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Exemples de r´ ef´ erentiels acc´ el´ er´ es

Appelons R la composante de la force de liaison normale au plan et T la traction du fil du pendule. Les ´equations du mouvement s’obtiennent apr`es avoir projet´e la pesanteur :     −`φ˙ 2 − ω 2 ` sin2 φ mg cos φ − T m `φ¨ − ω 2 ` sin φ cos φ =  −mg sin φ  ˙ cos φ R −2ω φ` Ces ´equations auraient pu ˆetre obtenues plus directement en utilisant les coordonn´ees sph´eriques dans le r´ef´erentiel absolu. C’est bien ce qu’il faut : si nous utilisons les mˆemes coordonn´ees pour deux visions, nous devons trouver le mˆeme r´esultat. (Attention : en coordonn´ees sph´eriques notre ω serait un −φ˙ et notre φ serait le θ des coordonn´ees sph´eriques.) Exemple 2.10 Cin´ematique dans la perspective du mouvement relatif Il y a des termes de l’acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques qui sont identifiables ` a l’acc´el´eration centrip`ete et `a l’acc´el´eration de Coriolis du mouvement relatif. z

ez ρ eφ P eρ v

ez ex O φ

x

y

ey

u

Fig. 2.45 Le rep`ere des coordonn´ees cylindriques vu comme un r´ef´erentiel relatif !

 Le rep`ere  O, x, y, z est ici consid´er´e comme r´ef´erentiel absolu, le rep`ere O, u, v, z comme r´ef´erentiel en rotation qui suit le point P (fig. 2.45). Le ˙ z. vecteur de vitesse angulaire est donc ω = φe Exprimons la vitesse et l’acc´el´eration du point P dans le r´ef´erentiel (O, u, v, z) en utilisant le formalisme du mouvement relatif :   ˙ z ∧ ρˆ v a (P ) = v r (P ) + Ω ∧ OP = ρˆ ˙ u + z˙ zˆ + φe u + z zˆ ˙ v = ρe ˙ φ + z˙ zˆ = ρˆ ˙ u + z˙ zˆ + ρφˆ ˙ ρ + ρφe

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Mecanique 1  

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