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Mouvements ` a la surface de la Terre

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obtenue dans le rep`ere (A, x ˆ, y ˆ, zˆ), en utilisant l’angle de latitude ϕ au lieu de la co-latitude λ et en n´egligeant toutes les corrections d’ordre ω 2 . On a       −ω cos ϕ x˙ 0  0 ω= v rel (P ) =  y˙  g= 0  ω sin ϕ z˙ −g

 

x

−2yω ˙ sin ϕ

ˆ −ω cos ϕ x˙

ˆ 0 y˙

=  2xω ˙ sin ϕ + 2zω ˙ cos ϕ  2ω ∧ v rel (P ) = 2

y

zˆ ω sin ϕ z˙

−2ω cos ϕy˙ Les ´equations du mouvement sont ainsi : x ¨ = +2yω ˙ sin ϕ

(2.60)

y¨ = −2zω ˙ cos ϕ − 2xω ˙ sin ϕ

(2.61)

z¨ = +2ω cos ϕy˙ − g

(2.62)

On peut int´egrer (2.60) :  x(t) ˙ − x(0) ˙ = +2 y(t) − y(0) ω sin ϕ |{z} |{z} =0

=0

x˙ = +2ω sin ϕy L’´equation (2.62) fournit  z(t) ˙ − z(0) ˙ = +2ω cos ϕ y(t) − y(0) − gt |{z} |{z} v0

=0

c’est-` a-dire : z˙ = v0 − gt + 2ω cos ϕy. On peut substituer ces expressions de x˙ et z˙ dans (2.61) : y¨ = −2[v0 − gt + 2ω cos ϕy]ω cos ϕ − 2[2ω sin ϕy]ω sin ϕ c’est-` a-dire : y¨ = −2ω cos ϕ(v0 − gt) − 4ω 2 y. Comme on n´eglige tous les termes 2 en ω , on a en premi`ere approximation : y¨ ' −2ω cos ϕ(v0 − gt) Cette approximation est un exemple de calcul de perturbation au premier ordre. Cette m´ethode permet d’int´egrer simplement, compte tenu des conditions initiales :   1 1 y(t) = −2ω cos ϕ v0 t2 − gt3 2 6 On a trouv´e y(t), qui repr´esente une d´eviation de la verticale, non nulle, de l’ordre de grandeur de ω. On peut alors la substituer dans l’expression de z. ˙ Il apparaˆıt un terme en ω 2 qui doit ˆetre n´eglig´e pour maintenir la coh´erence des approximations :   1 1 z˙ = v0 − gt − 4ω 2 cos2 ϕ v0 t2 − gt3 2 6 | {z } n´ eglig´ e

Mecanique 1  
Mecanique 1