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Application des principes de conservation

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composante verticale du moment cin´etique est conserv´ee, la vitesse angulaire augmente. Exemple 2.11 Force centrale (fig. 2.55) Un point mat´eriel subit une force centrale s’il existe un point O du r´ef´erentiel tel qu’en tout temps la force soit dirig´ee vers ce point O. C’est le cas d’une plan`ete dans le champ de gravitation du Soleil. Cette d´efinition est d’importance ` a cause du probl`eme de Kepler, c’est-`a-dire du mouvement des plan`etes (sect. ??). Pour toute force centrale de centre O, on a, par d´efinition, F parall`ele `a OP donc dL0 /dt = OP ∧ F = 0. Le moment cin´etique L0 d´efini en O est une constante du mouvement.

r1

r2

F

Fig. 2.55 Mouvement circulaire, changement de rayon en supposant que le moment cin´etique est conserv´e.

Dans un auditoire, on peut imaginer le cas d’une masse sur une table `a air, reli´ee ` a un point O de la table par un fil de longueur variable (fig. 2.55). Lan¸cons la masse avec une longueur de fil fixe r1 , de fa¸con que la vitesse angulaire soit ω1 . La vitesse du point mat´eriel est donn´ee par v = ω ∧ r. Son moment cin´etique en O est donn´e par L0 = OP ∧ mv. La force est dans le sens du fil, donc centrale et, par cons´equent, le moment cin´etique est conserv´e. Le module du moment cin´etique vaut |L0 | = mr12 ω1 . Changeons la longueur du fil de mani`ere que le rayon du cercle d´ecrit passe de r1 `a r2 . La conservation du moment cin´etique implique mr12 ω1 = mr22 ω2

Mise en contexte

L’id´ee d’´ejecter de la masse pour obtenir une pouss´ee a donn´e lieu `a des d´eveloppements modernes pour la propulsion (sect. 3.17).

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Mecanique 1  

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