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Mouvements particuliers des solides

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´monstration. On consid`ere le mouvement d’un plan π1 parall`ele `a un De plan π0 du r´ef´erentiel. Soit A1 un point du plan π1 . Pour tout point P1 de π1 , on a v(P1 ) = v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 Si ω = 0, on a une translation. Si ω 6= 0, alors on peut toujours r´esoudre l’´equation suivante pour le centre instantan´e de rotation I10 : v(P1 ) = v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 = ω ∧ I 10 P 1  =⇒ v(A1 ) + ω ∧ A1 P 1 −I 10 P 1 = 0  =⇒ v(A1 ) + ω ∧ A1 I 10 = 0 On peut r´esoudre explicitement en projetant sur un syst`eme d’axes Oxyz de π0 , avec Oz normal au plan :

  

ˆı 0 x − xA

vx vx − ω(y − yA )

vy  + ˆ 0 y − yA = vy + ω(x − xA ) = 0

kˆ ω 0 0 0

Il vient alors pour les coordonn´ees du centre instantan´e de rotation : y=

vx + yA ω

x=−

vy + xA ω

Le lieu g´eom´etrique du centre instantan´e de rotation I10 dans le r´ef´erentiel fixe est appel´e la « base ». Le lieu g´eom´etrique de I10 en tant que point du solide, la « roulette ». On peut montrer que le mouvement a lieu comme si la roulette roulait sans glisser sur la base. Remarque. Une autre particularit´e du mouvement plan-sur-plan est la suivante. Trois plans parall`eles en mouvement les uns par rapport aux autres d´efinissent trois centres instantan´es de rotation. Ces trois points sont align´es. Cette propri´et´e est connue sous le nom de th´eor`eme de Kennedy (d´emonstration dans le probl`eme 5.31). Un roulement sans glissement est une rotation instantan´ee autour du point P du solide en contact avec le support utilis´e comme r´ef´erentiel. Par cons´equent, la vitesse de P doit ˆetre ´egale `a la vitesse u du support. En d’autres termes : v(P ) = V A + ω ∧ AP = u

Exemple 2.12 On peut d´evelopper un sens intuitif de ce roulement sans glissement en consid´erant la vitesse de tout point d’un cercle roulant sans glisser sur une droite immobile (fig. 2.58). En particulier, au point de contact, la vitesse

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Mecanique 1  

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