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L’oscillateur harmonique

2.5.3

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Solution analytique

L’´equation diff´erentielle de l’oscillateur harmonique peut s’´ecrire d2 x k =− x dt2 m Dans le cadre de cette sensibilisation aux ´equations diff´erentielles, on se contentera de constater que la fonction x(t) suivante est une solution : x = cos(ωt) C’est bien le cas, car dx = −ω sin(ωt) dt d2 x = −ω 2 cos(ωt) dt2 et l’´equation diff´erentielle est satisfaite, pour autant qu’on prenne r k ω= m

(2.12)

On remarque que x = sin(ωt) est aussi une solution. Une solution g´en´erale est de la forme x(t) = A sin(ωt) + B cos(ωt) (2.13) Pour trouver A et B, il faut sp´ecifier les conditions initiales. Prenons par exemple x = x0 et v = vo ` a t = 0 . Il vient B = x0 A=

v(0) ω

La justification formelle de cette approche rel`eve d’un trait´e d’analyse ou d’alg`ebre lin´eaire. On appelle pulsation la grandeur ω qui intervient dans (2.13). Le mouvement ainsi d´efini est p´eriodique. En effet, si l’argument des fonctions sinus et cosinus augmentent de 2π, x garde la mˆeme valeur. Math´ematiquement, cela peut s’´ecrire x(t + T ) = x(t) si ωT = 2π. T est la p´ eriode de l’oscillateur harmonique. Le point mat´eriel revient `a la mˆeme position avec une fr´ equence f = T1 . On a ainsi ω f= (2.14) 2π On a donc aussi ω=

2π T

Ces relations sont utilis´ees dans de tr`es nombreux domaines !

(2.15)

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Mecanique 1  

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