + y); в) 3a2 – 12 = 3(a2 – 4) = 3(a – 2)(a + 2); г) 9b3 – b = b(9b2 – 1) = b(3b – 1)(3b + 1). № 641 а) 9x2 – 81x = 9x(x – 9); б) y3 – 100y = y(y2 – 100) = y(y – 10)(y + 10); в) 64a – a3 = a(64 – a2) = a(8 – a)(8 + a); г) b3 – 144b = b(b2 – 122) = b(b – 12)(b + 12). № 642 а) c3 – 25c = c(c2 – 25) = c(c – 5)(c + 5); б) 50m – 2n2m = 2m(25 – n2) = 2m(5 – n)(5 + n); в) 0,04s – sa2 = s(0,04 – a2) = s(0,2 – a)(0,2 + a);

г)

16 2 ⎛ 16 2 ⎞ ⎛4 ⎞⎛ 4 ⎞ p q − q3 = q ⎜ p − q 2 ⎟ = q ⎜ p − q ⎟⎜ p + q ⎟ . 49 ⎝ 49 ⎠ ⎝7 ⎠⎝ 7 ⎠

№ 643 а) 5a2 + 10ab + 5b2 = 5(a2 + 2ab + b2) = 5(a + b)2; б) 2x2 + 4xy + 2y2 = 2(x2 + 2xy + y2) = 2(x + y)2; в) 3m2 + 3n2 – 6mn = 3(m2 – 2mn + n2) = 3(m – n)2; г) 8n2 – 16n + 8 = 8(n2 – 2n + 1) = 8(n – 1)2. № 644 а) –3x2 + 12x – 12 = –3(x2 – 4x + 4) = –3(x – 2)2; б) –2a2 + 20ab – 50b2 = –2(a2 – 10ab + 25b2) = –2(a – 5b)2; в) –5p2 – 10pq – 5q2 = –5(p2 + 2pq + q2) = –5(p + q)2; г) –12z3 – 12z2 – 3z = –3z(4z2 + 4z + 1) = –3z(2z + 1)2. № 645 а) a4 – 16 = (a2)2 – 42 = (a2 – 4)(a2 + 4) = (a – 2)(a + 2)(a2 + 4); б) b4 – 81 = (b2 – 9)(b2 + 9) = (b – 3)(b + 3)(b2 + 81); 106


в) y8–1=(y4 – 1)(y4 + 1) = (y2 – 1)(y2 + 1)(y4 + 1)=(y–1)(y+1)(y2 + 1)(y4 + 1); г) x4 – z4 = (x2 – z2)(x2 + z2) = (x – z)(x + z)(x2 + z2). № 646 а) 4m3 – 4n3 = 4(m3 – n3) = 4(m – n)(m2 + mn + n2); б) 13a3 + 13b3 = 13(a3 + b3) = 13(a + b)(a2 – ab + b2); в) 15c3 + 15d3 = 15(c3 + d3) = 15(c + d)(c2 – cd + d2); г) 21s3 – 21t3 = 21(s3 – t3) = 21(s – t)(s2 + st + t2). № 647 а) 6x5y – 24xy3 = 6xy(x4 – 4y2) = 6xy(x2 – 2y)(x2 + 2y); б) 3a4b2 + 24ab5 = 3ab2(a3 + 8b3) = 3ab(a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2; в) 0,3y2 – 2,7y6 = 0,3y2(1 – 9y4) = 0,3y2(1 – 3y2)(1 + 3y2); г) 0,1x4y – 2,7xy4 = 0,1xy(x3 – 27y3) = 0,1xy(x – 3y)(x2 + 3xy + 9y2). № 648 а) (m + 3)3 – 8 = (m + 3 – 2)((m + 3)2 + 2(m + 3) + 4) = = (m + 1)(m2 + 6m + 9 + 2m + 6 + 4) = (m + 1)(m2 + 8m + 19); б) (c–1)3+27 = (c – 1 + 3)(c2 – 2c + 1 – 3c + 3 + 9) = (c + 2)(c2 – 5c + 12); в) (a–12)3–125 = (a–12–5)(a2–24a+144+5a–60+25)=(a – 17)(a2–19a+109); г) (b+4)3+64=(b+4+4)(b2+8b+16+4b+16+16) = (b + 8)(b2 + 12b + 48). № 649 а) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 + 1 – 2x)(x2 + 1 + 2x) = (x – 1)2(x + 1)2; б) (y2 + 2y)2 – 1 = (y2 + 2y – 1)(y2 + 2t + 1) = (y2 + 2y – 1)(y + 1)2; в) 81 – (c2 + 6c)2 = (9 – c2 – 6c)(9 + c2 + 6c) = (9 – c2 – 6c)(c + 3)2; г) 16m2 – (m – n)2 = (4m – m + n)(4m + m – n) = (3m + n)(5m – n). № 650 а) (a2 + 2ab + b2) – c2 = (a + b)2 – c2 = (a + b – c)(a + b +c); б) 16 – (x2 – 2xy + y2) = 16 – (x – y)2 = (4 – x + y)(4 + x – y); в) 1 – m2 – 2mn – n2 = 1 – (m + n)2 = (1 – m – n)( 1 + m + n); г) 4 – p2 – 2pq – q2 = 4 – (p + q)2 = (2 – p – q)(2 + p + q). № 651 а) x2 – 2xc + c2 – d2 = (x – c)2 – d2 = (x – c – d)(x – c + d); б) a2 + 2a – b2 + 1 = (a + 1)2 – b2 = (a + 1 – b)(a + 1 + b); в) c2 – d2 + 6c + 9 = (c + 3)2 – d2 = (c + 3 – d)(c + 3 + d); г) r2 – s2 – 10s – 25 = r2 – (s + 5)2 = (r – s – 5)(r + s + 5). № 652 а) x2 + 2xy – m2 + y2 = (x + y)2 – m2 = (x = y – m)(x = y + m); б) c2 – a2 + 2ab – b2 = c2 – (a – b)2 = (c – a + b)(c + a – b); в) m2 – n2 – 8m + 16 = (m – 4)2 – n2 = (m – 4 – n)(m – 4 + n); г) 9 – p2 + q2 – 6q = (q – 3)2 – p2 = (q – 3 – p)(q – 3 + p).

107


№ 653 а) x3 – x2y – xy2 + y3 = x3 + y3 – x2y – xy2 = (x + y)(x2 – xy + y2) – xy(x + y) = = (x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = (x + y)(x2 – 2xy + y2) = (x + y)(x – y)2; б) a3 + a2b – ab2 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) + ab(a – b) = = (a – b)(a2 + 2ab + b2) = (a – b)(a + b)2; в) c2+2c–d2+2d=c2–d2+2 (c + d) = (c – d)(c + d) + 2 (c + d)=(c+d)(c – d + 2); г) m2 – 2n – m – 4n2 = m2 – 4n2 – (2n + m) = = (m – 2n)(m + 2n) – (2n + m) = (2n + m)(m – 2n – 1). № 654 а) x2(x – 3) – 2x(x – 3) + (x – 3) = (x – 3)(x2 – 2x + 1) = (x – 3)(x – 1)2; б) (1 – a)2 – 4a(1 – a)2 + 4a(1 – a)2 = (1 – a)2(1 – 4a + 4a) = (1 – a)2. № 655 а) a3 + 8b3 + a2 – 2ab + 4b2 = (a + 2b)(a2 – 2ab + 4b2) + a2 – 2ab + 4b2 = = (a + 2b + 1)(a2 – 2ab + 4b2); б) 8c3 – d3 + 4c2 + 2cd + d2 = (2c – d)(4c2 + 2cd + d2) + 4c2 + 2cd + d2 = = (2c – d + 1)(4c2 + 2cd + d2). № 656 а) x3 + 8y3 + x2 + 4xy + 4y2 = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 ) + (x + 2y)2 = = (x + 2y)(x2 – 2xy + 4y2 + x + 2y); б) 8p3 – q3 + 4p2 – 4pq + q2 = (2p – q)(4p2 + 2pq + q2) + (2p – q)2 = = (2p – q)(q2 + 2pq + 4p2 + 2p – q). № 657 а) a3 – a2 – 2a + 8 = a3 + 8 – a(a + 2) = (a + 2)(a2 – 2a + 4) – a(a + 2) = = (a + 2)(a2 – 2a + 4 – a) = (a + 2)(a2 – 3a + 4); б) b3 – 6b2 – 6b + 1 = b3 + 1 – 6b(b + 1) = (b + 1)(b2 – b + 1) – 6b(b + 1) = = (b + 1)(b2 – b + 1 – 6b) = (b + 1)(b2 – 7b + 1). № 658 а) x2 – 10x + 24 = x2 – 10x + 25 – 1 = (x – 5)2 – 1 = (x – 6)(x – 4); б) y2 – 14y + 40 = y2 – 14y + 49 – 9 = (y – 7)2 – 9 = (y – 10)(y – 4); в) b4 + 4b2 – 5 = b4 + 4b2 + 4 – 9 = (b2 + 2)2 – 9 = = (b2 + 2 – 3)(b2 + 2 + 3) = (b2 – 1)(b2 + 5) = (b – 1)(b + 1)(b2 + 5); г) a2 – 6a + 5 = a2 – 6a + 9 – 4 = (a – 3)2 – 4 = (a – 5)(a – 1). № 659 а) 4a2 – 12ab + 5b2 = 4a2 – 12ab + 9b2 – 4b2 = (2a – 3b)2 – 4b2 = = (2a – 5b)(2a – b); б) 9c2 – 24cd + 7d2 = 9c2 – 24cd + 16d2 – 9d2 = (3c – 4d)2 – 9d2 = = (3c – 7d)(3c – d); в) 25a2 – 20ab – 12b2 = 25a2 – 20ab + 4b2 – 16b2 = (5a + 2b)2 – 16b2 = = (5a – 2b)(5a + 6b); г) 9m2 – 30mk + 16k2 = 9m2 – 30mk + 25k2 – 9k2 = (3m – 5k2) – 9k2 = = (3m – 8k)(3m – 2k). 108


№ 660 а) a2 + 7a + 10 = a2 + 5a + 2a + 10 = a(a + 5) + 2(a + 5) = (a + 2)(a + 5); б) x4+7x2+12 = x4 + 3x2 + 4x2 + 12 = x2(x2 + 3) + 4(x2 + 3) = (x2 + 4)(x2 + 3); в) b2 – 3b – 4 = b2 – 1 – 3b – 3 = (b – 1)(b + 1) – 3(b + 1) = (b – 4)(b + 1) г) y4 – 5y2 + 4 = y4 – 4y2 – y2 + 4 = y2(y2 – 4) – y2 – 4 = = (y2 – 1)(y2 – 4) = (y – 1)(y + 1)(y – 2)(y + 2). № 661 а) x2+5xy+6y2=x2 + 2xy + 3xy + 6y2 = x(x + 2y) + 3y(x + 2y)=(x+3y)(x + 2y); б) 4m2–5mn+n2=4m2–4mn – mn + n2 = 4m(m – n) + n(n – m)=(m–n)(4m – n); в) p2–pq–2q2=p2+pq–2q2 – 2pq = p(p + q) – 2q(p + q) = (p + q)(p – 2q); г) a2+7ab+6b2=a2 + ab + 6ab + 6b2 = a(a + b) + 6b(a + b) = (a + b)(a + 6b). № 662 а) x3 – x = 0; x(x2 – 1) = 0; x(x – 1)(x +1) = 0; x = 0, x = 1, x = –1. Ответ: 0; 1; –1. в) c3 + c2 = 0; c2(c + 1) = 0; c = 0, c = –1. Ответ: 0; –1.

б) 16y – y3 = 0; y(16 – y2) = 0; y(4 – y)(4 + y) = 0; y = 0, y = 4, y = –4. Ответ: 0; 4; –4. г) d3 + d = 0; d(d2 + 1) = 0; d = 0, d2 + 1 ≠ 0 не при каких d. Ответ: 0.

№ 663 а) x3 + x2 – 4x – 4 = 0; x2(x + 1) – 4(x + 1) = 0; (x2 – 4)(x + 1) = 0; (x – 2)(x + 2)(x + 1) = 0; x = 2, x = –2, x = –1. Ответ: 2; –2; –1. в) 9z + 9 – z3 – z2 = 0; 9(z + 1) – z2(z + 1) = 0; (9 – z2)(z + 1) = 0; (3 – z)(3 + z)(z + 1) = 0; z = 3, z = –3, z = –1. Ответ: 3; –3; –1.

б) y3 + 2y2 – 4y – 8 = 0; y2(y + 2) – 4(y + 2); (y2 – 4)(y + 2) = 0; (y – 2)(y + 2)2 = 0; y = 2, y = – 2. Ответ: 2; –2. г) p3 – p2 – 4p + 4 = 0; p2(p – 1) – 4(p – 1) = 0; (p2 – 4)(p – 1) = 0; (p – 2)(p + 2)(p – 1) = 0; p = 2, p = –2, p = 1. Ответ: 2; –2; 1.

№ 664 x1 + x2 = 7; x1 · x2 = 2; а) x1x22 + x12x2 = x1x2(x1 + x2) = 2 · 7 = 14; б) (x1 = x2)2 = 72 = 49; в) x12 + x22 = x12 + x22 + 2x1x2 – 2x1x2 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 49 – 4 = 45; г) (x13 + x23) = (x1 + x2)(x12 – x1x2 + x22) = = (x1 + x2)((x1 + x2)2 – 3x1x2) = 7(49 – 6) = 7 · 43 = 301.

109


№ 665 x1 + x2 = 5; x1 · x2 = –3 а) x14 + x24 = x14 + 2x12x22 + x14 – 2x12x22 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 = = ((x1 + x2)2 – 2x1x2)2 – 2x12x22 = (25 + 6)2 – 18 = 312 – 18 = 961 – 18 = 943; б) (x1 – x2)2 = x12 – 2x1x2 + x22 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 25 + 12 = 37; в) x13x22 + x12x23 = x12x22(x1 + x2) = 9 · 5 = 45; г) x12x24 + x14x22 = x12x22(x12 + x22) = x12x22(x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2) = = x12x22((x1 + x2)2 – 2x1x2) = 9 · (25 + 6) = 279.

§ 24. Сокращение алгебраических дробей № 666 а) 3a2b3, 12a3b2 : НОД = 3a2b2; в) 6x2y, 9y5 : НОД = 3y;

б) 15b12c2, 25b3c4 : НОД = 5b3c2; г) p5q2, 12p2q5 : НОД = p2q2.

№ 667

а)

y4 y

3

= y; б)

− z5 z

=−

8

1 z

3

; в)

m10 −m

24

=−

1 m

№ 668

а) б) в) г)

z 8t 4 w20 zt w

15 4 8

−m n r

1

z

=

m19 n 21z 6 12 19 5

a x z

−b100 y 5 z

=

101 3 4

y z

·

t4 t

15

−m

m19

=−

− a 40 x31z 6

−b

z8

=

3

3

·

w20 = z7· t · w19; w

n4 r 8 r2 ⋅ = − ; n 21 z 8 m 4 n17

a12 x19 z 5 1 ⋅ 31 ⋅ 6 = − 28 12 ; 40 a x z a x z

−b100 y 5 z y2 ⋅ 3⋅ 4 = 3. 101 −b y z bz

№ 669

а) б)

−3a 2b −9a

4

7x y −49 xy

3

−21cd 4

в) г)

3

=

14ad 3

30 p 2 q3 3 3

48 p q

110

−3a 2 −9a

3

⋅b =

b ; 3a

=

7 x4 y x3 ⋅ 3 =− 2 ; −49 x y y

=

3d −21c d 4 ; ⋅ 3 =− 14c d 2

=

30 p 2 q3 30 10 5 ⋅ = = = . 48 p3 q3 48 p 16 p 8 p

14

; г)

− n19 −n

4

= n15.


№ 670

а) б) в) г)

15a ( p − q )

20b ( p − q ) 2b ( m + n )

6bc ( m + n )

=

15 a p − q 3a ; ⋅ ⋅ = 20 b p − q 4b

=

2b m + n 1 1 1 ⋅ = ⋅ = c; 6b c ( m + n ) 3 c 3

8 a 2b 3 ( a + b ) 20ab 2 ( a + b )

8ab 2 2ab a+b 2 ; ⋅ ab ⋅ = ⋅ ab = 20ab 5 a+b 5

=

44c3d 8 ( c − d )

=

100c5d 4 ( c − d )

44c3d 4 d 4 c − d 11 d 4 11d 4 ⋅ ⋅ = ⋅ = . 100c3d 4 c 2 c − d 25 c 2 25c 2

№ 671 5( x − y ) 5 x− y 1 а) =− ⋅ =− ; 15( y − x) 15 x − y 3

б) в) г)

150a 2b3 ( z − t ) 300ab5 ( t − z ) 2(m − n)

a (n − m)

=−

150 ab3 a z − t a ⋅ ⋅ ⋅ =− 2 ; 300 ab3 b 2 z − t 2b

2 m−n 2 =− ⋅ =− ; a m−n a

13x3 y 4 z 5 ( c − d ) 26 xy 5 z 7 ( d − c )

=−

13 xy 4 z 5 c − d x 2 x2 ⋅ ⋅ = − . 26 xy 4 z 5 c − d yz 2 2 yz 2

№ 672

а) б) в) г)

2a ( x + y )

8a ( x + y )( x + y )

=

2a x + y 1 1 ; ⋅ ⋅ = 8a x + y x − y 4 ( x − y )

( a − 1) (a 2 + a + 1) = (a 2 + a + 1)

3 ( a − b )( a + b )

6 ( a + b )( a − b )

=

3(n 2 + n + 1)

( n − 1) (n2 + n + 1)

( a − 1) ⋅

a2 + a + 1 a2 + a + 1

= a −1 ;

3 a−b a+b 1 ⋅ ⋅ = ; 6 a−b a+b 2 = 3⋅

1 n2 + n + 1 3 . ⋅ = n − 1 n2 + n + 1 n − 1

№ 673

а) б)

( a − b )2 ( b − a )2

=

16 ( x − y )

( a − b )2 ( a − b )2 = − ( a − b ) ⋅ ( − ( a − b ) ) ( a − b )2

2

48 ( y − x )

2

=1;

2

=

16 ( x − y ) 1 ⋅ = ; 48 ( x − y )2 3

111


в) г)

112a3b5 ( p − q) 2 2

36a b(q − p) 49 xy (c − d ) 2 2

7 x (d − c)

2

2

=

=

12a 2b 2

36a b

⋅ ab 4 ⋅

( p − q) 2 ( p − q)

2

=

ab 4 ; 3

49 x y (c − d )2 7 y . ⋅ ⋅ = x 7 x x (c − d ) 2

№ 674

а) в) г)

( x + 5)3

= ( x + 5) ⋅

( x + 5) 2

c( z − 15)3 8c( z − 15)4 3a(b − 2) 6(b − 2)

2

=

=

( x + 5) = x+5; ( x + 5)

б)

( y − 8)10 ( y − 8)8

= ( y − 8) 2 ⋅

( y − 8)8 ( y − 8)8

;

c ( z − 15)3 1 1 1 ; ⋅ = ⋅ = 8c ( z − 15) 4 8 z − 15 8 z − 120

3 b−2 1 1 a ⋅a⋅ = ⋅a⋅ = . 2 − − 2) 6 2 2 2( b b (b − 2)

№ 675 6a + 6b 6(a + b) 6 a + b 6 xz − 3 yz z ( x − 3 y ) z x − 3 y 7 = = ⋅ = ; б) 2 а) = = ⋅ = ; x( x − 3) x x − 3y x 7 a + 7b 7( a + b) 7 a + b 7 x − 3 xy

в)

3m − 6n 3(m − 2n) 3 m − 2n 1 1 = = · = · (−1) = − ; 12n − 6m 6(n − 2m) 6 2n − m 2 2

г)

2 p − 4q 2( p − 2q) 2 p − 2q 1 = = ⋅ =− . 16q − 8 8(2q − p ) 8 2q 4

№ 676 8 x − 8 y 8( x − y ) 8 ma + a a (m + 1) a = = ( −1) ; б) а) = =− ; c 9 y − 9 x 9( y − x) 9 − mc − c −c( m + 1)

в)

s + s s ( s + 1) s 3c3 + 3cd 2 3c(c 2 + d 2 ) 3c c = = ; г) = = = . 2 3 2 2 d d 5s + 5 5( s + 1) 5 6 2 6dc + 6d 6d (c + d )

№ 677

а)

4a 2 − 9b 2 (2a − 3b)(2a + 3b) 2a − 3b = = (2a + 3b) ⋅ = 2a − 3b ; 2a − 3b 2a − 3b 2a − 3b

б)

36 − y 2 (6 − y )(6 + y ) 6− y = = (6 + y ) ⋅ =6+ y; 6− y 6− y 6− y

в) г)

8 − 3c 9c 2 − 64

=

8 − 3c 1 3c − 8 1 =− ⋅ =− ; (3c − 8)(3c + 8) 3c + 8 3c − 8 3c + 8

100 − 49d 2 (10 − 7 d )(10 + 7 d ) = = 10 − 7 d . 7 d + 10 7 d + 10

112


№ 678

а)

x 2 − 9 ( x − 3)( x + 3) x − 3 x + 3 x − 3 = = ⋅ = ; 3x + 9 3( x + 3) 3 x+3 3

б)

y 2 − 144 ( y − 12)( y + 12) y − 12 = = −( y + 12) ⋅ = −( y + 12) ; 12 − y 12 − y y − 12

в)

4 − d 2 (2 − d )(2 + d ) 2 − d 2 + d 2 − d = = ⋅ = ; 3d + 6 3(d + 2) 3 d+2 3

г)

c 2 − 5c 25 − c

2

c(c − 5) c c−5 c = ⋅ =− . c+5 (5 − c)(c + 5) c + 5 5 − c

=

№ 679

а) б) в) г)

a3 − 8

=

2

a + 2a + 4 x3 + 1 x2 − x − 1

=

a + 2a + 4 x2 − x − 1

1 − 5 y + 25 y 2 8t 3 + 1

2

( x + 1)( x 2 − x − 1)

125 y 3 + 1 4t 2 − 2t + 1

(a − 2)(a 2 + 2a + 4)

=

=

= (a − 2) ⋅

= ( x + 1) ⋅

(5 y + 1)(25 y 2 − 5 y + 1) 1 − 5 y + 25 y 2 4t 2 − 2t + 1

(2t + 1)(4t 2 − 2t + 1)

=

a 2 + 2a + 4 a 2 + 2a + 4

x2 − x − 1 x2 − x − 1

= (5 y + 1) ⋅

=a−2 ;

= x +1 ;

25 y 2 − 5 y + 1 25 y 2 − 5 y + 1

= 5y + 1;

1 4t 2 − 2t + 1 1 · 2 = . 2t + 1 4t − 2t + 1 2t + 1

№ 680

а)

( x + y )2 2

x −y

2

( x + y )2 x+ y x+ y x+ y = ⋅ = ; ( x − y )( x + y ) x − y x + y x − y

(m − n )2 = m − n ⋅ m − n = m − n ; m 2 − n 2 (m − n )(m + n ) m + n m − n m + n 2 2(a 2 − b 2 ) 2(a − b )2 (a + b )2 2 (a + b ) a b 2 ( ) в) = − ⋅ = ; (a + b )2 (a + b )2 (a + b )2 12a 3 ( p 2 − q 2 ) 12a 3 ( p − q )( p + q ) a a( p − q ) = ⋅ = ⋅ ( p − q) = . г) ( p + q) 3 3 36a 2 ( p + q ) 36a 2

б)

(m − n )2

=

=

№ 681

а) в)

p 2 − 2 pq + q 2 ( p − q )2 a 2 + 2ab + b 2 (a + b )2 = = p−q ; = = a + b ; б) p−q p−q a+b a+b x− y x 2 − 2 xy + y 2

=

x− y

(x − y )2

=

1 m 2 + 2mn + n 2 (m + n )2 ; г) = =1. x− y (m + n )2 (m + n )2

113


№ 682

а) б)

y 2 − x2 2

x − 2 xy + y 2 1− 2 p

= =

( y − x )( y + x ) = − x + y ; (x − y ) (x − y )2 1− 2 p

=−

1 ; 1− 2 p

(1 − 2 p ) b − 49 (b − 7 )(b + 7 ) = b + 7 ; = b−7 b 2 − 14b + 49 (b − 7 )2 2 2 c − 18c + 81 (c − 9 ) = =9−c . 1− 4 p + 4 p

2

2

2

в) г)

9−c

9−c

№ 683 − ax − bx − x(a + b ) x а) = =− ; ay + by y (a + b ) y

б) в)

4 x 2 y − 4 x3 12 x 2 y 2 − 12 xy 3

m5 − 3m 2 7

2m − 6m

4

=

№ 684

а) в) г)

x 2 − xy x 2 y − xy 2

=

ma 2 − m 2 a m 2 − ma 3nd − 6 pd

4x2 ( y − x)

12 xy 2 (x − y )

=

( )= 1 2m (m − 3) 2m m 2 m3 − 3 4

3

2

x( x − y )

3 y 2 (x − y )

=

3

=−

8

15n + 10n

pq 4 − cq 4

б)

cq 3 − pq 3

ma(a − m ) ma =− = −a ; m(m − a ) m =

2d 4 (n − 2 p ) 3d (n − 2 p ) 3

=

2d 4 3d

3

=

2d . 3

№ 685

а) б) в) г)

x 2 − 4 x + 4 (x − 2 )2 x − 2 x − 2 x − 2 ; = = ⋅ = 3x − 6 3(x − 2 ) 3 x−2 3

(a + 1)2 = a + 1 ⋅ a + 1 = a + 1 ; (a − 1)(a + 1) a − 1 a + 1 a − 1 a2 −1 4 − 4x 4(1 − x ) 4 1− x 4 ; = ⋅ = = 2 2 1− x 1− x 1− x x − 2 x + 1 ( x − 1) 3q 2 + 24q 3q (q + 8) 3q q + 8 3q . = ⋅ = = 2 2 q +8 q +8 q +8 q + 16q + 64 (q + 8) a 2 + 2a + 1

114

=

x 3y2

3n 6 + 2n 4

; г)

x(x − y ) x 1 = = ; xy (x − y ) xy y

2nd 4 − 4 pd 4 3

=

6

=

=

;

( )= 1 5n (3n + 2 ) 5n n 4 3n 2 + 2 6

2

q4 ( p − c) q 3 (c − p )

q4 q3

2

= −q ;

.


№ 686 5 − 2m

а)

5 − 2m

=

=

5 − 2m

=

1 ; 5 − 2m

(2m − 5) (5 − 2m) 4n − 4n + 1 (2n − 1)2 (1 − 2n )2 1 − 2n ; б) = = = 2 − 4n 2(1 − 2n ) 2(1 − 2n ) 2 x− y 3 x 2 − 6 xy + 3 y 2 3(x − y )2 1 x− y x− y в) ; ⋅ = = = ⋅ 6(x − y )(x + y ) 2 x + y x − y 2(x + y ) 6x2 − 6 y 2 (4c − 1)(4c + 1) = 4c + 1 . 16c 2 − 1 г) = 2 4c − 1 16c − 8c + 1 (4c − 1)2 2

4m − 20 + 25

2

2

2

№ 687

а)

15a 4b 2 − 15a 2 45a 4b − 45a 3 2

2 2

3

4

(

48ab − 24a b

45a 3 (ab + 1)

36a 3b 2c − 36a 3b 3

2

45a 3 (ab + 1) 4b(2 − a )

17 a (b + ac ) 3

36a 3b 2 (c − b )

(

4b

a

(

51a 2 b 2 − a 2c 2

=

4b

) = 3a(a − 2)(a + 2) = − 3a(a + 2) ;

24ab 2 (2 − a )

=

51a 2b 2 − 51a 4c 2 48ab5 − 48ab3c 2

(

18a 2b a 2 − 4

=

17 a b + 17 a c

в)

) = 15a (ab − 1)(ab + 1) = − 3a(a + 2) ;

15a 2 a 2b 2 − 1

18a 4b − 72a 2b

б)

г)

=

48ab3 b 2 − c 2

) = 3(b − ac) ;

)

=

3a 2 (c − b ) 3a 2 . = 4b(b − c )(b + c ) 4b(b + c )

№ 688

(d + 2)2 = d + 2 б) 6 pq − 18 p = 6 p(q − 3) = 6 p ; 7d 7 d 2 + 14d 7 d (d + 2 ) (q − 3)2 (q − 3)2 q − 3 m 2 + 6mn + 9n 2 (m + 3n )2 = m + 3n ; = 2 4m(m + 3n ) 4m 4m + 12mn 2 2 (2n − 1) = 2n − 1 . 4n − 4n + 1 = 2 (2n − 1)(2n + 1) 2n + 1 4n − 1

а) ; в) г)

(d + 2)2

№ 689

а) б)

1 − c2 1 − c3

=

=

(1 − c )(1 + c ) = 1 + c ; (1 − c )(1 + c + c 2 ) 1 + c + c 2

3 + 3n + 3n 2 3

n −1

=

(

)

3 n2 + n + 1

(n − 1)(n

2

)

+ n +1

=

3 ; n −1 115


в) г)

(b − 2)(b + 2) = b + 2 ; (b − 2)(b 2 + 2b + 4) b 2 + 2b + 4 16 z 2 − 9 (4 z − 3)(4 z + 3) = − 4 z + 3 = 27 − 64 z 3 (3 − 4 z )(9 + 12 z + 16 z 2 ) 9 + 12 z + 16 z 2 b2 − 4 b3 − 8

=

.

№ 690

( ) = 3( p − 3)( p + 3) = − 3( p + 3) ; p + 3p + 9 27q − p q q(3 − q )(9 + 3 p + p ) (3 − p )( p + 3 p + 9) 8mn − 2m 2m(4n − 1) 2(2n − 1)(2n + 1) 2(2n − 1) б) ; = = = 8mn + mn mn(8n + 1) n(2n + 1)(4n − 2n + 1) n(4n − 2n + 1)

а)

в) г)

3 pq 2 − 27q 3

2

2

2

4

3

x6 − y 6 3

3q p 2 − 9

=

x +y

=

3

y 6 + y3 y −1

x3 + y 3 y 3 ( y 3 + 1)

=

6

2

( x3 − y 3 )( x3 + y 3 )

3

3

( y − 1)( y + 1)

=

= x3 − y 3 ;

y3 3

y −1

.

№ 691

a 2 − 2a a (a − 2 ) a 108 = =− = = 36 ; 6 − 3a 3(2 − a ) 3 3 3b + 9 3(b + 3) 3 3 = = = = 30; б) 2 b − 9 (b − 3)(b + 3) b − 3 0,1

а)

c 2 − 4 (c − 2 )(c + 2 ) c − 2 24 = = = = 8; 6 + 3c 3(2 + c ) 3 3

в) г)

x2 − 9 2

3x + x

3

=

(x − 3)(x + 3) = x − 3 = 0. x 2 (3 + x ) x2

№ 692

а)

б) в) г)

x 2 + 12 x + 36 ( x + 6 )2 = x + 6 = 108; = x+6 x+6 y 2 − 14 y + 49 ( y − 7 )2 = y – 7 = – 11; = y−7 y−7 z 2 − 8 z + 16 z 2 − 16

=

t 2 − 100 2

t + 20t + 100

116

(z − 4)2 = − 20 = 5 = 1 2 ; (z − 4)(z + 4) − 12 3 3

=

2

2

( t − 10 )( t + 10 ) = t − 10 = −18 = – 9. t + 10 2 ( t + 10 )2

2


№ 693

а) б) в) г)

40 x 2 − 5 xy

5 x(8 x − y ) 5x 10 =− =− = – 1; y( y − 8 x ) y 10

=

y 2 − 8 xy

21a 2 − 12ab 20b 2 − 35ab 15c 2 − 10cd 2

8d − 12cd 25 z 2 − 20 zt 16t 2 − 20 zt

=

3a (7 a − 4b ) 3a 30 = 2; =− =− 5b(4b − 7 a ) 5b − 15

=

5c(3c − 2d ) 2c 30 5 =− = = = 1,25; 4d (2d − 3c ) 4d 24 4

=

5 z (5 z − 4t ) 5z 15 =− = − = – 1,875. 4t (4t − 5 z ) 4t 8

№ 694

а) б)

в) г)

a3 + 27

=

2

a − 3a + 9

b 2 + 2b + 4 3

b −8

=

(a + 3)( a 2 − 3a + 9)

a 2 − 3a + 9

b 2 + 2b + 4 (b − 2)(b 2 + 2b + 4)

c3 + 64

=

2

3c − 12c + 48 d 2 − 5d + 25 3

2d + 250

= a + 3 = 18; =

1 = b−2

(c + 2)(c 2 − 4c + 16) 3(c 2 − 4c + 16)

=

3 =− ; 5 −2

c+2 7 1 = =2 ; 3 3 3

d 2 − 5d + 25

=

1

1 3

2 ( d + 5 ) (d − 5d + 25) 2

=

1 1 = 1. = 2 ( d + 5 ) 2 ( −4,5 + 5 )

№ 695

а) в)

270a10b8c 7 4 12

810a b

=

a 6c 6

140m 25n101r 64 14 102 61

42m n

r

3b =

;

4

б)

10m11r 3 101

3n

;

г)

132 x5 y10 z11 6 5 22

144 x y z

=

540 p12 q 43t 54 2 54 55

36 p q t

11y 5 12 xz11

=

15 p10

q11t

; .

№ 696

а) б) в) г)

32a 4b5c − 2a 4b3c3 3 4 3

3 5 2

a b c − 4a b c

x n y 2 n +1 + x n +1 y 2 n x

2n + 2 n

2n n + 2

y −x y

6a 2b 4c 4 − 9a 2b3c5 54abc7 − 24ab3c5

=

2a 4b3c(16b 2 − c 2 )

= =

a 3b 4 (c − 4b) x n y 2 n ( y + x) 2n n

2

2

x y (x − y )

=

3a 2b3c 4 (2b − 3c) 6abc5 (9c 2 − 4b 2 )

2 x n + 2 y n −1 + 3 x n +1 y n 9 x n −1 y n + 3 − 4 x n +1 y n +1

=

=−

2ac(4b + c) ; b

yn n

x ( x − y) =−

;

b2a ; 2c(3c + 2b)

x n +1 y n −1 (2 x + 3 y ) x n −1 y n +1 (9 y 2 − 4 x 2 )

=

x2 y 2 (3 y − 2 x)

. 117


№ 697 32a4b − 80a3b2 + 50a2b3

а)

3

=

2 2

20ab − 16a b

б)

2

4ab (5b − 4a)

18a 3b 2 + 36ab 4 2 2

4 3

6

96a b + 96a b + 24a b 3b

=

2a2b(16a2 − 40ab + 25b2 )

4a(a 2 + 2b 2 )

=

a(5b − 4a)2 a(5b − 4a) ; = 2b(5b − 4a) 2b

18ab 2 (a 2 + 2b 2 ) 2

4

2 2

=

4

24a b(4b + 4a b + a )

3b(a 2 + 2b 2 ) 4a (a 2 + 2b 2 ) 2

=

;

18a 4b 2 − 30a3b3

в)

=

2 5

3 4

6a3b 2 (3a − 5b)

=

4 3

75a b − 90a b + 27 a b

2 3

2

2

3a b (25b − 30ab + 9a )

=

2a (3a − 5b)

b(3a − 5b) 2

=

2a ; b(3a − 5b)

=

30a5b + 15a3b3

г)

2 8

4 6

=

6 4

10a b + 40a b + 40a b

3a (2a 2 + b 2 )

=

2b3 (2a 2 + b 2 ) 2

15a3b(2a 2 + b 2 ) 2 4

10a b (b 4 + 4a 2b 2 + 2a 4 )

3a 2b3 (2a 2 + b 2 )

=

.

№ 698 4a3bc3 − 4a 2b 2c 2 + ab3c

а) =

26a3c − 13a 2b

в) =

г) =

abc(4a 2c 2 − 4abc + b 2 ) 13a 2 (2ac − b)

=

bc(2ac − b) 2 = 13a(2ac − b)

bc(2ac − b) ; 13a

б) =

=

16 x 2 y 6 z 4 + 8 x 4 y 3 z 4 2 x5 y 4 z + 8 x3 y 7 z + 8 xy10 z 4 xz 3 (2 y 3 + x 2 )

y( x 2 + 2 y3 )2

=

=

y( x 2 + 2 y3 )

3 3

2 5

27 x yz − 18 x y z + 3 x y z 4

xz (3x − y 2 )

2 xy 4 z ( x 4 + 4 x 2 y 3 + 4 y 6 )

4 xz 3

36 x 2 y − 12 xy 3 4

8 x 2 y 3 z 4 (2 y 3 + x 2 )

=

; 12 yx(3 x − y 2 ) 2

2

2

4

3x yz (9 x − 6 xy + y )

=

4(3 x − y 2 )

xz (3 x − y 2 )2

;

6a 4b 4c11 + 24a 4b 4c7 d 4 + 24a 4b 4c3d 8 5 3 5 4

5 3 9

6a b c d + 3a b c 2b(c 4 + 2d 4 ) 2

ac 2 (c 4 + 2d 4 )

118

=

=

2b(c 4 + 2d 4 )

ac 2

.

=

6a 4b 4c3 (c8 + 4c 4 d 4 + 4d 8 ) 3a5b3c5 (2d 4 + c 4 )

=

=


№ 699

а) =

б) =

в)

18 x5 − 72 x3 y 2 3 2

2 3

12 x y − 48 x y + 48 xy 3 x 2 ( x − 2 y )( x + 2 y )

=

2 y 2 ( x − 2 y)2 5 2 3

3x 2 ( x + 2 y ) 2 y 2 ( x − 2 y) =

16a b c − 36ab c 2a(3c − 2a 2 ) 2 2

2

bc (2a − 3c)(2a + 3c)

8a 2bc(9c 2 − 12a 2 + 4a 4 ) 4ab 2c3 (4a 4 − 9c 2 )

225a 5b − 100a 3b3

=

15ab3 (9a 2 + 12ab + 4b 2 ) 25a3b(9a 2 − 4b 2 )

3b 2 (3a + 2b) 5a 2 (3a − 2b)

150 x5 y 2 z − 24 x3 y 6 z 5 2

2 3 2

3

40 xy z − 200 x y z + 250 x yz 3 x 2 y (5 x − 2 y 2 )(5 x + 2 y 2 )

=

5 z (2 y 2 − 5 x)2

2

=

;

bc 2 (2a 2 + 3c)

135a3b3 + 180a 2b 4 + 60ab5

=

;

2a (2a 2 − 3c)

=

2

=

12 xy 2 ( x 2 − 4 yx + 4 y 2 )

2 5

5a 2 (3a − 2b)(3a + 2b)

=

18 x3 ( x 2 − 4 y 2 )

72a 2bc3 − 96a 4bc 2 + 32a 6bc

3b 2 (3a + 2b)2

г)

=

4

=

;

=

6 x3 y 2 z (25 x 2 − 4 y 4 ) 10 xyz 2 (4 y 4 − 20 xy + 25 x 2 )

3 x 2 y (5 x + 2 y 2 ) 5 z (5 x − 2 y 2 )

=

.

№ 700

а) =

б) =

в) г) =

x 3n − x n y 2 n 3x

3n

2n n

=

n 3n

+ 6 x y + 3x y

( x n − y n )( x n + y n ) 3 y n ( x n + y n )2

=

x n ( x 2n − y 2n ) n n

3x y ( x 2n + 2 xn y n + y 2n )

xn − y n 3 yn ( xn + yn )

a3n −1b n +1 − 4a n −1b n +1

=

4a nb n −1 − 4a 2 nb n −1 + a3nb n −1

b 2 ( a n − 2)(a n + 2) n

a (a − 2)

2

=

b 2 ( a n + 2) a (a n − 2)

2an+1 − 4a2n+1 + 2a3n+1 3n

4a

− 4a

n

=

; a n −1b n +1 (a 2 n − 4)

a nb n −1 (4 − 4a n + a 2 n )

n

4a (a

2n

− 1)

54 xy 3n z n − 72 x n +1 y 2 n z n + 24 x 2 n +1 y n z n 12 x 2 n + 2 y n −1z n +1 − 27 x 2 y 3n −1z n +1 n

n

n

n

3 xz (2 x − 3 y )(2 x + 3 y )

=

=

;

2an+1(1 − 2an + a2n )

4 y (3 y n − 2 x n )2

=

=

=

a (a n − 1) 2 n

n

2( a − 1)(a + 1)

=

a (a n − 1) 2( a n + 1)

4 xy n z n (9 y 2 n − 18 x n y n + 4 x 2 n )

4 y (2 x n − 3 x n ) 3 xz (2 x n + 3 y n )

3x 2 y n −1z n +1 (4 x 2 n − 9 y 2 n )

;

=

. 119


№ 701

а)

a 2 − ab − bc − c 2

( a − c )( a + c ) − b ( a + c ) = 2 b2 − ( a − c )

=

b 2 − a 2 + 2ac − c 2

( a − c − b )( a + c ) = a + c ; ( b − a + c )( b + a − c ) c − a − b x −1 2 xy − 3 + 3 x − 2 y 2 y ( x − 1) + 3 ( x − 1) ( x − 1)( 2 y + 3) ; б) = = = 2 2 y+3 2 9 + 12 y + 4 y 2 ( 2 y + 3) ( 2 y + 3) =

в)

ax 2 − 2 x 2 − ay 2 + 2 y 2 x 2 (a − 2) − y 2 (a − 2) ( x 2 − y 2 )(a − 2) = = = ax + ay − 2 x − 2 y a ( x + y ) − 2( x + y ) ( x + y )(a − 2)

( x − y )( x + y ) = x – y; x+ y

г)

3xy − 2 x − 3 y + 2

x2 − 2x + 1

3 y ( x − 1) − 2( x − 1)

=

( x − 1) 2

( x − 1)(3 y − 2)

=

( x − 1) 2

=

3y − 2 . x −1

№ 702

а) б) в) г)

x 2 − yz + xz − y 2 2

x + yz − xz − y

2

( x − y )( x + y ) + z ( x − y ) ( x − y )( x + y + z ) x + y + z ; = = x+ y−z ( x − y )( x + y ) − z ( x − y ) ( x − y )( x + y − z )

=

x2 − y 2

=

3x − 2 x 2 + 3 y − 2 xy

a 2 + 2ac + c 2 2

a + ac − ax − cx

=

( x − y )( x + y ) ( x − y )( x + y ) x− y = = ; 3( x + y ) − 2 x( x + y ) ( x + y )(3 − 2 x) 3 − 2 x

(a + c)2 (a + c) 2 a+c = = ; a (a + c) − x(a + c) (a + c)(a − x) a − x

12 z 2 − 9rz + 4nz − 3rn

=

2

20 z + 3rn − 12rz − 4nz (4 z − 3r )(3 z + n) 3 z + n = = . (4 z − 3r )(5 z − n) 5 z − n

4 z (3 z + n) − 3r (3 z + n) = 4 z (5 z − n) − 3r (5 z − n)

№ 703

а) б)

275 + 27 4 8

9

16 − 16

6

9 +9 +9 7

10

9

27 4 (27 + 1)

8

11

10

9

15

14

13

8 −8 −8 4 −4 −4

923 + 922 + 921

120

14

27

13

− 27

7

9 (9 + 1 + 81)

=

8 −8 +8

в) г)

7

=

=

6

16 (16 − 1) 8

2

8 (8 − 8 + 1) = =

9

2

13

2

94 ⋅ 34 ⋅ 28

=

7

9 ⋅ 91 412 ⋅ 15

4 (4 − 4 − 1) 921 (92 + 9 + 1) 27 (27 − 1)

8

8

4 ⋅ 2 ⋅ 57

8 (8 − 8 − 1)

13

=

= =

28 4 4 ; = = 9 ⋅ 91 9 ⋅ 13 117

=

15 5 ; = 57 19

49 ⋅ 29 ⋅ 55 413 ⋅ 11 342 ⋅ 91 339 ⋅ 26

=

=

2 ⋅ 55 = 10 ; 11

27 ⋅ 91 = 94,5. 26


№ 704

а) = б) в) г)

473 + 333 2

2

47 − 47 ⋅ 33 + 33 233 − 113 232 + 23 ⋅ 11 + 112 273 − 133

27 2 + 27 ⋅ 13 + 132 873 + 433 2

2

87 − 87 ⋅ 43 + 43

= = =

=

(47 + 33)(47 2 − 47 ⋅ 33 + 332 ) 47 2 − 47 ⋅ 33 + 332

(23 − 11)(232 + 23 ⋅ 11 + 112 ) 232 + 23 ⋅ 11 + 112

= 47 + 33= 80;

= 23 – 11=12;

(27 − 13)(27 2 + 27 ⋅ 13 + 132 ) 17 2 + 27 ⋅ 13 + 132 (87 + 43)(87 2 − 87 ⋅ 43 + 432 ) 87 2 − 87 ⋅ 43 + 432

= 27 – 13=14; = 87 + 43=130.

№ 705

а) б) в) г)

482 − 2 ⋅ 48 ⋅ 18 + 182 482 − 182 852 − 17 2 2

85 − 2 ⋅ 85 ⋅ 17 + 17 2 732 − 2 ⋅ 73 ⋅ 23 + 232 2

26 − 24

2

482 − 122 2

2

89 + 2 ⋅ 89 ⋅ 31 + 31

= =

(48 − 18) 2 48 − 18 30 5 = = = ; (48 − 18)(48 + 18) 48 + 18 66 11 (85 − 17)(85 + 17) (85 − 17) 2

85 + 17 102 3 = = = 1,5; 85 − 17 68 2

(73 − 23) 2 502 50 = = = 25; (26 − 24)(26 + 24) 2 − 50 2

= =

=

(48 − 12)(48 + 12) (89 + 31)

2

=

36 ⋅ 60 120

2

=

18 3 = = 0,15. 120 20

№ 706

а)

a + b + a2 − b2 2

a − b + a − 2ab + b

2

=

(a + b)(a − b + 1) a + b 3 + 5 = = = – 4; (a − b)(a − b + 1) a − b 3 − 5

c − d + c2 − d 2

(c − d )(c + d + 1) c + d + 1 8 + (−2) + 1 7 = ; = = = c − d + c 2 − 2cd + d 2 (c − d )(c − d + 1) c − d + 1 8 − (−2) + 1 11 m − n + mx − nx (m − n)( x + 1) x + 1 3 4 9 в) = = = : = = 1,125; m − n + my − ny ( m − n)( y + 1) y + 1 2 3 8

б)

г)

pz + qz + p + q ( z + 1)( p + q ) z + 1 25 + 1 26 = = = = = 2. pt + qt + p + q (t + 1)( p + q) t + 1 12 + 1 13

§ 25. Тождества № 707 а) да; б) да; в) да; г) да. № 708 а) да; б) да; в) да; г) да. № 709 а) да; б) да; в) да; г) да.

121


№ 710 а) переместительный закон сложения; б) сочетательный закон сложения; в) переместительный закон умножения; г) распределительный закон сложения относительно умножения. № 711 а) переместительный и сочетательный законы умножения; б) если из числа а вычесть это же число то в результате получится 0; в) переместительные законы сложения и умножения; г) 1. сочетательный закон умножения, 2. распределительный закон сложения относительно умножения. № 712 а) x – y = – y + x = – (y – x); б) (m – n)2 = m2 – 2mn + n2 = n2 – 2mn + m2 = (n – m)2; в) 2a – 3b = – 3b + 2a = – (3b – 2a); г) (3c – 4d)2 = 9c2 – 24cd + 16d2 = 16d2 – 24cd + 9c2 = (4d – 3c)2. № 713 а) 10a–(–(5a+20))=10a–(–5(a+4)) = 10a + 5(a + 4)=5(2a+a+4) = 5(3a + 4); б) – (– 7x) – (6 + 5x) = 7x – 6 – 5x = 2x – 6 = 2(x – 3); в) 12y–(25–(6y–11)) = 12y – (25 – 6y + 11)= 12y–36 + 6y=18y–36=18(y–2); г) 36 – (– (9c – 15)) = 36 – (– 9c + 15) = 36 + 9c – 15 = 21 + 9c = 3(3c + 7). № 714 а) a2+7a+10=a2+5a+2a+10=a(a+5)+2(a+5) = (a + 5)(a + 2) = (a + 2)(a + 5); б) x2 – 9x + 20 = x2 – 4x – 5x + 20 = x(x – 4) – 5(x – 4) = (x – 4)(x – 5); в) (b – 8)(b + 3) = b(b + 3) – 8(b + 3) = b2 + 3b – 8b + 24 = b2 – 5b + 24; г) (c – 4)(c + 7) = c(c + 7) – 4(c + 7) = c2 + 7c – 4c – 28 = c2 + 3c – 28. № 715 а) (a – 4)(a + 2) + 4 = a2 – 4a + 2a – 8 + 4 = a2 – 2a – 4 = a2 – 2a – 3 – 1= = a2 + a – 3a – 3 – 1 = a(a + 1) – 3(a + 1) – 1 = (a – 3)(a + 1) – 1; б) 16–(x+3)(x+2) = 4 + 12 – x2 – 5x – 6 = 4 – x2 – 5x + 6 = 4 – (x2 + 5x – 6) = = 4–(x2–x+6x–6)=4–(x(x–1)+6(x–1)) = 4 – (x – 1)(x + 6) = 4 – (6 + x)(x – 1); в) (y – 3)(y + 7) – 13 = y2 – 3y + 7y – 21 – 11 – 2 = (y2 + 4y – 32) – 2 = = (y2 + 8y – 4y – 32) – 2 = y(y + 8) – 4(y + 8) – 2 = (y + 8)(y – 4) – 2; г) (z–11)(z+10)+10=z2–z – 110 + 10 = (z2 – z – 20) – 80 = z2–5z+4z–20–80 = = z(z – 5) + 4(z – 5) – 80 = (z – 5)(z + 4) – 80. № 716 а) (a + b)2 + (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 + a2 – 2ab + b2 = 2(a2 + b2); б) (a + b)2 – (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 4ab; в) a2 + b2 = a2 + b2 + 2ab – 2ab = (a + b)2 – 2ab; г) (a + b)2 – 2b(a + b) = a2 + 2ab + b2 – 2ba – 2b2 = a2 – b2.

122


№ 717 2x–1+3x+1–5x=5x–5x=5x–3x–2x=5x – 3x – 1 – 2x + 1=5x–(3x+1) – (2x – 1). № 718 x4 − 4 x2

а)

2

x − 2x

=

( x 2 − 2 x)( x 2 + 2 x) ( x 2 − 2 x)

= x2 + 2x, видно, что равенство превращается

в тождество при x2 – 2x не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; б)

3x5 − 24 x 2

=

6 x5 − 12 x 4

3x5 − 24 x 2 6 x5 − 12 x 4

=

x3 + 2 x + 4 2 x2

3 x 2 ( x3 − 8) 6 x 4 ( x − 2)

=

; x 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4) 2 x 4 ( x − 2)

=

x3 + 2 x + 4 2 x2

,

видно, что равенство превращается в тождество при 6x5 – 12x4 не равном нулю, т. е., при x ≠ 0 и x ≠ 2; в)

2a3 − 12a 2 + 18a 4

4a − 36a

2

=

2a(a2 − 6a + 90 2

2

4a (a − 9)

=

(a − 3)2 2

2a (a − 3)(a + 3)

=

a−3 a−3 = ; 2a (a + 3) 2a 2 + 6a

Видно, что равенство превращается в тождество при 4a4– 36a2 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, a ≠ 3. При a = –3 равенство будет тождеством так как при преобразование левой части мы числитель и знаменатель не сокрашали на (a + 3). г)

a 6b 2 − 27 a3b 2 3 3

2 3

2a b − 6a b 6 2

a b − 27 a3b 2 3 3

2 3

2a b − 6a b

=

=

a3 + 3a 2 + 9a ; 2b

a3b 2 ( a3 − 27) 2 3

2a b ( a − 3)

=

a (a 2 + 3a + 9) , 2b

Видно, что равенство равенство превращается в тождество при 2a3b3 – 6a2b3 не равном нулю, т. е., при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ 3. № 719 а) (x +y)(x – y) + (y + a)(y – a) = x2 – y2 + y2 – a2 = x2 – a2; б) (a–b)(a+b)–(a – c)(a + c) – (c – b)(c + b) = a2 – b2 – a2 + c2 – c2 + b2 = 0; в) (x + a)(x + b) = x2 + ax + bx + ab = x2 + (a + b)x + ab; г) (m – a)(m – b) = m2 – am – bm + ab = m2 –x (a + b)m + ab. № 720 а) a + b = 9, доказать (a + 1)(b + 1) – (a – 1)(b – 1) = 18; (a+1)(b+1) – (a – 1)(b – 1) = ab + b + a + 1 – ab + b + a – 1 = 2(a + b) = 18. № 721 (b + c – 2a)(c – b) + (c + a – 2b)(a – c) – (a + b – 2c)(a – b) = = (c + b)(c – b) – 2a(c – b) + (a + c)(a – c) – 2b(a – c) – (a + b)(a – b) + + 2c(a – b) = c2 – b2 – 2ac + 2ab + a2 – c2 – 2ab + 2bc – a2 + + b2 + 2ac – 2bc = – 2ac + 2ab – 2ab + 2bc + 2ac – 2bc = 0.

123


№ 722 а) (2a–b)(2a+b)+(b–c)(b+c)+(c–2a)(c+2a)=4a2 – b2 + b2 – c2 + c2 – 4a2 = 0; б) (3x + y)2 – (3x – y)2 = (3x + y – 3x + y)(3x + y + 3x – y) = 2y · 6x = 12xy = = 9x2y2 + 6xy + 1 – 9x2y2 + 6xy – 1 = (3xy + 1)2 – (3xy – 1)2; в) (x–3y)(x+3y)+(3y–c)(3y+c)+(c–x)(c + x) = x2 – 9y2 + 9y2 – c2 + c2 – x2 = 0; г) (a – b)(a + b)((a – b)2 + (a + b)2) = (a2 – b2)(2a2 + 2b2) = 2(a4 – b4). № 723 а) (a–1)3–4(a–1)=(a–1)((a–1)2–4)=(a – 1)(a – 1 – 2) = (a – 1)(a – 3)(a + 1); б) (x2 + 1)2 – 4x2 = (x2 – 2x + 1)(x2 + 2x + 1) = (x – 1)2(x + 1)2; в) (a + 1)2 – (a + 1) = (a + 1)(a + 1 – 1) = a(a + 1); г) 4b2c2 – (b2 + c2 – a2)2 = (2bc – b2 – c2 + a2)(2bc + b2 + c2 – a2) = = (a2 – (b – c)2)((b + c)2 – a2)=(a – b + c)(a + b – c)(b + c – a)(a + b + c).

ГЛАВА 6. Линейная функция § 26. Координатная прямая № 724

а)

C

B

D

A

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

б)

N O -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 R

в)

E

3 4

1 2

1 2

L

6

3 4

5

6

7

2 3

3 4

5

6

7

124

X

X

F 4

5

6

7 8

9

№ 725 а) 2; 4; 8,5; 2; б) 6,5; 5; 2,5; 7,5; в) 7; 1,5; 13; 6; г) 9,5; 3,5; 2,5; 1,5. № 726 а) 8; б) 4; в) 4; г) 1.

X

Z

K 1

7

M

S

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

5

P

Q

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

г)

1 2

X


№ 727 a) C > D; б)

D

C

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 № 728 а) X < Y; б)

2 3

4

X

B

5

6

7 8

9

X

6

7 8

9

X

6

7 8

9

X

Y

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 № 729 а) B < A < C; б)

1

1

2 3

4

A

-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

5

C 1

2 3

4

5

№ 730 а)

3

X

Открытый луч с началом в точке 3; х > 3; б)

-5

Открытый луч с концом в точке –5; х < –5; в) -2

X

X

Открытый луч с началом в точке –2; х > –2; г)

0

X

Открытый луч с концом в точке 0; х < 0. № 731 а)

1

X

Луч с началом в точке 1; х > 1; 125


б)

4

X

-2

X

Луч с концом в точке 4; х < 4; в) Луч с концом в точке –2; х < –2; г)

-1

X

5

X

Луч с началом в точке –14 х > –1. № 732 а)

3

Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; 3 < х < 5; б)

-5

1

X

Отрезок с началом в точке –5 и концом в точке 1; –5 ≤ х ≤ 1; в)

6

4

X

Отрезок с началом в точке 4 и концом в точке 6; 4 ≤ Х ≤ 6; г)

0

1

X

Интервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; 0 < Х < 1. № 733 а)

6

8

X

Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 8. (Точка 8 не включается); 6 ≤ Х < 8; б)

-2

4

Полуинтервал с началом в точке –2 и концом в точке 4; –2 < Х ≤ 4; 126

X


в)

-3

–1

X

Полуинтервал с началом в точке –3 и концом в точке –1; (Точка –1 не включается) –3 ≤ Х < –1; г) 5 7

X

Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 7; 5 < Х ≤ 7. № 734 а) Открытый луч с началом в точке 5; (5, +∞), x > 5; б) Открытый луч с концом в точке –7; (–∞, –7), х < –7; в) Открытый луч с началом в точке –3; (–3, +∞), x > – 3; г) Открытый луч с концом в точке 4. (–∞, 4), x < 4. № 735 а) Луч с началом в точке 2; [2, +∞), а ≥ 2; б) Луч с концом в точке –1; (–∞, –1], а ≤ –1; в) Луч с началом в точке –8; [–8, +∞), а ≥ –8; г) Луч с концом в точке 4. (–∞, 4], а ≤ 4. № 736 а) Интервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5), 3 < y < 5; б) Отрезок с началом в точке 3 и концом в точке 5; [3, 5], 3 ≤ y ≤ 5; в) Интервал с началом в точке –1 и концом в точке 0; (–1, 0), –1 < y < 0; г) Отрезок с началом в точке 9 и концом в точке 10; [9, 10], 9 ≤ y ≤ 10. № 737 а) Полуинтервал с началом в точке 0 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [0, 1), 0 < p ≤ 1; б) Полуинтервал с началом в точке –7 и концом в точке 6; (–7, 6], –7 < p ≤ 6; в) Полуинтервал с началом в точке –1 и концом в точке 1; (точка 1 не включается) [–1, 1), –1 < p ≤ 1; г) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (3, 5], 3 < p ≤ 5. № 738 а) (5, +∞);

5

х > 5;

X

б) [1, +∞);

1

X

х ≥ 1; 127


в) (1, 3); 1

3

X

1 < Х < 3; г) [6, 10); 6

10

X

6 < Х ≤ 10. № 739 а) [–2, 0];

–2

0

X

7

X

–5 ≤ Х ≤ 1; б) (–∞, 7);

х < 7; в) [4, 9);

4

9

X

4 ≤ Х < 9; г) (–∞, 12];

12

X

х ≤ 12. № 740 а) Открытый луч с началом в точке 3; (3, +∞);

3

X

б) Луч с началом в точке 3; [3, + ∞);

3

128

X


в) Открытый луч с концом в точке 3; (–∞, 3);

3

X

г) Луч с концом в точке 3; ( –∞, 3].

3

X

№ 741 а) Интервал с началом в точке 2 и концом в точке 4; (2, 4);

2

4

X

б) Полуинтервал с началом в точке 3 и концом в точке 5; (точка 5 не включается); [3, 5);

3

5

X

в) Отрезок с началом в точке 0 и концом в точке 7; [0, 7];

0

7

X

г) Полуинтервал с началом в точке 5 и концом в точке 8; (5, 8].

5

8

X

№ 742 а) Луч с началом в точке 2; [2, + ∞);

2

X

б) Интервал с началом в точке –2 и концом в точке –5; (–2, –5);

–2

–5

X

129


в) Открытый луч с концом в точке 0; (–∞, 0);

0

X

г) Полуинтервал с началом в точке 4 и концом в точке 8; (точка 5 не включается); [4, 8).

4

8

X

№ 743 а) Отрезок с началом в точке 1 и концом в точке 3; [1, 3];

1

3

б) Полуинтервал с началом в точке 6 и концом в точке 7; (6, 7];

6

7

X

X

в) Луч с концом в точке 1; ( –∞, 1];

1

X

г) Интервал с началом в точке –6 и концом в точке –2; (–6, –2).

–6

–2

№ 744 а) да; б) нет; в) да; г) нет. № 745 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 746 а) да; б) да; в) нет; г) да. № 747 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 748 а) да; б) да; в) да; г) нет. № 749 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 750 а) 4; 3,5; 3; б) –1; в) – 10; г) 4; 3,5; 3. 130

X


№ 751 а) 5. б) 5; 7; 9; 12. в) 0; 5; 7; –8; –2; 9; 12. г) 7; 9. № 752 а) –5,5; –4,5; –3,5; 1,5; 2,5; 3,5; в) –2,2; –2,1; –1,2; 1,1; 1,2; 1; 3;

б) –5,4; –4,4; –3,4; 1,4; 2,4; 3,4; г) –9,1; –9,2; –9,3; 2,1; 2,2; 2,3.

№ 753 а) нет; б) нет; в) да; г) да. № 754 а) 3; б) 1; в) 6; г) 9. № 755 а) 1; б) 0; в) 0; г) 4. № 756 а) –11; б) нет; в) 7; г) 8,2. № 757 а) 5; б) 1; в) 10; г) 6. № 758 Да принадлежит. Эти числа : 4,99; 4,999. № 759 а) Задание определено не корректно, потому что нет наименьшего целого числа принадлежащего промежутку (–∞, 4]; б) Задание определено не корректно, потому что нет целого числа принадлежащего промежутку (5, 6). № 760 7−3 = 2, a = 7 – r = 7 – 2 = 5; 2 4 − ( −4) б) r = = 4, a = 4 – r = 4 – 4 = 0; 2 10 − 2 в) r = = 4, a = 10 – r = 10 – 4 = 6; 2 6 −1 − ( −7) г) r = = = 3, a = –1 – r = –1 – 3 = –4. 2 2

а) r =

№ 761 5−2 3 = = 1,5, a = 5 – 1,5 = 3,5; 2 2 2,02 − 1,98 0,04 б) r = = = 0,02, a = 2,02 – 0,02 = 2; 2 2 −2 − (−11) 9 = = –4,5, a = –11 + (4,5) = –6,5; в) r = 2 2

а) r =

131


2 1 15 1 14 ⎛ 15 13 ⎞ :2= ,a= – = = 2. г) r = ⎜ − ⎟ : 2 = 7 7 7 7 7 ⎝ 7 7⎠

№ 762

а)

–А

–B

B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

A 5

6

7

X

7

X

7

X

7

X

б)

А

B

-B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

-A 5

6

в)

B

-B

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2

3 4

A 5

6

г)

B

A,-A

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

B 1 2

3 4

5

6

№ 763 Таких точек имеется две С и D. Их координаты можно вычислить как: С = – 4 + 7 = 3; D = – 4 – 7 = –11. № 764 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки N и L находятся по разные стороны от точки M; a)

N

M

L

б)

L

M

N

LN = ML + MN = ML + 2ML = 3ML, значит, 3ML = 10,5; ML = 3,5; MN = 2 · 3,5 = 7; а) L = M + ML = 1,5 + 3,5 = 5; N = M – MN = 1,5 – 7 = –5,5; б) L = M – ML = 1,5 – 3,5 = –2; N = M + MN = 1,5 + 7 = 8,5. 132


Случай 2. Точки N и L располагаются по одну сторону от точки M; a)

M

L

N

N

L

M

б) LN = MN – ML = 2ML – ML = ML, значит ML = 10,5; MN = 2 · ML = 2 · 10,5 = 21; а) L = M + ML = 1,5 + 10,5 = 12, N = M + MN = 1,5 + 21 = 22,5; б) L = M – ML = 1,5 – 10,5 = – 9, N = M – MN = 1,5 – 21 = –19,5. Итого получается, что задача имеет четыре решения. № 765 Данную задачу можно разбить на два случая: Случай 1: Точки P и M находятся по разные стороны от точки K; a)

P

K

M

б)

M

K

P

PM = MK + KP = MK + 3MK = 4MK, значит, 4MK = 8; MK = 2, значит KP = 3 · 2 = 6; а) M = K + MK = –1 + 2 = 1; P = K – PK = –1 – 6 = –7; б) M = K – MK = –1 – 2 = –3; P = K + KP = –1 + 6 = 5. Случай 2. Точки M и P располагаются по одну сторону от точки K; a)

K

M

P

б)

P

M

K

PM = PK – KM = 3MK – MK = 2MK; 2MK = 8, значит MK = 4; PK = 3 · MK = 4 · 3 = 12; а) M = K + MK = –1 + 4 = 3; P = K + KP = –1 + 12 = 11; б) M = K – MK = –1 – 4 = –5; P = K – KP = –1 – 12 = –13. Итого получается, что задача имеет четыре решения.

133


§ 27. Координатная плоскость № 766 а) x = 2, y = 4; б) x = – 3, y =6; в) x =12, y = – 4; г) x = – 3, y = – 0,5. № 767 а) M – в первом, P – в четвертом, N – во втором, Q – в третьем; б) X – в третьем, K – в первом, Y – во втором, L – в четвертом; в) A – во втором, C – в четвертом, B – в первом, D – в четвертом; г) R – в четвертом, E – во втором, S – в третьем, F – в первом. № 768 № 769 а) 6; б) – 2; в) – 8; г) – 9. а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. № 770 № 771 а) 1; б) 4; в) 2; г) 3. а) 3; б) 2; в) 3; г) 2. № 772 а) A(1,1), B(– 2,4), C(6,6), D(– 2, – 2); б) M(2,5), N(4,– 2), Q(– 5,– 3), R(– 2,– 5); в) X(2,– 3), Y(– 5,6), E(2,1), F(– 5,1); г) S(7,2), K(– 5,– 1), P(– 2,– 2), S(7,2). № 773 а) A(2,0), S(0,2), K(– 1,0); б) D(0,– 2), N(0,4), B(3,0); в) P(– 5,0), Q(0,– 6), S(0,2); г) R(7,0), M(0, –4), L( –3,0). № 774 а) A1(4, 5), A2(4, 2), A3(4, –1), A4(4, –4); б) B1(2, 5), B2(2, 1), B3(2, 0), B4(2, –3); в) C1(–2, 5), C2(–2, 3), C3(–2, 0), C4(–2, –3); г) D1(–4, 7), D2(–4, 4), D3(–4, –1), D4(–4, –4). № 775 а) N1(–3, 5), N2(0, 5), N3(3, 5), N4(7, 5); б) M1(–4, 2), M2(–4, 2), N3(2, 2), N4(6, 2); в) K1(–3, 0), K2(–1, 0), K3(3, 0), K4(5, 0); г) L1(–5, –4), L2(–2, –4), L3(2, –4), L4(6, –4). № 776 а) x = 3; б) y = 3; Y

Y

1

1 0

134

1

X

0

1

X


в) y = 1;

г) x = 8.

Y

Y

1

1

0

1

0

X

№ 777 а) x = –2;

1

X

б) x = – 4;

Y

Y

1 0 в) y = –5;

1 1

0

X

1

X

г) x = –1.

Y

Y

1 0

1

X

1 0

№ 778 а) x = 0,5;

X

1

X

б) y = –1,5; Y

Y

1 0

1

1 1

X

0

135


в) y = 3,5;

г) x = – 6,5. Y

Y

1

1 0

1

0

X

1

X

№ 779 а) ордината; б) абсцисса. № 780 а) на прямой х = 5; в) на прямой х = 9;

б) на прямой х = – 7; г) на прямой х = – 1.

№ 781 а) на прямой y = – 3; в) на прямой y = 8;

б) на прямой y = – 12; г) на прямой y = 4.

№ 782 D(б)

Y A(a)

2 0

1

X

С(в)

D(г)

№ 783 Y

M

L 2 0 R

136

1

X S


№ 784 Y

1 P 0

1

E

X

F

№ 785

а) Y A B 2 0

1

X

1

X

б) Y

C 2 0

B

137


в) Y

1 0

N 1

X

M

г) Y

1 0

1

Q

X

P

№ 786

а) Y L

K 1 0

138

1

X


б) Y E 1 0

1

X M

в) Y

1 0

1

X

г) Y

X

2 0

1

X

Y

139


№ 787

а) Y C B 2 0

1

X A

б) Y K

2 0

M 1

X

N

в) Y P 1 0

D

140

1

E

X


г) Y S 2 0

1 L

X

P

№ 788

а)

б) Y

Y F

E

E

F 1

1 0

1

G

0

X

H

1

H

в)

X G

г) F

Y

Y

G

F

1 E

0

1

H

0

X E

G

1 1

H

X

№ 789 а) (– 1, 4); (–3, –4); (3, 4); (5, –4); в) (–1, 8); (–3, 0); (3, 8); (5, 0); б) (–2, 0); (4, 0); (0, 4); (0, –4); г) (–4, 4); (–6, –4); (0, 4); (2, –4).

141


№ 790 Y B

C 2

3

1

A

0

1

D X 1

Координаты вершин третьего квадрата: (–4, 0); (–2, 0); (–2, –2); (–4, –2) № 791 а) x2 = 4; x2 – 4 = 0; (x –2)(x + 2) = 0; x = 2 или x = –2, значит, графиком уравнения x2 = 4 являются прямые x = 2 и х = – 2; б) y2 = 4; y2 – 4 = 0; (y –2)(y + 2) = 0; y = 2 или y = –2, значит графиком уравнения y2 = 4 являются прямые y = 2 и y = – 2; в) x2 – 5x = 0; x(x – 5) = 0; x = 0 или x = 5, значит графиком уравнения x2 – 5x = 0 являются прямые x = 0 и х = 5; г) y2 + 2y = 0; y(y + 2) = 0; y = 0 или y = –2, значит графиком уравнения y2 + 2y = 0 являются прямые y = 0 и y = –2. № 792 а) (0, 0); (0, 6); (–2, 6); (0, 11); (2, 11); (2, 0); б) (0, 2); (–2, 2); (–2, 4); (–1, 5); (3, 5); (4, 4); (4, 1); (3, 0); (4, –1); (4, –4); (3, –5); (–1, –5); (–2, –4); (–2, –2); (0, –2); (0, –3); (2, –3); (2, –1); (1, 0); (2, 1); (2, 3); (0, 3); в) (–4, 0); (–4, 6); (2, 6); (2, 4); (–2, 4); (–2, 2); (1, 2); (2, 1); (2, –4); (1, –5); (–3, –5); (–4, –4); (–4, –2); (–2, –2); (–2, –3); (0, –3); (0, 0); г) (–1, 1); (–1, 3); (1, 3); (1, 1); (–1, –1); (1, –1); (1, –4); (–1, –4); (–2, 0); (–3, 1); (–3, 4); (–2, 5); (2, 5); (3, 4); (3, 1); (2, 0); (3, –1); (3, –5); (2, –6); (–2, –6); (–3, – 5); (–3, –1). № 793

Y C

L

1 0

A

K 1

X

F

T E

L(–3, 0); K(3, 0). 142

B


№ 794 A(3, 1); B(3, –4), значит сторона квадрата a = 1 – (–4) = 5. Квадрат ABCD может располагаться следующим образом : 1) Вершины С и D справа от отрезка AB, тогда С(3 + 5, –4), следовательно, C(8, –4); D(3 + 5, 1), следовательно, D(8, 1). 2) Вершины С и D слева от отрезка AB, тогда С(3 – 5, –4), следовательно, C(–2, –4); D(3 – 5, 1), следовательно, D(–2, 1). Других случаев расположения вершин быть не может, потому что вершины квадрата нумеруются по часовой или против часовой стрелки. Задача имеет два решения. № 795 B(2, 2); D(–2, –2) или B(–2, –2); D(2, 2). Так как вершины А и С являются противоположными, другого расположения вершин B и D быть не может, следовательно задача имеет два решения. № 796 Из того, что АВ параллельна оси координат следует, что абсцисса точки В равна абсциссе точки А. Из того, что начало координат лежит внутри квадрата следует, что начало координат лежит внутри квадрата и ордината и ордината точки А положительна следует, что B(–2, 3 – 6), т.е. В(–2, –3); С(–2 + 6, –3); С(4, –3); D(–2 + 6, 3); D(4, 3). № 797 (4, 4); (4, –4); (–4, 4); (–4, –4). № 798

а)

б) Y

Y

1 0

1 0

1

1

X

X

143


№ 799

а)

б) Y

Y

1 0

1

1 X

0

1

X

№ 800

а) Y

2 0

144

2

X


б) Y

1 0

1

X

145


№ 801

а) Y

1 0

1

X

1

X

б) Y

1 0

146


№ 802 а) xy + 2 – 2y – x = 0; y(x – 2) + 2 – x = 0; (y – 2)(x – 2) = 0; y = 2 или x = 2; Y

1 0

1

X

б) xy2 = 4x; xy2 – 4x = 0; x(y2 – 4) = 0; x(y – 2)(y + 2) = 0; x = 0 или y = 2 или y = –2; Y

1 0

1

X

в) yx2 + 9y; y(x2 + 9); y = 0; Y

1 0

1

X

г) 4 + xy + 2(x + y) = 0; 4 + x(y + 2) + 2y = 0; 2(y + 2) + x(y + 2) = 0; (x + 2)(y + 2) = 0; x = –2 или y = –2. Y

1 0

1

X

147


§ 28. Линейное уравнение с двумя переменными и его график № 803 а) да; б) да; в) да; г) да. № 804 а) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что задействована только одна переменная; б) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что задействована только одна переменная; в) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что в нем есть одночлен второй степени; г) Данное уравнение не является линейным уравнением с двумя менными, потому что в нем есть одночлен второй степени.

перепереперепере-

№ 805 а) нет; б) да; в) нет; г) нет. № 806 а) да; б) нет; в) нет; г) да. № 807 а) (6; 2); (0; 20); (4; 8); б) (2, 0); (2,5; 2,5). № 808 2⎞ ⎛ а) ⎜ 0;− ⎟ ; (3; –1); 5⎠ ⎝

б) (8, –12); в) (2, –1); (5, 20); г) (–18, –4); (9, –1).

№ 809 а) В одной корзине х яблок, а в другой y яблок. Если их высыпать на стол и взять со стола 10 яблок, то на столе будет пусто. б) В магазине есть в продаже x курток. Если один покупатель купит y курток, а затем придет другой и купит еще 3 куртки, то в магазине курток не останется. в) В раздевалке находится х спортсменов. Если y спортсменов уйдут домой, а 8 спортсменов в душ, то раздевалка опустеет. г) На фирме x управляющих и y служащих. Если с фирмы уйдут 12 человек, то на фирме никого работать не останется. № 810 M: 5 + 14 – 7 = 0 – неверно, значит точка М не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; N: 0 + 7 – 7 = 0 – верно, значит точка N принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; K: 7 + 0 – 7 = 0 – верно, значит точка K не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0; L: 2 + 6 – 7 = 0 – неверно, значит точка L не принадлежит графику уравнения x + 2y – 7 = 0. 148


№ 811 3 4 ⎛ 3 4⎞ 2 +5 –8=8–8=0 – верно, значит, точка ⎜ 2 ,5 ⎟ является решением 7 7 ⎝ 7 7⎠ уравнения x + y – 8 = 0; x + y – 8 = 0; y = 8 – x. Можно взять следующие решения : (1, 7); (2, 6); (3, 5). № 812 а) x + y – 5 = 0, y = 5 – x; б) x – y = 0, y = x; 7+х . в) 2x + y – 7 = 0, y = 7 – 2x; г) x + 3y + 7 = 0, y = – 3 № 813 а) 3x + 2y – 6 = 0; 2y – 6 = 0; y = 3. Ответ: 3. 7y = –14; y = –2. Ответ: –2. б) 5x – 7y – 14 = 0; Ответ: – 3. в) 15x – 25y – 75 = 0; 25y = –75; y = –3. г) 81x – 15y – 225 = 0; 15y = –225; y = – 15. Ответ: – 15. № 814

1 1 . Ответ: 2 2 б) 11x + 13y – 16 = 0; 55 + 13y – 16 = 0; 13y = –39. y = – 3. Ответ: –3 в) 19x – 11y – 24 = 0; 57 – 11y – 24 = 0; 11y = 33; y = 3. Ответ: 3. –24 + 2y + 30 = 0; 2y = –6; y = – 3. Ответ: –3. г) 3x + 2y + 30 = 0; № 815 а) 6x + 2y – 1 = 0; –0,6 + 2y – 1 = 0; 2y = 1,6; y = 0,8. Ответ: 0,8. б) 7x – y – 4 = 0; –15 – y – 4 = 0; y = – 19. Ответ: – 19. в) 3x + 5y – 10 = 0; 1,5 + 5y – 10 = 0; 5y = 8,5; y = 1,7. Ответ: 1,7. 71 г) 9x – 2y – 3 = 0; 74 – 2y – 3 = 0; 2y = 71; y = . Ответ: 30,5. 2 № 816 а) 6x + 12y – 42 = 0; 6x – 42 = 0; x = 7. Ответ: 7. б) 17x – 5y + 85 = 0; 17x + 85 = 0; x = –5. Ответ: –5. в) 8x – 35y = 96; 8x = 96; x = 12. Ответ: 12. г) 16x + 54y = 64; 16x = 64; x = 4. Ответ: 4. № 817 а) 4x + 7y – 12 = 0; 4x – 28 – 12 = 0; 4x = 40; x = 10. Ответ: 10. б) 23x – 9y + 5 = 0; 23x + 18 + 5 = 0; 23x = – 23; x = –1. Ответ: –1. в) 5x – 3y – 11 = 0; 5x – 9 – 11 = 0; 5x = 20; x = 4. Ответ: 4. г) 2x + 4y + 9 = 0. 2x + 13 = 0; 2x = –13; x = –6,5. Ответ: –6,5 № 818 8 1 а) 6x + 3y – 2 = 0; 6x + 10 – 2 = 0; 6x = – 8; x = – . Ответ: –1 . 6 3 б) 3,5x – 5y – 1 = 0; 3,5x – 2,5 – 1 = 0; 3,5x = 3,5; x = 1. Ответ: 1. 149 а) 8x + 6y – 11 = 0;

8 + 6y – 11 = 0;

6y = 3;

y=


7 . Ответ: –3,5. 2 19 3 г) 8x + 5y – 3 = 0; 8x + 22 – 3 = 0; 8x = – 19; x = – . Ответ: –2 . 8 8 в) 4x – 2y + 11 = 0; 4x + 3 + 11 = 0; 4x = – 14; x = –

№ 819 а) 21 – 3y – 12 = 0; 3y = 9; y = 3. Ответ: 3. б) 11x + 42 – 31 = 0; 11x = – 11; x = – 1. Ответ: – 1. № 820 а) x + y – 4 = 0; y = 4 – x;

X Y

0 4

б) 2x – y + 5 = 0; y = 2x – 5;

4 0

X Y

0 –5

4 x -8

0

-4

4

8

-8

в) x + 2y – 3=0; 3− х ; y= 2

1 1

1 2 3 4 5

г) –x – y + 6 = 0; y = 6 – x.

3 0 3

x

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

-4

X Y

y

5 4 3 2 1

y

8

2 –1

X Y

3 3

6 0

y

6

y

2

3

1 x -3

-2

-1 0 -1 -2

150

1

2

x

3

-6

-3

0 -3

3

6


№ 821 а) 5x + 3y – 15 = 0; 15 − 5 х y= ; 3

X Y

0 5

б) 7x – 4y + 28 = 0; 7 х + 28 y= ; 4

3 0 5 4 3 2 1

X Y

0 7

–4 0

y

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4 -5

14

y

7 x

x 1 2 3 4 5

-4

0

-2

2

4

-7 -14

в) 6x + 3y + 18 = 0;

г) 8x – 3y – 24 = 0; 8 х − 24 . y= 3

2x + y + 6 = 0; y = –6 – 2x;

X Y

–3 0

0 –6 6

X Y

3 0

0 –8

y

8

y

4

3

x

x -6

-3

0

3

6

-6

-3

0

-3

-4

-6

-8

3

6

151


№ 822 а) 7t + 9s + 63 = 0; −63 − 7t s= ; 9

t s

–9 0

б) 3t – 4s – 12 = 0; 3t − 12 s= ; 4

0 –7 14

t s

4 0

0 –3

s

6

s

3

7 t -18

0

-9

9

18

2 0

-8

0

-4

-7

-3

-14

-6

в) 5t – 2s = 10; 10 − 5t s= ; 2

t s

t 4

г) 4t + 9s + 36 = 0; −36 − 4t s= . 9

0 5 10

t s

–9 0

0 –4

s

8

s

4

5

t

t -4

-2

0

2

4

-18

-9

0

-5

-4

-10

-8

№ 823 а) 30 – 22 = 8 и 60 + 14 = 74, т.е. прямые пересекаются; б) –12 + 14 = 2 и –4 + 10 = 6, т.е. прямые пересекаются.

152

8

9

18


№ 824 а) x – y = – 1 и 2x + y = 4; y = x + 1 и y = 4 – 2x. Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. x + 1 = 4 – 2x; x = 1; y = x + 1 = 2.

Ответ: (1; 2) 6 − 4х и y = 4 – 2x. 3 Чтобы найти точку пересечения этих прямых приравняем y. 6 − 4х = 4 – 2x; 6 – 4x = 12 – 6x; x = 3; y = 4 – 2 · 3 = – 2. 3 Ответ: (3; –2). б) 4x + 3y = 6 и 2x + y = 4; y =

№ 825 а) 3a + 8b = 24; 3a + 8b = 24; б) 6с + 5d = 30; 6с + 5d = 30; 3a = 24 – 8b; 8b = 24 – 3a; 6c = 30 – 5d; 5d = 30 – 6c; 24 − 8b 24 − 3a 30 − 5d 30 − 6c ; b= ; c= ; d= ; a= 3 8 6 5 в) 12m – 3n = 48; 12m – 3n = 48; г) 7x – 8y = 56; 7x – 8y = 56; 4m – n = 16; 4m – n = 16; 7x = 56 + 8y; 8y = 7x – 56; 16 + n 8 y + 56 7 х − 56 ; n = 4m – 16; x= ; y= . m= 4 7 8 № 826 а) 3t – 2z + 6 = 0; 3t = 2z – 6; 2z − 6 ; t= 3 в) 11u+2v+22=0; 11u = – 22 – 2v; 22 − 2v u=– ; 11

3t – 2z + 6 = 0; 2z = 3t + 6; 3t + 6 z= ; 2 11u+2v+22=0; 2v=–22–11u; 22 − 11u v=– ; 2

б) 7s + 9t – 63 = 0; 7s = 63 – 9t; 63 − 9t s= ; 7 г) 25r–4w–100=0; 25r = 4w + 100; 4 w + 100 r= ; 25

7s + 9t – 63 = 0; 9t = 63 – 7s; 63 − 7 s t= ; 9 25r–4w–100=0; 4w = 25r – 100; 25r − 100 w= . 4

№ 827 а) x + 3y – 20 = 0; x = 20 – 3y. Для того чтобы пара чисел состояла из двух одинаковых чисел, нужно чтобы x = y: x = 20 – 3x; x = 5; y = x = 5. Ответ: (5; 5). б) Пусть х = 2y, тогда уравнение примет вид 2y + 3y – 20 = 0; 5y = 20; y = 4; x = 2y = 2 · 4 = 8. Ответ: (8; 4). № 828 ax+5y–40=0. а) (3;2) Подставим эти значения в исходное уравнение: a⋅3+5⋅2–40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3a=30; a=3. Ответ: а=3.

153


б) (9;–1) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ 9 + 5 ⋅ (–1) – 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 9a=45; a=5. Ответ: a = 5. ⎛1 ⎞ в) ⎜ ;0 ⎟ Подставим эти значения в исходное уравнение: ⎝3 ⎠ а ⎛1⎞ = 40; a=120. a ⋅ ⎜ ⎟ + 5 ⋅ 0 · 40 = 0. Получаем ур-е, относительно a: 3 ⎝ 3⎠ Ответ: a = 120. г) (–2; 2,4) Подставим эти значения в исходное уравнение: a ⋅ (–2) + 5 ⋅ 2,4 – 40=0. Получаем ур-е, относительно a: –2a = 28; a = –14. Ответ: a = –14.

№ 829 а) b – 35 = 0; b = 35; б) 18 + 8,5y – 35 = 0; 8,5b = 17; b = 2; в) 2 + 11b – 35; 11b = 33; b = 3; г) – 30 – 13b – 35 = 0; 13b = – 65; b = –5. № 830 а) 16 – 3 – c = 0; c = 13; б) 25 – 13 – c = 0; c = 12; г) –c = 0. c = 0. в) 1 – 2 – c = 0; c = –1; № 831 а) 12 – 2m = 0; m = 6; 1 б) 2m + 2 – 12m = 0; – 10m = – 2; m = ; 5 в) 12m – 12m = 0; 0 = 0; При любом m г) –m + 13 – 12m = 0; 13m = 13; m = 1. № 832 Пусть х – первое число. Тогда (5 – х) – второе число. x – (5 – x) = 1; x – 5 + x = 1; x=3 – первое число; 5 – 3 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. № 833 Пусть х – первое число. Тогда (7 – х) – второе число. 2x + 7 – x = 8; x = 1 – первое число; 7 – 1 = 6 – второе число. Ответ: 1; 6. № 834 Пусть х – первое число. Тогда (х – 1) – второе число. x + 3(x – 1) = 9; 4x = 12; x = 3 – первое число; 3 – 1 = 2 – второе число. Ответ: 3; 2. 154


№ 835 Пусть х – вычитаемое. Тогда 4х – уменьшаемое. 4x – x = 3; x = 1 – вычитаемое; 4 ⋅ 1 = 4 – уменьшаемое. Ответ: 1; 4. № 836 Пусть х – девочек участвовало в турнире. Тогда 1,5х – мальчиков участвовало в турнире. 1,5x + x = 10; x = 4 – девочек участвовало в турнире; 1,5 ⋅ 4 = 6 – мальчиков участвовало в турнире. Ответ: 4; 6. № 837 Пусть х – лет сестре. Тогда (х + 2) – лет брату. х + х + 2 = 14; 2x = 12; x = 6 – лет сестре; 6 + 2 = 8 – лет брату. Ответ: 6; 8. № 838 Пусть х – синиц сидело на ветке. Тогда 2х – воробьев сидело на ветке. х + 2х = 9; x = 3 – синиц сидело на ветке; 2 ⋅ 3 = 6 – воробьев сидело на ветке. Ответ: 3; 6. № 839 Пусть х – мальчиков учится в седьмых классах. Тогда 1,3х – девочек учится в седьмых классах. 1,3x – x = 12; 0,3x = 12; x = 40 – мальчиков учится в седьмых классах. Найдем сколько учеников учится в седьмых классах: 1,3х + х = 2,3х = 2,3 ⋅ 40 = 92 – ученика учится в седьмых классах. Ответ: 92. № 840 Пусть х – человек занимается в историческом кружке. Тогда (х + 7) – человек занимается в математическом кружке. x + x + 7 = 35; 2x = 28; x = 14 – человек занимается в историческом кружке; 14 + 7 = 21 – человек занимается в математическом кружке. Ответ: 14; 21. № 841 Пусть х – первое число. Тогда 4х – второе число. x + 4x = 52,5; 5x = 52,5; x = 10,5 – первое число; 4 ⋅ 10,5 = 42 – второе число. Ответ: 10,5; 42.

155


№ 842 Пусть х – первое число. х ⋅ 100 – второе число. Тогда 87 100 13 x – x = 3,9; x = 3,9; x = 0,3 ⋅ 87; 87 87 100 x = 26,1 – первое число; 26,1 ⋅ = 30 – второе число. 87 Ответ: 26,1; 30. № 843

Пусть х – первое число. Тогда

100 х – второе число. 124

100 224 x = 112; x = 112; 124 124 100 x = 62 – первое число; 62 · = 50 – второе число. Ответ: 50; 62. 124 № 844 а) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p p2 – 6p + 8 = 0; p2 – 2p – 4p + 8 = 0; (p – 4)(p – 2) = 0; p = 4 или p = 2. Ответ: при p = 2 или при p = 4 б) Подставим данную пару в уравнение и решим его относительно p –p2 + 2p + 8 = 0; –p2 – 2p + 4p + 8 = 0; (4 – p)(p + 2) = 0; p=4 или p = – 2. Ответ: при p = –2 или при p = 4 № 845 а) x2 – y2 = 0. (x – y)(x + y) = 0; б) x2 = 4y2; (x – 2y)(x + 2y) = 0; х х x = y или x = –y; y = или y = – ; 2 2 y y 8 8 x+

4

4

x

x -8

156

-4

0

4

8

-8

-4

0

-4

-4

-8

-8

4

8


в) y2 = 9x2; (y – 3x)(y + 3x) = 0;

г) 16x2–25y2=0; (4x–5y)(5y + 4x)=0; 4 4 y = x или y = – x. 5 5

y = 3x или y = – 3x; y

6

8

y

4

3

x

x -6

0

-3

3

-10

6

0

-3

-4

-6

-8

№ 846 а) x2 – 6xy + 8y2 = 0; x2 – 6xy + 9y2 – y2; (x – 3y)2 – y2; (x – 4y)(x – 2y) = 0; 1 1 y = x или y = – x; 4 4 4

-5

5

10

б) 2x2 + 5xy + 2y2 = 0; x2 + 2,5xy + y2 = 0; x2 + 2,5xy + 1,5625y2 – 0,5625y2 = 0; (x + 1,25y)2 – (0,75y)2 = 0; 1 (x + 0,5y)(x + 2y) = 0; y = – 2x; y=– x; 2

y

4

2

y

2

x -16

0

-8

8

x

16

-4

-2

y

2 x -2

0

2

4

-2

4

-4

-2

0

2

4

в) x2 + xy – 2y2; x2 + xy + 0,25y2 – 2,25y2; (x + 0,5y)2 – (1,5y)2; (x – y)(x + 2y) = 0; y = x; х или y = – ; 2

-2

157


г) 3x2 – 10xy + 3y2; 4x2 – 8xy + 4y2 – x2 – y2 – 2xy = 0; (2x – 2y)2 – (x + y)2 = 0; (x – 3y)(3x – y) = 0; 1 y = x; 3 или y = 3x.

3

y

2 1 x -3

-2

-1 0 -1

1

2

3

-2 -3

§ 29. Линейная функция и ее график № 847 а) k = 2, m = 3; б) k = 1, m = −6; в) k = 19, m = −15; г) k = −1, m = 11. № 848 а) k=0,7, m=9,1; б) k=−5,7, m=−3,5; в) k=−0,7, m=9,1; г) k=1,4, m = −2,5. № 849 1 4 8 1 15 3 1 а) k = , m = ; б) k=− , m=− ; в) k = , m = − ; г) k = −1, m = . 3 5 9 2 17 4 7 № 850 15 7 3 19 11 9 7 а) k = , m = − ; б) k = 2, m = ; в) k = , m = − ; г) k = , m = . 12 2 4 15 5 5 5 № 851 3 5 1 7 12 а) k = − , m = ; б) k = , m = 2; в) k = , m = ; г) k = −2, m = 2. 4 4 3 5 5 № 852 8 8 а) y = − x + 3; k = − , m = 3; 3 3 3 3 в) y = − x + 3; k = − , m = 3; 4 4

5 5 x − 5; k = , m = − 5; 2 2 7 7 г) y = − x + 7; k = − , m = 7. 5 5

б) y =

№ 853 а) y = − 12x + 17; k = −12, m = 17; б) y = − 19x + 5; k = −19, m = 5; в) y = − 36x + 40; k = −36, m = 40; г) y = − 15x + 53; k = − 15, m = 53. № 854 а) y = x − 9; k = 1, m = −9; в) y = x + 15; k = 1, m = 15; 158

б) y = 7x + 11; k = 7, m = 11; г) y = 35x − 8. k = 35, m = −8.


№ 855 5 5 7 11 7 11 а) y = − x; k = − , m = 0; б) y = x − ; k = , m = − ; 6 6 9 9 9 9 15 15 2 2 x; k = , m = 0; г) y = − x + 19. k = − , m = 19. в) y = 12 12 3 3 № 856 а) y = 5 · 1 + 6 = 11; в) y = 12 · 3 + 1 = 37;

б) y = 7 · 0 − 8 = − 8; г) y = 9 · 2 − 7 = 11.

№ 857 а) y = 2 · 3 + 1 = 7; в) y = 2 · (−2) + 1 = −3;

б) y = 2 · 4,5 + 1 = 10; г) y = 2 · (−3,8) + 1 = −6,6.

№ 858 а) y = 0,5 · 6 − 4 = −1; в) y = 0,5 · (−7) − 4 = −7,5;

б) y = 0,5 · 3,2 − 4 = 2,4; г) y = 0,5 · (−8,9) − 4 = −8,45.

№ 859 а) 5x − 3,5 = 13,5; 5x = 17; x = 3,4;

б) 5x − 3,5 = 0; 5x = 3,5; x = 0,7;

в) 5x − 3,5 = −3,5; 5x = 0; x = 0;

г) 5x − 3,5 = − 6,5. 5x = − 3; x = −

3 . 5

№ 860 а) 4,3x + 2,8 = 24,3; 4,3x = 21,5; x = 5; б) 4,3x + 2,8 = 13,55; 4,3x = 10,75; x = 2,5; в) 4,3x + 2,8 = 4,52; 4,3x = 1,72; x = 0,4; г) 4,3x + 2,8 = − 1,07. 4,3x = − 3,87; x = −0,9. № 861 а) y = 5x + 6; б) y = 2x − 1;

0 6

x y

−2 −4

x y

0 −1

Y

Y

8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

-2 0 -2

4 7

2

X 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

X 2

4

6

8

159


в) y = 2x + 6;

г) y = 3x − 4; 0 6

x y

−2 2

0 −4

x y

Y

Y 8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

X -8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

№ 862 а) y = x + 2;

2 4

0 −3

x y

160

6

8

Y

8

8

6

6

4

4

2 -4

4

3 0

Y

-8 -6

2

б) y = x − 3; 0 2

x y

2 2

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

X 2

4

6

8


в) y = x + 5;

г) y = x − 1. 0 5

x y

−2 3

8

6

6

4

4 2

2 2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

№ 863 а) y = 4x − 6;

X y

X

X

-2 0 -2

-4

2 1

Y

Y

8

-8 -6

0 −1

X y

2

4

6

8

б) y = 5x + 7;

1 −2

3 6

0 7

X y

−2 3

Y

Y 21

8 6

14

4 7

2

X

X -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0

2

4

6

8

-7

-4 -6 -8

-14 -21

161


в) y = 3x − 3;

г) y = 2x + 1.

0 −3

X y

2 3

0 1

X Y

−2 −3

Y

Y

9

4

6 2 3 X -9

-6

0

-3

3

6

9

X -4

0

-2

2

4

-3 -2 -6 -9

-4

№ 864 а) y = −x + 2;

б) y = −x − 3; 0 2

X Y

2 0

0 −3

X Y

Y

2 −5

9

4

Y

6 2

3 X

X -4

-2

0

2

4

-9

-6

-3

0 -3

-2

-6 -4

162

-9

3

6

9


в) y = −x + 1;

г) y = −x − 8. 0 1

X Y

−2 3

0 1

X Y

−2 −3

Y

Y

16

4

12 8

2

4

X -4

0

-2

2

-16 -12 -8

4

X

-4 0 -4

4

8

12 16

4

6

-8

-2

-12 -16

-4

№ 865 а) y = −3x + 2;

б) y = −4x + 1;

0 2

X Y

2 −4

8

-4

−1 5

Y 8

6

6

4

4

2 -8 -6

0 1

X Y

-2 0 -2

2

X 2

4

6

8

Y

X -8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

2

8

163


в) y = −7x + 3;

г) y = −5x + 2.

0 3

X Y

1 −4

0 2

X Y

2 −8

Y

Y

12

8 6

8

4

4

2

X

X -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-12

8

-8

-4

0

4

8

12

-4

-4

-8

-6 -8

-12

№ 866 а) y = 0,4x + 2; X Y

б) y = 3,5x − 1;

0 2

5 4

5 4

0 −1

X Y

Y

Y 6 4

3 2

2

1 -5 -4 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 -5

164

2 6

X

1 2 3

4 5

X

-6

-4

-2

0 -2 -4 -6

2

4

6


в) y = 0,2x − 4; X Y

г) y = 2,5x + 5.

0 −4

10 −2

0 5

X Y

−2 0

Y

6

Y

15

4

10

2

5 X

-15

-10

0

-5

5

10

15

-6

-4

-2

-2

-5

-4

-10

-6

-15

№ 867 а) y = −2,5x − 3; X Y

X

0

2

4

6

б) y = −0,5x + 1;

0 −3

−2 2

X Y

0 1

−4 3

Y 3

3

2

2

1

Y

1 X

-6

-4

-2

0

2

4

6

X

-6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

2

4

6

165


в) y = −1,5x + 8;

г) y = −3,5x − 2.

2 5

X Y

4 2

0 −2

X Y

−2 5

Y

6

Y 6

4

4

2

2 X

-6

-4

0

-2

2

4

6

-4

0

-2

-2

-2

-4

-4

-6

-6

№ 868 а) S = 1,5t + 0,5;

3 6

6

2

4

6

б) S = −3,5t + 4,5;

1 2

T S

X

-6

1 1

T S

s

3 −6

6

s

4

4

2

2

t

t

-6

166

-4

-2

0

2

4

6

-6

-4

-2

0

-2

-2

-4

-4

-6

-6

2

4

6


в) S = −4,5t − 2,5; T −1 1 S 2 −7

г) S = 2,5t − 3,5. T 1 3 S −1 4

s 8

s

6

6

4

4 2

2

t

t

-3

-2

-1

0 -2

1

2

3

-3

-2

0

-1

1

2

3

-2

-4 -4

-6 -8

-6

№ 869 2 а) S = t − 1; 3 T 0 S −1

б) S = − 3 1

T S

1 t + 1; 2 0 6 1 −2

s

s 3

3

2

2 1

1

t

t

-3

-2

-1

0

1

2

3

-6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

2

4

6

167


в) S =

1 t − 2; 2 T 0 S −2

г) S = − 4 0

T S

2 t + 1. 3 0 3 1 −1

s

s

3

3

2

2

1

1 t

-6

-4

0

-2

2

4

6

-4

-2

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

№ 870 1 1 а) u = z + ; 4 4

3 1

Z u

t

-6

−1 0

б) y =

1 1 x− ; 3 3

X Y

1 0

2

4

6

4 1

u

Y

3

4 3

2

2 1

1

X

z

-6

-4

-2

0 -1

2

4

6

-4 -3

-2

-1 0 -1 -2

-2 -3

168

-3 -4

1

2

3

4


5 1 a+ ; 3 3

в) b =

г) S =

1 2

A B

−2 −3

3 2 t+ . 10 5 2 1

T S

s

b 4

4

3

3

2

2

1 -4 -3

1

a

-1 0 -1

-2

7 2,5

1

2

3

-8 -6

4

-4

-2 0 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

t 2

4

6

8

№ 871 Для того чтобы найти точку пересечения графика функций аналитически, приравняем ординаты функций а) x + 4 = 2x; x = 4; y = 4 + 4 = 8. Ответ: (4; 8). б) −x = 3x − 4; x = 1; y = 3 − 4 = −1. Ответ: (1; −1). в) −2x + 3 = 2x − 5; 4x = 8; x = 2; y = 4 − 5 = −1. Ответ: (2; −1). г) 3x + 2 = −0,5x − 5; 3,5x = 7; x = 2; y = 3 · 2 + 2 = 8. Ответ: (2; 8). № 872 y 8 6 4 2 x -8 -6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8

2

4

6

8

y = x +4; а) С осью ОX : х + 4 = 0, х = − 4; (−4; 0). С осью ОY : y = 4 + 0 = 4, y = 4; (0; 4). б) При x = −2, y = −2 + 4 = 2. При x = −1, y = −1 + 4 = 3. При x = 0, y = 0 + 4 = 4. При x = 1, y = 1 + 4 = 5. x + 4 = 1; в) x + 4 = 4; x = 0; x = − 3; x + 4 = −2; x + 4 = 7; x = − 6; x = 3. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. 169


№ 873 y = −4x + 8; а)С осью ОY: y = 8 + 0 = 8; (0; 8). С осью ОХ: −4х + 8 = 0, х = 2; (2; 0). б) При x = 0, y = 0 + 8 = 8. При x = 1, y = −4 + 8 = 4. При x = 2, y = −8 + 8 = 0. При x = 3, y = −12 + 8 = −4. в) −4x + 8 = 0; x = 2; −4x + 8 = 4; x = 1; −4x + 8 = 8; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. № 874 y = 2x − 1;

y 8 6 4 2 -8 -6

-4

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-4 -6 -8

y 8 6

а) 2x − 1 = 0; y = 0 · 2 − 1; 4 1 x= ; y = − 1; 2 2 x (0,5; 0); (0; − 1). -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 б) При x = −3, y = 2 · (−3) − 1 = -2 = −7. -4 При x = −1, y = 2 · (−1) − 1 = -6 = −3. При x = 2, y = 2 · 2 − 1 = 3. -8 1 1 При x = , y = 2 · − 1 = 0. 2 2 2x − 1 = −1; 2x − 1 = 7; в) 2x − 1 = 5; x = 3; x = 0; x = 4. г) Функция возрастает, т.к. коэффициент при переменной х больше нуля. № 875 y = − 0,5x + 2; y = −0,5 · 0 + 2 = 2; а) −0,5x + 2 = 0; x = 4; (4, 0); (0, 2). б) При x = −2, y = −0,5 · (−2) + 2 = 3. При x = 4, y = −0,5 · 4 + 2 = 0. При x = −6, y = −0,5 · (−6) + 2 = 5. в) −0,5x + 2 = 1; x = 2; −0,5x + 2 = 0; x = 4; −0,5x + 2 = 2; x = 0. г) Функция убывает, т.к. коэффициент при переменной х меньше нуля. 170


y 8 6 4 2 x -8 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

8

-4

№ 876 y = −3x + 6; а) x < 2 ( x = 0, x = −2, x = 1); y > 0; б) x = 2; в) x < 2; г) x > 2. 8

y

y

8

6

6

4

4

2 -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

x -6

8

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

8

y 4

6

3

4

2

-2 0 -2

4

6

8

4

6

8

3

4

y

1

x 2

2

№ 879 y = 4x + 4; а) x > −1; б) x ≤ −1; в) x < −1; г) x ≥ −1.

2 -4

2

x

№ 878 y = 3x − 6; а) x > 2; б) x ≤ 2; в) x < 2; г) x ≥ 2.

-6

№ 877 y = 2x − 6; а) x < 3 ( x = 2, x = 1, x = 0); y < 0; б) x = 3; в) x > 3; г) x < 3.

-3

-2

-1 0 -1

-4

-2

-6

-3

-8

-4

x 1

2

171


№ 880 y = −x − 2; а) x < −2; б) x ≥ −2; в) x > −2; г) x ≤ −2.

№ 881 y = −2x + 4; а) x < 2; б) x ≥ 2; в) x > 2; г) x ≤ 2.

y

y

4

4

3

3

2

2

1 -4 -3

-2

1

x

-1 0 -1

1

2

3

4

-4 -3

-2

-2

-2

-3

-3

-4

-4

№ 882 y = 2x + 3; а) [0, 1];

x

-1 0 -1

-4

в) [1, 3];

8

6

6

4

4

2

4

6

8

-8 -6

-4

-4 -6

8

2

4

6

8

г) [−1, 1]. y

16

8

12

6

8

4 2

4

172

x

-2 0 -2

-6

y

-16 -12 -8

4

2

x

-4

-4 0 -4

3

y

8

2 -8 -6

2

б) [−2, 2];

y

-2 0 -2

1

x

x 4

8

12 16

-8 -6

-4

-2 0 -2

-8

-4

-12

-6

-16

-8

2

4

6

8


№ 883 y = 2x + 3; а) (−∞, 1);

б) (−2, ∞);

y

y

8

8

6

6

4

4

2 -8 -6

-4

2

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

x

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

-8

-8

в) (−∞, −2);

2

8

y

8

8

6

6

4

4

2 -4

6

г) (0, ∞). y

-8 -6

4

2

x

-2 0 -2

2

4

6

8

-8 -6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

№ 884 y = 2x + 3; а) (−∞, 1];

x 2

4

6

8

б) [−2, ∞); 10

Y

4

Y

2

5

X

X -10

-5

0

5

10

-4

-2

0

-5

-2

-10

-4

2

4

173


в) (−∞, −2];

г) [0, ∞). 4

Y

4

Y

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

0

-2

-2

-2

-4

-4

№ 885 y = 2x + 3; а) (−2, 0);

2

4

б) (−2, −1); 4

Y

4

2

Y

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

-2

-2

г) (−1, 3). 6

Y

y 8 6

4

4

2

2

X -2 0 -2 -4 -6

174

4

-4

в) (−1, 1);

-4

2

-2

-4

-6

0

2

4

6

x -8 -6

-4

-2 0 -2 -4 -6 -8

2

4

6

8


№ 886 y = −3x + 1; а) [1, 2); 6

б) (−2, 1];

Y

6

4

4

2

2

X -6

-4

Y

8

-2 0 -2

2

4

6

X

-8 -6 -4 -2 0 -2

2

4

6 8

-4

-4

-6

-6

-8

в) [0, 1);

г) (−1, 0]. 4

Y

6

3

Y

4

2

2

1 -4 -3 -2 -1 0 -1

X

X 1 2

-6

3 4

-4

-2 0 -2

2

4

6

2

4

6

-2

-4

-3

-6

-4

№ 887 y = −3x + 1; а) (−∞, 0];

б) (2, ∞); 6

Y

6

4

4

2

2 X

X -6

-4

-2 0 -2 -4

2

4

6

Y

-6

-4

-2 0 -2 -4 -6

-6

175


в) (−∞, 0);

г) [1, +∞). 6

Y

6

Y

4

4

2

2 X -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

X -6

-4

№ 888 y = −3x + 1; а) [0, 2]; Y 6

8

2

-2 0 -2

2

4

6

4

6 8

-6

в) [−1, 1);

.г) (−2, 1]. Y

-8

8

Y

6

4

4

2 X

-4

2

-4

-6

-2 0 -2

X

-8 -6 -4 -2 0 -2

-4

-4

Y

4

X

-6

6

6

2

6

4

б) (1, 3);

4

-4

2

-4

-4

-6

-2 0 -2

2

4

6

2 -8 -6 -4 -2 0 -2

X 2

4

6 8

-4 6

№ 889 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка.

176


а) −2 + 3 = 1, −1 + 3 = 2. б) −(−1) + 5 = 6, −4 + 5 = 1. в) −3 + 3 = 0, −1 + 3 = 2. г) −2 + 5 = 3, −5 + 5 = 0.

Ответ: 1 − наименьшее; 2 − наибольшее. Ответ: 1 − наименьшее; 6 − наибольшее. Ответ: 0 − наименьшее; 2 − наибольшее. Ответ: 0 − наименьшее; 3 − наибольшее.

№ 890 Линейная функция монотонна, значит, для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значения, нужно вычислить значения функции на концах отрезка. а) 4 · (−1)−1=−5, 4 · 2−1=7. Ответ: −5 − наименьшее; 7 − наибольшее. б) −2 · 0+5=5, −2 · 4+5=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 5 − наибольшее. в) 3 · (−1)−2=−5, 3 · 1−2=1. Ответ: −5 − наименьшее; 1 − наибольшее. г) −5 · 0+7=7, −5 · 2+7=−3. Ответ: −3 − наименьшее; 7 − наибольшее. № 891 y = 3x − 9; а) (3; 0), (0; −9); б) x < 3; в) x > 3; г) −6; −3. 12

№ 892 y = −2x + 6; а) (3; 0), (0; 6); б) [4, 5]; в) x < 3; г) −2; 8.

Y

12

9

9

6

6

3 2 -9 -6 -3 0 -3

3

X 3

6

Y

-9 -6 -3 0 -3

9 12

-6

X 3

6

9 12

-6

-9

-9

-12

-12

№ 893 y = x + 5; а) (−5; 0), (0; 5); б) x < −5; в) [0, 1]; г) 1; 6. 15

№ 894 y = −3x + 6; а) (2; 0), (0; 6); б) [3, 8]; в) x < 2; г) 0; 3.

Y

6

Y

4

10

2

5

X

X -15 -10 -5 0 -5 -10

5

10 15

-6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-4

177


№ 895 а) y = 7,5x + 45; 7,5x + 45 = 0; y = 7,5 · 0 + 45; x = −6; y = 45; Ответ: (−6; 0), (0; 45). в) y = 3,4x − 27,2; 3,4x − 27,2 = 0; y =3,4 · 0 − 27,2; x = 8; y = −27,2; Ответ: (8; 0), (0; −27,2).

б) y = 2,6x − 7,8; 2,6x − 7,8 = 0; y = 2,6 · 0 − 7,8; x = 3; y = −7,8. Ответ: (3, 0), (0; −7,8). г) y = 18,1x + 36,2; 18,1x + 36,2 = 0; y = 18,1 · 0 +36,2; x = 3; y = 36,2. Ответ: (3, 0), (0; 36,2).

№ 896 Для того, чтобы выяснить проходит ли график функции через данную точку, нужно подставить значения абсциссы и ординаты точки в уравнение и посмотреть обращается ли уравнение в верное равенство. y = 3,2x − 5; а) 3,2 · 3 − 5 = 4,6 − верно, значит, проходит; б) 3,2 · 1,2 − 5 = 0 − неверно, значит, не проходит; в) 3,2 · 7,5 − 5 = 4 − неверно, значит, не проходит; г) 3,2 · 2,2 − 5= 2,04 − верно, значит, проходит. № 896 а) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. б) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = −0,5 · (−2) + 1 = 2. в) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Наибольшее = 2,5 · 1 − 4 = −1,5, 2,5 · 2 − 4 = 1. г) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно, наименьшего значения не существует. Наибольшее = 2,5 · 0 − 4 = − 4. № 898 а) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале проме1 1 жутка, а наибольшее в конце. Наибольшее= · (−4)+2=1, · 4 + 2 = 3. 4 4 б) Функция возрастает, значит, наименьшее значение в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, следовательно, наибольшего значения не существует. 1 · 0 + 2 = 2. Наименьшее = 4 178


в) Функция убывает, значит, наибольшее значение в начале промежутка, а наименьшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, следовательно, наибольшего значения не существует. Наименьшее = −1/3 · 6 − 1 = −3. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 899 а) x = 3x − 12; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; 6). б) x = 5x + 4; 4x = −4; x = − 1. Ответ: (−1; −1). № 900 а) −x = 2x + 9; 3x = −9; x = −3. Ответ: (−3; 3). б) −x = −3x + 8; 2x = 8; x = 4. Ответ: (4; −4). № 901 а) 2x = x + 15; x = 15; y = 2 · 15 = 30. Ответ: (15; 30). б) y = 6y − 35; y = 7; x = 3 · 7 = 21. Ответ: (21; 7). № 902 y = −5x + m; а) −5 · 1 + m = 2; m = 7; в) −5 · (−7) + m = 8; m = −27;

б) −5 · 0,5 + m = 4; m = 6,5; г) −5 · 1,2 + m = −3. m = 3.

№ 903 y = kx + 4;

а) 3k + 4 = 5; k =

1 ; 3

1 k + 4 = 1; k = −6; 2 1 г) k + 4 = −8. k = −36. 3

б)

в) −6k + 4 = −8; k = 2; № 904 6

Y

4 2 -6

-4

-2 0 -2

A 2

X 4

Так как функция y = 2x − 3 возрастает, А = 2 · 2 − 3 = 1. Так как функция y = 0,5x − 4 возрастает, B = 2 · 0,5 − 4 = −3. Следовательно, A > B.

6

B

-4 -6

179


№ 905 Из того что функция y = x − 4 возрастает следует, что С = 0 − 4 = −4. Из того что функция y = 4 − x убывает следует, что D = 4 − 1 = 3. Следовательно, D > C.

6 4

Y D

2 X -4

-2 0 -2

2

4

6

-4 C -6

№ 906 y = kx + m. а) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще известно, что функция проходит через второй координатный угол. Откуда следует, что m > 0. б) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще известно, что функция проходит через первый координатный угол. Откуда следует, что m > 0. в) Из того, что линейная функция проходит через первый и третий координатные углы следует, что она возрастает, т. е. k > 0. Но еще известно, что функция проходит через четвертый координатный угол. Откуда следует, что m < 0. г) Из того, что линейная функция проходит через второй и четвертый координатные углы следует, что она убывает, т. е. k < 0. Но еще известно, что функция проходит через третий координатный угол. Откуда следует, что m < 0. № 907 y = kx + m. а) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y > 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y < 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы, (не учитывая точку (0; 0) ) потому что m = 0. Ответ: график функции проходит через 1 и 3 координатные углы. б) Видно, что если мы подставим любое x > 0, то получим, что y < 0, следовательно, график функции проходит через первый координатный угол. Если же мы подставим любое x < 0, то получим, что y > 0, следовательно, график проходит через третий координатный угол. График не проходит через второй и четвертый координатные углы (не учитывая точку (0; 0) ) потому, что m = 0. Ответ: график функции проходит через 2 и 4 координатные углы.

180


№ 908 y = p2 − 2px; а) p2 − 2p = 3; p2 − 2p − 3 = 0; p2 + p − 3p − 3 = 0; p(p + 1) − 3(p + 1) = 0; p = 3 или p = −1; в) p2 = −4; Но квадрат числа не может равняться отрицательному числу, значит не при каких p.

б) p2 = 9; p2 − 9 = 0; (p − 3)(p + 3) = 0; p = 3 или p = −3; г) p2 + 4p = 5; p2 + 4p − 5 = 0; p2 + p − 5p = 0; p(p + 1) − 5(p + 1) = 0; p = 5 или p = −1.

§ 30. Прямая пропорциональность и ее график № 909 а) да; б) да; в) да; г) да. № 910 а) да; б) да; в) да; г) нет, потому что прямая пропорциональность задается уравнением вида y = kx, где k − произвольное число. № 911 а) 1; б) −8; в) 15; г) −1. № 912 а) 0,1; б) −7,5; в) −6,06; г) 5,4. № 913 5 1 1 1 . а) ; б) − ; в) − ; г) 14 3 17 21 № 914 а) y = 5x; б) y = −4x; x y

0 0 6

1 5

0 0

x y

Y

6

4

2 −8

Y

4

2

2 X

-6

-4

-2 0 -2 -4

2

4

6

X -4

-2 0 -2

2

4

6

-4

181


в) y = −2x; x y

0 0

г) y = 6x. x 0 y 0

3 −6

Y

6

Y

6

−1 −6

4 4

2

2

X

X -6

-2 0 -2

-4

2

4

6

-6

-2 0 -2

-4

2

4

-4

-4

-6

-6

№ 915 а) y = 2x;

б) y = −3x;

6

Y

6

Y

4

4

2

2

X

X -4

6

-2 0 -2

2

4

-4

6

-2 0 -2

-4

4

6

-4

-6

-6

в) y = −6x; 6

2

г) y = x. Y

6

Y

4

4

2

2

X

X -4

182

-2 0 -2

2

4

6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

2

4

6


№ 916 а) S = 0,5t;

б) S = −1,2t; s

6

s

6

4

4

2

2 t

-6

в) S =

-4

-2 0 -2

2

4

t

6

-6

-2 0 -2

-4

-4

-4

-6

-6

3 t; 7

г) S = −

6

4

6

t . 2

6

s

2

s

4

4

2

2

t

t -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

№ 917 а) 3k = 12; б) 5k = 25; в) −9k = 45; г) −11k = −99;

2

4

6

k = 4, функция возрастает; k = 5, функция возрастает; k = −5, функция убывает; k = 9, функция возрастает.

№ 918 а) y = kx; 2k = 8; k = 4; y = 4x;

б) y = kx; −16k = 32; k = −2; y = −2x; 183


6

Y

6

y

4

4

2

2

x

X -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

в) y = kx; 3k = −18;

4

6

г) y = kx; 6k = 9; 3 3 k = ; y = x. 2 2

k = −6; y = −6x; 6

2

y

6

y

4

4

2

2

x

x -6

-4

-2 0 -2

2

4

6

-6

-4

-2 0 -2

-4

-4

-6

-6

2

№ 919 B(1; 4). а) y = 2x; 4 ≠ 2 · 1, значит, не проходит; б) y = −2x; 4 ≠ −2 · 1, значит, не проходит; в) y = 4x; 4 = 4 · 1, значит, проходит; г) y = −4x; 4 ≠ −4 · 1, значит, не проходит. № 920 S = kt.

7 = 1,4; S = 1,4t; 5 в) 3k = −9; k = −3; s = −3t; а) 5k = 7; k =

б) 2k = 8; k = 4; s = 4t; г) −4k = 12. k = −3; s = −3t.

№ 921 A(0; 0) y = −2x; 0 = −2 · 0, значит принадлежит; B(2; −4) y = −2x; −4 = −2 · 2, значит принадлежит; 184

4

6


C(5; 3) y = −2x; 3 ≠ −2 · 5, значит не принадлежит; D(−4; 8) y = −2x; 8 = −2 · (−4), значит принадлежит. № 922

1 x. 4 Внутри первого и третьего.

а) y = 4,5x.

б) y =

Внутри первого и третьего. y

9

y

8 6

6

4 2

3 x -9

-6

-3 0 -3

3

6

x

-8 -6 -4 -2 0 -2

9

2

4

6 8

-4 -6

-6

1 г) y = − x. 6 Внутри второго и четвертого.

в) y = −2,5x. Внутри второго и четвертого. 5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3

y

6 x 1 2 3 4 5

0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

x -12

0

-6

6

12

-6

№ 923 y = 0,4x; а) 0; 2; 4; −2; б) 0; 5; 10; −5; в) y > 0; г) y < 0. 5 4 3 2 1

y

12

№ 924 y = −2,5x; а) 0; −5; 5; б) 0; 2; −2; в) y ≥ 0; г) y ≤ 0.

y

x 1 2 3 4 5

5 4 3 2 1 0 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4

y

x 1 2 3 4 5

185


№ 925 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 3. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: 3 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: −3 − наибольшее. г) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: −3; 3. № 926 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (конец промежутка в промежуток не включается), следовательно, наименьшего значения не существует. Ответ: 4 − наибольшее. б) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: 0 − наименьшее. № 927 1 а) y = 2x; б) y = −x; в) y = x; г) y = −3x. 5 № 928 Из того, что функция возрастает, следует, что знак углового коэффициента линейной функции − «+». А из того, что функция убывает, следует, что знак углового коэффициента линейной функции − «−»; а) положителен; б) положителен; в) отрицателен; г) отрицателен. 186


№ 929 а) k > 0, m > 0; б) k > 0, m < 0; в) k < 0, m > 0; г) k < 0, m < 0. № 930 а) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Ответ: 0; 2. б) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наибольшего значения не существует. Ответ: −2 − наименьшее. в) Функция возрастает, следовательно, наименьшее значение будет в начале промежутка, а наибольшее в конце. Но в начале промежутка стоит знак −∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 0 − наибольшее. г) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. № 931 а) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Ответ: −3; 3. б) Заданный промежуток является интервалом, следовательно, наибольшего и наименьшего значений не существует. в) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но в конце промежутка стоит знак +∞, значит, наименьшего значения не существует. Ответ: 3 − наибольшее. г) Функция убывает, следовательно, наименьшее значение будет в конце промежутка, а наибольшее в начале. Но промежуток является полуинтервалом (начало промежутка в промежуток не включается), следовательно, наибольшего значения не существует. Ответ: −3 − наименьшее. № 932 12

y y=x+3

6 x -12

-6

0 -6

6

12 y = -3x

y = 3x -12

187


№ 933 а) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пересекаются; б) 3x = 2x − 1; x = −1, y = 3 · (−1) = −3. Ответ: (−1; −3). в) Задание не корректно, так как прямые параллельны и значит не пересекаются; г) x + 3 = 4; x = 1, y = 4. Ответ: (1; 4). № 934

а) y = x + 3; б) y = 2x − 1; в) y = 2 − x; г) y = −

1 x − 2. 2

№ 935 1 2 а) y = x + 2; б) y = −2x − 4; в) x − 4; г) 1,5x + 2. 2 3

§ 31. Взаимное расположение графиков линейных функций № 936 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) пересекаются; в) совпадают; г) пересекаются. № 937 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) совпадают; б) пересекаются; в) параллельны; г) пересекаются. № 938 Если угловые коэффициенты прямых совпадают, то прямые параллельны, если же их уравнения полностью совпадают, то прямые тоже совпадают. В остальных случаях они пересекаются; а) параллельны; б) параллельны; в) совпадают; г) параллельны. № 939 а) y = 8x + 12 и y = 8x − 3; б) y = 6x + 5 и y = 6x + 7; в) y = −7x + 6 и y = 12 − 7x; г) y = 4x − 1 и y = 4x + 11. № 940 а) y = 3x + 5 и y = 3x + 7; б) y = −6x − 3 и y = −6x + 1; в) y = 45x − 9 и y = 45x + 7; г) y = 1,3x + 21 и y = 1,3x − 11. № 941 а) y = 6x + 1 и y = 5x − 3; б) y = −6x + 5 и y = 9x − 1; в) y = 7x + 8 и y = 3x − 4; г) y = 2x − 15 и y = 3x + 2. 188


№ 942 а) y = 2x + 5 и y = 2x −(−5); в) y = 2x − 6 и y = 3x − 7;

б) y = 2x − 1 и y = 3x + 3; г) y = 2x + 17 и y = 3x + 9.

№ 943 а) Задание определено не корректно, потому что какой бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 5x + 8 и y = 5x + 8. в) y = 6x − 3 и y = 6x − 3. г) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. № 944 а) Задание определено не корректно, потому что какое бы мы число не поставили вместо звездочки, уравнения прямых не будут идентичны. б) y = 4,5x − 2 и y = 4,5x − 2; в) y = 0,35x − 3 и y = 0,35x − 3; г) y = 2x + 5 и y = 2x + 5. № 945 а) 2x + 3 = 3x + 2; x = 1, y = 2 · 1 + 3 = 5. Ответ: (1; 5). б) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. в) 7x + 4 = −x + 4; x = 0, y = 7 · 0 + 4 = 4. Ответ: (0; 4). г) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. № 946 а) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 17); б) −3x + 4 = 2x − 1; 5x = 5; x = 1, y = 2 · 1 − 1 = 1. Ответ: (1; 1). в) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; −8); г) −5x + 3 = x − 3; 6x = 6; x = 1, = 1 − 3 = −2. Ответ: (1; −2). № 947 а) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. б) Прямые совпадают, следовательно, точек пересечения бесконечно много. Укажем одну из них (0; 4). в) Задание не корректно, потому что прямые параллельны. г) 79x = 75x; x = 0, y = 79 · 0 = 0. Ответ: (0; 0). № 948 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0. № 949 k1 = k2 = 1; m1 = 2; m2 = 0.

189


№ 950 a1 = 2; a2 = 3; b1 = 5; b2 = 5; (0; 5) − точка пересечения.

2x + 5 = 3x + 5; x = 0, y = 5;

№ 951 Из того что прямая y = ax + b проходит через начало координат следует, что b = 0. Значит, уравнение прямой имеет вид : y = ax. Прямая y = ax проходит через третий координатный угол (она там пересекается с прямой y = kx + m). Из этого следует, что a > 0. Прямая y = kx + m проходит через третий координатный угол значит либо (k > 0) либо (k < 0 и m < 0). Но второй случай не подходит, потому что во втором случае прямая y = kx + m проходит через второй координатный угол. Итак k > 0. Если m ≥ 0 то прямая проходит через второй координатный угол (если учитывать, что точка (0; 0) принадлежит второму координатному углу). Значит, m < 0. Ответ: a > 0; b = 0; k > 0; m < 0 № 952 Прямая y = kx + m не проходит через третий координатный угол значит k < 0 и m > 0 (считается что точка (0; 0) не принадлежит не одному из координатных углов). Рассмотрим прямую y = ax + b. 1.Случай a ≤ 0, тогда для того чтобы эта прямая проходила через первый координатный угол, необходимо чтобы b было больше 0. 2.Случай a > 0. Прямая всегда проходит через первый координатный угол. Но она также должна проходить через третий координатный угол, что выполнимо только при b > 0. Ответ: k < 0; m > 0; a − может иметь любое значение; b > 0.

ГЛАВА 7. Функция y = x2 2

§ 32. Функция y = x и ее график № 953 а) y =x2 = 12 = 1; б) y = 32 = 9; в) y = 22 = 4; г) y = 02 = 0. № 954 а) y = (− 2) 2 = 4; б) y = (− 1,5) 2; в) y = (− 3) 2; г) y = (− 0,5) 2 = 0,25. № 955 ⎛ 1⎞ ⎝ 3⎠

2

⎛7⎞ ⎝3⎠

2

а) y = ⎜ 2 ⎟ = ⎜ ⎟ = 2

49 4 =5 ; 9 9 2

1⎞ 3⎠

2

⎛ 7⎞ ⎝ 3⎠

2

4 9

б) y = ⎜ − 2 ⎟ = ⎜ − ⎟ = 5 ; ⎝

2

2

1⎞ 169 9 9 ⎛ ⎛ 13 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 13 ⎞ в) y = ⎜ − 3 ⎟ = ⎜ − ⎟ = = 10 ; г) y = ⎜ 3 ⎟ = ⎜ ⎟ = 10 . 4⎠ 16 16 16 ⎝ 4⎠ ⎝ 4⎠ ⎝ ⎝ 3⎠

190


№ 956 а) x2 = 4; x2 − 4 = 0; (x − 2)(x + 2) = 0; x = 2; x = − 2; б) x2 = 9; x2 − 9 = 0; (x − 3)(x + 3) = 0; x = 3; x = − 3; в) x2 = 1; x2 − 1 = 0; (x − 1)(x + 1) = 0; x = 1; x = − 1; г) x2 = 16; x2 − 16 = 0; (x − 4)(x + 4)= 0; x = 4; x =− 4. № 957 а) x2 = 0,25; x2 − 0,25 = 0; (x − 0,5)(x + 0,5) = 0; x = 0,5; x = − 0,5; б) x2 = 6,25; x2 − 6,25 = 0; (x − 2,5)(x + 2,5) = 0; x = 2,5; x = − 2,5; в) x2 = 2,25; x2 − 2,25 = 0; (x − 1,5)(x + 1,5) = 0; x = 1,5; x = − 1,5; г) x2 = 0; x = 0. № 958 а) 2; − 2;б) 1; − 1;в) 0; 3;г)4; 5. № 959 а) 2; 1;б) − 1; 0;в) 0,2; − 0,2; г) таких значений нет, потому что квадрат числа всегда ≥ 0. № 960 а) 22 = 4, значит, принадлежит; б) 32 = 9, значит не принадлежит; в) 42 = 8, значит, не принадлежит; г) (− 3) 2 = 9 значит принадлежит. № 961 а) (0,5) 2 = 0,25, значит, принадлежит; б) (1,2) 2 = 1,44, значит, не принадлежит; в) (1,5) 2 = 2,25 значит, не принадлежит; г) (− 2,5) 2 = 6,25 значит, принадлежит. № 962 Точка принадлежит графику функции, если ее координаты x и y удовлетворяют уравнению функции. Тогда непосредственной проверкой легко убедиться, что: а) да; б) да; в) да; г) нет. № 963 y = x2; y 0 1 −1 2 −2 x 0 1 1 4 4 а) при x = 0; б) при −∞<x<0 и при 0<x<+∞; в) ни при каких x.

6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

X 1

2

3

-2

191


№ 964 а) наибольшее 1; наименьшее 0; [− 1;1]; в) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 2;1];

б) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 3;2]; г) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 1;3].

№ 965 а) наибольшее не существует; наименьшее 0; [− 2;3); в) наибольшее 9; наименьшее 0; [− 2;3];

б) наибольшее 9 наименьшее 0; [− 3;0]; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 3;2).

№ 966 а) наибольшее 4; наименьшее 0; (− 2;2]; в) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 2;3); № 967 а) наибольшее 9; наименьшее не существует; [− 3;−2); в) наибольшее 9; наименьшее не существует; (0;3);

б) наибольшее 9; наименьшее (− 1); [− 3;− 1]; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; (− 1;3). б) наибольшее 9; наименьшее не существует; ( 2;3]; г) наибольшее 9; наименьшее не существует; [− 3;− 1).

№ 968 Во всех пунктах, на отрезках функция возрастает, значит наибольшее значение и наименьшее получаем на концах отрезка; а) наибольшее 4; б) наибольшее 22 = 4; наименьшее 1; наименьшее 02 = 0; в) наибольшее 12 = 1; г) наибольшее 32 = 9; наименьшее 02 = 0; наименьшее 22 = 4. № 969 а) наибольшее (− 1) 2 = 1; наименьшее 02= 0; в) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее 02 = 0;

б) наибольшее (− 2) 2 = 4; наименьшее (− 1) 2 = 1; г) наибольшее (− 3) 2 = 9; наименьшее (− 1) 2 = 1.

№ 970 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем 192


в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. Установим только наибольшие значения. а) 12 = 1; б) 32 = 9; в) (− 3) 2 = 9; г) 32 = 9. № 971 В каждом из этих пунктов промежуткам принадлежит число 0. А как известно все значения функции y = x2 больше либо равны нулю, причем в нуле функция имеет значение 0, т. е. для всех пунктов наименьшим значением будет число 0. № 972 а) 0; б)12 = 1; в) 22 = 4; г) 32 = 9. № 973 а) 0; б) 0; в) 0; г) 0. № 974 а) x2 = 1; x2 − 1 = 0; x = 1; x = − 1; (1;1), (− 1;1);

б) x2 = 0; x = 0; (0;0);

№ 975 а) x2 = 2x; x2 − 2x = 0; x(x − 2) = 0; x = 0; x = 2;

б) x2 = − 3x; x2 + 3x = 0; x(x + 3) = 0; x = 0; x = − 3;

№ 976 а) x2 = x + 2; x2 − x − 2 = 0; x2 + x − 2x − 2 = 0;

в) x2 = 4; x2 − 4 = 0; x = 2; x = − 2; (2;4), (− 2;4);

г) x2 = − 3; решений нет; точек пересечения нет.

в) x2 = x; x2 − x = 0; x(x − 1) = 0; x = 0; x = 1;

г) x2 = − x; x2 + x = 0; x(x + 1) = 0; x = 0; x = − 1.

б) x2 = x − 3; x2 − x + 3; 3 1 x2 − x + + 2 = 0 ; 4 4 2

x(x + 1) − 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(x − 2) =0; x = 2; x = − 1; (2;4), (− 1;1); в) x2 = − x + 2; x2 + x − 2 = 0; x2 − x + 2x − 2 = 0;

1⎞ 3 ⎛ ⎜ x − ⎟ = −2 ; 2⎠ 4 ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения; г) x2 = x − 5; x2 − x + 5 = 0; 1 3 x2 − x + + 4 = 0 ; 4 4 2

x(x − 1) + 2(x − 1) = 0;

(x − 1)(x + 2) =0; x = − 2; x = 1; (− 2;4), (1;1);

3 1⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −4 ; 4 2⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения. 193


№ 977

а) x2 = 2x + 3;

б) x2 = −

5 − 5; 3

5 x+5 = 0 ; 3 9 5 25 x2 + x + +4 = 0; 36 3 36 x2 +

x2 − 2x − 3 = 0; x2 + x − 3x − 3 = 0;

2

9 5⎞ ⎛ ⎜ x + ⎟ = −4 ; 36 6⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения; 5 г) x 2 = x − 5 ; 3 5 x2 − x + 5 = 0 ; 3 9 5 25 2 x − x+ = −4 ; 36 3 36

(x + 1)(x − 3) = 0; x = 3; x = − 1; (3;9), (− 1;1); в) x2 = 3 − 2x; x2 + 2x − 3 = 0; x2 − x + 3x − 3 = 0;

2

9 5⎞ ⎛ ⎜ x − ⎟ = −4 ; 36 6⎠ ⎝ решений нет, значит, нет точек пересечения.

x(x − 1) + 3(x − 1) = 0; (x − 1)(x + 3) =0; x = − 3; x = 1; (1;1), (− 3;9); № 978 а) (1;3);

б) (− 2;2); Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

в) (0;2);

194

-2

0

2

4

X -4

-2

г) (− 2;− 1).

0

2

4


Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

X -4

4

№ 979 а) (0;+ ∞);

-2

0

2

4

2

4

2

4

б) (− 1;+ ∞); Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

в) (− ∞;− 0,5);

0

-2

г) (− ∞;0). Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

№ 980 а) (− ∞;1];

-2

0

2

4

X -4

-2

0

б) (− ∞;− 2]; 195


Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

0

-2

2

X -4

4

в) [2;+ ∞);

-2

0

2

4

г) [1;+ ∞). Y

Y 8

8

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

№ 981 а) [0,1);

0

-2

2

4

б) [0;2); Y

Y

8

8

6

6

4

4 2

2

X

X -4

в) (0;3]; 196

-2

0

2

4

-4

-2

г) (0;2,5].

0

2

4


Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

№ 982 а) (− 1;3];

0

-2

2

4

б) (− 1;1]; Y

Y

8

8

6

6

4

4 2

2

X -4

-2

0

2

X -4

4

в) [− 1;0);

0

-2

2

4

г) [− 1;2). Y

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

-2

0

2

4

№ 983

197


а) наибольшее 22 = 4; б) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0; в) наибольшее (− 2,5) 2 = 6,25; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 984 а) наибольшее не существует; б) наибольшее не существует; наименьшее 0,52 = 0,25; наименьшее 0; в) наибольшее не существует; г) наибольшее не существует; наименьшее 0; наименьшее 0. № 985 Везде в этих пунктах в промежутках есть − ∞, значит, наибольшего значения не существует. Найдем наименьшее значение: 2

1 ⎛ 1⎞ а) 0; б) 0; в) 0; г) ⎜ − ⎟ = . 25 ⎝ 5⎠ № 986 A = 0; B = (− 3) 2 = 9, значит, B > A.

№ 987 C = 22 = 4, D = − 2 + 3 = 1, следовательно, C > D.

Y B

Y y = x2

8 6

6

4

4

2

2

-2

0

A

2

4

-4

X 0

-2

y = 2x + 3

№ 988 M = 32 = 9, N = − 1, значит M > N. Y

y = x2

M

8 6 4

y=x

2

X -4

0

-2

N

198

C

D

X -4

8

2

4

2

4


№ 989 y = x2; L = (− 1)2 = 1, N =12 = 1, следовательно, L = N. Y 8 6 4

L -4

-2

2

N

0

X

2

4

№ 990 y = x2, P = 0, Q = 0; значит, P = Q. Y 8 6 4 2

-4

-2

0

Q @ P

X 2

4

№ 991 y = x2; y = x + 2; A = 22 = 4, B = 3 + 2 = 5. Y y = x2

8 6

B

4 2

y=x+2 -4

A

X -2

0

2

4

199


№ 992 A = (− 3) 2 = 9, B = − 1 · 3 = − 3; значит, A > B. № 993 y = x2. Среди особых промежутков есть значение 0. 02 = 0. Оно и будет наименьшим, значит R = S. № 994 а) x2 = 2x − 1; x2 − 2x + 1 = 0; (x − 1) 2 = 0; x = 1; y = 1. Ответ: (1;1).

б) x2 = 4x − 4; x2 − 4x + 4 = 0; (x − 2) 2 = 0; x = 2; y = 4. Ответ: (2;4).

в) x2 = − 2x − 1; x2 + 2x + 1 = 0; (x + 1) 2 = 0; x = − 1; y = 1. Ответ: (− 1;1).

г) x2 = − 4x − 4; x2 + 4x + 4 = 0; (x + 2) 2 = 0; x = − 2; y = 4. Ответ: (− 2;4).

§ 33. Графическое решение уравнений № 995

а)

в) Y

Y y = –x

4

y=x+3

4

2

y = 3x – 4

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

-2

-2

-4

-4

2

4

y = 2x + 1

Ответ: (2;5). б)

Ответ: (1;− 1) г)

y=9

10

Y

Y 8

8

6

6

y = –x

4

4

2

X -9

-6

-3

0 -2

Ответ: (− 9;9). 200

2

3

X -4

-2

0

Ответ: (− 2;4); (0;0).

2

4


№ 996 а) x2 = 1.

б) x2 = 4. Y

Y y = x2

8

y = x2

8 6

6

y=4

4

4

2

y=1

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

Ответ: x = 1, x = − 1. в) x2 = 0.

0

-2

4

2

4

Ответ: x = 2, x = − 2. г) x2 = − 1.

Y y = x2

2

Y y = x2

8

8

6

6

4

4

y=0

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

y = –1

Ответ: x = 0.

Ответ: решений нет.

№ 997 а) x2 = 2x.

б) x2 = − 3x. Y

Y

8

y = x2

y = x2

8

6

6

y = 2x

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

4

-4

-2

0

2

4

y = –3x

Ответ: x = 0, x = 2.

Ответ: x = 0, x = 3. 201


в) x2 = − 3x.

г) x2 = 3x. Y 8

Y

y = x2

y = x2

8

6

6

4

4

2

2

X -4

0

-2

2

y = –3x

X

4

-4

Ответ: x = 0, x = 2.

0

-2

б) x2 = − x + 2. Y

Y 8

y=x+6

4

Ответ: x = 0, x = − 3.

№ 998 а) x2 = x + 6. y = x2

2

y = 3x

y = x2

8

y = –x + 2

6

6

4

4

2

2

X

X -4

-2

0

2

-4

4

Ответ: x = − 2, x = 3. в) x2 = x + 2.

2

4

Ответ: x = − 2, x = 1. г) x2 = 3x.

Y y = x2

0

-2

Y

y = x2 8

8

y=x+2 6

6

4

4

2

y = 3x

2

X -4

-2

0

Ответ: x = − 1, x = 2. № 999

202

2

4

X -4

-2

0

Ответ: x = 0, x = 3.

2

4


а) x2 = 2x + 3.

б) x2 = − 3x − 2. Y

Y y=x

2

8

8

6

6

y = –3x– 2

4

4 2

2

y = 2x + 3 -4

y = x2

X

X 0

-2

2

4

Ответ: x = − 1, x = 3. в) x2 = − 2x + 3. Y

-4

0

-2

4

Ответ: x = − 2, x = − 1. г) x2 = 3x − 2. Y

y = x2 y = x2

8

8

6

6

4

4

2

2

y = 3x – 2

2

y = –2x+ 3 X

-4

-2

0

2

4

X -4

-2

0

2

Ответ: x = − 3, x = 1.

Ответ: x = 1, x = 2.

№ 1000 а) x = − x + 4; 2x = 4; x = 2; y = − 2 + 4 = 2. Ответ: (2;2).

б) x = x2; x2 − x = 0; x = 0, y = 0; x = 1 y = 1. Ответ: (0;0),(1;1).

№ 1001 а) 3x = 2x − 4; x = − 4; y = 3 · (− 4) = − 12. Ответ: (− 4;− 12).

б) − x = x2; x2 + x = 0; x = 0, y = 0; x = − 1, y = 1. Ответ: (− 1;1).

4

№ 1002

203


а) x2 + 2x − 3; x2 = − 2x + 3.

б) x2 − 4x = − 3; x2 = 4x − 3.

Y y=x

8

Y

y = x2 2

8

6

6

4

4

y = –2x + 3

2

2

X -4

0

-2

2

4

X -4

-2

0

2

4

y = 4x – 3

Ответ: x = − 3, x = 1.

Ответ: x = 1, x = 3.

в) x2 + 4x + 3; x2 = − 4x − 3.

г) x2 − x = 6; x2 = x + 6.

y = –4x – 3

Y

Y

y = x2

8

8

y = x2

6

6

y=x+6

4

4

2

2

X

X -4

0

-2

2

4

-4

-2

0

2

4

Ответ: x = − 3, x = − 1.

Ответ: x = − 2, x = 3.

№ 1003 а) x2 + x + 2 = 0; x2 = − x − 2.

б) x2 − x + 4 = 0; x2 = x − 4.

4 3 2 1 -3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 7

Y y = x2

y = x2

X 1

2

3

y = –x – 2

Ответ: решений нет. в) x2 − x + 6 = 0; x2 = x − 6. 204

-3

-2

4 3 2 1 -1 -10

-2 -3 y = x – 4 -4 -5 -6 7

Y

X 1

2

3

Ответ: решений нет. г) x2 + x+ 8 = 0; x2 = − x − 8.


Y

4 3 2 1 -3

-2

X

-1 -10

1

2

Y

4 3 2 1

3

-3

X

-1 -10

-2

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

1

2

3

-2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ответ: решений нет.

Ответ: решений нет.

№ 1004 а) x2 − 2x + 1 = 0; x2 = 2x − 1.

в) x2 + 2x + 1 = 0; x2 = − 2x − 1.

Y

y=x

Y

8

8

6

6

4

4

y = x2

2

y = 2x – 1

2

y = –2x – 1

2

X

X -4

0

-2

2

4

-4

Ответ: x = 1. б) x2 + 4x + 4 = 0; x2 = − 4x − 4. 4 3 2 1 -3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Ответ: x = − 2.

4 3 2 1

X 2

3

2

4

Ответ: x = − 1. г) x2 − 4x + 4 = 0; x2 = 4x − 4.

Y

1

0

-2

-3

-2

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8

Y

X 1

2

3

Ответ: x = 2.

№ 1005

а) x2 = 1,5x − 6.

б) x2 =

5 x − 5. 3

205


4 3 2 1 -3

-2

Y y = x2

1

2

-3

3

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Y

-3 -2 -1 -10 -2 -3 -4 y = –1,5x – 6 -5 -6 -7

Y

X 1

y=

2

3

5 x–5 3

Ответ: решений нет. 5 г) x2 = − x − 5. 3

в) x = − 1,5x − 6. y=x

-2

y = –1,5x – 6

2

4 3 2 1

y = x2

X

-1 -10 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Ответ: решений нет.

2

4 3 2 1

4 3 2 1

X 1

2

3

Ответ: решений нет.

-3

y=–

-2

5 3

-1 -10

Y y = x2 X 1

2

3

-2 -3 -4 x – 5-5 -6 -7

Ответ: решений нет.

§ 34. Что означает в математике запись y = f(x) № 1006 а) 0; б) − 16; в) 8; г) 4. № 1007 а) 8a; б) − 8a; в) 16a; г) − 32a. № 1008 а) 8(b + 2) = 8b + 16; в) 8(b − 8) = 8b − 64; № 1009 1 а) 5 · + 6 = 5,25 + 6 = 11,25; 4

в) 5 · 0,5 + 6 = 2,5 + 6 = 8,5;

б) 8(b − 1) = 8b − 8; г) 8(b + 7) = 8b + 56. б) 5 · (− 3) + 6 = − 9; г) 5 · 6

2 + 6 = 5 · 6,4 + 6 = 32 + 6=38. 5

№ 1010 а) 5a + 6; б) 15a + 6; в) − 35a + 6; г) − 25a + 6. № 1011 206


а) 5(a + 1) + 6 = 5a + 11; б) 5(a − 3) + 6 + 1 = 5a − 8; в) 5(a − 1) + 6 = 5a + 1; г) 5(a + 4) + 6 − 2 = 5a + 24. № 1012 а) 2; б) − 3a + 2; в) − 3 + 2 = − 1; г) − 3 · 2a + 2 + 4 = − 6a + 6. № 1013 а) − 3 · 8 + 2 + 8 = − 14; б) (− 3x + 2) 2 = 9x2 − 12x + 4; в) − 3x + 2 − 2 = − 3x; г) (− 3x + 2 − 2) 2 = 9x2. № 1014 а) −3 · (− x) + 2 = 3x + 2; б) − 3 · 2x + 2 = − 6x + 2; в) − 3 · (− 8x) + 2 = 24x + 2; г) − 3 · 4x + 2 = − 12x + 2. № 1015 а) 1,6(x + 2) + 3,5 = 1,6x + 3,2 + 3,5 = 1,6x + 6,7; б) 1,6(x − 5) + 3,5 = 1,6x − 8 + 3,5 = 1,6x − 4,5; в) 1,6(x + 9) + 3,5 = 1,6x + 14,4 + 3,5 = 1,6x + 17,9; г) 1,6(x − 6) + 3,5 = 1,6x − 9,6 + 3,5 = 1,6x − 6,1. № 1016 а) 3,7x − 5,2; в) − 3,7 · 2x3 − 5,2 = − 7,4x3 − 5,2; б) 3,7x2 − 5,2; г) 3,7x − 5,2 + 5,2 = 3,7x. № 1017 1 а) 4; б) 9a2; в) 9; г) a2. 9 № 1018 а) x2; б) (x + 2) 2 = x2 + 4x + 4; в) (5 − x) 2 = x2 − 10x + 25; г) (2x + 3) 2 − 9 = 4x2 + 12x. № 1019 а) (x2) 2 = x4; в) (x3) 2 = x6;

б) (x2 − 2) 2 = x4 − 4x2 + 4; г) (x3 + x) 2 = x6 + 2x4 + x2.

№ 1020 а) (x6) 2 = x12; б) (− x6) 2 = x12; в) (3x5) 2 = 9x10; г) (− 3x5) 2 = 9x10. № 1021 а) − 2+ 5=3; б) − 2· (− 3) + 5=11; в) 3 · (− 4) − 2= − 14; г) − 2 · 0 + 5= 5. № 1022 а) − 5 + 5,7 = 0,7; б) − 20 + 5,7 = − 14,3; в) − 5; г) − 5. № 1023

⎧ x2 x < −4,5 f(x)= ⎨ ; 4 x 7 x ≥ 4,5 − + ⎩ а) f(− 5) = (− 5) 2 = 25; в) f(3) = − 4 · 3 + 7 = − 5;

б) f(− 4) = − 4 · (− 4) + 7 = 23; г) f(− 4,5) = − 4 · (− 4,5) + 7 = 25.

№ 1024

207


⎧x2 б) y = ⎨ ⎩9

−4≤ x ≤ 0 ⎧ −2 а) y = ⎨ ; − + 4 x 7 0 < x <1 ⎩

−2≤ x ≤3 . 3< x≤5

Y

8 7 6 5 4 3 2 1

y = –4х + 7

X

-2 -10 -2 y = –2 -3

-4

2

Y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

4

y=9

y = х2

X

-2 -10

-4

2

4

№ 1025

⎧x2 а) y = ⎨ ⎩x

⎧x б) y = ⎨ 2 ⎩x

−3 ≤ x ≤ 0 ; 0< x≤4 Y y = х2

9 8 7 6 5 4 3 2 1

8 6 4

y=х 2

X 0

-2

2

4

№ 1026 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎧ 1 ; а) y = ⎨ 2 x + 3 −1 < x ≤ 1 ⎩ 6

Y

-2

№ 1027

208

y = х2

X 2

4

− 5 ≤ x ≤ −2 ⎧ 0 . б) y = ⎨ x + 2 −2< x ≤ 2 ⎩ 6

5

5

4

4

3

3

0 -1

.

Y

-2 -10 -2 y=х

y = 2х + 3

Y

y=х+2

2

1 -4

x>0

-4

2

y=1

−2≤ x ≤ 0

X 2

4

1

y=0 -4

-2

0 -1

X 2

4


⎧ x2 − 3 ≤ x ≤ −2 . б) y = ⎨ ⎩2 x + 8 − 2 < x ≤ 0

⎧ x + 3 − 2 ≤ x ≤ −1 ; а) y = ⎨ 2 −1 < x ≤ 2 ⎩ x 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -4

-2 -10

Y

Y 8 6 4 2

X

X 2

4

-4

-2

0

2

4

№ 1028 а) − 3 ≤ x ≤ 4 (из условия); б) y = 9 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 3 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); 0 < x ≤ 4 промежуток возрастания (из графика); г) точек разрыва нет. № 1029 а) − 2 ≤ x ≤ 2 (из условия); б) y = 4 − наибольшее значение (из графика); y = 0 − наименьшее значение (из графика); в) − 1 ≤ x ≤ 0 промежуток убывания (из графика); − 2 < x ≤ − 1, 0 ≤ x ≤2 промежутки возрастания (из графика); г) x = − 1 точка разрыва (из графика). № 1030

⎧ x2 − 4 ≤ x ≤ 1 f(x)= ⎨ ; ⎩2 x 1 < x ≤ 5 а) f(− 4) = (− 4)2 = 16; б) f(1) = 12 = 1; в) f(− 4,5) не корректно; т.к. x = − 4,5; не принадлежит области определения; г) f(4,9) = 2 · 4,9 = 9,8. № 1031 а) нет т.к. 12 ≠ 2 · 1; б) нет т.к. при − 1 ≤ x < 0 y = f(x) задана неоднозначно. № 1032 а) f(−3)=−(−3)+3,4=3+3,4 = 6,4; б) f(−2)=− 2 · (− 2) + 5 = 4 + 5 = 9; в) f(3)=−2 · 3+5 = − 6 + 5 = − 1; г) f(4) = 42 = 16. 209


№ 1033 а) f(− 5,4) = 1,5 · (− 5,4) + 2,9 = − 8,1 + 2,9 = − 5,2; б) f(− 3,5) = (− 3,5)2 = 12,25; в) f(3,5) = 3,52 = 12,25; г) f(5,5) = − 7,4 + 3,2 · 5,5 = − 7,4 + 17,6 = 10,2. № 1034 ⎧ 5 x<0 ; а) y = ⎨ ⎩− 2 x ≥ 0 5

⎧1 x > 0 . б) y = ⎨ ⎩4 x ≤ 0 5

y

4

4

3

3

2

2 1 -5 -4

-3 -2

-1 0 -1

1

x 1

2

3

4

-5 -4

5

-3 -2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

y

6

1 -1 0 -1

-4

210

3

4

5

2

3

4

5

y

4

x 1

2

3

4

3

5

2 1

-2 -3

2

5

2

-3 -2

x 1

⎧6 x≥0 . г) y = ⎨ ⎩− 1 x < 0

⎧ 3 x≤0 ; в) y = ⎨ ⎩− 7 x > 0

-5 -4

-1 0 -1

-2

3

y

-5 -4

-3 -2

-1 0 -1

-5

-2

-6

-3

-7

-4

x 1


№ 1035

⎧x2 ⎪ а) y = ⎨ x ⎪x2 ⎩

− 2 ≤ x ≤ −1 −1 < x ≤ 1

⎧ − 1 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎪ б) y = ⎨2 x − 1 < x ≤ 1 ⎪ x2 1< x ≤ 3 ⎩

;

1< x ≤ 2 Y

.

Y

8

8

6

6

4

4

2

2

X -4

-2

0

2

4

X -4

0

-2

2

4

№ 1036

⎧ x + 2 − 4 ≤ x ≤ −1 ⎪ −1 < x ≤ 1 а) y = ⎨ 0 ⎪ x2 1< x ≤ 3 ⎩

⎧ x − 6 ≤ x ≤ −2 ⎪ 2 ⎪ 2 −2 < x ≤1 б) y = ⎨ x ⎪3 − 2 x 1< x ≤ 5 ⎪ ⎩ y 4

;

Y 8

2

x

6

-6

X -2

-2

0

2

4

6

-4

2

-4

-4

-2

4

0

.

2

4

-6 -8

№ 1037 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0;

211


б) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x > 0; значение функции меньше нуля при x < 0; возрастает при − ∞ < x < 1; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее y = 2; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает при − 2 < x < ∞; г) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 2; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю не существует; значение функции больше нуля на всей числовой оси; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 2 < x < ∞. № 1038 а) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее отсутствует; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x < 0; значение функции меньше нуля при x > 0; убывает на всей числовой оси; б) область определения − 1 < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0 и 0 < x < + ∞; значение функции меньше нуля отсутствует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; в) область определения − 5 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2 и − 5 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0; г) область определения − 2 < x < 5; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x < 5 и − 2 < x < 0;

212


значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 5; убывает при − 2 < x < 0. № 1039 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x ≤ 2; убывает при − ∞ < x < 0; б) область определения − 4 ≤ x ≤ 2; наименьшее y = − 2; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при 0 < x ≤ 2; значение функции меньше нуля при − 4 ≤ x < 0; возрастает при − 2 < x < 2; в) область определения − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − ∞ < x < 0; г) область определения − 5 < x < 2; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2; убывает при − 1 < x < 0. № 1040 а) область определения от − ∞ < x < + ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при x ≠ 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при x > 0; убывает при x < 0; б) область определения − 4 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция не является непрерывной, точка разрыва x = 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 4 < x < 0 и 0 < x < ∞; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < ∞; убывает при − 4 < x < 0; в) область определения − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − ∞ < x < 1 и 1 < x < ∞; 213


значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1 и 1 < x < ∞; убывает при x < 0; г) область определения − ∞ < x < − 1, − 1 < x < 2 и 2 < x < ∞; наименьшее y = 0; наибольшее отсутствует; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при на всей области определения кроме точки x = 0; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 2 и 2 < x < ∞; убывает при − ∞ < x < − 1 и − 1 < x < 0. № 1041 ⎧ x x>0 а) y = ⎨ ; ⎩− x x < 0

⎧2 x − ∞ < x < 2 б) y = ⎨ ; 2≤ x<∞ ⎩2 ⎧2 − ∞ < x < 2 г) y = ⎨ . ⎩x 2 ≤ x < ∞

⎧ 2 − ∞ < x < −2 в) y = ⎨ ; ⎩− x − 2 ≤ x < ∞ № 1042

⎧ x2 − ∞ < x < 0 а) y = ⎨ ; ⎩− x 0 ≤ x < ∞ ⎧1 в) y = ⎨ 2 ⎩x

− 5 ≤ x < −1 −1 ≤ x ≤ 2

;

⎧x2 б) y = ⎨ ⎩4

−1 < x < 2 ; 2≤ x<∞

⎧x2 г) y = ⎨ ⎩x

−2 < x <1 . 1≤ x < 5

№ 1043

⎧x2 ⎪ а) y = ⎨ x ⎪2 ⎩

−∞ < x < 0 0≤ x<2

− 4 ≤ x < −2 ⎧ −2 ⎪ −2 ≤ x <1 б) y = ⎨ x ⎪3 x − 2 1≤ x ≤ 2 ⎩

;

2≤ x<∞

⎧− x − ∞ < x < 0 ⎪ 0 ≤ x <1 в) y = ⎨ 3x ⎪3 1≤ x < ∞ ⎩

;

;

− 5 < x < −1 ⎧ 3 ⎪ г) y = ⎨− 3 x − 1 ≤ x < 0 ⎪ x2 0≤ x<2 ⎩

.

№ 1044

⎧x2 а) y = ⎨ ⎩x

−∞ < x <1 ; 1≤ x < ∞

⎧− 2 x − ∞ < x < 0 ⎪ 0 ≤ x <1 в) y = ⎨ 3 x ⎪ 3x 1< x < ∞ ⎩ 214

;

⎧− x ⎪ б) y = ⎨ x 2 ⎪ 2x ⎩ ⎧x2 ⎪ г) y = ⎨ x 2 ⎪x2 ⎩

− 4 < x < −1 −1 ≤ x < 1 1≤ x < ∞ − ∞ < x < −1 −1 < x < 2 2< x<∞

;

.


№ 1045

⎧x2 − 2 ≤ x ≤ 0 f(x)= ⎨ ; 0< x≤3 ⎩0 а) f(− 2) = (−2)2 = 4, f(0) = 02 = 0, f(2) = 0, f(− 1) = (− 1)2 = 1, f(3) = 0; б) 6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

X

-1 0 -1

1

2

3

-2

в) область определения − 4 < x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при 0 < x ≤ 3; значение функции больше нуля при − 2 ≤ x < 0; значение функции меньше нуля не существует; убывает при − 2 < x < 0. № 1046

⎧ x2 − 2 ≤ x ≤ 0 ⎪ f ( x ) = ⎨4 x 0 < x ≤ 1 ⎪4 1< x < 3 ⎩

;

а) f(− 1)=(− 1)2 = 1, f(2) = 4, f(1) = 4 · 1 = 4, f(1,5) = 4, f(− 2) = (−2)2 =4; б) 6

Y

5 4 3 2 1 -3

-2

-1 0 -1

X 1

2

3

-2

215


в) область определения − 2 ≤ x < 3; наименьшее y = 0; наибольшее y = 4; функция является непрерывной; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 2 < x < 3; значение функции меньше нуля не существует; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1047 ⎧− 1 − 3 ≤ x ≤ −1 ⎪ f ( x ) = ⎨ x2 − 1 < x ≤ 1 ⎪x 1< x ≤ 6 ⎩

;

а) f(− 2) = − 1, f(4) = 4, f(− 1) = − 1, f(1) = 12 = 1, f(5) = 5; б)

y 6 4 2

x -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

в) область определения − 3 ≤ x ≤ 6; наименьшее y = 0; наибольшее y = 6; функция не является непрерывной, точка разрыва x = − 1; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 1 < x < 0, 0 < x ≤ 6; значение функции меньше нуля при − 3 ≤ x ≤ − 1; возрастает при 0 < x < 1; убывает при − 2 < x < 0. № 1048

− 3 ≤ x ≤ −1 ⎧ 1 ⎪ −1 < x ≤ 2 f ( x ) = ⎨ x2 ⎪2 x + 2 2< x<4 ⎩ а) f(− 3) = 1, f(2) = 22 = 4, f(0) = 02 = 0, f(− 1) = 1, 2

1 ⎛1⎞ ⎛1⎞ f⎜ ⎟=⎜ ⎟ = ; 4 ⎝2⎠ ⎝2⎠ 216

;


б)

y

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

x

-3 -2 -1 0

1 2

3 4 5

в) область определения − 3 ≤ x < 4; наименьшее y = 0; наибольшее y = 10; функция не является непрерывной; точка разрыва x = 2; значение функции равно нулю при x = 0; значение функции больше нуля при − 3 ≤ x < 0, 0 < x < 4; значение функции меньше нуля при отсутствует; возрастает при 0 < x < 2, 2 < x < 4; убывает при − 1 < x < 0. № 1049 2x2 а) y = = 2x ; x

y

y

4

4

2

2

x -5 -4 -3 -2 -1 0

1 2 3 4 5

x -5 -4 -3 -2 -1 0

-2

-2

-4

-4

б) y = −

1

2 3 4 5

x2 = −x . x 217


№ 1050 x2 − 9 а) y = = x+3 ; x−3

б) y =

x2 − 4 = x−2. x+2

y

y 4

4

2

2

x

x -5 -4 -3 -2 -1 0

1

2 3

4 5

-5 -4 -3 -2 -1 0

-2

-2

-4

-4

№ 1051 x3 + 3x 2 а) y = = x2 ; x+3

б) y =

6

8

4 3 2

4

1

2

X 0

2

218

-2

-1

-2

Y

6 5

4

4

3

3

2

2

2

3

3

Y

1

X 1

2

x4 − 4x2 = x2 . (x − 2)(x + 2)

5

0 -1

1

-2

б) y =

1 -3

-3

X

-1 0 -1

4

№ 1052 x4 − x2 а) y = = x2 ; (x − 1)(x + 1) 6

Y

5

6

-2

4 5

x3 − x 2 = x2 . x −1

Y

-4

1 2 3

-3

-2

-1

0 -1

X 1

2

3


ГЛАВА 8. Системы двух линейных уравнений с двумя переменными § 35. Основные понятия № 1053 (1;1) а) 7x + 3y = 10; 7 · 1 + 3 · 1 = 10; является; б) 6x – 2y = 4; 6 · 1 – 2 · 1 = 4; является; в) 6x + 8y = 1; 6 · 1+ 8 · 1 = 14; не является; г) 15x – 2y = 3. 15 · 1 · 2 · 1 =3. является. № 1054 3x – 2y = 5; (1;– 1), (3;2), (5;5). № 1055 а) 2x + y = 9; б) x + 3y = 0; в) 2x – 6y = – 2; г) 3x + 4y = 8. № 1056 x + y =15; (1;14), (2;13), (3;12), (4;11), (5;10), (6;9), (7;8), (8;7), (9;6), (10;5), (11;4), (12;3), (13;2), (14;1). № 1057 ⎧4 x − 7 y = 30 ⎧4 ⋅ 60 − 7 ⋅ 30 = 30 а) ⎨ . ⎨ ⎩4 x − 5 y = 90 ⎩4 ⋅ 60 − 5 ⋅ 30 = 90

Данная пара чисел (60;30) является решением системы. ⎧3 x + 5 y = 330 ⎧3 ⋅ 60 + 5 ⋅ 30 = 330 . ⎨ ⎩6 x − 8 y = 110 ⎩6 ⋅ 60 − 8 ⋅ 30 ≠ 110

б) ⎨

Данная пара чисел (60;30) не является решением системы. № 1058 ⎧2 x + 11 y = 15 ; ⎨ ⎩10 x − 11y = 9 ⎧2 ⋅ 20 + 11 ⋅ 18 ≠ 15 ⎩10 ⋅ 20 − 11 ⋅ 18 ≠ 9

а) (20;18); ⎨

;

не является решением системы;

⎧2 ⋅ 2 + 11 ⋅ 1 = 15 ; ⎩10 ⋅ 2 − 11 ⋅ 1 = 9

является решением системы;

⎧2 ⋅ 1 + 11 ⋅ 2 ≠ 15 ; ⎩10 ⋅ 1 − 11 ⋅ 2 ≠ 9

не является решением системы;

б) (2;1); ⎨ в) (1;2); ⎨

⎧2 ⋅ 3 + 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 15 ; ⎩10 ⋅ 3 − 11 ⋅ ( −1 ) ≠ 9

г) (3;– 1); ⎨

не является решением системы.

219


№ 1059 ⎧4 x − 3 y = 7 ; ⎨ ⎩5 x + 2 y = 26 ⎧4 ⋅ 1 − 3 ⋅ 2 ≠ 7 ; ⎩5 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 ≠ 26

не является решением системы;

⎧4 ⋅ 4 − 3 ⋅ 3 = 7 ; ⎩5 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3 = 26

является решением системы;

а) (1;2); ⎨

б) (4;3); ⎨

⎧4 ⋅ ( −2 ) − 3 ⋅ ( −5 ) = 7 ; не является решением системы; ⎩5 ⋅ ( −2 ) + 2 ⋅ ( −5 ) ≠ 26

в)(– 2;– 5); ⎨

⎧4 ⋅ 0 − 3 ⋅ 1 ≠ 7 ; ⎩5 ⋅ 0 + 2 ⋅ 1 ≠ 26

г) (0;1); ⎨

не является решением системы.

№ 1060 (12;15); ⎧ x + y = 27 ⎧12 + 15 = 27 ⎧27 = 27 ; ⎨ ⎨ ⎩2 x − 4 y = −36 ⎩2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 15 = −36 ⎩− 36 = −36 ⎧2 x − y = 9 ⎧2 ⋅ 12 − 15 = 9 ⎧9 = 9 . б) ⎨ ⎨ ⎨ ⎩4 y = 5 x ⎩4 ⋅ 15 = 5 ⋅ 12 ⎩60 = 60

а) ⎨

№ 1061 x – y = 2; x + y =8; а) (10;8); б) (6;2);

в) (5;3);

г) (100;100).

№ 1062 ⎧x = y ⎧y = x . а) ⎨ ⎨ ⎩3 x − y = 4 ⎩ y = 3 x − 4

⎧−3x + y = 0 ⎧ y = 3 x . ⎨ ⎩4 x − y = 3 ⎩ y = 4 x − 3

в) ⎨

12 5 4 3 2 1 -4

-2 -10 -2 -3 -4 -5

Ответ: (2;2). 220

Y

Y

9 6 3

X 2

4

X -6

-4

-2

0 -3 -6

Ответ: (3;9).

2

4

6


x ⎧ ⎧x − 4 y = 0 ⎪y = ; ⎨ . 4 ⎩x + y = 5 ⎪y = 5 − x ⎩

⎧ y = 5x ⎧ y = 5x б) ⎨ ;⎨ . 3 x + y = 0 ⎩ ⎩ y = −3x

г) ⎨

Y

6 5

Y

4

6

3

4

2

2

1

X -4 -3 -2 -1 0 -2

1

2

3

X

-3 -2 -1 0 -1

4

1

2 3 4 5

6

-2

-4

-3

-6

Ответ: (0;0).

Ответ: (4;1).

№ 1063 ⎧y = x −1 ⎧x − y = 1 ⎪ ; ⎨ а) ⎨ x. ⎩x + 3 y = 9 ⎪y = 3 − 3 ⎩ 6 5 4 3 2 1 -3

⎧3 x − 2 y = 12 б) ⎨ ⎩ x + 2 y = −4

Y

0 -1 -2 -3 -4

Ответ: (3;2).

4

3 ⎧ ⎪⎪ y = 2 x − 6 . ⎨ ⎪y = − x − 2 ⎪⎩ 2

Y

2

X -6

X 3

6

-4

-2

0

2

4

6

-2 -4 -6 -8

Ответ: (2;– 3).

221


⎧2 x + y = 1 ⎧ y = 1 − 2x в) ⎨ ; ⎨ . ⎩2 x + y = 3 ⎩ y = 3 − 2x

4

Y

3

3

2

2 1

X

-2 -1 0 -1

Y

4

1 -4 -3

x 2 ⎧ ⎪⎪ y = 3 − 3 . ⎨ ⎪y = x − 2 ⎪⎩ 3 3

⎧x − 3y = 2 г) ⎨ ⎩2 x − 6 y = 4

1

2

3

X

-5 -4 -3 -2 -1 0 -1

4

-2

-2

-3

-3

-4

-4

Ответ: решений нет, т.к. прямые не пересекаются.

1

2 3 4 5

Ответ: решений бесконечно много, т. к. прямые совпадают.

№ 1064 ⎧ x + y = −5 ; а) ⎨ ⎩3x − y = −7

⎧x − 2 y = 1 ; ⎩y − x = 1

б) ⎨

x 1 ⎧ ⎪y = − 2 2. ⎨ ⎪y = x +1 ⎩

⎧ y = −5 − x . ⎨ ⎩ y = 3x + 7 Y

4

8

3

6

2

4

1

2 -6

-4

-2

0 -2 -4 -6

Ответ: (– 3;– 2).

222

Y

X 2

-4

-2

0 -1 -2 -3 -4

Ответ: (– 3;2).

X 2

4


№ 1065 ⎧x − 2 y = 7 а) ⎨ ; ⎩3 x + 2 y = 5

⎧ x + y = −2 б) ⎨ ; ⎩2 x − y = −4

⎧x − 2 y = 7 . ⎨ ⎩3x + 2 y = 5

⎧ y = −2 − x . ⎨ ⎩ y = 2x + 4

Y

4

5

3

4

2

3

1 -2

2

X

0 -1

2

4

6

1

8 -4

-2

-2

X

0 -1

-3

-2

-4

-3

Ответ: (– 3;2).

Y

2

Ответ: (– 2;0).

№ 1066 ⎧x − 3 y = 8 а) ⎨ ⎩2 x − 3 y = 10

x 8 ⎧ ⎪⎪ y = 3 − 3 . ⎨ ⎪ y = 2 x − 10 3 3 ⎩⎪ Y

5 4 3 2 1

3

X -3 -2 -1 0

1 2 3

4 5

6 7

-2 -10 -2 -3 -4 -5

-3

-6

Ответ: (2;– 2). № 1067 а) (0;6);

⎧ y = 3x − 4 ⎪ 2 10 . ⎨ ⎪y = − 3 x + 3 ⎩

⎧3x − y = 4 ⎩2 x + 3 y = 10

б) ⎨

Y

X 2

4

6

Ответ: (2;2). б) (– 3;– 4);

в) (– 1;2);

г) (5;– 7).

⎧5 x − 3 y = −18 ⎧2 x − 4 y = 10 ⎧3 x + 4 y = 5 ⎧2 x + y = 3 . ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎩7 x + 2 y = 12 ⎩ x + 5 y = −23 ⎩6 x − y = −8 ⎩10 x + 5 y = 15

223


№ 1068 5 ⎧ ⎪⎪ y = 2 x − 3 . ⎨ ⎪y = − 7 x + 3 ⎪⎩ 2

⎧5 x − 2 y = 6 а) ⎨ ⎩7 x + 2 y = 12

Y

5 4 3 2 1 -4

2

4

6 -4

1 ). 2

Ответ: (1;–

6 5 4 3 2 1

X

-2 -10 -2 -3 -4 -5

7 1 ⎧ ⎪⎪ y = 3 x + 3 . ⎨ ⎪ y = 4 x + 17 ⎪⎩ 5 5

⎧7 x − 3 y = −1 б) ⎨ ⎩4 x − 5 y = −17

Y

X

-2 -10 -2 -3 -4

2

4

Ответ: (2;5).

№ 1069 ⎧x + y = 8 а) ⎨ ; ⎩x − y = 4

⎧2 x + y = 1 б) ⎨ ; ⎩2 x − y = 7 ⎧ y = 1 − 2x . ⎨ ⎩ y = 2x − 7

⎧y = 8 − x . ⎨ ⎩y = x − 4 Y 8

Y 4

2

X

X 0

-4

-4

4

8

-6

-4

0

-2

-2 -4 -6 -8

Ответ: (6;2). 224

Ответ: (2,– 3).

2

4

6


⎧ x − y = 15 г) ⎨ ; ⎩3x + y = 5

⎧4 x + 3 y = 6 ; ⎩2 x + y = 4

в) ⎨

4 ⎧ ⎪y = 2 − x 3 . ⎨ ⎪ y = 4 − 2x ⎩

⎧ y = x − 15 . ⎨ ⎩ y = −3x + 5 Y

6 4

10

2

Y

5

X

X -4

0

-2

2

4

-10

6

-5

0

5

10

15

20

-5

-2

-10 -4

-15 -20

Ответ: (3;– 2).

Ответ: (5;– 10).

№ 1070 ⎧6 x − 5 y = 4 а) ⎨ ⎩12 x − 10 y = 5

6 4 ⎧ ⎪⎪ y = 5 x − 5 . ⎨ ⎪y = 6 x − 1 5 2 ⎩⎪ 1

⎧y = x −1 ⎧x − y = 1 ⎪ 2. ⎨ ⎩3 x − 3 y = 2 ⎪ y = x − 3 ⎩

б) ⎨

Y

1.5

Y

1 0.5

X -1

0

1

X -1.5

-1

-0.5 0 -0.5

0.5

1

1.5

-1

-1

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

-1.5

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

225


⎧8 x + 7 y = 2 в) ⎨ ⎩16 x + 14 y = 3

0.4

8 2 ⎧ ⎪⎪ y = − 7 x + 7 . ⎨ ⎪y = − 8 + 3 ⎪⎩ 7 16

2 ⎧ ⎪⎪ y = − 3 x + 4 . ⎨ ⎪y = − 2 x ⎪⎩ 3

⎧2 x + 3 y = 12 г) ⎨ ⎩4 x + 6 y = 0

Y

Y

6 4

0.2

2

X -2

X 0

0.2

0

2

4

6

-2

0.4

-4

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны. № 1071

Ответ: решений нет, т.к. прямые параллельны.

⎧x + y = 0 ⎧ y = −x ; уравнения равны, следовательно, система име⎨ 5 x + 5 y = 0 ⎩ ⎩ y = −x

а) ⎨

ет бесконечно много решений; 1 ⎧ ⎪⎪ y = x − 2 ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎪y = x − 1 2 ⎩⎪

⎧8 x − 8 y = 4 б) ⎨ ⎩2 x − 2 y = 1

имеет бесконечно много решений; ⎧12 x + 12 y = 24 ⎧ y = 2 − x ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎩x + y = 2 ⎩y = 2 − x

в) ⎨

имеет бесконечно много решений; ⎧3 x − y = 5 ⎧ y = 3x − 5 ; уравнения равны, следовательно, система ⎨ ⎩12 x − 4 y = 20 ⎩ y = 3x − 5

г) ⎨

имеет бесконечно много решений. № 1072 3 ⎧ ⎪y = x − 4 ; 2 ⎪y = x − 4 ⎩

а) 3x – 2y = 8 ⎨

3 2 ⎧ ⎪y = − x − 7 7; ⎪ y = 2x + 1 ⎩

в) – 3x – 7y = 2 ⎨ 226

5 1 ⎧ ⎪y = x + 4 4; ⎪y = x ⎩

б) – 5x + 4y = 1 ⎨

5 3 ⎧ ⎪y = − x + 6 2. ⎪y = x + 6 ⎩

г) 5x + 6y = 9 ⎨


№ 1073 ⎧16 x + 2 y = 10 ⎧3 x − 2 y = 1 ⎧7 x + 8 y = 4 ⎧x − y = 3 а) ⎨ ; б) ⎨ ; в) ⎨ ; г) ⎨ . ⎩8 x + y = 5 ⎩6 x − 4 y = 2 ⎩14 x + 16 y = 8 ⎩5 x − 5 y = 15

№ 1074 ⎧7 x − 5 y = 3 ⎧6 x + 11 y = 8 ⎧45 x − 31 y = 13 ⎧54 x − 23 y = 40 ; б) ⎨ ; в) ⎨ ; г) ⎨ . 7 x − 5 y = 1 12 x + 22 y = 8 45 x − 31 y = 2 ⎩ ⎩ ⎩ ⎩54 x − 23 y = 19

а) ⎨

№ 1075 ax + 8y = 20; а) (2;1) 2a + 8 · 1 = 20; 2a = 12; a = 6; б) (– 3;– 2) – 3a + 8 · (– 2) = 20; – 3a = 36; a = – 12. № 1076 ⎧⎪ x + ay = 35 а) ⎨ ⎪⎩bx + 2 y = 27 ⎧ax − 3 y = 7 б) ⎨ ⎩5 x + by = 26

⎧5 + 6a = 35 ⎧6a = 30 ⎧a = 5 ; ⎨ ⎨ ⎨ ⎩5b + 6 ⋅ 2 = 27 ⎩5b = 15 ⎩b = 3 ⎧10a − 3 ⋅ 5 = 7 ⎧10a = 22 ⎧a = 2 ,2 . ⎨ ⎨ ⎨ 5 ⋅ 10 − 3 b = 26 3 b 24 − = − ⎩ ⎩ ⎩b = 8

№ 1077 4 11 ⎧ ⎪⎪ y = − 3 x + 3 . ⎨ ⎪y = − 5 x + 6 2 ⎩⎪

⎧ax + 3 y = 11 5a + 3 ⋅ (− 3) = 11 ⎧4 x + 3 y = 11 ⎨ ⎨ ⎩5 x + 2 y = 12 5a = 20; a = 4 ⎩5 x + 2 y = 12

6

Y

4 2

X -3 -2 -1 0

1

2

3

4

5

6

-2

Ответ: (2;1).

227


§ 36. Метод подстановки № 1078

х ; 2 в) 3a + b = 12, b = 12 – 3a; а) 2x + 4y = 4, y = 1 –

3 х – ; 2 6 г) c + 8d = 15, c = 15 – 8d.

б) x + 6y = 9, y =

№ 1079

а) 6x + y = 18, y = 18 – 6x; в) 18m – 12n = 3, m =

2 1 n+ ; 3 6

5 b; 4 5 г) 45p – 9q = 4, q = 5p – . 7

б) 4a + 5b = 20, a = 5 –

№ 1080

3 s – 4; 2 13 17 s+ ; в) 9r – 13s = 17, r = 9 9 а) 3s – 2t = 8, t =

11 4 – q; 7 7 5 г) 5u + 7v = 21, v = 3 – u. 7 б) 7z + 4q = 11, z =

№ 1081 ⎧ y = 3x − 1 ; 2x + 3 · (3x – 1) = 8; 2x + 9x – 3 = 8; 11x = 11; ⎩2 x + 3 y = 8

а) ⎨

x = 1; y = 3 · 1 – 1 = 2. Ответ: (1;2). ⎧ y = 1 − 7x 5 ; 4x – (1 – 7x) = 4; 4x – 1 + 7x = 4; 11x = 5; x = ; 4 x − y = 4 11 ⎩

б) ⎨

y=1–7·

5 2 5 2 = – 2 . Ответ: ( ; – 2 ). 11 11 11 11

⎧y = 3 − x ; x + 2 · (3 – x) = 3; x + 6 – 2x = 3; –x = – 3; ⎩x + 2 y = 3

в) ⎨

x = 3; y = 3 – 3 = 0. Ответ: (3;0). ⎧y = x −1 ; 5x + 2 · (x – 1) = 16; 5x + 2x – 2 = 16; 7x = 18; ⎩5 x + 2 y = 16

г) ⎨

18 4 4 4 4 4 = 2 ; y = 2 – 1 = 1 . Ответ: (2 ; 1 ). 7 7 7 7 7 7

x=

№ 1082 ⎧x = y + 2 а) ⎨ ; 3 · (y+2)–2y=9; 3y+6–2y=9; y=3; x=3+2=5. Ответ: (5;3). ⎩3 x − 2 y = 9 ⎧x = 2 y − 8 ; 2y–8–3y=–8; –y=0; y=0; x=2 · 0–8=– 8. Ответ: (– 8;0). ⎩ x − 3 y = −8

б) ⎨ 228


⎧x = 2 y − 3 в) ⎨ ; 3 · (2y–3)+2y=7; 6y–9+2y=7; y=2; x=2 · 2–3=1. Ответ: (1;2). ⎩3x + 2 y = 7 ⎧x = y + 8 ; y + 8 – 3y = 4; – 2y = – 4; y = 2; x = 2 + 8 = 10. Ответ: (10;2). ⎩x − 3y = 4

г) ⎨

№ 1083 ⎧x = 4 y а) ⎨ ; ⎩ x + 5 y = 99

б) ⎨

⎧ y = 6x ⎧ y = −4 x ; в) ⎨ ; 4 x + y = 150 ⎩ ⎩ x − y = 10

4y + 5y = 99; 9y = 99; y = 11; x = 44. Ответ: (44;11).

4x + 6x = 150; 10x = 150; x = 15; y = 90. Ответ: (15;90).

x – (– 4x) = 10; 5x = 10; x = 2; y = – 8. Ответ: (2;– 8).

⎧ x = −5 y ; ⎩ x − 4 y = −18

г) ⎨

– 5y – 4y = – 18; – 9y = – 18; y = 2; x = – 10. Ответ: (– 10;2).

№ 1084 ⎧x = 10y а) ⎨ ; 2⋅10y+3y=46; 20y+3y=46; 23y=46; y=2; x=20. Ответ: (20;2). ⎩2x + 3y = 46 ⎧ y = 1,5x ; 2⋅1,5x+5x=64; 3x+5x=64; 8x=64; x=8; y=12. Ответ: (8;12). б) ⎨ ⎩2 y + 5x = 64 ⎧ y = −2,5 x ; 5x + 4 · (– 2,5x) = 75; 5x – 10x = 75; x = – 15; y = 37,5; ⎩5 x + 4 y = 75

в) ⎨

Ответ: (– 15;37,5). ⎧ x = −0 ,5 y ; – 6 · (– 0,5y) – 2y = 9; 3y – 2y = 9; y = 9; x = – 4,5. ⎩− 6 x − 2 y = 9

г) ⎨

Ответ: (– 4,5;9). № 1085 ⎧5 x − 3 y = 14 а) ⎨ ; ⎩2 x + y = 10

б) ⎨

y = 10 – 2x; 5x – 3 · (10 – 2x) = 14; 5x – 30 + 6x = 14; 11x = 44; x = 4; y = 10 – 2 · 4 = 2. Ответ: (4;2).

x = 5 + 2y; 2 · (5 + 2y) + y = 9; 10 + 4y + y = 9; 5y = – 1; y = – 0,2; x = 5 + 2 · (– 0,2) = 4,6. Ответ: (4,6;– 0,2).

⎧ x + 5 y = 35 ; ⎩3 x + 2 y = 27

⎧x − 2 y = 5 ; ⎩2 x + y = 9

⎧x + 3 y = 2 ; ⎩2 x + 3 y = 7

в) ⎨

г) ⎨

x = 35 – 5y; 3 · (35 – 5y) + 2y = 27;

x = 2 – 3y; 2 · (2 – 3y) + 3y = 7; 229


105 – 15y + 2y = 27; 13y = 78; y = 6; x = 35 – 5 · 6 = 5. Ответ: (5;6).

4 – 6y + 3y = 7; 3y = – 3; y = – 1; x = 2 – 3 · (– 1) = 5. Ответ: (5;– 1).

№ 1086 ⎧2 x − y = 2 а) ⎨ ; ⎩3 x − 2 y = 3

б) ⎨

y = 2x – 2; 3x – 2 · (2x – 2) = 3; 3x – 4x + 4 = 3; –x = – 1; x = 1; y = 2 · 1 – 2 = 0. Ответ: (1;0).

y = 7x – 56; 3x + 4 · (7x – 56) = 55; 3x + 28x – 224 = 55; 31x = 279; x = 9; y = 7 – 9 – 56 = 7. Ответ: (9;7).

⎧5 y − x = 6 ; ⎩3 x − 4 y = 4

⎧3 x + 4 y = 55 ; ⎩7 x − y = 56

⎧4 y − x = 11 ; ⎩6 y − 2 x = 13

в) ⎨

г) ⎨

x = 5y – 6; 3 · (5y – 6) – 4y = 4; 15y – 18 – 4y = 4; 11y = 22; y = 2; x = 5 · 2 – 6 = 4. Ответ: (4;2).

x = 4y – 11; 6y – 2 · (4y – 11) = 13; 6y – 8y + 22 = 13; – 2y = – 9; y = – 4,5; x = 4 · 4,5 – 11 = 7. Ответ: (7;– 4,5).

№ 1087 ⎧4 x − 3 y = 12 ; ⎩3 x + 4 y = −24

⎧5 x + 2 y = 20 ; ⎩2 x − 5 y = 10

а) ⎨

б) ⎨

x = 3 + 0,75y; 3 · (3 + 0,75y) + 4y = – 24; 9 + 2,25y + 4y = – 24; 6,25y = – 33;

x = 5 + 2,5y; 5 · (5 + 2,5y) + 2y = 20; 25 + 12,5y + 2y = 20; 14,5y = – 5; 10 ; y=– 29

y = – 5,28; x = 3 + 0,75 · (– 5,28) = – 0,96.

4 ⎛ 10 ⎞ x = 5 + 2,5 · ⎜ − ⎟ = 4 . 29 ⎝ 29 ⎠

Ответ: (– 0,96;– 5,28).

⎛ 4 10 ⎞ Ответ: ⎜ 4 ;− ⎟ . ⎝ 29 29 ⎠

⎧2 x − 3 y = 12 ; ⎩3 x + 2 y = 6

⎧5 x − 3 y = 5 ; ⎩2 x + 7 y = 4

в) ⎨

г) ⎨

x = 6 + 1,5y; 3 · (6 + 1,5y) + 2y = 6;

x = 1 + 0,6y; 2 · (1 + 0,6y) + 7y = 4;

230


18 + 4,5y + 2y = 6; 11 6,5y = – 12; y = – 1 ; 13

2 + 1,2y + 7y = 4; 10 8,2y = 2; y = ; 41

3 ⎛ 11 ⎞ x = 6 + 1,5 · ⎜ − 1 ⎟ = 3 . 13 ⎝ 13 ⎠

x=1+

11 ⎞ ⎛ 3 Ответ: ⎜ 3 ;−1 ⎟ . 13 13 ⎝ ⎠

⎛ 6 10 ⎞ Ответ: ⎜1 ; ⎟ . ⎝ 41 41 ⎠

3 10 6 · =1 . 5 41 41

№ 1088 ⎧4 x − 5 y = 1 а) ⎨ ; ⎩2 x − 3 y = 2

в) ⎨

x = 1 + 1,5y; 4 · (1 + 1,5y) – 5y = 1; 4 + 6y – 5y = 1; y = – 3; x = 1 + 1,5 · (– 3) = – 3,5. Ответ: (– 3,5;– 3).

y = 13 – 2,5x; 4x – 3 · (13 – 2,5x) = 7; 4x – 39 + 7,5x = 7; x = 4; y = 13 – 2,5 · 4 = 3. Ответ: (4;3).

⎧3 x + 4 y = 0 ⎩2 x + 3 y = 1

⎧4 x − 3 y = 7 ; ⎩5 x + 2 y = 26

⎧3 x − 5 y = 0 ⎩8 y − 3x = −13

б) ⎨

г) ⎨

y = – 0,75x; 2x + 3 · (– 0,75x) = 1; 2x – 2,25x = 1; 0,25x = – 1;

y = 0,6x; 8 · 0,6x – 3x = – 13; 4,8x – 3x = – 13; 1,8x = – 13; 2 x=–7 ; 9 3 65 1 y=– · =–4 . 5 9 3

x = – 4; y = – 0,75 · (– 4) = 3.

Ответ: (– 4;3).

2 1⎞ ⎛ Ответ: ⎜ − 7 ;−4 ⎟ . 9 3⎠ ⎝

№ 1089 ⎧4 x − 7 y = 33 ; ⎩2 x + 5 y = 25

⎧5 y − 6 x = 2 ; ⎩8 x − 3 y = 1

а) ⎨

в) ⎨

y = 5 – 0,4x;

x=–

4x – 7 · (5 – 0,4x) = 33;

1⎞ ⎛5 8 · ⎜ y − ⎟ – 3y = 1; 3⎠ ⎝6

1 5 + y; 3 6

231


4x – 35 + 2,8x = 33; 6,8x = 68; x = 10; y = 5 – 0,4 · 10 = 1. Ответ: (10;1). ⎧5 x − 2 y = 48 ; ⎩2 x + 3 y = 23

20 8 y – – 3y = 1; 3 3 11 11 y = ; y = 1; 3 3 1 5 1 x=– + = . 3 6 2 Ответ: (0,5;1). ⎧ 4 x − 3 y = −1 ; ⎩10 x − 4 y = 1

б) ⎨

г) ⎨

y = 2,5x – 24; 2x + 3 · (2,5x – 24) = 23; 2x + 7,5x – 72 = 23; 9,5x = 95; x = 10; y = 2,5 · 10 – 24 = 1. Ответ: (10;1).

x = 0,75y – 0,25; 10 · (0,75y – 0,25) – 4y = 1; 7,5y – 2,5 – 4y = 1; 3,5y = 3,5; y = 1; x = 0,75 · 1 – 0,25 = 0,5. Ответ: (0,5;1).

№ 1090 ⎧6 x + 5 y = 1 а) ⎨ ; ⎩2 x − 3 y = 33

б) ⎨

2 x – 11; 3 ⎛2 ⎞ 6x + 5 · ⎜ х −11⎟ = 1; 3 ⎝ ⎠

2 5 – x; 3 6 ⎛2 5 ⎞ 3x + 5 · ⎜ − х ⎟ = 1; ⎝3 6 ⎠

y=

6x +

10 x – 55 = 1; 3

28 x = 56; x = 6; 3 2 y = · 6 – 11 = – 7. 3 Ответ: (6;– 7). ⎧ 4 x − 5 y = −2 ; ⎩3 x + 3 y = −13

⎧5 x + 6 y = 4 ; ⎩3 x + 5 y = 1

y=

10 25 – x = 1; 3 6 7 7 – x = – ; x = 2; 6 3 2 5 y = – · 2 = – 1. 3 6 Ответ: (2;– 1).

3x +

⎧3 x − 7 y = 1 ; ⎩2 x + 3 y = 16

в) ⎨

г) ⎨

y = 0,8x + 0,4; 3x + 2 · (0,8x + 0,4) = – 13; 3x + 1,6x + 0,8 = – 13; 4,6x = – 13,8; x = – 3; y = 0,8 · (– 3) + 0,4 = – 2. Ответ: (– 3;– 2). 232

x = – 1,5y + 8; 3 · (8 – 1,5y) – 7y = 1; 24 – 4,5y – 7y = 1; – 11,5 = – 23; y = 2; x = – 1,5 · 2 + 8 = 5. Ответ: (5;2).


№ 1091

⎧ 4 ( x − y ) = −2 а) ⎨ ; ⎩3 x + 2 y = 5 − 2(x + y )

⎧ 2( x + y ) = 8 ⎩14 − 3(x − y ) = 5 y − x

б) ⎨

⎧4(x − y ) = −2 ⎨ ⎩3 x + 2 y = 5 − 2 x − 2 y ⎧4(x − y ) = −2 ⎨ ⎩5 x = 4 y = 5

⎧x + y = 4 ⎨ ⎩14 − 3 x + 3 y = 5 y − x ⎧x = 4 − y ⎨ ⎩2 y + 2 x = 14

x = 1 – 0,8y; 2(1 – 0,8y – y) = – 1; –1,8y = – 1,5; 5 5 1 y = ; x = 1 – 0,8 · = . 6 6 3 1 5 Ответ: ( ; ) . 3 6

x = 4 – y; y + 4 – y = 7; 4 ≠7.

в) ⎨

г) ⎨

⎧x + y = 6 ⎨ ⎩6 − 5 x + 5 y = 8 x − 2 y ⎧x = 6 − y ⎨ ⎩13 x − 7 y = 6

⎧x − y = 2 ⎨ ⎩3 x − 7 y = 20 − x − y ⎧x = y + 2 ⎨ ⎩4 x − 6 y = 20

13 · (2 – y) – 7y = 6; 26 – 13y – 7y = 6; 20y = – 20; y = – 1; x = 2 – (– 1) = 3. Ответ: (3;– 1).

2(y + 2) – 3y = 10; 2y + 4 – 3y = 10; – y = 6; y = – 6; x = – 6 + 2 = 4. Ответ: (4;– 6).

⎧3(x + y ) = 6 ; ⎩6 − 5(x − y ) = 8 x − 2 y

Ответ: система решений не имеет. ⎧5(x − y ) = 10 ; ⎩3 x − 7 y = 20 − (x + y )

№ 1092

⎧2 − 3x = 2(1 − y ) ⎧2 − 3 x = 2 − 2 y ⎧ y = 1,5 x а) ⎨ ; ⎨ ⎨ ⎩4(x + y ) = x − 1,5 ⎩4 x + 4 y − x = −1,5 ⎩3 x + 4 y = −1,5

3x + 4 · 1,5x = – 1,5; 3x + 6x = – 1,5; 9x = – 1,5; 1 1 1 x = – ; y = – 1,5 · = – . 6 6 4 ⎛ 1 1⎞ Ответ: ⎜ − ;− ⎟ . ⎝ 6 4⎠

⎧6 x + 3 = 8 x − 3(2 y − 4) ⎧6 x + 3 = 8 x − 6 y + 12 ⎧6 y − 2 x = 9 ; ⎨ ⎨ 2 2 x − 3 y − 4 x = 2 y − 8 ( ) ⎩4 x − 6 y − 4 x = 2 y − 8 ⎩8 y = 8 ⎩

б) ⎨

y = 1; 6 · 1 – 2x = 9; 2x = – 3; x = – 1,5. Ответ: (– 1,5;1). 233


⎧2 x − 3(2 y + 1) = 15 ; ⎩3(x + y ) + 3 y = 2 y − 2

⎧4 y + 20 = 2(3x − 4 y ) − 4 ; ⎩16 − (5 x + 2 y ) = 3 x − 2 y

в) ⎨

г) ⎨

⎧2 x − 6 y − 3 = 15 ⎨ ⎩3 x + 3 y + 3 y − 2 y = −2 ⎧2 x − 6 y = 18 ⎨ ⎩3 x + 4 y = −2

⎧4 y + 20 = 6 x − 8 y − 4 ⎨ ⎩16 − 5 x − 2 y = 3 x − 2 y ⎧12 y − 6 x = −24 ⎨ ⎩8 x = 16

x = 3y + 9; 3(3y + 9) + 4y = – 2; 9y + 27 + 4y = – 2; 13y = – 29; 3 y=–2 ; 13 29 4 x=–3· +9=2 . 13 13 3⎞ ⎛ 4 Ответ: ⎜ 2 ;−2 ⎟ . 13 ⎠ ⎝ 13

x = 2; 12y – 6 · 2 = – 24; 12y = – 12; y = – 1.

Ответ: (2; – 1).

№ 1093 ⎧x y ⎧x y ⎪2 + 3 = 3 а) ⎨ x y 8 б) ⎪⎨ 3 + 2 = 5 ⎪ + = ⎪5 x − 11y = 1 ⎪⎩ 3 2 3 ⎩ ⎧3 x + 2 y = 18 ⎨ ⎩2 x + 3 y = 16

x= 6 –

2 y; 3

2 ⎞ ⎛ 2 · ⎜ 6 − y ⎟ + 3y = 16; 3 ⎠ ⎝ 12 –

4 y + 3y = 16; 3

5 y = 4; 3 y = 2,4; 2 12 x = 6 – · =4,4. 3 5 Ответ: (4,4; 2,4).

234

⎧2 x + 3 y = 30 ⎨ ⎩5 x − 11 y = 1

x = 15 – 1,5y; 5(15 – 1,5y) – 11y = 1; 75 – 7,5y – 11y = 1; –18,5y = – 74; y = 4; x = 15 – 1,5 · 4 = 9. Ответ: (9, 4).


⎧x y ⎪⎪ − = −4 в) ⎨ 3 2 ; ⎪ x + y = −2 ⎪⎩ 2 4

г) ⎨ x

⎧2 x − 3 y = −24 ; ⎨ ⎩ 2 x + y = −8

⎧4 x + 7 y = 1 ; ⎨ ⎩6 x + 5 y = −15

y = – 8 – 2x;

y=–3–

2x – 3(– 8 – 2x) = – 24; 2x + 24 + 6x = – 24; 8x = – 48; x = – 6; y = – 8 – 2 · (– 6) = 4. Ответ: (– 6; 4).

⎧4 x + 7 y = 1 ⎪ y 1 ; ⎪5 + 6 = − 2 ⎩

6 x; 5

6 ⎞ ⎛ 4x + 7 ⎜ − 3 − x ⎟ = 1; 5 ⎠ ⎝ 4x – 21 – 8,4x = 1; – 4,4x = 22; x = – 5; y = – 3 – 1,2 · (– 5) = 3. Ответ: (– 5; 3).

№ 1094 ⎧6 y − 5 x = 1 ⎧ x + 2 y 3x − y а) ⎪⎨ x − 1 y + 1 б) ⎪⎨ 5 + 3 = 5 ⎪ 3 + 2 = 10 ⎪2 x − 3 y = −1 ⎩ ⎩ ⎧6 y − 5 x = 1 ; ⎨ ⎩2 x − 2 + 3 y + 3 = 60

⎧3 x + 6 y + 15 x − 5 y = 75 ; ⎨ ⎩ 2 x − 3 y = −1

⎧6 y − 5 x = 1 ; ⎨ ⎩2 x + 3 y = 59

⎧18 x + y = 75 ; ⎨ ⎩ 2 x − 3 y = −1

y=

1 5 + x; 6 6

⎛1 5 ⎞ 2x + 3 ⎜ + х ⎟ = 59; ⎝6 6 ⎠ 2x + 0,5 + 2,5x = 59; 4,5x = 58,5; x = 13; 1 5 y = + · 13 = 11. 6 6 Ответ: (13; 11). ⎧ 3x + 2 y x − 3 y + =3 ⎪ в) ⎨ 5 ; 6 ⎪2 x + 7 y + 43 = 0 ⎩

y = 75 – 18x; 2x – 3(75 – 18x) = – 1; 2x – 225 + 54x = – 1; 56x = 224; x = 4; y = 75 – 18 · 4 = 3. Ответ: (4; 3). ⎧7 x − 10 y = 5 ⎪ г) ⎨ 4 x + 1 5 x − 3 y ; =3 ⎪ 3 − 4 ⎩ 235


⎧18 x + 12 y + 5 x − 15 y = 90 ⎨ ⎩2 x + 7 y + 43 = 0 ⎧23 x − 3 y = 90 ⎨ ⎩2 x + 7 y + 43 = 0

23 x – 30; 3

y=

x = 32 – 9y;

⎛ 23 ⎞ x − 30 ⎟ + 43 = 0; ⎝ 3 ⎠

7(32 – 9y) – 10y = 5;

161 x – 210 + 43 = 0; 3

224 – 63y – 10y = 5;

2x + 7 ⎜ 2x +

⎧7 x − 10 y = 5 ⎨ ⎩16 x + 4 − 15 x + 9 y = 36 ⎧7 x − 10 y = 5 ⎨ ⎩ x + 9 y = 32

167 x = 167; 3 x = 3; 23 y= · 3 – 30 = – 7. 3 Ответ: (3; – 7).

– 73y = – 219; y = 3; x = 32 – 9 · 3 = 5. Ответ: (5; 3).

№ 1095 ⎧ 5x + 9 y 2x + 3 y ⎧ 2x − y 2x + y = ⎪⎪ 3 ⎪⎪ 6 + 9 = 3 2 а) ⎨ x − 3 y 2 x − 3 y б) ⎨ x + y x − y ⎪ ⎪ − =4 = ⎪⎩ 3 4 3 ⎩⎪ 2

⎧10 x + 18 y = 6 x + 9 y ⎨ ⎩3 x − 9 y = 4 x − 6 y ⎧4 x + 9 y = 0 ⎨ ⎩x + 3 y = 0

⎧6 x − 3 y + 4 x + 2 y = 54 ⎨ ⎩4 x + 4 y − 3x + 3 y = 48 ⎧10 x − y = 54 ⎨ ⎩ x + 7 y = 48

x = – 3y; 4 · (– 3y) + 9y = 0; –3y = 0; y = 0; x = 0. Ответ: (0; 0).

x = 48 – 7y; 10 · (48 – 7y) – y = 54; 480 – 70y – y = 54; – 71y = – 426; y = 6; x = 48 – 7 · 6 = 6. Ответ: (6; 6).

⎧x + y x − y + =5 ⎪⎪ 6 в) ⎨ 8 ⎪ x + y + x − y = 10 3 ⎩⎪ 4

⎧ x + 3 − 5 y 3x − 4 y + 3 = ⎪⎪ 2 3 г) ⎨ x y x y + − − 6 3 12 ⎪ = 3 4 ⎩⎪

236


⎧3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 ⎨ ⎩3 x + 3 y + 4 x − 4 y = 120 ⎧7 x − y = 120 ⎨ ⎩7 x − y = 120

⎧3 x + 9 − 15 y = 6 x − 8 y + 6 ⎨ ⎩24 + 12 x − 4 y = 36 x − 3 y ⎧3 x + 7 y = 3 ⎨ ⎩24 x + y = 24

уравнения равны.

y = 24 – 24x; 3x + 7(24 – 24x) = 3; 3x + 168 – 168x = 3; –165x = – 165x; x = 1; y = 0. Ответ: (1; 0).

Ответ: система имеет бесконечно много решений.

§ 37. Метод алгебраического сложения № 1096 а) ⎧ x + y = 5

б) ⎧ x + y = 9

2x = 12; 2x = 12; x = 6; 6 + y = 5; y = – 1. Ответ: (6; – 1). в) ⎧2 x + y = 11

x = 6; 6 + y = 9; y = 3. Ответ: (6; 3). г) ⎧3 x − y = 4

⎨ ⎩x − y = 7

⎨ ⎩x − y = 3

⎨ ⎩3 x − y = 8

5x = 20; x = 4; 2 · 4 + y = 11; y = 3. Ответ: (4; 3). № 1097 а) ⎧2 x + 11 y = 15 ⎨ ⎩10 x − 11 y = 9

12x = 24; x = 2; 2 · 2 + 11y = 15; 11y = 11; y = 1. Ответ: (2; 1). ⎧9 x + 13 y = 9 ; ⎩29 x − 13 y = 3

б) ⎨

38x = 12; x =

6 ; 19

6 + 13y = 9; 19 117 9 ;y= . 13y = 19 19 ⎛ 6 9⎞ Ответ: ⎜ ; ⎟ . ⎝ 19 19 ⎠

⎨ ⎩3 x + y = 8

6x = 12; x = 2; 3 · 2 – y = 4; y = 2. Ответ: (2; 2). в) ⎧ x − 6 y = 17

⎨ ⎩5 x + 6 y = 13

6x = 30; x = 5; 5 – 6y = 17; – 6y = 12; y = – 2. Ответ: (5; – 2). ⎧6 x − y = 19 ⎧42 x − 7 y = 133 ; ⎨ 5 x + 7 y = 25 ⎩ ⎩5 x + 7 y = 25

г) ⎨

47x = 158; x = 3

17 ; 47

158 – y = 19; 47 158 8 y=6· – 19; y = 1 . 47 47 ⎛ 17 8 ⎞ Ответ: ⎜ 3 ;1 ⎟ . ⎝ 47 47 ⎠ 6·

237


№ 1098

а) ⎧⎨4 x − 7 y = 30 ⎩4 x − 5 y = 90

в) ⎧⎨−5 x + 7 y = 6 ⎩2 x + 7 y = 76

2y = 60; y = 30; 4x – 5 · 30 = 90; 4x = 240; x = 60. Ответ: (60; 30). ⎧7 x − 6 y = 32 ⎩7 x + 5 y = 230

7x = 70; x = 10; 2 · 10 + 7y = 76; 7y = 56; y = 8. Ответ: (10; 8). ⎧−2 x + 4 y = −11 ⎩4 x + 4 y = 1

б) ⎨

г) ⎨

11y = 198; y = 18 7x – 6 · 18 = 32

6x = 12; x = 2; – 2 · 2 + 4y = – 11; 3 4y = – 7; y = – 1 . 4 3⎞ ⎛ Ответ: ⎜ 2;−1 ⎟ . 4⎠ ⎝

7x = 140; x = 20 Ответ: (20; 18). № 1099 ⎧x − 3y = 5 ⎧3 x − 9 y = 15 а) ⎨ ⎨ 3 x + 2 y = 4 ⎩ ⎩3 x + 2 y = 4

11y = – 11; y = – 1; 3x + 9 = 15; 3x = 6; x = 2. Ответ: (2; – 1).

⎧3 x − 5 y = 14 ⎧3x − 5 y = 14 ; ⎨ ⎩x + 2 y = 1 ⎩3x + 6 y = 3

б) ⎨

11y = – 11; y = – 1; 3x + 5 = 14; 3x = 9; x = 3. Ответ: (3; – 1).

⎧5 x + y = 24 ⎧15 x + 3 y = 72 ⎧3 x + y = 1 ⎧9 x + 3 y = 3 г) ⎨ ; ⎨ ⎨ ⎩2 x − 3 y = −14 ⎩2 x − 3 y = −14 ⎩7 x + 3 y = 24 ⎩7 x + 3 y = 24

в) ⎨

11x = – 11; x = – 1; – 2 – 3y = – 14; 3y = 12; y = 4. Ответ: (– 1; 4).

8x = 48; x = 6; 42 + 3y = 24; 3y = 18; y = 6. Ответ: (6; 6).

№ 1100 ⎧5 x + 2 y = 1 ⎧15 x + 6 y = 3 ⎧40 x + 3 y = −10 ⎧40 x + 3 y = −10 а) ⎨ б) ⎨ ; ⎨ ⎨ 20 x − 7 y = − 4 40 x − 14 y = − 8 ⎩ ⎩ ⎩15 x + 3 y = 3 ⎩15 x + 3 y = 3

17y = – 2; y = –

2 ; 17

14 41 = – 4; x = – . 17 170 2⎞ ⎛ 41 ;− ⎟ . Ответ: ⎜ − ⎝ 170 17 ⎠ 20x +

238

5x = 1; x = 0,2. 3y = 0; y = 0; Ответ: (0,2; 0).


в) ⎧⎨3 x + 8 y = 13 ⎧⎨15 x + 40 y = 65 ⎩5 x − 18 y = 5 ⎩15 x − 54 y = 15

94y = 50; y =

25 25 6 ⎛ 6 25 ⎞ ; 5x – 18 · = 5; x = 3 . Ответ: ⎜ 3 ; ⎟ . 47 47 47 ⎝ 47 47 ⎠

⎧6 x + 5 y = 1 ⎧6 x + 5 y = 1 ⎨ ⎩6 x − 9 y = 33 ⎩6 x − 9 y = 99

г) ⎨

14y = − 98; y = − 7; 2x − 3 · (− 7) = 33; 2x = 12; x = 6. Ответ: (6; –7). № 1101

а) ⎧⎨4 x − 5 y = −2 ⎧⎨8 x − 10 y = −4 ⎩3 x + 2 y = −13 ⎩15 x + 10 y = −65 23x = − 69; x = − 3; −12 − 15y = − 2; 5y = − 10; y = −2. Ответ: (− 3; − 2). ⎧9 x + 8 y = −50 ⎧45 x + 40 y = −250 ; ⎨ 5 x = 36 y = − 12 ⎩ ⎩45 x + 324 y = −108

б) ⎨

284y = 142; y = 0,5; 9x + 8 · 0,5 = − 50; x = − 6. Ответ: (− 6; 0,5). в) ⎧⎨3x − 7 y = −32 ⎧⎨6 x − 14 y = −64 ⎩2 x − 3 y = −3 ⎩6 x − 9 y = −9 5y = 55; y = 11; 2x − 3 · 11 = − 3; 2x = 30; x = 15. Ответ: (15; 11). ⎧3 y − 4 x = −6 ⎧9 y − 12 x = −18 1 г) ⎨ ; − 7x = − 28; x = 4; 3y = 10; y = 3 . ⎨ 3 ⎩5 x − 9 y = −10 ⎩5 x − 9 y = −10 1 3

Ответ: (4; 3 ). № 1102

а) ⎧⎨4 x + 5 y = 1 ⎧⎨20 x + 25 y = 5 ⎩5 x + 7 y = 5 ⎩20 x + 28 y = 20 3y = 15; y = 5; 4x + 5 · 5 = 1; 4x = − 24; x = − 6. Ответ: (− 6; 5). ⎧3x − 5 y = 25 ⎧9 x − 15 y = 75 б) ⎨ ; ⎨ ; ⎩4 x + 3 y = 43 ⎩20 x + 15 y = 215 29x = 290; x = 10; 3 · 10 − 5y = 25; 5y = 5; y = 1. Ответ: (10; 1). ⎧21x − 15 y = 15 в) ⎧⎨7 x − 5 y = 5 ⎨ ⎩5 x + 3 y = 43 ⎩25 x + 15 y = 215 46x = 230; x = 5; 7 · 5 − 5y = 5; 5y = 30; y = 6. Ответ: (5; 6). 239


⎧4 x − 3 y = 12 ⎧16 x − 12 y = 48 ⎨ ⎩3 x + 4 y = −66 ⎩9 x + 12 y = −198

г) ⎨

25x = − 150; x = − 6; 4 · ( − 6) − 3y = 12; 3y = − 36; y = − 12. Ответ: (− 6; − 12). № 1103

а) ⎧⎨−3x + 7 y = 46 ⎧⎨−12 x + 28 y = 184 ⎩4 x − 3 y = 12 ⎩12 x − 9 y = 36 11 11 7 7 11 19y = 220; y = 11 ; 4x − 3 · 11 = 12; x = 9 . Ответ: ( 9 ; 11 ). 19 19 38 38 19 ⎧−3x + 4 y = 24 ⎧−15 x + 20 y = 120 ; б) ⎨ ⎨ ⎩5 x + 3 y = −15 ⎩15 x + 9 y = −45 75 300 396 132 29y = 75; y = ; −3x + 4 · = 24; 3x = − ;x=− . 29 29 29 29 132 75 ; ). Ответ: (− 29 29 ⎧5 x + 2 y = 20 ⎧25 x + 10 y = 100 в) ⎨ ⎨ ⎩2 x − 5 y = 10 ⎩4 x − 10 y = 20 4 4 10 ; 5· 4 + 2y = 20; y = − . 29 29 29 4 10 . Ответ: x = 4 ; y = − 29 29 ⎧5 x − 3 y = 15 ⎧10 x − 6 y = 30 г) ⎨ ⎨ ⎩2 x + 7 y = 47 ⎩10 x + 35 y = 235

29x = 120; x = 4

41y = 205; y = 5; 5x − 3 · 5 = 15; 5x = 30; x = 6. Ответ: (6; 5). № 1104 1 ⎧1 ⎪ x − y = 1 ⎧6 x − 4 y = 12 3 ⎨ а) ⎨ 2 ⎪6 x − 5 y = 3 ⎩6 x − 5 y = 3 ⎩

y = 9; 6x − 5 · 9 = 3; 6x = 48; x = 8.

Ответ: (8; 9). 240

1 ⎧1 ⎪⎪ 4 x − 3 y = 4 ⎨ в) ⎪ 4 x − 3 y = 7 ⎩⎪ 5

⎧9 ⎪⎪ 4 x − 3 y = 36 ⎨ ⎪ 4 x − 3y = 7 ⎩⎪ 5

4 4 29 x − x = 29; x =20; 9 5 20 x = 20; 1 1 · 20 − y = 4; 4 3 1 y = 1; y = 3. 3 Ответ: (20; 3).


⎧1 1 1 ⎧1 ⎪ x + y = 5,1 ⎪ x + y = −1 ⎧4 x + 5 y = −20 ⎪3 5 б) ⎨ 5 г) ⎨ 4 ⎨ 3 + = − 4 x 6 y 108 ⎩ ⎪2 x − 3 y = −54 ⎪ x − 2y = 8 ⎩ ⎩⎪ 5

11y = 88; y = 8; 2x − 3 · 8 = − 54; 2x = − 30; x = − 15. Ответ: (− 15; 8).

⎧10 ⎪⎪ 3 x + 2 y = 51 ⎨ ⎪3 x − 2y = 8 ⎪⎩ 5

10 3 x + x = 59; 3 5 x = 15; 1 1 · 15 + y = 5,1; 3 5 1 y = 0,1; 5 y = 0,5. Ответ: (15; 0,5).

№ 1105

а) ⎧ y +1 1 ⎪⎪ 3x − 4 = 2 ⎧2( y + 1) = 3 x − 4 ⎧2 y − 3 x = −6 ⎧2 y − 3 x = −6 ⎨ ⎨ ⎨ ⎨ ⎪ 5 x + y = 1 ⎩5 x + y = 3 x + 11 ⎩2 x + y = 11 ⎩4 x + 2 y = 22 ⎩⎪ 3x + 11

7x = 28; x = 4; 2y − 3 · 4 = − 6; 2y = 6; y = 3. Ответ: (4; 3). ⎧ 3x + 10 1 ⎪ y + 1 = 12 ⎧36 x + 120 = y + 1 ⎪ б) ⎨ ⎨ 5 x + y 4 ⎩25 x + 5 y = 36 x + 8 y ⎪ = ⎪⎩ 9 x + 2 y 5 ⎧36 x − y = −119 ⎧108 x − 3 y = −357 ⎨ ⎨ ⎩11x + 3 y = 0 ⎩11x + 3 y = 0

119x = − 357; x = − 3; 11 · (−3) + 3y =0; 3y = 33; y = 11. Ответ: (− 3; 11). № 1106 а) A(2;3), B(− 1;4); y = ax + b; ⎧3 = 2a + b ⎧3 = 2a + b ; ⎨ ⎨ ⎩4 = − a + b ⎩8 = −2a + 2b

3b = 11; b =

11 11 1 1 11 ; 2a + = 3; a = − ; y = − x + ; 3 3 3 3 3 241


⎧7 = −6a + b ; ⎩3 = 4a + b

б) C(− 6;7), D(4;3); y = ax + b; ⎨

2 3 ⎛ 2⎞ ; 4 · ⎜ − ⎟ + b = 3; b = 4 ; y = − 0,4x + 4,6; 5 5 ⎝ 5⎠ в) M(− 3;− 1), N(2;5); г) P(6;2), Q(− 1;−3); y = ax + b; y = ax + b; 10a = − 4; a = −

⎧−1 = −3a + b ; ⎨ ⎩5 = 2a + b

⎧2 = 6 a + b ; ⎨ ⎩− 1 = −3a + b

5a = 6; 1 12 3 a = 1 ; + b = 5; b = 2 ; 5 5 5

9a = 3; 1 1 a = ;− 3 · + b = − 1; b = 0; 3 3 1 y = x. 3

y = 1,2x + 2,6; № 1107 а) A(5;0); B(0;2); y = ax + b;

б) C(− 6;0) ; D(0;4) ; y = ax + b;

⎧0 = 5a + b ; ⎨ ⎩2 = b

⎧0 = −6a + b ; ⎨ ⎩4 = b

b = 2; 5a = − 2; a = − 0,4;

b = − 1; 6a = 4; a =

2 ; 3

в) E(7;0), F(0;− 1) ; y = ax + b;

2 x + 4; 3 г) L(− 2;0), K(0;− 4) ; y = ax + b;

⎧0 = 7 a + b ; b = − 1; ⎨ ⎩− 1 = b

⎧0 = −2a + b ; b = − 4; ⎨ ⎩− 4 = b

y = − 0,4x + 2;

7a = 1; a =

1 1 ; y = x − 1; 7 7

№ 1108 а) A(0;5), B(− 3;0) ; y = ax + b; ⎧b = 5 5 ;3a = 5; a = ; ⎨ 3 ⎩− 3a + b = 0

y=

242

5 x + 5; 3

y=

2a = − 4; a = − 2; y = − 2x − 4.

б) A(0;4), B(2;0) ; y = ax + b; ⎧b = 4 ;2a = − 4; a = − 2; ⎨ ⎩2a + b = 0

y = − 2x + 4;