Page 123

Loi de la gravitation de Newton

119

la m´ecanique rationnelle, pr´esente des mesures de collision entre des sph`eres m´etalliques [23], [24].

Mise en contexte

Dans ce qui suit, on montre comment les observations de Kepler pr´esent´ees dans leur contexte historique `a la section 3.12 permettent d’aboutir `a la loi de la gravitation universelle de Newton.

2.13

Loi de la gravitation de Newton

Kepler avait analys´e les donn´ees astronomiques de son maˆıtre qui avait soi- 13.2 gneusement mesur´e l’orbite de plan`etes orbitant autour du Soleil. Kepler en avait ainsi d´eduit en particulier ce qu’il avait appel´e « la loi des aires », qui revient ` a exprimer la conservation du moment cin´etique (sect. 3.12). Pour exploiter ce r´esultat, on exprime le moment cin´etique en coordonn´ees cylindriques (r, θ, z) d´efinies dans le plan de l’orbite d’une plan`ete, en prenant l’origine O sur le Soleil :  ˙ θ = mr2 θe ˙ z = Lez LO = mrer ∧ re ˙ r + rθe (2.44) avec

L = mr2 θ˙

(2.45)

et ez le vecteur unitaire normal au plan de l’orbite. On exprime aussi les ´equations du mouvement en coordonn´ees cylindriques. On montre ici qu’une force d’attraction centrale de magnitude −K/r2 (K > 0) implique que les orbites sont elliptiques (deuxi`eme loi de Kepler). Comme cette force est centrale, le moment cin´etique LO est forc´ement conserv´e. Par cons´equent, le mouvement a lieu dans un plan perpendiculaire `a LO . Les ´equations du mouvement en coordonn´ees cylindriques (avec z = 0) sont  −K m r¨ − rθ˙2 = 2 r  ¨ ˙ m rθ + 2r˙ θ = 0

(2.46) (2.47)

L’´equation du mouvement (2.47) est ´equivalente `a la conservation du moment cin´etique L. Il suffit de d´eriver L = mr2 θ˙ par rapport au temps pour le constater. L’´equation du mouvement (2.46) peut s’int´egrer une fois en multipliant par r˙ et en rempla¸cant θ˙ par son expression en termes de L et r. Il apparaˆıt alors des termes qui s’identifient tout de suite comme des d´eriv´ees par rapport au temps :  L2 r˙  −K r˙ m r¨ ˙ r − rr˙ θ˙2 = m r¨ ˙r − 2 3 = m r r2   d 1 2 L2 K mr˙ + − =0 dt 2 2mr2 r

Mecanique 1  
Mecanique 1