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Les fondements de la m´ ecanique

Exemple 1.5 Le pendule physique Un objet de forme quelconque, pesant, de masse M , oscille autour d’un axe horizontal (fig. 1.38). Soit O un point de l’objet qui est sur l’axe et G le centre de masse ` a une distance ` de O. θ (dessin´e comme ayant une valeur positive) d´ecrit l’oscillation du pendule. O

^ z

θ  G Vα

mα g

Fig. 1.38 Choix des axes et des coordonn´ees pour le pendule physique.

Prenons l’axe Oz sur l’axe du pendule, avec une direction positive donn´ee ˆ vers l’arri`ere de la figure. Alors, une composante positive de ω corpar z ˙ Le th´eor`eme du moment cin´etique projet´e respond ` a θ˙ < 0 donc ω = −θ. sur l’axe fixe devient −I∆ θ¨ = M g` sin θ Le mod`ele du pendule math´ematique revient `a poser que le solide au bout du fil est si petit que l’on peut faire l’approximation I∆ ≈ M `2 , et l’´equation du mouvement dans cette limite est bien celle du pendule math´ematique.

Exemple 1.6 Le treuil L’axe d’un treuil est fixe. On suppose que le centre de masse G est sur l’axe et le moment d’inertie IG est connu. Un seau d’une masse m est suspendu a une corde sans masse enroul´ee autour du treuil. Soit u ` ˆ le vecteur unit´e parall`ele ` a l’axe du treuil. Le syst`eme comprenant le treuil et le seau est sujet ` a un moment en G des forces ext´erieures M ext ˆ. Le moment G = mgR u cin´etique en G du syst`eme est la somme du moment cin´etique du solide et de celui du seau. Ainsi l’´equation du mouvement pour la vitesse angulaire du treuil ω est : IG ω˙ + mR2 ω˙ = Rmg (1.59)

Application

Dans cette classe de probl`emes o` u le solide a un axe de rotation fix´e dans le r´ef´erentiel, le moment cin´etique s’exprime en fonction du moment d’inertie du solide pour cet axe. A la section 2.20, on montre comment calculer un tel moment d’inertie pour quelques formes ´el´ementaires.

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Mecanique 1  

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