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Pratique de la m´ ecanique

c’est-` a-dire quand |ω0 − ω|(ω0 + ω) = (ω/τ ). Dans l’approximation des amortissements faibles, on a ∆ω2ω0 ∼ = (ω0 /τ ). Il vient ainsi 2∆ω =

1 τ

(2.35)

o` u 2∆ω est la largeur ` a mi-hauteur de la raie repr´esentant l’absorption P en fonction de la fr´equence appliqu´ee. Compte tenu de (2.39) et (2.38), il vient Q=

ω0 2∆ω

(2.36)

Mise en contexte

Il y a une r´esonance qui appartient au domaine courant : celle d’une corde vibrante. Toutefois, comme on le montre `a la section 3.10, ce syst`eme m´ecanique donne lieu ` a une ´equation du mouvement consid´erablement plus complexe, car elle fait intervenir des d´eriv´ees partielles.

2.11 11.2

Aspects ´energ´etiques de l’oscillateur harmonique

La discussion suivante compl`ete la description de la ph´enom´enologie de l’oscillateur harmonique. On consid`ere ` a nouveau la solution (2.18) de l’oscillateur harmonique, mais sans amortissement : x = C cos(ω0 t + Φ) x˙ = −Cω0 sin(ω0 t + Φ) L’´energie cin´etique vaut T =

1 1 mx˙ 2 = mC 2 ω02 sin2 (ω0 t + Φ) 2 2

L’´energie potentielle est le travail effectu´e pour amener la masse de la position x ` a la position 0, la position de repos du ressort. L’´energie potentielle d’un ressort de constante k, d’´elongation x, vaut donc V (x) =

1 2 kx 2

L’´energie totale E = T + V vaut ainsi E = 12 mC 2 ω02 . On note que l’´energie E est ind´ependante du temps. En revanche, s’il y a amortissement, la grandeur E = 12 mx˙ 2 + 12 kx2 d´epend du temps. En effet avec x = e−γt C cos(ω1 t + Φ) on a  x˙ = C e−γt −γ cos(ω1 + Φ) − ω1 sin(ω1 t + Φ) Le premier terme est n´egligeable pour un syst`eme faiblement amorti : γ  ω0 . Alors   1 1 1 1 mx˙ 2 + kx2 ∼ mC 2 ω12 sin2 (ω1 t + Φ) + kC 2 cos2 (ω1 t + Φ) e−2γt = 2 2 2 2

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Mecanique 1  

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