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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Dominio de una funciĂłn Sea, por ejemplo, la funciĂłn: đ?‘“ đ?‘Ľ =

1 − đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ2 − 9

Vamos a estudiar varios conceptos relativos a funciones por medio de sencillos ejemplos. Imagen: Decimos que la imagen de un valor đ?‘Ľ = đ?‘Ž en đ?‘“(đ?‘Ľ) es đ?‘?, y denotaremos, đ?‘“(đ?‘Ž) = đ?‘?, si b es el resultado de sustituir el valor đ?‘Ľ = đ?‘Ž en la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ). xEx: Calcular la imagen de đ?‘Ľ = 2 en la funciĂłn anterior. 1 − 22 3 đ?‘“ 2 = 2 = 2 −9 5 Por ello, diremos que la imagen de đ?‘Ľ = 2 en la funciĂłn đ?‘“(đ?‘Ľ) vale 3/5, y matemĂĄticamente, 3 5

escribiremos đ?‘“(2) = . Dominio: ÂżQuĂŠ ocurrirĂ­a si tratĂĄramos de calcular la imagen de đ?‘Ľ = 3 en la funciĂłn anterior? đ?‘“ 3 =

1 − 32 8 = − ∉ â„? →¥ đ?‘ đ?‘œ đ?‘?đ?‘œđ?‘‘đ?‘’đ?‘šđ?‘œđ?‘ đ?‘‘đ?‘–đ?‘Łđ?‘–đ?‘‘đ?‘–đ?‘&#x; đ?‘’đ?‘›đ?‘Ąđ?‘&#x;đ?‘’ 0! 2 3 −9 0

Como sabemos, no se puede calcular una divisiĂłn entre 0, asĂ­ que tenemos un problema: ÂĄÂĄ El valor đ?‘Ľ = 3 NO tiene imagen en đ?‘“(đ?‘Ľ) !!. Por esto precisamente, surge el concepto de dominio de la funciĂłn, siendo ĂŠste el conjunto de valores que sĂ­ tienen imagen: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ đ?‘Ľ = {đ?‘Ľ ∈ â„?, ∃đ?‘“ đ?‘Ľ } En nuestro caso, si observamos con atenciĂłn, veremos que đ?‘“(đ?‘Ľ) es una fracciĂłn racional (esto es, una fracciĂłn cuyo numerador y denominador estĂĄn compuestos por polinomios). Un polinomio siempre estĂĄ definido, sea cual sea el valor de đ?‘Ľ que sustituyamos en ĂŠl. Dicho esto, la Ăşnica consideraciĂłn que tendremos en cuenta es el caso de que el denominador sea cero, dado que hemos afirmado que no es posible dividir entre cero. đ?‘Ľ 2 − 9 = 0 → đ?‘Ľ = {Âą3} Esos serĂĄn los Ăşnicos valores que nos ocasionen problemas a la hora de calcular la imagen. Por esto, diremos que el dominio de nuestra funciĂłn es: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {Âą3} Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa AsĂ­ indicamos que cualquier valor tiene imagen en đ?‘“(đ?‘Ľ) excepto los que figuran entre las llaves. Una expresiĂłn equivalente serĂ­a, como es lĂłgico: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − ∞, −3 âˆŞ − 3,3 âˆŞ 3, +∞[→ đ?‘‡đ?‘œđ?‘‘đ?‘œ, đ?‘šđ?‘’đ?‘›đ?‘œđ?‘  đ?‘’đ?‘™ − 3 đ?‘Ś đ?‘’đ?‘™ + 3 Como es mĂĄs que lĂłgico resulta mĂĄs cĂłmodo, en este caso, la primera forma.

Ejemplo 1: đ?‘“ đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1 Como cualquier polinomio que encontremos, su domino serĂĄn todos los nĂşmeros reales. Y asĂ­, diremos que đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„?, que es lo mismo que decir que podemos calcular la imagen de cualquier valor real.

Ejemplo 2: đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ2 + 4 đ?‘Ľ2 + 8

Se trata de la divisiĂłn de dos polinomios. Como acabamos de ver en el ejemplo 1, no hay problemas con los polinomios, dado que es posible calcular la imagen de cualquier valor en ellos, pero la cuestiĂłn estĂĄ en que esta vez tenemos la divisiĂłn de dos polinomios y no podemos dejar que el denominador sea cero, porque si esto ocurre y el denominador efectivamente se anula, tendremos la divisiĂłn entre 0, y esa operaciĂłn no existe. Por ello, igualaremos el denominador a 0 para encontrar estos valores:

x2  8  0 ď‚Ž NO tiene SoluciĂłn. En este caso, no hay valores que anulen a nuestro denominador y por ello escribiremos que đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„?. Ejemplo 3: đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ2 + 4 đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 6

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Estamos en el mismo caso que el anterior, asĂ­ que igualaremos el denominador a cero, y entonces: đ?‘Ľ 2 − 5đ?‘Ľ + 6 = 0 → đ?‘Ľ = {2,3}

Por eso escribiremos que đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {2,3}

Ejemplo 4: đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ − 6 Se trata de una raĂ­z cuadrada y ĂŠsta no puede tener un radicando negativo, dado que en ese caso, no existe. En este ejemplo, vamos a determinar los valores de la variable đ?‘Ľ que validan nuestra expresiĂłn, esto es: 2đ?‘Ľ − 6 ≼ 0 → 2đ?‘Ľ ≼ 6 → đ?‘Ľ ≼ 3 → đ?‘Ľ ∈ [2, +∞[ Esta vez escribiremos domf  [3, [ . Razonando podremos ver que volvemos a detallar aquellos valores para los que tiene sentido la expresiĂłn de f(x). Todos los valores que estĂĄn a la derecha del ‘3’, incluyendo ĂŠste, son vĂĄlidos, puesto que hacen que 2x-6 ya sea una expresiĂłn NO negativa.

Ejemplo 5: đ?‘“ đ?‘Ľ =

3

đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 1

Se hace necesario recordar en este punto, que las raíces de índice par, sólo estån definidas cuando el radicando es mayor o igual que cero. Pero en el caso de ser una raíz de índice impar, Êsta estå definida para cualquier valor real. En este caso se trata de una raíz de índice cúbico y eso significa que puede existir siendo positiva, negativa o cero. En otros tÊrminos, es como si la raíz cúbica no existiera en lo que a efectos de cålculo del dominio se refiere. De igual forma haríamos si los índices fueran 5,7‌ y en general para todo

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Ă­ndice impar. Por eso, en este caso, al tener un polinomio como radicando, tendrĂ­amos que

domf 

.

Ejemplo 6: 3

f x =

x2 + 1 x 2 − 2x

SĂ­ es cierto que tenemos una raĂ­z cĂşbica, y como se acaba de decir, a efectos del dominio, es como si no estuviera, asĂ­ que: 3

đ?‘‘đ?‘œđ?‘š

đ?‘Ľ2 + 1 đ?‘Ľ2 + 1 = đ?‘‘đ?‘œđ?‘š =â‹Ż đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ

Al comprobar que se trata de una fracciĂłn, tendremos que excluir del dominio aquellos valores que anulan al denominador de la fracciĂłn: đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ = 0 → đ?‘Ľ đ?‘Ľ − 2 = 0 → đ?‘Ľ = 0,2 Finalmente, podrĂ­amos decir que: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {0,2} Ejemplo 7: đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ − 1 3

đ?‘Ľâˆ’3

Tenemos una fracciĂłn. Por eso, hemos de tener cuidado en que el denominador no puede ser cero. Pero ademĂĄs existe una raĂ­z cĂşbica. Como hemos comentado antes, la raĂ­z de Ă­ndice impar es como si no estuviera, y entonces el dominio serĂ­an todos los nĂşmeros reales, salvo los que anulan a la expresiĂłn đ?‘Ľ − 3. Por ello, finalmente đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {3}. Ejemplo 8: đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ2 − 4

Sabemos que el radicando en el caso de haber Ă­ndice par, debe ser obligadamente mayor o igual a cero para que exista. Por ello tendremos que exigir que:

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa đ?‘Ľ2 − 4 ≼ 0 → đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ + 2 ≼ 0 Para resolver esta inecuaciĂłn que es de segundo grado, lo mejor es averiguar los valores que anulan a la misma, cosa que resulta bien sencilla igualando los parĂŠntesis a cero. Pero para poder hacer esto, la expresiĂłn debe estar factorizada: đ?‘Ľ − 2 đ?‘Ľ + 2 = 0 → đ?‘Ľ − 2 = 0 , đ?‘Ľ + 2 = 0 = {đ?‘Ľ = 2 , đ?‘Ľ = −2} -3

−∞

0 -2

+

0

−∞

3 +2

-

+∞

0

+

Como la exigencia que tenĂ­amos era que đ?‘Ľ 2 − 4 ≼ 0, entonces deberemos seleccionar los valores que sean positivos + Ăł cero (0). Finalmente, podremos escribir: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − ∞, −2] âˆŞ [2, +∞[ Ejemplo 9: 2đ?‘Ľ − 1

đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ − 5

De nuevo tenemos una fracciĂłn pero esta vez controlaremos dos cosas. Por una parte, exigiremos que, como tal fracciĂłn, su denominador no pueda ser cero. AdemĂĄs, al tener una raĂ­z, el radicando tiene que ser mayor o igual a cero. Tendremos que combinar ambas situaciones. Notemos que esta vez, vamos a exigir que el radicando sea estrictamente mayor que cero (>): đ?‘Ľ 2 − 4đ?‘Ľ − 5 > 0 → đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ − 5 > 0 DiseĂąaremos un esquema muy parecido al anterior: -3

0 -1

+

0

+6 +5

-

0

+

Pero la soluciĂłn es distinta, dado que buscamos los valores de ‘x’ para los que el radicando es estrictamente positivo, por lo que tomaremos sĂłlo valores mayores que cero (>), esto es, positivos (+) y asĂ­: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − ∞, −1 âˆŞ 5, +∞[

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Ejemplo 10: đ?‘“ đ?‘Ľ = đ??żđ?‘›

4−đ?‘Ľ đ?‘Ľ2 − 1

Primero recordemos que el logaritmo neperiano es un logaritmo pero con base el nĂşmero e. TambiĂŠn es necesario saber que el argumento de un logaritmo neperiano no puede ser negativo ni cero. Esto es, debe ser estrictamente positivo: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =

4−đ?‘Ľ >0 = đ?‘Ľ2 − 1

-2

+2

0

-1

+

(4 − đ?‘Ľ) >0 đ?‘Ľ+1 đ?‘Ľâˆ’1

∌

+5

+1

-

∌

+4

+

0

-

đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − ∞, −1 âˆŞ + 1, +4[ En đ?‘Ľ = −1 y đ?‘Ľ = +1, no existe la funciĂłn porque se anula el denominador y eso causa una divisiĂłn por cero. Ejemplo 11: đ?‘“ đ?‘Ľ = 23/(2−đ?‘Ľ) Se trata de la funciĂłn exponencial. Ésta tiene como dominio todos los reales. Esto trae como consecuencia, que podemos elevar el ‘2’ que aparece a cualquier “cosaâ€?, mientras esa “cosaâ€? exista. Pero en nuestra funciĂłn el exponente es una fracciĂłn. Eso significa que su denominador no puede ser cero. AsĂ­ que: 2 − đ?‘Ľ ≠0 → đ?‘Ľ ≠ 2 → đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {2}

Algunos ejercicios sobre dominios de funciones 1. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 5 + 1

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„?

đ?‘Ľ 4 +1

2. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 −1

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {Âą1}

3. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 − 10đ?‘Ľ + 16

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − ∞, 2] âˆŞ [8, +∞[

4. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 + đ?‘Ľ + 1

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„?

5. đ?‘“ đ?‘Ľ = 4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 4 +1

6. đ?‘“ đ?‘Ľ = 7. đ?‘“ đ?‘Ľ = 8. đ?‘“ đ?‘Ľ =

đ?‘Ľ2

4đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2 3

4đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2

3

4đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2 1−đ?‘Ľ 2

9. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ??żđ?‘› đ?‘Ľ + đ?‘Ľ + 1 10. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ??żđ?‘›

1+đ?‘Ľ 1−đ?‘Ľ

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = [0,4] SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =]0,4[ SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? − {1} SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =] − 1,1[

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa 11. đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ 12. đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘’

2 −1

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„?

đ?‘Ľ2 đ?‘Ľâˆ’1

SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ =]1, +∞[

FunciĂłn Compuesta Si đ?‘“(đ?‘Ľ) y đ?‘”(đ?‘Ľ) son dos funciones, se definen: đ?‘“đ?‘œ đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘“ đ?‘” đ?‘Ľ

→ đ?‘” đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘“

đ?‘”đ?‘œ đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘” đ?‘“ đ?‘Ľ

→ đ?‘“ đ?‘?đ?‘œđ?‘šđ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; đ?‘”

xEx: Calcula las composiciones que se indican đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ − 1 3 − 2đ?‘Ľ → đ?‘“đ?‘œ đ?‘” đ?‘Ľ ? đ?‘” đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ľ đ?‘“đ?‘œ đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘“

đ?‘”đ?‘œ đ?‘“ đ?‘Ľ ?

3 − 2đ?‘Ľ 3 − 2đ?‘Ľ 2 3 − 2đ?‘Ľ =2 −1= −1 1+đ?‘Ľ 1+đ?‘Ľ 1+đ?‘Ľ

đ?‘”đ?‘œ đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘” đ?‘“ đ?‘Ľ

= đ?‘” 2đ?‘Ľ − 1 =

3 − 2 2đ?‘Ľ − 1 5 − 4đ?‘Ľ = 1 + 2đ?‘Ľ − 1 2đ?‘Ľ

FunciĂłn Inversa Sea đ?‘Ś = đ?‘“ đ?‘Ľ . Diremos que đ?‘“ −1 đ?‘Ľ es la funciĂłn inversa de đ?‘“(đ?‘Ľ), si đ?‘“đ?‘œ đ?‘“ −1 = đ?‘“đ?‘œâˆ’1 đ?‘“ = đ?‘Ľ Evidentemente, existe un mĂŠtodo sencillo para calcular la funciĂłn inversa: 1. Intercambiar đ?‘Ľ por đ?‘Ś 2. Despejar đ?‘Ś xEx: Calcula la funciĂłn inversa de đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ + 3, đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘Ľ − 1, đ?‘• đ?‘Ľ =

1−đ?‘Ľ 3đ?‘Ľ+1

Inversa de đ?‘“(đ?‘Ľ): 1. Cambiar đ?‘Ľ por đ?‘Ś: đ?‘Ś = 2đ?‘Ľ + 3 → đ?‘Ľ = 2đ?‘Ś + 3 2. Despejar đ?‘Ś: đ?‘Ľ − 3 = 2đ?‘Ś → đ?‘Ś = 1

1 đ?‘Ľâˆ’3 2

Luego đ?‘“ −1 đ?‘Ľ = 2 (đ?‘Ľ − 3) Inversa de đ?‘”(đ?‘Ľ): 1. Cambiar đ?‘Ľ por đ?‘Ś: đ?‘Ś = đ?‘Ľâˆ’1→đ?‘Ľ =

đ?‘Śâˆ’1

2. Despejar đ?‘Ś: đ?‘Ľ

2

=

đ?‘Śâˆ’1

2

→ đ?‘Ľ2 = đ?‘Ś − 1 → đ?‘Ś = đ?‘Ľ2 + 1

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Luego đ?‘”−1 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ 2 + 1 Inversa de đ?‘•(đ?‘Ľ): 1. Cambiar đ?‘Ľ por đ?‘Ś: đ?‘Ś=

1−đ?‘Ľ 1−đ?‘Ś →đ?‘Ľ= 3đ?‘Ľ − 1 3đ?‘Ś − 1

2. Despejar đ?‘Ś: đ?‘Ľ 3đ?‘Ś − 1 = 1 − đ?‘Ś 3đ?‘Ľđ?‘Ś − đ?‘Ľ = 1 − đ?‘Ś 3đ?‘Ľđ?‘Ś + đ?‘Ś = đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ś 3đ?‘Ľ + 1 = đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ+1 đ?‘Ś= 3đ?‘Ľ + 1 đ?‘Ľ+1

Luego đ?‘•âˆ’1 đ?‘Ľ = 3đ?‘Ľ+1

Ejercicios sobre composiciĂłn e inversas de funciones 1−đ?‘Ľ

1. Se consideran las funciones đ?‘“ đ?‘Ľ = 2đ?‘Ľ + 1 y đ?‘” đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ľ a. Calcula đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ y đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘”. SOL: đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ = â„? , đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘” = â„? − {−1} b. Calcula đ?‘“đ?‘œ đ?‘” (đ?‘Ľ) y đ?‘”đ?‘œ đ?‘“ (đ?‘Ľ). 3−đ?‘Ľ

đ?‘Ľ

SOL: đ?‘“đ?‘œ đ?‘” đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ľ , đ?‘”đ?‘œ đ?‘“ đ?‘Ľ = − đ?‘Ľ+1 c. Calcula đ?‘“ −1 (đ?‘Ľ) y đ?‘”−1 (đ?‘Ľ) y sus dominios, đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘“ −1 y đ?‘‘đ?‘œđ?‘šđ?‘”−1 . 1

1−đ?‘Ľ

SOL: đ?‘“ −1 đ?‘Ľ = 2 đ?‘Ľ − 1 , đ?‘”−1 đ?‘Ľ = 1+đ?‘Ľ d. Comprueba que

đ?‘“ −1 đ?‘œ đ?‘“ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ y que

đ?‘“đ?‘œ đ?‘“ −1 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, esto es, que al

componer la funciĂłn inversa de đ?‘“(đ?‘Ľ) consigo misma se obtiene la funciĂłn identidad. (Se llama funciĂłn identidad a la funciĂłn đ??źđ?‘‘ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, porque la imagen de cualquier valor es ĂŠl mismo) e. Comprueba que

đ?‘”−1 đ?‘œ đ?‘” đ?‘Ľ = đ?‘Ľ y que

đ?‘”đ?‘œ đ?‘”−1 đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, esto es, que al

componer la funciĂłn inversa de đ?‘“(đ?‘Ľ) consigo misma se obtiene la funciĂłn identidad. (Se llama funciĂłn identidad a la funciĂłn đ??źđ?‘‘ đ?‘Ľ = đ?‘Ľ, porque la imagen de cualquier valor es ĂŠl mismo)

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa CĂĄlculo prĂĄctico del lĂ­mite de funciones (IntroducciĂłn) Es importante distinguir quĂŠ es la imagen y quĂŠ el lĂ­mite. Como su propio nombre indica, el lĂ­mite expresa tendencia. Esto es, cuĂĄl es el valor hacia el que se acerca la funciĂłn cuando la variable đ?‘Ľ tiende al punto en el que estamos realizando el cĂĄlculo. Tendremos en cuenta que, para el cĂĄlculo de lĂ­mites (ÂĄy exclusivamente para este fin!): đ?‘Ž 0

0 đ?‘Ž

= đ?‘ đ?‘–đ?‘”đ?‘› đ?‘Ž â‹… ∞

∞ đ?‘Ž

=0

đ?‘Ž ∞

= đ?‘ đ?‘–đ?‘”đ?‘› đ?‘Ž â‹… ∞

=0

lim đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + ‌ + đ?‘Ž1 đ?‘Ľ + đ?‘Žđ?‘œ = lim đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘ đ?‘–đ?‘”đ?‘› đ?‘Žđ?‘› â‹… ∞

đ?‘Ľâ†’∞

đ?‘Ľâ†’∞

AdemĂĄs, debemos saber que las expresiones

∞ ,∞ − ∞

0

∞, 1∞ , 0 , 0 â‹… ∞, 0∞ ,‌etc. son

Indeterminaciones. Para resolverlas, aplicaremos unos mĂŠtodos concretos que dependen de la indeterminaciĂłn en sĂ­. IndeterminaciĂłn ∞/∞ Para resolver este tipo lĂ­mites se divide por el infinito de mayor orden. En nuestro caso, y siendo polinomios, dividirĂ­amos por la potencia de mayor grado. Si bien ese es el mecanismo formal, podremos aplicar unas estrategias que nos conducirĂĄn a una rĂĄpida, clara y efectiva resoluciĂłn del problema. En primer lugar, sustituimos la variable đ?‘Ľ por el valor al que tiende para averiguar la naturaleza de la indeterminaciĂłn. No olvidemos que lo que explicamos seguidamente, es sĂłlo aplicable si đ?‘Ľ → ∞. En ese caso, seleccionaremos los infinitos de mayor orden. a.

lim

2−x 2x 3 +2x−1 2+3x 2 2

x→∞

b.

x 2 −1 2x+1 x→∞

c.

lim

lim

x→∞

lim

x 2 −1 2x+1

∞

lim

x→∞

∞ ∞

→ lim −

x 2 +â‹Ż 2x+â‹Ż x→∞

= ∞ → lim −

x 2 +2 2x−1

=

x→∞

3 x 2 1+ x

=

3 ∞ 1 1+ ∞

2−

x 2 x→∞

∞ ∞ − → lim ∞ ∞ x→∞

2x+1 2x−1

2−

2x 4 9x 4

= lim

2x 3 −x 2 −2x+1 −(2x 3 +4x+x 2 +2)

x→∞

d.

=

= lim

x→∞

=−

2 9

= +∞ x 2 −1 2x−1 − 2x+1 x 2 +2 2x+1 2x−1 2x 3 −x 2 −2x+1−2x 3 −4x−x 2 −2 2x+1 2x−1

= = lim

−2x 2 +â‹Ż

x→∞ 4x 2 +â‹Ż

=−

1 2

2−0

= 1+0 = 2

Es importante recordar como norma prĂĄctica que segĂşn dĂłnde se encuentre el infinito de mayor orden, el lĂ­mite resulta ser infinito, cero Ăł un nĂşmero: đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ < đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; 0 đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ lim â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ > đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2C6; â&#x201E;? Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Resuelve tĂş los siguientes lĂ­mites: 1. 2. 3. 4. 5.

2 3 x x 2 3 1â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019; 3 x x 1+3đ?&#x2018;Ľ 3

1+ +

lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

SOL: 1 SOL: 0

1+đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ 2 2 2 3

lim x + 2x + 3x 4 â&#x2C6;&#x2019; 4x 5

SOL: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim

2+đ?&#x2018;Ľ 2

SOL:

1â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ 2 +1 đ?&#x2018;Ľ 2 +1 lim 1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

1 9

SOL: 2

IndeterminaciĂłn â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; El mecanismo de resoluciĂłn que ahora explicamos lo desarrollaremos ante alguna de estas tres posibles formas: lim

đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim

â&#x2021;&#x201D;â&#x2C6;&#x17E;â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

La forma de solucionar serĂĄ multiplicar y dividir por el conjugado. Ojo!!, recordemos que el conjugado de la expresiĂłn đ??´ â&#x2C6;&#x2019; đ??ľ es đ??´ + đ??ľ, esto es, sĂłlo se modifica el signo central. xEx: <se explica a continuaciĂłn> lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ = â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; lim (

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

= lim (

đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 1 đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

2

â&#x2C6;&#x2019;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019; 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľ 3đ?&#x2018;Ľ 3 = lim = lim = đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x160;&#x2022; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

2

2

= lim

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x160;&#x2022; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

= lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1

â&#x2C6;&#x17E;/â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 1 + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

= đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3đ?&#x2018;Ľ + â&#x2039;Ż đ?&#x2018;Ľ2 + â&#x2039;Ż + đ?&#x2018;Ľ2 + â&#x2039;Ż

El primer paso se trata de sustituir directamente đ?&#x2018;Ľ por infinito para ver ante quĂŠ indeterminaciĂłn estamos. En este caso es la conocida â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;. Por eso multiplicamos y dividimos por el conjugado de la raĂ­z. El propĂłsito de ĂŠsta, es generar una expresiĂłn de la forma suma por diferencia, que sabemos, es diferencia de cuadrados: đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x17D; + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D;2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;?2 . â&#x2C6;&#x17E;

Hecho esto, y arreglando un poco, nos queda un lĂ­mite del tipo â&#x2C6;&#x17E; , en la que, como ya hemos visto en el caso anterior, sĂłlo nos queda seleccionar los tĂŠrminos de mayor grado para calcular directamente el lĂ­mite. xEx:

Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa lim (

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

= lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 + đ?&#x2018;Ľ

= lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x160;&#x2022; đ?&#x2018;Ľ

= lim

đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1

2

â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x160;&#x2022; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 + đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ + 1 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ + â&#x2039;Ż â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ + â&#x2039;Ż = lim = lim 2 2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ + 1 + đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ + â&#x2039;Ż+đ?&#x2018;Ľ

= â&#x2C6;&#x2019;1

Resuelve los siguientes lĂ­mites: 1. 2. 3. 4. 5.

lim ( 2đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

1

đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2)

lim ( 2đ?&#x2018;Ľ+4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;

SOL: 2

đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2)

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

SOL: +â&#x2C6;&#x17E; 1 4

lim ( đ?&#x2018;Ľ+4đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 2đ?&#x2018;Ľ)

SOL:

lim ( 2đ?&#x2018;Ľ+4đ?&#x2018;Ľ 2 +

SOL: â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x201A;đ?&#x2018;&#x2014;đ?&#x2018;&#x153;! đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x17E;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2)

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ+4đ?&#x2018;Ľ 2

SOL: +â&#x2C6;&#x17E;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

IndeterminaciĂłn 1â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018; Ăşđ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153; â&#x20AC;˛đ?&#x2018;&#x2019;â&#x20AC;˛ Para evaluar una expresiĂłn del tipo: đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ

lim đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ

xâ&#x2020;&#x2019;#

En primer lugar, se deben calcular por separado ambos lĂ­mites. Si la parte de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) resulta ser 1 y la del exponente đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) resulta +â&#x2C6;&#x17E;, entonces: lim đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ = 1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;#

lim đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ = +â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;#

â&#x2021;&#x201D; lim đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ

xâ&#x2020;&#x2019;#

= 1â&#x2C6;&#x17E; â&#x2020;&#x2019; đ??źđ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x161;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; đ?&#x2018;&#x203A;Âş đ?&#x2018;&#x2019;

En este caso, el resultado del lĂ­mite es, sencillamente đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020; , donde đ?&#x153;&#x2020; es un valor que se puede calcular mediante la conocida fĂłrmula de Euler: đ?&#x153;&#x2020; = lim đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2039;&#x2026; đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Si los resultados de los lĂ­mites de đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) y đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x2018;Ľ) no son 1 e â&#x2C6;&#x17E;, entonces NO estarĂ­amos ante una indeterminaciĂłn del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019;, no pudiĂŠndose aplicar la regla anterior. Para esos casos, es de especial utilidad el esquema que figura seguidamente: lim đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ

đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ

xâ&#x2020;&#x2019;#

=

đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;?

â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x17D;<đ?&#x2018;?â&#x2020;&#x2019;0 = đ?&#x2018;&#x17D; > đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; +â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x17D; = đ?&#x2018;? â&#x2020;&#x2019; 1â&#x2C6;&#x17E;

xEx: 1+đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ľ 2 4+đ?&#x2018;Ľ 2 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim

lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

2đ?&#x2018;Ľ+1

= â&#x2039;Ż = 1â&#x2C6;&#x17E; = đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x153;&#x2020; =

(1)

1 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ2 + â&#x2039;Ż = â&#x2020;&#x2019; lim =1 4 + đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2 + â&#x2039;Ż

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa lim 2đ?&#x2018;Ľ + 1 = lim 2đ?&#x2018;Ľ + â&#x2039;Ż = â&#x2C6;&#x17E;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

Comprobado que se trata de un lĂ­mite del nĂşmero đ?&#x2018;&#x2019; vamos a calcular el valor de đ?&#x153;&#x2020;: đ?&#x153;&#x2020; = lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

1 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2 1 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; (4 + đ?&#x2018;Ľ 2 ) â&#x2C6;&#x2019; 1 â&#x2039;&#x2026; 1 + 2đ?&#x2018;Ľ = lim â&#x2039;&#x2026; 1 + 2đ?&#x2018;Ľ = 2 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4+đ?&#x2018;Ľ 4 + đ?&#x2018;Ľ2 1 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 3 (1 + 2đ?&#x2018;Ľ) 2đ?&#x2018;Ľ 2 + â&#x2039;Ż = lim â&#x2039;&#x2026; 1 + 2đ?&#x2018;Ľ = lim = lim =2 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;Ľ 2 + â&#x2039;Ż 4 + đ?&#x2018;Ľ2 4 + đ?&#x2018;Ľ2

Ahora ya podemos completar el lĂ­mite propuesto: 1 + x + x2 lim xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 4 + x2

2x+1

= â&#x2039;Ż = 1â&#x2C6;&#x17E; = e Îť = e 2 1

Resuelve los siguientes lĂ­mites: 1.

2 x+1 x +1 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 2x+1

lim

SOL: 0

1+3x

2. 3. 4. 5.

1â&#x2C6;&#x2019;x 1â&#x2C6;&#x2019;x lim xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 1â&#x2C6;&#x2019;2x x+2 x 2 +3 lim 2 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x +1 x 2 +1 2â&#x2C6;&#x2019;x 2 lim xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 3â&#x2C6;&#x2019;x 2 â&#x2C6;&#x2019;x 2 +1 x 2 +2x lim xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 1+x 2

SOL: 8 SOL: e0 = 1 SOL: e1 = e SOL: eâ&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; =

1 eâ&#x2C6;&#x17E;

=

1 â&#x2C6;&#x17E;

=0

IndeterminaciĂłn 0/0 Existen tres estrategias para abordar este tipo de lĂ­mites: đ??šđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; (đ??¸đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; ) đ?&#x2018;&#x192; đ?&#x2018;Ľ 0 = â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2026;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; (đ??¸đ?&#x2018;Ľđ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;  đ??źđ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018; ) xâ&#x2020;&#x2019;# đ?&#x2018;&#x201E; đ?&#x2018;Ľ 0 đ??żâ&#x20AC;˛ đ??ťĂ´đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x201A; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;  đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2122; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A; 1Âş đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x2019; đ??ľđ??´đ?&#x2018;&#x2021;đ?&#x2018;&#x2039;) lim

FactorizaciĂłn: Es adecuada para cuando se puede factorizar el numerador y denominador de la expresiĂłn, cosa que suele presentarse en funciones racionales (polinĂłmicas). xEx: lim

đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4 22 â&#x2C6;&#x2019; 4 0 = = â&#x2020;&#x2019; đ??źđ?&#x2018; đ??ˇ â&#x2020;&#x2019; đ??šđ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;§đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x2013;Ăłđ?&#x2018;&#x203A; 2 2 đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10 2 + 3 â&#x2039;&#x2026; 2 â&#x2C6;&#x2019; 10 0

lim

đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; 4 đ?&#x2018;Ľ + 2 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2) đ?&#x2018;Ľ+2 4 = lim = lim = 2 xâ&#x2020;&#x2019;2 1 â&#x2039;&#x2026; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 2 (đ?&#x2018;Ľ + 5) xâ&#x2020;&#x2019;2 1 â&#x2039;&#x2026; (đ?&#x2018;Ľ + 5) đ?&#x2018;Ľ + 3đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 10 7

xâ&#x2020;&#x2019;2

xâ&#x2020;&#x2019;2

Hay que recordar que la expresiĂłn matemĂĄtica de una ecuaciĂłn de segundo grado con soluciones reales, admite siempre esta factorizaciĂłn Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;Ľ 2 + đ?&#x2018;?đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;? = đ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ1 đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 ,

đ?&#x2018;Ľ1 , đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2020;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x2122;. đ??¸đ?&#x2018;?. 2Âş đ?&#x2018;&#x201D;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x17D;đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x153;

RacionalizaciĂłn: Es adecuada para cuando existen expresiones irracionales en el numerador y/o denominador. La estrategia es multiplicar y dividir por el conjugado de la expresiĂłn irracional, para poder simplificar y eliminar la indeterminaciĂłn. xEx: 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2

lim

đ?&#x2018;Ľ+3â&#x2C6;&#x2019;2

xâ&#x2020;&#x2019;1

=

0 1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 1 + đ?&#x2018;Ľ (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)( đ?&#x2018;Ľ + 3 â&#x160;&#x2022; 2) â&#x2020;&#x2019; lim = lim 0 xâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ + 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 xâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ + 3 â&#x2C6;&#x2019; 2 ( đ?&#x2018;Ľ + 3 â&#x160;&#x2022; 2)

= lim xâ&#x2020;&#x2019;1

1 + đ?&#x2018;Ľ (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)( đ?&#x2018;Ľ + 3 + 2) đ?&#x2018;Ľ+3

2

â&#x2C6;&#x2019; 22

= lim xâ&#x2020;&#x2019;1

1â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ

1 + đ?&#x2018;Ľ (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)( đ?&#x2018;Ľ + 3 + 2) = đ?&#x2018;Ľ+3â&#x2C6;&#x2019;4

=â&#x2C6;&#x2019;1

1 + đ?&#x2018;Ľ (1 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ)( đ?&#x2018;Ľ + 3 + 2) đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 = lim = xâ&#x2020;&#x2019;1 (đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019; 1) = â&#x2C6;&#x2019;4

lim 1 + đ?&#x2018;Ľ â&#x2C6;&#x2019;1 xâ&#x2020;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľ+3+2

Lâ&#x20AC;&#x2122;HĂ´pital: Esta estrategia de resoluciĂłn es muy efectiva. Para resolver los lĂ­mites hace uso de la derivaciĂłn y por eso puede que su uso no estĂŠ autorizado en 1ÂşBATX. En cambio, su uso es muy generalizado en 2ÂşBATX y en la Universidad. đ?&#x2018;&#x201C; đ?&#x2018;Ľ 0 đ?&#x2018;&#x201C;â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;Ľ = â&#x2020;&#x2019; đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;# đ?&#x2018;&#x201D; đ?&#x2018;Ľ 0 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;# đ?&#x2018;&#x201D;â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;

xEx: lim

xâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ 0 (đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ)â&#x20AC;˛ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; 0 1 = â&#x2020;&#x2019; lim = lim = = =1 xâ&#x2020;&#x2019;0 1 xâ&#x2020;&#x2019;0 đ?&#x2018;Ľ 0 (đ?&#x2018;Ľ)â&#x20AC;˛ 1 1 1

â&#x2020;&#x2019; Recordemos que la derivada del đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ es đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;˛

1

Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

= đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;Ľ, y que la de đ?&#x2018;Ľ es đ?&#x2018;Ľ

â&#x20AC;˛

= 1.

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CĂ lcul de dominis, ComposiciĂł i FunciĂł Inversa Ejercicios de LĂ­mites: 3x 2 +2

1.

2x 2 5x 3 â&#x2C6;&#x2019;3 lim 3x 2 +1 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

SOL: 1

â&#x2C6;&#x2019;3x 2 +2

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

5x â&#x2C6;&#x2019;3 2x 2 lim 3x 2 +1 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; x2 x 2 +1 lim xâ&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019; xâ&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; 7xâ&#x2C6;&#x2019;1

lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

lim

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3

SOL: â&#x2C6;&#x2019;1 7

5x 3 +4xâ&#x2C6;&#x2019;2 x+1â&#x2C6;&#x2019;2 xâ&#x2C6;&#x2019;3 1 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1

lim 1 + đ?&#x2018;Ľ+2

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

2 x

SOL: 3 SOL:

5

1 4

SOL: e 2

SOL: eâ&#x2C6;&#x2019;3

lim 1 â&#x2C6;&#x2019; 3x

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3

lim

x 2 + 3x â&#x2C6;&#x2019; x

SOL: 2

lim

đ?&#x2018;Ľ+2â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2

SOL: 0

xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E; xâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;1

10. lim 11.

SOL: +â&#x2C6;&#x17E;

SOL: 3/4

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;2đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;3đ?&#x2018;Ľ+1 lim đ?&#x2018;Ľ 2 +2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x2019;1 3â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľ

SOL: 5/3

12. đ?&#x2018;&#x2122;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x161;

SOL: â&#x2C6;&#x2019;1/2

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0 2+đ?&#x2018;Ľ

13. lim 1 + 3đ?&#x2018;Ľ

2 đ?&#x2018;Ľ

SOL: â&#x2C6;&#x2019;1

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;4đ?&#x2018;Ľ 2 +5đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1 đ?&#x2018;Ľ 3 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ+1 2â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019; 2+đ?&#x2018;Ľ

14. lim 15. lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

16. lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľ+2â&#x2C6;&#x2019;2

SOL: â&#x2C6;&#x2019; SOL: â&#x2C6;&#x2019;

1 2 2 2

SOL: 4

3â&#x2C6;&#x2019; 5+đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;4 2â&#x2C6;&#x2019; 8â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1â&#x2C6;&#x2019;1 lim đ?&#x2018;Ľ+2â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;2

17. lim

SOL: â&#x2C6;&#x2019;2/3

18.

SOL: 2 1

19.

đ?&#x2018;Ľ 2 +đ?&#x2018;Ľ+1 đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;1 lim 2+đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;1

SOL: 1 đ?&#x2018;Ľ

20. lim 1 + đ?&#x2018;Ľ + đ?&#x2018;Ľ 2 đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;0

21. lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

22. lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

23. lim

đ?&#x2018;Ľâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

3đ?&#x2018;Ľ+5 5đ?&#x2018;Ľ+2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľâ&#x2C6;&#x2019;3 2 đ?&#x2018;Ľ 2 +9â&#x2C6;&#x2019;3 đ?&#x2018;Ľ 2 +4â&#x2C6;&#x2019;2 đ?&#x2018;Ľ 2 â&#x2C6;&#x2019; 3đ?&#x2018;Ľ

SOL: â&#x2C6;&#x17E; SOL: â&#x2C6;&#x2019;15 SOL: 1

+ 2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ2 â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ

Dominis, ComposiciĂł i funciĂł Inversa. LĂ­mits Funcionals. Jordi Mayor. Estiu 2009

SOL: â&#x2C6;&#x2019;1

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Funcions  

jjujuhigggtudydtyidyid

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