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Les fondements de la m´ ecanique

Cette transformation inverse s’´ecrit alors Dx0 − Bt0 ∆ −Cx0 + At0 t= ∆ x=

(1.71)

comme on le v´erifie ais´ement. Selon cette derni`ere relation la vitesse de l’origine O, de coordonn´ee x = 0, du r´ef´erentiel R relativement au r´ef´erentiel R0 a pour 0 B expression xt0 = D . Jusqu’ici on a ´evoqu´e l’homog´en´eit´e de l’espace. Il convient maintenant de faire intervenir l’isotropie de ce dernier comme il suit. Si dans les r´ef´erentiels R et R0 on convient d’orienter les axes Ox et O0 x0 de mani`ere oppos´ee, alors la loi de transformation (1.68) correspond `a la transformation pour une vitesse −v de R0 par rapport ` a R. x0 = Ax − Bt t0 = −Cx + Dt En vertu du principe de relativit´e cette loi de transformation ne doit pas diff´erer de la loi de transformation (1.71), les rˆoles des variables (x, t) et x0 , t0 ´etant ´echang´es (fig. 1.45). Autrement dit, il est n´ecessaire que les conditions suivantes soient satisfaites : D =A ∆

B =B ∆

C =C ∆

et

A =D ∆

Par cons´equent, il faut et il suffit que A=D

et

∆=1

(1.72)

Il d´ecoule imm´ediatement de ces derni`eres ´egalit´es que la vitesse de l’origine O, de coordonn´ee x = 0, du r´ef´erentiel R relativement au r´ef´erentiel R0 , a pour valeur −v. En effet il d´ecoule des ´egalit´es pr´ec´edentes que v0 =

x0 B B = = = −v t0 D A

(1.73)

Jusqu’ici les conditions qui ont ´et´e impos´ees sont identiques `a celles que l’on impose ` a la loi de transformation de Galil´ee. D´egageons maintenant les cons´equences de la condition d’invariance de la vitesse de la lumi`ere. Il d´ecoule imm´ediatement de la loi de transformation (1.68) que la vitesse u0 , vue du r´ef´erentiel R0 , pour un point anim´e d’une vitesse u par rapport au r´ef´erentiel R, est donn´ee par l’expression u0 =

Au + B u−v = Cu + D u C/A + 1

Donc l’invariance de la vitesse de la lumi`ere impose la condition restrictive suppl´ementaire suivante : c=

c−v v =⇒ C = −A 2 c C/A + 1 c

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Mecanique 1  

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