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Les fondements de la m´ ecanique

Applications

La dynamique du solide ind´eformable fait intervenir de fa¸con syst´ematique son moment cin´etique. Or, ce dernier peut ˆetre d´efini en un point de l’espace qu’on choisit. Par cons´equent, il est important de clarifier comment le moment cin´etique et les lois d’´evolution sont modifi´es quand on change ce point de r´ef´erence, ce qui est fait en d´etail `a la section 2.19.

1.20 20.1

1.20.1

Solide avec un axe fixe

Moment d’inertie par rapport `a un axe

On consid`ere le cas particulier o` u un point C est soit un point fixe du solide ou le centre de masse G. Soit ω la vitesse angulaire du solide. On se propose de ne prendre en compte ici que la projection du moment cin´etique du solide sur l’axe ∆ d´efini par ω. En appliquant la d´efinition du moment cin´etique en un tel point C qui est ` a la fois un point du r´ef´erentiel et un point du solide, on peut ´ecrire compte tenu de la formule (2.1) X LC = mα CPα ∧ (ω ∧ CPα ) α

=

X

mα (CPα · CPα )ω − (CPα · ω)CPα



α

La projection se calcule par produit scalaire de LC avec le vecteur unit´e Il vient ainsi    X ω ω 2 LC · = ω mα CPα · CPα − CPα · ω ω α

ω ω.

On reconnaˆıt dans la somme le carr´e de la distance dα du point mat´eriel Pα `a l’axe ∆ (fig. 1.36). On a ω LC · = IC∆ ω (1.56) ω o` u la grandeur IC∆ est appel´ee le moment d’inertie du solide par rapport `a l’axe ∆ contenant C, avec X IC∆ = mα d2α (1.57) α

axe D w –– w C

da Pa

Fig. 1.36 Distance a ` l’axe d’un point Pα .

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Mecanique 1  

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