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où N, en plus d’être l’effort dans le tirant de l’arc-et-câble, est aussi l’effort maximal dans la zone comprimée et dans la zone tendue à mi-portée de la poutre. Le cas avec une charge uniformément répartie peut être ramené au cas précédent, si on considère la force concentrée Q comme la résultante de toute la charge répartie q · l et si on inclut le fait que la flèche de l’arc triangulaire de la résultante est le double de celle de l’arc funiculaire parabolique. En remplaçant q · l par Q et 2 · z par z dans l’expression précédente, nous obtenons la nouvelle relation:

q

l ql 2z z q l/2

l/2

q l/2

Poutre simple avec charge uniformément répartie

N=

q⋅ l2 8⋅z

Si on compare ces deux expressions, nous constatons que la sollicitation est réduite de moitié si la charge est uniformément répartie. Ceci dérive du fait que la charge agissant à proximité des appuis sollicite de façon moins importante la partie centrale de la poutre. Ces expressions peuvent aussi être dérivées en divisant le moment fléchissant maximal (cf. annexe 3 à la p. 236) par la hauteur effective z. l

Q zh

N

Q Q N

Console avec charge concentrée Q

Les consoles aussi peuvent être étudiées en y inscrivant des consoles en treillis et en analysant un arc-et-câble correspondant, composé par exemple d’un arc inférieur et d’un tirant supérieur. A partir des conditions d’équilibre de cette structure, nous pouvons en déduire directement les sollicitations, qui correspondent à l’effort maximal de traction et de compression dans le treillis et dans la poutre. Dans le cas d’une charge concentrée à l’extrémité nous avons N=

Consoles

Q⋅l z

l q

zh

ql z l/2 Console avec charge uniformément répartie q

alors qu’avec la charge uniformément répartie, en considérant que sa résultante q · l agit à mi-portée de la poutre, nous obtenons N=

q⋅ l2 2⋅ z

La résistance des poutres peut être déterminée en comparant ces sollicitations avec les résistances des zones tendues et comprimées. Comme nous l’avons vu, nous avons NRd = fd · t · h/2

LES POUTRES

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Art structures 5  

Ce livre en ligne constitue le compagnon indispensable des cours en ligne (MOOCs) du même nom, que le lecteur pourra suivre au travers des...

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