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Cin´ ematique relativiste

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On dispose d’un exemple simple d’une telle situation lorsque la loi de transformation est de la forme t0 = At2 , o` u A d´esigne une constante. Des impulsions lumineuses produites aux instants t = 1, 2, 3 dans le r´ef´erentiel R sont observ´ees aux instants t0 = A, 4A, 9A dans le r´ef´erentiel R0 . Or le choix que l’on fait de l’origine du temps ne devrait en rien affecter le comportement physique du dispositif utilis´e. Si la transformation qui lie les coordonn´ees et les temps associ´es aux deux r´ef´erentiels n’´etait pas affine, les intervalles de temps deviendraient d´ependants du choix de l’origine de l’´echelle du temps, ce qui n’est pas acceptable. Consid´erons maintenant les coordonn´ees qui sont orthogonales `a la vitesse relative des deux r´ef´erentiels (fig. 1.44). Montrons que pour ces coordonn´ees on peut toujours imposer les conditions y 0 = y ; z 0 = z. Pour s’en convaincre imaginons disposer d’un r´eseau form´e de barreaux servant d’´etalons de longueur, align´es l’un suivant l’autre et orient´es selon la direction fix´ee par l’axe Oy. Le mˆeme dispositif est alors r´ep´et´e translat´e selon les mˆemes intervalles r´eguliers par rapport ` a l’axe Ox. On obtient ainsi un r´eseau de points ´equidistants form´es de carr´es adjacents. Imaginons encore qu’un r´eseau similaire est attach´e au r´ef´erentiel R0 en mouvement de translation uniforme par rapport au r´ef´erentiel R. Si, ´etant plac´e dans le r´ef´erentiel R0 , on ´etait amen´e `a conclure que l’´etalon de longueur dans le r´ef´erentiel R est plus court que celui du r´ef´erentiel R0 que l’on occupe, alors on est contraint d’en conclure que l’inverse, lorsqu’on ´echange les rˆ oles des r´ef´erentiels, est ´egalement vrai. On est ainsi conduit `a une contradiction. Il est donc n´ecessaire que les longueurs des ´etalons co¨ıncident. Le caract`ere de transformation affine impos´ee `a la transformation de Lorentz nous am`ene donc ` a postuler en toute g´en´eralit´e une loi de transformation de la forme x0 = Ax + Bt y0 = y z0 = z (1.68) t0 = Cx + Dt Dans ces derni`eres relations il est bien sˆ ur sous-entendu que les coefficients A, B, C, D d´ependent de la vitesse v du r´ef´erentiel R0 relativement au r´ef´erentiel R (conventionnellement d´esign´e comme ´etant immobile ; fig. 1.44). Dans les relations (1.68), l’origine O0 , de coordonn´ee x0 = 0, attach´ee au r´ef´erentiel R0 occupe la position x = 0 `a l’instant t = 0 relativement au r´ef´erentiel R. La vitesse avec laquelle cette origine O0 se d´eplace relativement `a ce r´ef´erentiel R est v. Selon les relations (1.68) la vitesse de d´eplacement de x l’origine O0 vaut xt = − B A . Or cette vitesse doit avoir la valeur t = v et par cons´equent : B = −vA (1.69) Consid´erons maintenant l’inverse de la transformation (1.68). Elle se d´etermine ais´ement. Posons d’abord ∆ = AD − BC

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Mecanique 1  
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