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Pratique de la m´ ecanique

2.12 12.2

2.12.1

Analyse de collisions

Collision ´elastique

Quand, dans l’analyse d’une collision, on ajoute `a la conservation de la quantit´e de mouvement celle de l’´energie cin´etique (collision ´elastique), alors l’ensemble des ´etats finals possibles est consid´erablement restreint. Examinons la collision ´elastique de deux points mat´eriels de masses m1 et m2 (fig. 2.33). Initial

Final

y

12.3

p1i

m1

p2i = 0

m1

p1f

y

θ1

x

m2

x

θ2 m2 p2f

Fig. 2.33 Etat initial et ´etat final, d´efinition des angles.

Prenons pour r´ef´erentiel celui o` u m2 est `a l’arrˆet avant le choc. L’analyse porte sur l’´etat du mouvement des deux particules bien avant (´etat initial) et bien apr`es la collision (´etat final), quand elles sont libres de force. La conservation de la quantit´e de mouvement et de l’´energie cin´etique s’´ecrit : p1i + p2i = p1f + p2f T1i + T2i = T1f + T2f Les indices i et f se r´ef`erent aux ´etats initial et final. En projetant sur les axes x et y du r´ef´erentiel, on obtient le syst`eme d’´equations : p1i = p1f cos θ1 + p2f cos θ2

(2.40)

0 = p1f sin θ1 − p2f sin θ2

(2.41)

p21i 2m1

=

p21f 2m1

+

p22f 2m2

Elevons au carr´e les ´equations (2.40) et (2.41) : (p1i − p1f cos θ1 )2 = p22f cos2 θ2  p21f sin2 θ1 = p22f 1 − cos2 θ2 Eliminons θ2 :

(p1i − p1f cos θ1 )2 = p22f − p21f sin2 θ1

Eliminons p2f avec (2.42) :     m2 m2 p21f 1 + − 2p1i p1f cos θ1 + p21i 1 − =0 m1 m1

(2.42)

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Mecanique 1  

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