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Les fondements de la m´ ecanique

Proposition 1.3 Crit`ere d’existence du potentiel. La condition n´ecessaire et suffisante pour qu’il existe un potentiel associ´e a ` une force F donn´ee est que le travail sur tout chemin ferm´e (une boucle) est nul : I F · dr = 0 ´monstration. Comme V (r) est d´efini comme un travail pour aller de r De a une position de r´ef´erence, il faut que le travail de la force pour aller d’un point ` a un autre ne d´epende pas du chemin, mais seulement des point de d´epart et ` d’arriv´ee. Si l’int´egrale sur toute boucle est nulle, toutes les variantes dans le calcul du travail de la force pour aller d’un point `a un autre donnent le mˆeme (4) r´esultat . Le travail ne d´epend effectivement que des deux positions donn´ees. Dans les situations simples discut´ees dans une introduction `a la m´ecanique, l’intuition suffit ` a se convaincre de l’existence du potentiel ou pas. Il est facile de voir par exemple que la pesanteur satisfait cette condition. Ce n’est pas le cas d’une force de frottement, bien ´evidemment. Si le potentiel existe, il suffit d’op´erer une int´egration sur un chemin particulier pour trouver le potentiel, connaissant la force. On appelle force conservative une force pour laquelle un tel potentiel existe. Proposition 1.4 Conservation de l’´energie. Si toutes les forces sont conservatives, la grandeur E =T +V (1.11) est une constante du mouvement. ´monstration. De Z2 W12 =

F · dr = 1

Z2

Zrs F · dr + 1

F · dr = V1 − V2 rs

et le th´eor`eme de l’´energie cin´etique donne T2 − T1 = V1 − V2 d’o` u T2 + V2 = T1 + V1 . On conviendra d’appeler ´ energie m´ ecanique totale la quantit´e E = T + V . Cela pr´esuppose bien sˆ ur que V soit d´efini ! On appelle ´ energie potentielle la contribution V `a l’´energie du point mat´eriel. (4)

A titre indicatif, on notera que les math´ ematiques fournissent une condition ´ equivalente : rot F = ∇ ∧ F = 0.

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Mecanique 1  

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