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La balistique

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On choisit l’axe Oz vertical dirig´e vers le haut. On suppose une situation physique telle que le point mat´eriel au temps t = 0 est au point P , de coordonn´ees (x0 , y0 , z0 ) avec une vitesse v 0 de composantes (vx0 , vy0 , vz0 ). On ´ecrit les coordonn´ees et la vitesse du point mat´eriel `a t = 0 sous la forme : x(0) = x0

vx (0) = v0x

y(0) = y0

vy (0) = v0y

z(0) = z0

vz (0) = v0z

(2.2)

Ce sont les conditions initiales. Les acc´el´erations dans les trois directions Ox, Oy, Oz s’´ecrivent imm´ediatement en termes de d´eriv´ees secondes par rapport au temps des coordonn´ees (x, y, z) : ax = x ¨ ay = y¨ az = z¨ Etape 4 : ´equations du mouvement

Pour chaque direction de l’espace Ox, Oy, Oz, la force dans cette direction est ´egale ` a la masse multipli´e par l’acc´el´eration dans cette direction. A la section 2.2, on voit que cela revient ` a projeter la loi vectorielle ma = mg dans le rep`ere associ´e aux axes cart´esiens. On obtient ainsi : m¨ x=0 m¨ y=0

(2.3)

m¨ z = −mg Les ´equations du mouvement sont des ´equations diff´erentielles. Ici, on prend l’approche qui consiste ` a se poser la question ´el´ementaire : « quelle sont les fonctions du temps x(t), y(t) ou z(t) telles que leurs d´eriv´ees secondes par rapport au temps aient les valeurs sp´ecifi´ees ? ». Il faut que ces fonctions satisfassent aussi les conditions initiales (2.2). Il est facile de voir que la solution de (2.3) est, compte tenu des conditions initiales (2.2) : x(t) = v0x t + x0 y(t) = v0y t + y0 1 z(t) = − gt2 + v0z t + z0 2

(2.4)

Si on suppose que le point mat´eriel est `a l’origine du rep`ere cart´esien quand t = 0, (2.4) devient x(t) = v0x t y(t) = v0y t 1 z(t) = − gt2 + v0z t 2

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Mecanique 1  

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