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Pendule math´ ematique plan

Mise en contexte

Dans la section qui suit, on va traiter le probl`eme du pendule. On raconte que Galil´ee avait m´edit´e sur les oscillations d’un pendule et avait conclu que la force de la pesanteur devait ˆetre proportionnelle `a la masse. Cette masse est-elle la mˆeme que celle que nous avons rencontr´ee dans la d´efinition de la quantit´e de mouvement ? (Nous verrons cette question `a la section 3.8.)

2.9

Pendule math´ematique plan

On consid`ere un pendule mod´elis´e comme un point mat´eriel astreint `a se d´eplacer sur un cercle dans un plan vertical et soumis `a la pesanteur (fig. 2.23). On appelle ce mod`ele le pendule math´ ematique plan. La description g´eom´etrique de la liaison nous dispense d’´ecrire s’il y a une barre sans masse reliant le point mat´eriel et le point d’attache ou si le point mat´eriel se d´eplace sur un cercle. On n’a ´egalement pas besoin de pr´eciser que l’articulation en O est sans frottement. 0

y φ eφ T

F

x

Fig. 2.23 Syst`eme d’axe et coordonn´ees cylindrique pour le pendule math´ematique.

R´ef´erentiel, rep`ere, coordonn´ees Le r´ef´erentiel est mat´erialis´e par les axes Oxy, O est le point d’attache du pendule, l’axe Ox est choisi vertical dirig´e vers le bas. On utilise les coordonn´ees cylindriques (ρ, φ, z) et le rep`ere associ´e : eρ , eφ , ez . Bilan des forces Le point mat´eriel est soumis aux forces suivantes : •

On d´ecrit ici la pesanteur par une force F verticale constante. Les ´equations du mouvement permettront de conclure que si la p´eriode est ind´ependante de la masse, alors la force doit ˆetre proportionnelle `a la masse. La liaison implique l’existence d’une force T qui doit ˆetre parall`ele `a OP (pas de frottement).

9.2

Mecanique 1  
Mecanique 1