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Pratique de la m´ ecanique

La trajectoire est une parabole. Pour le v´erifier, il suffit d’´eliminer le temps. On tire t de y(t) et on pose  2   x v0x 1 y y = z=− g + v0z y v0y 2 v0y v0y On trouve ainsi une parabole dans le plan d´efini par xy = v0x /v0y . Certains seront surpris que ce r´esultat ne soit pas aussi simple que ce qu’ils ont peut-ˆetre ´et´e habitu´es ` a voir. Pourquoi ? Cela vient du choix du syst`eme de coordonn´ees. Pour retrouver une forme de solution plus famili`ere, on peut choisir un syst`eme de coordonn´ees de telle mani`ere que le plan P xz contienne le vecteur vitesse initiale v 0 (fig. 2.7). z

v0 y

P a

x

Fig. 2.7 Nouveau choix de syst`eme d’axe, avec le plan P xz contenant la vitesse.

Dans ce rep`ere on a 

 v0x v0 =  0  v0z Il reste :

x(t) = v0x t y(t) = 0 1 z(t) = − gt2 + v0z t 2 On a ainsi obtenu une expression math´ematique qui rend compte, en particulier, de l’observation suivante (sect. 1.1) : la hauteur d’une balle qui tombe sans vitesse initiale (v0x = 0) est la mˆeme en tout temps que celle d’une balle qui a une vitesse initiale horizontale (v0x 6= 0). Pour passer de l’´equation param´etrique de la trajectoire ` a sa forme cart´esienne, utilisons x = x(t) pour ´ecrire t en fonction de x :  2   1 x x y=0 z=− g + v0z 2 v0x v0x

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Mecanique 1  

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