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L’oscillateur harmonique

La solution g´en´erale pour x(t) r´eelle peut donc s’´ecrire : √ 2 2 √ 2 2  x(t) = e−γt A ei ω0 −γ t + A∗ e−i ω0 −γ t

(2.17)

C’est la restriction ` a des x r´eels qui impose de prendre les constantes A et A∗ , le complexe conjugu´e de A. La solution g´en´erale peut aussi s’´ecrire : x(t) = e−γt C cos(ω1 t + Φ) avec ω1 =

q

(2.18)

ω02 − γ 2

(2.19)

Les constantes C et Φ sont d´efinies par les conditions initiales. Quand γ = ω0 on dit qu’il y a amortissement critique. Dans ce cas, la solution est   x(t) = e−ω0 t x0 + t x0 ω0 + x˙ 0 (2.20) Quand γ > ω0 , il y a amortissement surcritique. La figure 2.17 donne l’allure de la solution sous-critique γ < ω0 (exercice 6.26) et la figure 2.18 montre le sens de l’expression « critique » : c’est la valeur de l’amortissement qui am`ene a l’immobilit´e dans le temps le plus court. ` x/x0

x

1

2 1.5

0.8

1

0.6

0.5 -0.5

10

20

30

40

50

60

t

g=w

0.2

-1

0

-1.5 -2

Fig. 2.17 Oscillateur amorti.

g = 2w

0.4

harmonique

0

1

2

3

w0t

4

5

6

Fig. 2.18 Oscillateur harmonique a ` la valeur critique γ = ω et a ` la valeur surcritique γ = 2ω.

Mise en contexte

La motivation pour ´etudier l’oscillateur harmonique a ´et´e donn´ee en d´ecrivant des exp´eriences concr`etes. Cette fa¸con de proc´eder a une signification historique. Galil´ee ´etait parvenu `a convaincre par le biais d’exp´eriences faites devant son audience, brisant par cela la tradition scolastique qui insistait pour chercher ` a interpr´eter au mieux les textes anciens. Par exemple, Galil´ee montrait que le frottement de l’air modifiait un temps de chute ou qu’il pouvait exciter ` a distance un diapason avec un autre de mˆeme fr´equence (sect. 3.5). L’id´ee de pr´esenter de nos jours une exp´erience avant d’en faire l’analyse formelle remonte ` a cette ´epoque, que beaucoup consid`erent comme celle de la naissance de la science moderne.

Mecanique 1  
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