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Pratique de la m´ ecanique

Il vient ainsi une constante du mouvement, l’´energie m´ecanique (1.11) : E=

 K 1 1 1 L2 K m r˙ 2 + r2 θ˙2 − = mr˙ 2 + − 2 2 r 2 2 mr r

(2.48)

Des ´equations du mouvement, il est possible de tirer une ´equation diff´erentielle pour la trajectoire. L’´equation du mouvement (2.46), compte tenu de la conservation du moment cin´etique, s’´ecrit : m¨ r−

L2 −K = 2 mr3 r

On op`ere un changement de variable : q = 1r . Par diff´erentiation, les expressions suivantes sont obtenues : −1 dq ˙ dq L dq θ = −r2 θ˙ =− q 2 dθ dθ m dθ L d2 q ˙ L d2 q L L2 2 d2 q r¨ = − θ = − = − q m dθ2 m dθ2 mr2 m2 dθ2 r˙ =

En substituant dans l’´equation du mouvement, il vient d2 q Km +q = 2 2 dθ L Cette ´equation diff´erentielle est de la forme de celle de l’oscillateur harmonique. Elle a donc une solution g´en´erale de la forme q=

1 Km = 2 + C cos(θ + θ0 ) r L

(2.49)

On peut poser C > 0 sans perte de g´en´eralit´e. C’est l’´equation d’une conique (ellipse, parabole ou hyperbole) dont O est le foyer. Les deux valeurs extr´emales de r sont n´ecessairement donn´ees par 1 Km = 2 +C r1 L

1 Km = 2 −C r2 L

Si C > Km/L2 , il n’y a qu’un seul extremum, car r ne peut pas ˆetre n´egatif. L’orbite est une hyperbole. Si C < Km/L2 , il s’agit d’une ellipse et si C = Km/L2 , il s’agit d’une parabole. Une discussion qualitative permet d’identifier efficacement ces diff´erents r´egimes (probl`eme 5.22), sans avoir recours `a une int´egration comme ici. La d´erivation ci-dessus aurait pu ˆetre conduite dans l’ordre inverse. On aurait dit que l’orbite est une ellipse (2.49) avec l’´equation horaire donn´ee par (2.45). On aurait alors trouv´e pour cette ´equation horaire une ´equation du mouvement avec un terme en K/r2 . Kepler avait ´egalement remarqu´e que le rapport du carr´e de la p´eriode de l’orbite et du cube de son demi axe avait la mˆeme valeur pour toutes les

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Mecanique 1  

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