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Pratique de la m´ ecanique

´monstration. On peut partir des relations entre coordonn´ees cart´esiennes De et cylindriques, d´eriver une fois pour la vitesse, deux fois pour l’acc´el´eration et finalement regrouper les termes en reconnaissant les composantes cart´esiennes des vecteurs unit´es du rep`ere associ´e. La mˆeme proc´edure appliqu´ee aux coordonn´ees sph´eriques donne lie `a de longs calculs. On verra dans la section ci-dessous une mani`ere plus ´el´egante d’arriver `a ces r´esultats (via les formules de Poisson). Mise en contexte

On a introduit le mod`ele du point mat´eriel, pour lequel on a ´enonc´e les deux lois de Newton. Il semblerait qu’on ait tout ce qu’il faut pour faire de la m´ecanique, mais ce n’est pas tout `a fait le cas. On verra qu’il nous faudra aller au-del` a de l’approximation qui consiste `a traiter un objet comme s’il s’agissait d’un point mat´eriel. On introduira alors le mod`ele du solide ind´eformable. Ce passage demanda beaucoup de r´eflexion de la part de plus grands (sect. 3.7).

2.8 8.2

Vecteur de vitesse angulaire

On note que le r´esultat (1.7) obtenu `a la section 1.8 dr =ω∧r dt est vrai pour n’importe quel vecteur r li´e au rep`ere qui subit la mˆeme rotation. On a ainsi la mˆeme vitesse angulaire ω pour tous les vecteurs rigidement li´es au rep`ere pour lequel on a d´efini ω. En particulier, on a le mˆeme ω pour tout rep`ere li´e rigidement au rep`ere qu’on s’est donn´e initialement. Par cons´equent, pour un mouvement donn´e, le vecteur de vitesse angulaire est ind´ependant du choix du syst`eme d’axes. La direction du vecteur ω s’obtient imm´ediatement. Comme dans l’´equation (1.7), r(t + dt) − r(t) = 0 si r est parall`ele `a ω, il faut conclure que ω est sur l’axe de rotation. Il faut encore d´eterminer la norme de ω. On l’obtient par la consid´eration g´eom´etrique

suivante. D’une part, l’´equation d’´evolution pour un r li´e au rep`ere implique : r(t + dt) − r(t) = |r| |ω| dt| sin θ|. D’autre part, l’inspection de la figure 2.20 fournit

r(t + dt) − r(t)

= |dφ| |r| | sin θ| Ces deux relations g´eom´etriques impliquent pour le module du vecteur ω :

|ω| =

dt

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Mecanique 1  

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