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Pratique de la m´ ecanique

Ecrivons z0 sous la forme z0 = ρ eiφ . Nous aurons alors x(t) = ρ cos(ωt + φ) o` u l’amplitude ρ est le module de z0 donn´ee par α0 ρ = r 2  (ω/τ )2 + ω02 − ω 2 La phase φ est donn´ee par Im(z0 ) −ω/τ = 2 Re(z0 ) ω0 − ω 2

tg(φ) = ou sin φ = r

−ω/τ (ω/τ )2 + ω02 − ω 2

2 

L’amplitude ` a la fr´equence ω = ω0 , est donn´ee par ρ(ω = ω0 ) = α0 τ /ω0 . Le d´ephasage vaut alors − π2 . L’amplitude `a la fr´equence nulle (force constante) est ρ(ω = 0) = α0 /ω02 . Le rapport des amplitudes vaut ρ(ω = ω0 ) = ω0 τ ρ(ω = 0)

(2.32)

Cette ´equation montre que si on excite un syst`eme faiblement amorti (τ  1/ω0 ) ` a la r´esonance, on obtient une amplitude bien plus grande que si on le sollicite de fa¸con statique. Plus l’amortissement est faible, plus τ est grand et plus grande est l’amplitude de l’oscillation obtenue (fig. 2.31). C’est ce qu’on observe avec le pendule (fig. 2.27) dont l’amplitude dans l’air est tellement plus grande que dans l’eau. 12 10 w0t = 10

8 6

w0t = 4

4 2 0

wt = 2 0

0.2

0.4

0.6

0.8 w/w0

1

1.2

1.4

1.6

Fig. 2.31 Amplitude de l’oscillateur harmonique amorti en fonction de la fr´equence d’excitation. L’amplitude est normalis´ee a ` l’amplitude a ` fr´equence nulle. La fr´equence est normalis´ee a ` la fr´equence ω0 de l’oscillateur sans amortissement.

Ce r´esultat g´en´eralise une exp´erience de la vie courante : on peut gagner en hauteur en sautant d’un plongeoir au bon rythme. On n’arrive `a une hauteur maximale qu’apr`es un nombre de sauts voisin du nombre d’oscillations de la planche libre pendant lesquelles l’amplitude diminue fortement.

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Mecanique 1  

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