Issuu on Google+

1

หน่ วยที่ 3 ฟังก์ ชันตรีโกณมิติ (Trigonometric Function) 3.1 มุมและการวัดมุม

O

A θx

P

θx

รู ปที่ 3.1

B

ถ้าหมุนส่ วนของเส้นตรง OP รอบจุด O ไปอยูใ่ นแนวของส่ วนของเส้นตรง OA หรื อ OB สิ่ งที่เกิดขึ้นในลักษณะนี้ เรี ยกว่า มุม จุด O เรี ยกว่า จุดยอด (vertex) ส่ วนของเส้นตรง OP เรี ยกว่า ด้านเริ่ มต้น (initial side) ของมุม ส่ วนของเส้นตรง OA หรื อ OB เรี ยกว่า ด้านสิ้ นสุ ด (terminal side) ของมุม 3.1.1 หน่ วยในการวัดมุม มีการวัดมุมได้ 2 แบบ - หน่วยวัดมุมเป็ นองศา (Degree) - หน่วยวัดมุมเป็ นเรเดียน (Radian) 1. หน่วยวัดมุมเป็ นองศา ( º ) โดยกำาหนดการแบ่ง มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ออกเป็ น 360 ส่ วน แต่ละส่ วน เรี ยกว่า 1 องศา ( 1º ) และหน่วยองศาสามารถแบ่งย่อยออกเป็ น ลิปดา ( ´ ) และ ฟิ ลิปดา ( ´´ ) ตามลำาดับ ซึ่งมีมาตราเปรี ยบเทียบ ดังนี้ 1º = 60′ 1′ = 60′′ 2. หน่วยวัดมุมเป็ นเรเดียน คือ มุมที่ได้จากผลหารระหว่างความยาวของเส้นรอบวง ที่รองรับมุมที่จุดศูนย์กลางกับ รัศมีของวงกลมนั้น


2

y P(x,y)

ax

r

0

θx

รู ปที่ 3.2 θ=

จากสูตร a r

โดยที่

…………………*

θ คือ มุมที่จุดศูนย์กลางของวงกลม

r คือ รัศมีของวงกลม a คือ ส่ วนโค้งที่รองรับมุม θ ที่จุดศูนย์กลางของวงกลม เช่น ถ้า a = 3 หน่วย , r = 2 หน่วย จะได้ θ = 3 2 = 1.5 เรเดียน

ถ้า a = r จะได้ θ = r r = 1 เรเดียน ความยาวของเส้นรอบวง = 2 πr หน่วย ขนาดของมุมรอบจุดศูนย์กลางหาได้ โดย แทนค่า a = 2 πr ในสูตร r = 2 π เรเดียน ≈ 2(3.1428) ≈ 6.2856 เรเดียน จะได้ θ = 2π r นัน่ คือ มุม 360º = 2 π เรเดียน มุม 180º = เช่น มุม มุม มุม มุม

90º 60º 45º 30º

= = = =

π เรเดียน ……….*

………… ………… ………… …………

เรเดียน เรเดียน เรเดียน เรเดียน

π = 180 ดังนั้น มุม 1º เรเดียน และ มุม 1 เรเดียน = 180 π องศา


3

โดยปกติทวั่ ไป ถ้าใช้ขนาดของมุมมีหน่วยเป็ น เรเดียน จะไม่เขียนหน่วยกำากับไว้กไ็ ด้ นัน่ คือ ในกรณี ที่พบว่าขนาดของมุมไม่มีหน่วยกำากับไว้ ให้ถือว่ามุมนั้นมีหน่วยเป็ นเรเดียน ตัวอย่ างที่ 1 จงเปลี่ยนมุม 24º และ 160º ให้มีหน่วยเป็ น เรเดียน π = 2π วิธีทาำ มุม 24º = 24 × 180 15 มุม 160º =........................................................................................................................ 13π ให้มีหน่วยเป็ น องศา ตัวอย่ างที่ 2 จงเปลี่ยนมุม 5π และ 6 9 5π 5π 180 วิธีทาำ มุม 6 = 6 × π = 150º

π= มุม 13 9 ………………………………………………………………………………

ตัวอย่ างที่ 3 จงเปลี่ยนมุม 5º และ 40º 20′ ให้มีหน่วยเป็ น ฟิ ลิปดา วิธีทาำ 5º = 5 × 60 ลิปดา = 300 ลิปดา = 300 × 60 ฟิ ลิปดา = 18,000 ฟิ ลิปดา 40º 20′ = ………………...ลิปดา = ………………...ลิปดา = ………………...ฟิ ลิปดา = ………………...ฟิ ลิปดา


4

แบบฝึ กทักษะที่ 3.1 1. 2. 3. 4.

จงเปลี่ยนมุม จงเปลี่ยนมุม จงเปลี่ยนมุม จงเปลี่ยนมุม

32º , 40º และ 105º 8º , 20º 15′ และ 32º 20′ 4º , 15º 30′ และ 22º 40′ 4π , 2π และ 5π 5 3 9

ให้มีหน่วยเป็ น เรเดียน ให้มีหน่วยเป็ น ลิปดา ให้มีหน่วยเป็ น ฟิ ลิปดา ให้มีหน่วยเป็ น องศา

*********************************


5

3.2 การหาค่ าฟังก์ ชันตรีโกณมิติ ทฤษฎีบทปี ทากอรัส สี่ เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลบวกของสี่ เหลี่ยมจัตุรัสบน ด้านประกอบมุมฉาก

BB

1 1 © ‚

A

3 C 2 2

จากรู ป

จ1

รู ปที่ 3.3

=

จ2

จ3

+

จะได้ AB² = AC² + BC² 2 2 หรื อ AB = AC+ BC ตัวอย่ างที่ 4 สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็ นมุมฉาก โดยมีดา้ น AB ยาว 3 เซนติเมตร ด้าน BC ยาว 4 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน AC วิธีทาำ B 3 A

4 C

จากรู ป โดยทฤษฎีบทปี ทากอรัส จะได้ AC² = AB² + BC² = (3)² + (4)² = 9 + 16 = 25 ∴ AC = 25 = 5 cm.

Ans.


6

ตัวอย่ างที่ 5 สามเหลี่ยมมุมฉาก PQR โยมีมุม Q เป็ นมุมฉาก ซึ่งมีดา้ น QR ยาว 12 เซนติเมตร ด้าน PR ยาว 20 เซนติเมตร จงหาความยาวของด้าน PQ วิธีทาำ

จากรู ป โดยทฤษฎีบทปี ทากอรัส จะได้................................................................................. .......................................................................................... .......................................................................................... .......................................................................................... ∴ PQ = ……….. = …….. cm. Ans.

3.2.1 การหาค่ าฟังก์ ชันตรีโกณมิติจากรู ปสามเหลีย่ มมุมฉาก B

A

รู ปที่ 3.4

C

กำาหนดให้ สามเหลี่ยม ABC เป็ นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยมีมุม C เป็ นมุมฉาก เมื่อพิจาณาที่มุม A ด้าน BC เรี ยกว่า ด้านตรงข้ามมุม A (ตรงมุม) ด้าน AC เรี ยกว่า ด้านประชิดมุม A (ชิดมุม) ด้าน AB เรี ยกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก (ตรงฉาก)

เราสามารถหาค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติจากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก ได้ดงั นี้ มA BC 1. sin A = ตรงมุ = AB ตรงฉาก ดมุมA AC 2. cos A = ชิ = AB ตรงฉาก

AB AC

3. tan A = หมายเหตุ

ตรงมุมA = ชิดมุมA

sin cos tan

ตรงฉาก AB 4. csc A = ตรงมุ = BC มA 5. sec A = ตรงฉาก = ชิดมุมA

BC AC

ย่อมาจาก sine ย่อมาจาก cosine ย่อมาจาก tangent

6. cot A = ; ; ;

csc sec cot

ชิดมุมA = ตรงมุมA

ย่อมาจาก cosecant ย่อมาจาก secant ย่อมาจาก cotangent

AC BC


7

จากฟังก์ชนั ตรี โกณมิติขา้ งต้น จะได้ 1 หรื อ csc A = 1 sin A.csc A = 1 นัน่ คือ sin A = csc A sinA 1 หรื อ sec A = 1 cos A.sec A = 1 นัน่ คือ cos A = sec A cosA tan A.cot A = 1

1 หรื อ cot A = 1 นัน่ คือ tan A = cot A tanA

เมื่อพิจารณาความสัมพันธ์ระหว่าง sin A, cos A และ tan A จากรู ปสามเหลี่ยม ABC จะได้ a c a c a sinA cosA = b = c× b = b = tan A c sinA นัน่ คือ tan A = cos A

B c

() ()

a

A b

C

รู ปที่ 3.5

ในทำานองเดียวกัน จากทฤษฎีบทปี ทากอรัส จะได้ นำา c² หารตลอด จะได้

a² + b² = c²

a2 c2

โดยพิจารณาที่ มุม A จะได้

+

( ac)2

b2 c2

()

=

c2 c2

2 + b = 1 c

sin²A + cos²A = 1

นำา (1) หารด้วย cos²A จะได้

2 sin2 A + cos A 2 2 cos A cosA

นัน่ คือ หรื อ

A cot A = cos sinA

……….(1)

1 = cos 2 A

sinA) 2 + 1 = ( 1 ) 2 ( cos A cosA

tan²A + 1 = sec²A 1 + tan²A = sec²A ………*


8

นำา (1) หารด้วย sin²A จะได้

A) 2 + ( cosA) 2 = ( 1 ) 2 ( sin sinA sinA sinA

1 + cot²A = cosec²A ………*

นัน่ คือ

ตัวอย่ างที่ 6 กำาหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม C เป็ นมุมฉาก จงหา ความยาวด้าน AC, sinA, cosA, sinB , tanB , cscB B 13cm.

A

5cm.

C

วิธีทาำ .............................................................................................................................................. …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………...


9

ตัวอย่ างที่ 7 กำาหนดสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC มีมุม B เป็ นมุมฉาก ถ้า tan A = 4 3 จงหาค่าของ cscA−1 cotA

วิธีทาำ จาก tan A = 4 3 สามารถเขียนรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนี้ …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………...


10

3.2.2 การหาค่ าฟังก์ชันตรีโกณมิตโิ ดยวงกลมหนึ่งหน่ วย วงกลมหนึ่งหน่ วย (Unite Circle) คือ วงกลมใดๆที่มีจุดศูนย์กลางอยูท่ ี่จุด (0,0) และ กำาหนดให้รัศมีของวงกลมนั้นยาว 1 หน่วย y (0,1) (-1,0)

จตุภาค ที่ 2 จตุภาค0 x ที่ 3

จตุภาค ที่ 1 จตุภาค ที่ 4

(0,-1) รู ปที่ 3.6

P O

Q

รู ปที่ 3.7

เมื่อจุดยอดของมุมอยูท่ ี่จุดศูนย์กลางของวงกลม หนึ่งหน่วย หรื อที่จุด (0,0) ด้านเริ่ มต้นของมุมทาบบน แกน x ทางบวก และหมุนมุมในทิศทวนเข็มนาฬิกา จะ (1,0) x ทำาให้วงกลมหนึ่ งหน่วยแบ่งออกเป็ น 4 ส่ วน แต่ละส่ วน เรี ยกว่า จตุภาค (Quadrant) ที่ 1, 2, 3 และ 4 ดังรู ปที่ 3.6 พิจารณารู ปที่ 3.7 มุม θ อยูใ่ นตำาแหน่งมาตรฐาน โดยมี OP เป็ นรัศมีของวงกลม ยาว 1 หน่วย จากรู ปสามเหลี่ยมมุมฉาก OPQ จะได้ PQ sin θ = OP = y 1 = y x cos θ = OQ OP = 1 = x ดังนั้น P(x, y) = P(cos θ, sin θ)

จากความสัมพันธ์ของฟังก์ชนั ไซน์และฟังก์ชนั โคไซน์ จะได้วา่ sin θ = y tan θ = cos θ x ในทำานองเดียวกัน

csc θ = sin1 θ = 1 y sec θ = cos1 θ = 1 x x θ cot θ = cos sin θ = y

ค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมที่มีขนาดต่างๆ ทั้งที่เป็ นมุมบวกและมุมลบ มีวิธีการหาดังนี้ 1. สร้างมุม θในตำาแหน่งมาตรฐาน 2. หาพิกดั ของจุดปลายส่ วนโค้งของวงกลมหนึ่งหน่วยที่รองรับมุมนั้น 3. หาค่า sin θ, cos θ ได้จาก sin θ = y และ cos θ = x


11

ตัวอย่ างที่ 8 จงหาค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติท้ งั หมดของมุม 60˚ วิธีทาำ 1) สร้างวงกลมหนึ่งหน่วย 2) สร้างมุม 60˚ ในตำาแหน่งมาตรฐาน 3) หาพิกดั ที่จุดปลายส่ วนโค้งที่รองรับมุม 60˚ ได้ (0.5, 0.8) …จากรู ป จุด P มีพิกดั x = 0.5 , y = 0.8 ……….. y …จะได้ sin 60˚ = y = 0.8 .................................. (0,1) P(0.5,0.8) ………. cos 60˚= x = 0.5 ....………………….. y 0.8 8 ………. tan 60˚= (1,0) (-1,0) 60º x x = 0.5 = 5 = 1.6 ..…….. 0 ……… cot 60˚= …………………………...….... x ……… sec 60˚= ……………………….……….. (0,-1) ……… csc 60˚= …………………………….….. ข้ อสั งเกต

จากตัวอย่างที่ 8 จะได้วา่ ค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 1 หรื อช่วง 0˚< θ < 90˚ จะมีค่าเป็ นบวกทั้งหมด

ตัวอย่ างที่ 9 จงหาค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติท้ งั หมดของมุม 120˚ วิธีทาำ 1) สร้างวงกลมหนึ่งหน่วย 2) สร้างมุม 120˚ ในตำาแหน่งมาตรฐาน 3) หาพิกดั ที่จุดปลายส่ วนโค้งที่รองรับมุม 120˚ ได้ (-0.5, 0.8) …จากรู ป ที่จุด P มีพิกดั x = -0.5 , y = 0.8 .………… y …จะได้ sin 120˚ = y = 0.8 ..................................... (0,1) P(-0.5,0.8) ………. cos 120˚= x = -0.5 ...……………………. (-1,0)

0

120º

x

(0,-1)

(1,0) x

0.8 = 8 = -1.6 …… ………. tan 120˚= y x= − 0.5

−5

……… cot 120˚= …………………………………. ……… sec 120˚= …………………………………. ……… csc 120˚= ………………………………….

ข้ อสั งเกต จากตัวอย่างที่ 9 ค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 2 หรื อช่วง 90˚< θ< 180˚จะมีค่าเป็ นบวกเฉพาะ sin และ csc นอกเหนือจากนั้นมีค่าเป็ นลบทั้งหมด


12

π 3.2.3 ฟังก์ ชันตรีโกณมิตขิ องมุมทีค่ วรทราบ 2 60˚

20

45˚

2

1

˚ 30˚

y

π 2 (0,1)

45˚

3

π 6

π 4

มุม ฟังก์ชนั

0 0˚

sin θ

0

cos θ

1

tan θ

0

cot θ

หาค่า ไม่ได้

3

sec θ

1

2 3

2

cosec θ

หาค่า ไม่ได้

2

2

30˚ 1 2

3 2 1 3

45˚ 1 2 1 2

1

x

(-1,0) π

1

1

(1,0) 2π x

3π (0,-1) 2x

π 3

π 2

60˚

90˚

3 2

1

3

หาค่า ไม่ได้

1 2

0

1 หาค่า ไม่ได้

π

3π 2

2π 180˚ 270˚ 360˚


13

ตัวอย่ างที่ 10 จงหาค่าของ 2. sin2 30 - 4. cos2 60 + 3. tan2 45 วิธีทาำ จะได้ 2. sin2 30 - 4. cos2 60 + 3. tan2 45 …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... …… ตัวอย่ างที่ 11 จงหาค่า x จากสมการ x. cosec30 + sin60 cot30 = cos60 วิธีทาำ จาก x. cosec30 + sin60 cot30 = cos60 …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 3.2.4 ฟังก์ ชันตรีโกณมิตขิ องมุมในจตุภาคต่ างๆ


14

Q(-x,y) ) (-1,0) C R(-x,-y)

y (0,1)

B

θθ θθ 0 x

(0,-1)

P(x,y) A(1,0) x S(x,-y)

รู ปที่ 3.8

จากรู ปที่ 3.8 กำาหนด P(x, y) เป็ นจุดๆหนึ่งบนวงกลมหนึ่งหน่วย ลาก PQ ขนานกับแกน x ตัดส่ วนโค้งของวงกลมที่ จุด Q และเนื่องจาก ∆POB เท่ากันทุกประการกับ ∆ QOB ดังนั้น จุด Q จะมีพิกดั (-x, y) ในทำานองเดียวกัน ถ้าลากเส้นตรงจากจุด P และจุด Q ขนานกับแกน y ตัดส่ วนโค้งของวงกลมที่จุด S และจุด R จะได้ S มีพิกดั (x, -y) และ R มีพิกดั (-x, -y)

ถ้ามุม AOP มีขนาด θ แล้ว มุม QOC , COR และ AOS จะมีขนาดเท่ากับ θ ด้วย เนื่องจากที่จุด P, Q, R และ S ถ้าไม่คิดเครื่ องหมาย จะเห็นได้วา่ แต่ละจุดมีขนาดของ x และ y เท่ากัน ซึ่งทำาให้ค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 มีค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ (ไม่คิดเครื่ องหมาย) เท่ากับค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมบางมุมที่อยูใ่ นจตุภาคที่ 1

1) ความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 2 กับ 1 y (0,1)

Q(-x, y) (-1,0)

P(x, y) A(1,0)

0

ถ้า θ เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1 จะได้มุมในจตุภาคที่ 2 ในรู ป ทัว่ ไป คือ ( π- θ) หรื อ (180˚- θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ π 2

x จะได้ sin ( π-

θ

x

(0,-1)

θ

θ) = sin (180˚- θ)

cos ( π- θ) = cos (180˚-

= y = sin

θ) = - x

= - cos

tan ( π- θ) = tan (180˚- θ) = y = - tan −x 2) ความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 3 กับ 1


15

y (0,1) (-1,0)

+

0

P(x, y) A(1,0)

π 2

x จะได้ sin ( π+

θ

x

R(-x, -y) )

ถ้า θ เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1 จะได้มุมในจตุภาคที่ 3 ในรู ป ทัว่ ไปคือ ( π+ θ) หรื อ (180˚+ θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ

(0,-1)

θ

θ) = sin (180˚+ θ)

cos ( π+ θ) = cos (180˚+

= - y = - sin

θ) = - x

= - cos

−y

tan ( π+ θ) = tan (180˚+ θ) = = tan −x 3) ความสัมพันธ์ของค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในจตุภาคที่ 4 กับ 1 y ถ้า θ เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1 จะได้มุมในจตุภาคที่ 4 ในรู ป (0,1) ทัว่ ไปคือ (2 π- θ) หรื อ (360˚- θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ P(x, y) (-1,0)

20 x

A(1,0)

π 2

x จะได้ sin (2 π-

θ

S(x, -y) (0,-1) )

θ) = sin (360˚- θ)

θ) = x = cos θ −y π-ภθ สรุป เครื่ องหมายค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ เมื่อมุมtan อยูใ่(2นจตุ าคต่) า=งๆtan ได้(360˚ดงั นี้ θ) = x = - tan y θ sin + csc tan + cot

cos (2 π- θ) = cos (360˚-

= - y = - sin

ทุกฟังก์ชนั + 0x +

x

cos sec

ในการหาค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ ของมุมในจตุภาคที่ 2, 3 และ 4 กระทำาได้ดงั นี้ 1. เขียนมุมในจตุภาคต่างๆ ให้เป็ นรู ปทัว่ ไป ดังนี้


16

π 2

- มุมในจตุภาคที่ 2 เป็ นรู ปทัว่ ไป คือ ( π- θ) หรื อ (180˚-

θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ

เช่น……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... - มุมในจตุภาคที่ 3 เป็ นรู ปทัว่ ไปคือ ( π+ θ) หรื อ (180˚+ θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ π 2

เช่น……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... - มุมในจตุภาคที่ 4 เป็ นรู ปทัว่ ไปคือ (2 π- θ) หรื อ (360˚- θ) เมื่อมุม θ < 90˚หรื อ π 2

เช่น……………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 2. เปลี่ยนค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมในรู ปทัว่ ไป ให้เป็ นค่าฟังก์ชนั ตรี โกณมิติของมุมใน จตุภาคที่ 1 ซึ่งผลลัพธ์จะมีค่าเป็ น บวก หรื อ ลบ ให้เป็ นไปตามข้อสรุ ปข้างบนนี้

ตัวอย่ างที่ 12 จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ โดยการแปลงให้เป็ นมุม ในจตุภาคที่ 1 1) cos 120˚ 2) sin 135˚ 3)

2 π tan3

4)

5 π cos4

วิธีทาำ 1) cos 120˚ เนื่องจากมุม 120˚ อยูใ่ นจตุภาคที่ 2 จะได้ค่า cos 120˚ เป็ นลบ จาก cos (180˚- θ) = - cos θ

5) sin 300˚


17

จะได้ cos 120˚ = cos (180˚- 60˚) = - cos60˚ = - 1 2

Ans.

2) sin 135˚ …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 3)

tan23π

…………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 4)

cos54π

…………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... 5) sin 300˚ …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ตัวอย่ างที่ 13 จงหาค่าของฟังก์ชนั ตรี โกณมิติ โดยการแปลงให้���ป็ นมุม ในจตุภาคที่ 1  1) cos 210˚ + sin2 315


18

2)

4 π 2 π tan3 cos3

 วิธีทาำ 1) จะได้ cos 210˚ + sin2 315 …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………...

2) จะได้

tan43π - cos23π

…………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ตัวอย่ างที่ 14 จงหาค่า x จากสมการ 4x. วิธีทาำ จากสมการ 4x.

sin76π

sin76π

- tan2 53π = 5

- tan2 53π = 5

…………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………...


19

…………………………………………………………………………………………………... แบบฝึ กทักษะที่ 3.2 1. จงหาค่าของ sin135˚, cos210˚, tan240˚, sin300˚,

sin74π โดยแปลงให้เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1

cos23π , tan43π ,

2. จงหาค่าของ 2cos45˚.sec45˚+ cot30˚.sin60˚ 2 2 3 cot2 π 3. จงหาค่าของ cosπ + cot π - sin π - 4 4. จงหาค่าของ 5. จงหาค่าของ

3 4 3. sinπ + 5.cosπ 2 2

3

2

3

sin315− cos240 โดยแปลงให้เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1

6. จงหาค่าของ sin120˚+ sin240˚+ sin300˚ โดยแปลงให้เป็ นมุมในจตุภาคที่ 1 7. จงหาค่าของ x จากสมการ 2x.sin30˚.cos60˚ = tan30˚.cosec60˚ 8. จงหาค่าของ x จากสมการ 2x. sinπ +

3π tan 2 4

= 7.cosπ

***************************************


20

3.2.5 กฎของไซน์ (Law of sine) อัตราส่ วนระหว่างด้านกับค่า sine ของมุมที่อยูต่ รงข้ามด้านในสามเหลี่ยมใดๆ จะเท่ากันเสมอ B

a

c A

b

กำาหนดให้ ABC เป็ นสามเหลี่ยมใดๆ นัน่ คือ

a b sinA = sinB = c sinC

3.2.6 กฎของโคไซน์ (Law of cosine)

1. a² = b² + c² - 2bc.cosA 2. b² = c² + a² - 2ca.cosB 3. c² = a² + b² - 2ab.cosC

C


21

ตัวอย่ างที่ 15 กำาหนดสามเหลี่ยม ABC มีดา้ น BC ยาว 3 2 หน่วย มุม BAC โต 30˚ มุม ABC โต 105˚ จงหาขนาดของมุม ACB, ด้าน AB และด้าน AC วิธีทาำ …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ตัวอย่ างที่ 16 กำาหนดสามเหลี่ยม ABC มีดา้ น AB ยาว 13 หน่วย ด้าน BC ยาว 15 หน่วย และด้าน CA ยาว 7 หน่วย จงหาขนาดของมุม ACB …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………...


22

…………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... …………………………………………………………………………………………………... ตัวอย่างที่ 17 กำาหนดสามเหลี่ยม ABC มีดา้ น CA ยาว 1+ 3 หน่วย ด้าน AB ยาว 2 หน่วย และมีมุม CAB ขนาด 60˚ จงหาขนาดของด้าน BC ตัวอย่างที่ 18 ช่างสำารวจจดบันทึกไว้วา่ จากจุด A มองไปจุด B ด้วยมุมก้ม 45˚ จากจุด C มองไปยังจุด B ด้วยมุมก้ม 60˚ ระยะจาก A ไปยัง C เท่ากับ 400 เมตร จงหาระยะ จาก A ไป B และระยะจาก C ไป B

3. ฟังก์ชนั ผกผันตรี โกณมิติ (The Inverse Trigonometric Function) 1. ถ้า y = sin x จะมีอินเวอร์สคือ x = sin y หรื อ y = arcsin x หรื อ y = sin −1 x


23

2. ถ้า y = cos x จะมีอินเวอร์สคือ x = cos y หรื อ y = arccos x หรื อ y = cos −1 x 3. ถ้า y = tan x จะมีอินเวอร์สคือ x = tan y หรื อ y = arctan x หรื อ y = tan −1 x 4. ถ้า y = cot x จะมีอินเวอร์สคือ x = cot y หรื อ y = arccot x หรื อ y = cot −1 x 5. ถ้า y = sec x จะมีอินเวอร์ สคือ x = sec y หรื อ y = arcsec x หรื อ y = sec −1 x 6. ถ้า y = cosec x จะมีอินเวอร์ สคือ x = cosec y หรื อ y = arccosec x หรื อ y = cos ec −1 x ตัวอย่างที่ 1 จงหาค่าของ

โจทย์ ทดสอบ ครั้งที่ 3 คำาชี้แจง ให้นกั ศึกษาแสดงวิธีทาำ ทุกข้อให้ชดั เจน และไม่อนุญาตให้ใช้เครื่ องคำานวณ 1. จงหาค่าของ cos²240˚ - sin²315˚ (โดยการแปลงให้เป็ นฟังก์ชนั ในจตุภาคที่ 1) 2. จงหาค่าของ x จากสมการ 2x. sin

3π tan 2 4

π +

= 7. cosπ

3. จงหาค่าของ x จากสมการ 4.sin²x – 1 = 0 เมื่อ 0 < x < 360˚ ำ ายอดเสา 6 เมตร นายสมชาติยนื บนพื้นดิน 4. เสาไฟฟ้ าต้นหนึ่ง มีหม้อแปลงไฟฟ้ าติดอยูต่ ่ากว่ มองไปยังยอดเสาไฟฟ้ าและหม้อแปลงไฟฟ้ าเป็ นมุมเงย 45˚และ 30˚ตามลำาดับ จงเขียนภาพประกอบและคำานวณหาความสูงของเสาไฟฟ้ านี้ 5. จงหาค่าของ 5.1) arcsin 12 5.2) arccot 3 *****************************************


เอกสารตรีโกณ