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Soluciones Examen Nivel Intermedio Olimpiada Matem´atica de Puerto Rico 6 de Marzo de 2010 1. 30 % 2. 10 3. 60 4. 30◦ 5. 3 6. 24 7. 5 8. 12 9. 9 10. Para demostrar que es divisible por 48, factorizamos el polinomio: n3 + 3n2 − n − 3 = n2 (n + 3) − (n + 3) = (n + 3)(n2 − 1) = (n − 1)(n + 1)(n + 3) Como n es impar, sea n = 2k + 1 con k un entero positivo. as´ı (n − 1)(n + 1)(n + 3) = (2k)(2k + 2)(2k + 4) = 8k(k + 1)(k + 2) Por tanto, es m´ ultiplo y esta multiplicado por tres enteros consecutivos. Uno de ellos debe ser divisible por 3. En conclusi´on, n3 + 3n2 − n − 3 es divisible por 48.

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http://www.ompr.comoj.com/web_documents/ompr2010_clave_intermedia