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Mouvement quelconque du solide

1.21 1.21.1

Mouvement quelconque du solide

Equations d’Euler

21.1

Il s’agit ici de d´evelopper une description math´ematique des effets gyroscopiques dont on verra aussi une analyse qualitative `a la section 2.21. On veut donc expliciter les ´equations d’´evolution pour le moment cin´etique en termes de ses projections sur le rep`ere d’inertie li´e au solide. Concr`etement, on veut expliciter dLG /dt = M ext u G est le centre de G o` masse. Le moment cin´etique s’obtient avec LG = IG ω o` u IG est le tenseur d’inertie (§ 1.19.2). En g´en´eral, on ne connaˆıt que les moments d’inertie par rapport aux axes principaux d’inertie. Par cons´equent, on projette les grandeurs  vectorielles dans un rep`ere d’inertie G, εˆ1 , εˆ2 , εˆ3 li´e au solide (fig. 1.39). x3

O

G

x2

εˆ3

εˆ2 x1 εˆ1

Fig. 1.39 R´ef´erentiel et solide quelconque avec un rep`ere d’inertie.

Ainsi, il vient LG = L1 εˆ1 + L2 εˆ2 + L3 εˆ3 = I1 ω1 εˆ1 + I2 ω2 εˆ2 + I3 ω3 εˆ3 On pourrait ´ecrire : 

  L1 I1 L2  =  0 L3 0

0 I2 0

    0 ω1 I1 ω1 0  ω2  = I2 ω2  I3 ω3 I3 ω3

Le danger de cette notation est le risque d’oublier que le rep`ere n’est pas immobile ! Pour calculer la d´eriv´ee par rapport au temps du moment cin´etique, il faut explicitement invoquer celle des vecteurs unit´es : dLG = I1 ω˙ 1 εˆ1 + I2 ω˙ 2 εˆ2 + I3 ω˙ 3 εˆ3 + I1 ω1 εˆ˙1 + I2 ω2 εˆ˙2 + I3 ω3 εˆ˙3 dt Le rep`ere (G, εˆ1 , εˆ2 , εˆ3 ), parce qu’il est li´e au solide, subit une rotation de vitesse angulaire : ω = ω1 εˆ1 + ω2 εˆ2 + ω3 εˆ3 . Les relations de Poisson (1.8) donnent εˆ˙1 = −ω2 εˆ3 + ω3 εˆ2 εˆ˙2 = −ω3 εˆ1 + ω1 εˆ3 εˆ˙3 = −ω1 εˆ2 + ω2 εˆ1

Mecanique 1  
Mecanique 1