Page 121

Analyse de collisions

C’est une ´equation du deuxi`eme degr´e en p1f dont les solutions sont (   1/2 ) p1f v1f m1 m22 2 = = cos θ1 ± cos θ1 − 1 − 2 p1i v1i m1 + m2 m1

117

(2.43)

Si v1i est donn´e (avec v2i = 0), on trouve ainsi une relation entre le module v1f de la vitesse finale de la particule 1, l’angle final de d´eviation θ1 et la vitesse initiale v1i . Pour d´eterminer θ1 et v1f , il faut encore l’information sur le d´etail de la force d’interaction. On en verra un exemple avec la force de la gravitation. On peut obtenir une propri´et´e particuli`ere quand les masses sont ´egales. La conservation de la quantit´e de mouvement fournit alors v 1i = v 1f + v 2f et la conservation de l’´energie cin´etique devient v 21i = v 21f + v 22f . En faisant le produit scalaire de la premi`ere ´equation avec elle-mˆeme, compte tenu de la deuxi`eme, il vient : 0 = v 1f · v 2f = v1f v2f cos(θ1 + θ2 ). Alors, soit une des deux vitesses est nulle, c’est le cas colin´eaire ´etudi´e ci-dessous, soit le cosinus est nul, donc θ1 + θ2 = π2 . On observe cette solution dans le cas de choc entre boules de billard, pour autant que la vitesse de la boule incidente ne soit pas dirig´ee vers le centre de la boule immobile. Si l’on impose en plus que les points mat´eriels sont astreints `a se d´eplacer sur une ligne droite, c’est-` a-dire θ1 = 0 alors il vient de (2.43) : s ( ) v1f m1 m21 − m22 m1 − m2 = 1± 1− = 1 ou v1i m1 + m2 m21 m1 + m2 Si v1f = v1i alors v2f = 0. Cela revient `a dire qu’il n’y a pas de collision. Ce sont les manipulations alg´ebriques qui ont introduit cette solution triviale. Retravaillons l’´equation de l’´energie cin´etique (2.42) pour trouver v2f en fonction de v1i dans ce cas : 1 1 1 2 2 2 m1 v1i = m1 v1f + m2 v2f 2 2 2!   2 v1f m1 2 m1 2 (m1 − m2 )2 2 v2f = v 1− 2 = v 1− m2 1i v1i m2 1i (m1 + m2 )2 D’o` u on tire v2f =

2m1 v1i (m1 + m2 )

Si m1 = m2 , alors v1f = 0 et v2f = v1i . C’est le r´esultat observ´e lors des exp´eriences avec le banc ` a air et des chocs ´elastiques. Si m1  m2 , c’est-`a-dire si m2 est pratiquement comme un mur, alors v2f = 0 (le mur ne bouge pas) et v1f = −v1i . Cela veut dire que m1 rebondit avec la mˆeme vitesse scalaire |v|. Remarque. Lorsqu’on joue du billard, on peut observer des ph´enom`enes qui n´ecessitent une description qui sort du cadre de la m´ecanique du point mat´eriel. Un professionnel peut imposer des trajectoires incurv´ees obtenues par la rotation des boules de billard. Il s’agit donc d’exp´eriences o` u les billes ne peuvent pas ˆetre mod´elis´ees par des points mat´eriels.

Mecanique 1  
Mecanique 1