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Dynamique du solide

On peut ´ecrire IG33 =

X

mα d2α

avec d2α = GPα,1 GPα,1 + GPα,2 GPα,2

α

d2α

est le carr´e de la distance `a l’axe 3 (fig. 1.35). y3

GPα

G dα

y2

y1

Fig. 1.35 Distance d’un point Pα a ` l’axe 3.

1.19.3

Energie cin´etique de rotation

Souvent dans la pratique, on a besoin de calculer l’´energie cin´etique d’un solide en rotation autour d’un axe fixe. La proposition suivante fournit le r´esultat. Proposition 1.24 L’´energie cin´etique d’un solide en rotation ` a la vitesse angulaire ω autour d’un axe fixe du solide est donn´ee par 1 E cin = I∆ ω 2 (1.54) 2 o` u I∆ est le moment d’inertie du solide pour cet axe, donn´e par X I∆ = mα d2α (1.55) α

Les dα sont les distances des masses mα `a l’axe (fig. 1.35). ´monstration. Pour une rotation d’axe fixe, chaque masse mα suit un De mouvement circulaire de rayon dα `a la vitesse angulaire ω. Donc sa vitesse scalaire vaut dα ω. L’´energie cin´etique s’obtient en sommant les ´energies cin´etiques de chaque masse mα , ce qui donne le r´esultat annonc´e. L’´energie cin´etique de rotation d’un solide peut prendre des valeurs ´enormes, ce qui est mis ` a profit techniquement (sect. 3.11). Il est possible d’exprimer l’´energie cin´etique d’un solide dans un mouvement quelconque en termes de son tenseur d’inertie, sa vitesse angulaire et la vitesse d’un point A du solide (voir probl`eme 5.32). E cin =

1 1 M V A2 + M V A · (ω ∧ AG) + ω · I A ω 2 2