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Pratique de la m´ ecanique

Soit M la masse totale du tube. Il nous faut ´ecrire son volume. Comme e est tr`es petit devant R on peut admettre que la section du tube vaut 2πRe, soit la circonf´erence multipli´ee par l’´epaisseur. Le volume V s’´ecrit donc V = 2πReL Avec ρ =

M V ,

(2.89)

remplac´e dans l’´equation (2.88), on trouve finalement I = M R2

(2.90)

Moment d’inertie d’un cylindre plein

Etudions le moment d’inertie d’un cylindre plein de rayon R par rapport `a son axe (fig. 2.66).

R

dq dr

L

Fig. 2.66 Moment d’inertie, le cylindre.

Le moment d’inertie d’un cylindre (plein) peut facilement ˆetre calcul´e `a partir des r´esultats que l’on vient d’obtenir. En effet un cylindre peut ˆetre d´ecompos´e en une infinit´e de petits tubes concentriques (fig. 2.66). Le cylindre est de rayon R. Chaque petit tube a un rayon r, une ´epaisseur dr et un moment d’inertie dItube calcul´e de la mˆeme mani`ere que pour la partie pr´ec´edente. On a donc dItube = 2πρr3 drL (2.91) o` u on a utilis´e le r´esultat obtenu en (2.88). Le moment d’inertie total du cylindre s’exprimera donc par Z Icyl =

dItube

(2.92)

et l’int´egration se fera naturellement selon r variant de 0 `a R. Donc ZR Icyl =

2πρr3 drL

(2.93)

1 4 R πLρ 2

(2.94)

0

ce qui nous donne Icyl =

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Mecanique 1  

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