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Probl` emes r´ esolus

Battements Consid´erons maintenant le cas d’oscillateurs faiblement coupl´es. Alors ω=

ω1 + ω2 ' ω1 ' ω2 2

ω1 − ω2 = ∆ω  ω 2

Pour les pendules 1 ∆ω = 2

r

g 2k + − ` m

r ! g `

Les solutions (5.41) et (5.42) deviennent x1 = A cos(ωt) cos(∆ωt)

x2 = A sin(ωt) sin(∆ωt)

On a donc une oscillation ` a la fr´equence ω dont l’amplitude est modul´ee `a la fr´equence ∆ω (fig. 5.36). Ce ph´enom`ene est g´en´eral. Les dispositif des figures 5.34 et 5.35 (sans excitation entretenue) permettent d’observer des battements. x1

x2

Fig. 5.36 Allure des battements.

5.29 Modes oscillatoires (Lagrange) 27.1

On consid`ere un syst`eme m´ecanique ` a n degr´es de libert´e compos´e de N points mat´eriels de masses mi , i = 1, . . . , N admettant un ´equilibre stable. On suppose que les contraintes sur les coordonn´ees cart´esiennes des points mat´eriels sont donn´ees par des relations de la forme xi = xi (q1 , . . . , qn ), i = 1, . . . , 3N . Faire un d´eveloppement limit´e du potentiel exprim´e en fonction des coordonn´ees g´en´eralis´ees et montrer que la dynamique des petites oscillations autour de l’´equilibre correspond ` a celle d’un ensemble d’oscillateurs harmoniques coupl´es.

Mecanique 3  
Mecanique 3