Page 49

Syst` emes de point mat´ eriels, lois de conservation

45

´monstration. Il suffit de sommer les expressions du th´eor`eme du moDe ment cin´etique et de la deuxi`eme loi de Newton appliqu´ees `a chaque point mat´eriel. La troisi`eme loi de Newton implique X X X X Fα = F ext et OPα ∧ F α = OPα ∧ F ext α α α

α

α

α

Ces deux th´eor`emes jouent un rˆole central en m´ecanique. En dynamique du solide ind´eformable, en particulier, ces deux th´eor`emes constituent la base th´eorique qui fournira les ´equations du mouvement. La quantit´e de mouvement totale s’exprime tr`es simplement en fonction de la vitesse de son centre de masse, not´e V G . Proposition 1.14 Quantit´e de mouvement totale. MVG = P ´monstration. De

(1.38)

En d´erivant par rapport au temps (1.27), il vient : MVG =

X α

mα v α =

X

pα = P

α

Proposition 1.15 Th´eor`eme du centre de masse. M

X dV G = F ext α dt α

´monstration. Ce r´esultat s’obtient en d´erivant par rapport au temps De (1.38) et en invoquant (1.36). Le centre de masse apparaˆıt alors comme un point mat´eriel de masse M auquel toutes les forces ext´erieures exerc´ees sur le syst`eme (en diff´erents points du syst`eme) lui seraient appliqu´ees (directement). Le th´eor`eme du centre de masse est tr`es utilis´e en m´ecanique, en particulier pour le cas du solide ind´eformable. Toutefois, on verra avec la m´ecanique du solide ind´eformable, qu’il ne signifie pas que le solide se comporte comme si toutes les forces sont appliqu´ees au centre de masse. Le point d’application de la force importe dans la dynamique du solide ! 1.17.4

Principes de conservation

La g´en´eralisation de la troisi`eme loi de Newton permet d’annoncer les deux principes de conservation suivants. Proposition 1.16 Un syst`eme isol´e, c’est-` a-dire libre de forces ext´erieures, poss`ede une quantit´e de mouvement totale et un moment cin´etique total constants.

Profile for PPUR - EPFL Press

Mecanique 1  

Mecanique 1