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Les fondements de la m´ ecanique

y3 y2

P

x3 A

O

y1

x2

x1

Fig. 1.34 R´ef´erentiel absolu Ox1 x2 x3 , ; Ay1 y2 y3 li´e au solide, P quelconque.

´monstration. On a la relation vectorielle : OP = OA + AP . Pour De d calculer la vitesse de tout point P du solide, on exprime : V (P ) = dt OP , donc V (P ) =

d d OA + AP dt dt

On prend note que le vecteur y = AP appartient au solide, il est fixe dans le solide. Le vecteur y ne d´epend du temps que par son orientation par rapport au r´ef´erentiel. Il ne change pas de module puisqu’il appartient au solide et que celui-ci est d´eclar´e ind´eformable. Pour la d´eriv´ee de y = AP , on ´ecrit explicitement ses composantes sur le rep`ere A y ˆ1 , y ˆ2 , y ˆ3 li´e au solide et on applique les relations de Poisson : ! X dˆ d X y V (P ) = V (A) + yi y ˆi = V (A) + yi i dt dt i i X X  = V (A) + yi ω ∧ y ˆi = V (A) + ω ∧ yi y ˆi i

i

Remarque. Comme la cin´ematique de tout point du solide est celle de tout point d’un r´ef´erentiel li´e ` a ce solide, les trois propri´et´es suivantes du vecteur de vitesse angulaire ω ont d´ej`a ´et´e obtenues dans la description du mouvement relatif : •

ω est le mˆeme pour tout point P du solide.

ω est ind´ependant du choix de A.

ω est ind´ependant du choix des axes et des angles.

Proposition 1.19 Acc´el´eration d’un point du solide. a(P ) = a(A) + ω ˙ ∧ AP + ω ∧ ω ∧ AP



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Mecanique 1  

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