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Pratique de la m´ ecanique

Exemple 2.4 Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques Avec les formules de Poisson, on est en mesure d’obtenir les composantes de la vitesse et de l’acc´el´eration en coordonn´ees cylindriques de mani`ere efficace. On consid`ere un point dans le plan Ox1 x2 . Avec les notations conventionnelles pour les coordonn´ees cylindriques, on part de r = ρeρ Le vecteur de vitesse angulaire φ˙ est dans la direction de x3 (fig. 1.13) et ˙ Les formules de Poisson fournissent : son module est φ. ˙ φ e˙ ρ = φ˙ ∧ eρ = φe ˙ ρ e˙ φ = φ˙ ∧ eφ = −φe La vitesse et l’acc´el´eration s’obtiennent par d´erivation par rapport au temps : ˙ φ r˙ = ρe ˙ ρ + ρe˙ ρ = ρe ˙ ρ + ρφe ¨ φ + ρ˙ φe ˙ φ − ρφ˙ 2 eρ r¨ = ρ¨eρ + φ˙ ρe ˙ φ + ρφe  ˙ φ r¨ = ρ¨ − ρφ˙ 2 eρ + (ρφ¨ + 2ρ˙ φ)e

Exemple 2.5 Vitesse et acc´el´eration en coordonn´ees sph´eriques Le mˆeme calcul peut ˆetre conduit dans le cas des coordonn´ees sph´eriques. Il faudra consid´erer les vecteurs de vitesse angulaire d´efinis par les deux angles θ et φ (fig. 2.22). La composition des rotations se traduit simplement par l’addition des vecteurs des vitesses angulaires associ´ees.

f

q

q

f

Fig. 2.22 Vecteurs de vitesse angulaire pour les rotations d´efinies par les angles des coordonn´ees sph´eriques.

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Mecanique 1  

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