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Pratique de la m´ ecanique

Int´eressons-nous maintenant `a la mesure de la longueur d’un barreau en d´eplacement ` a la vitesse v dans le r´ef´erentiel `a partir duquel on l’observe. Vu la complexit´e de la cin´ematique relativiste, en particulier vu le fait que deux ´ev´enements simultan´es par rapport `a un r´ef´erentiel ne le sont pas vu d’un autre r´ef´erentiel anim´e d’une vitesse non nulle par rapport au premier, il est indispensable de d´efinir clairement ce que l’on entend par la longueur d’un barreau en mouvement. Il doit s’agir d’une d´efinition qui fixe clairement la proc´edure ` a suivre mˆeme si la mesure n’est que virtuelle. La d´efinition de la longueur, et donc la proc´edure `a suivre pour en d´eterminer la valeur, est rendue significative `a l’aide de l’image suivante (fig. 2.84). Une fus´ee se d´eplace avec une vitesse v le long d’un barreau de longueur L immobile dans le r´ef´erentiel R du laboratoire. Dans ce r´ef´erentiel R les extr´emit´es du barreau occupent des postions de coordonn´ees a et b. On consid`ere alors les deux ´ev´enements que voici : Ev´enement A : la fus´ee passe au point de coordonn´ee a Ev´enement B : la fus´ee passe au point de coordonn´ee b v un barreau a

b

Fig. 2.84 Mesure de la longueur d’un barreau au repos dans le laboratoire faite par un observateur dans la fus´ee qui lui se d´eplace a ` la vitesse v par rapport au laboratoire.

Relativement au r´ef´erentiel R0 attach´e `a la fus´ee, les ´ev´enements A et B ont lieu au mˆeme endroit, donc le temps ´ecoul´e entre ces deux ´ev´enements est un temps propre τ . Par rapport au r´ef´erentiel R0 attach´e `a la fus´ee, le barreau se d´eplace avec une vitesse −v. Il faut donc attendre un temps τ pour voir passer successivement l’une puis l’autre des extr´emit´es du barreau. On appellera donc longueur du barreau en mouvement `a la vitesse v la grandeur L0 = vτ . Dans le r´ef´erentiel du laboratoire R, la dur´ee ∆t de l’intervalle de temps entre les deux ´ev´enements A et B vaut ∆t = Lv et la distance spatiale qui les s´eparent a pour valeur ∆x = L. L’invariance de l’intervalle permet alors d’´ecrire la relation : r 1p 2 1 L2 2 2 τ= c (∆t) − (∆x) = c2 2 − L2 c c v r r   2 2 L c L v = −1= 1− c v2 v c Par cons´equent la longueur du barreau, observ´ee depuis la fus´ee, a pour valeur r  v 2 0 L = vτ = L 1 − (2.98) c Un barreau est mesur´e plus court (« contract´e ») quand il est observ´e d’un r´ef´erentiel dans lequel il est en mouvement. Il faut toutefois ne pas perdre de vue le sens exact de la d´efinition de la mesure de cette longueur.

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Mecanique 1  

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