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Aper¸cu de dynamique relativiste

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Dans le cadre de la cin´ematique relativiste, nous avons introduit la notion d’´ev´enement, chaque ´ev´enement ´etant caract´eris´e, par rapport `a un r´ef´erentiel, par un lieu et par un temps. Ensuite, nous avons introduit la notion d’intervalle d’espace-temps entre deux ´ev´enements. Avec les relations (1.77) et (1.78) on associe une mesure aux intervalles d’espace-temps et cette mesure est un invariant relativiste, autrement dit, il ne d´epend pas du r´ef´erentiel auquel on se r´ef`ere. Dans un diagramme espace-temps deux ´ev´enements sont repr´esent´es par deux points. Un vecteur position de l’espace-temps con¸cu comme un espace vectoriel poss`ede une composante temporelle x0 = ct et trois composantes spatiales x = (x1 , x2 , x3 ). On dispose ainsi d’un espace vectoriel de dimension 4. On convient d’appeler un quadri-vecteur position un vecteur (x0 , x1 , x2 , x3 ) de cet espace. On a vu que la « m´etrique », qui dans la litt´erature est souvent d´esign´ee du terme de pseudo-m´etrique, dont il convient de munir cet espacetemps afin de mesurer des intervalles d’espace-temps, est bas´ee sur la forme quadratique invariante : −(x0 )2 + x2 = −c2 t2 + x2 Lorsque deux ´ev´enements sont s´epar´es par un intervalle du genre temps, la valeur de cette forme quadratique est n´egative. La mesure de l’intervalle qui les s´epare est alors donn´e par l’expression invariante (1.77). Par contre, lorsque ces ´ev´enements sont s´epar´es par un intervalle du genre espace, la forme quadratique ci-dessus est positive et la distance invariante qui les s´epare est donn´ee par l’expression (1.78). 1.24.1

L’´energie-quantit´e de mouvement en relativit´e

Il s’agit maintenant de reformuler les lois de la m´ecanique de mani`ere `a les rendre compatibles avec les transformations de Lorentz et avec l’interpr´etation qui leur est attribu´ee dans le cadre de la th´eorie de relativit´e restreinte. Dans ce but, commen¸cons par remarquer que la relation bien connue p = mv = m

dx dt

(1.80)

entre la quantit´e de mouvement et la vitesse sur laquelle est fond´ee la m´ecanique newtonienne doit ˆetre d’autant plus exacte que la vitesse v est, en norme, beaucoup plus faible que la vitesse de la lumi`ere. En fait, cette consid´eration ne nous laisse aucune libert´e de choix car elle est vraie quel que soit le r´ef´erentiel d’inertie consid´er´e. La seule forme que peut adopter la relation qui pr´ec`ede dans le cadre relativiste est celle ` a laquelle on est conduit en y rempla¸cant le temps par le temps propre associ´e au point mat´eriel consid´er´e. Cette forme est donc la suivante : dx p=m (1.81) dτ Le symbole m d´esigne la masse du point mat´eriel, cette masse ´etant une constante physique attach´ee a` ce point mat´eriel. Rappelons que le temps propre

Mecanique 1  
Mecanique 1