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Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

COMPETENCIA PREOLÍMPICA DE MATEMÁTICAS

Universidad de Puerto Rico

SEGUNDA FASE 23 de enero de 2010

NIVEL INTERMEDIO 7mo a 9no grado Instrucciones: Llena la hoja de respuestas. Solamente entregarás la hoja de respuestas al terminar el examen. Los primeros 10 problemas son de opción múltiple, los últimos 5 son de respuesta abierta. Tienes 3 horas para trabajar el examen. ¡Buena suerte! Fill the answer sheet. You will only hand in the answer sheet at the end of the exam. The first 10 problems are multiple choice, the last 5 are open answer. You have 3 hours to complete the exam. Good luck! 1. En la tienda de la esquina los chocolates cuestan el doble que los caramelos. Comprar tres chocolates y dos caramelos cuesta $16. ¿Cuánto cuesta comprar dos chocolates y tres caramelos? At the corner store chocolates cost twice as much as caramels. Buying three chocolates and two caramels costs $16. How much does it cost to buy two chocolates and three caramels? a. $12 c. $14 e. $17 b. $13 d. $16

2. ¿Cuál es el máximo número de figuras, como la fig 1, que pueden colocarse, sin sobreponerse, en el cuadrado de la fig 2? What is the maximum number of figures, such as fig 1, that can be placed without overlapping, on the square in fig 2?

a. 2 b. 3

c. 4 d. 5

e. 6

2 3. Si le cortas cuadraditos de 4cm de área en cada esquina de un rectángulo cuyos lados miden 15 centímetros de largo y 9 centímetros de ancho, ¿cuál es el área de la figura que te queda? 2 If one cuts squares with an area of 4cm from each corner of a rectangle whose sides are 15 centimeters and 9 centimeters in length, what is the area of the figure that is left? 2 2 2 a. 135cm c. 119cm e. 105cm 2 2 b. 127cm d. 112cm

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4. Hace tres años, los trillizos Pablo, Simón y José, y su hermana Eva, 4 años mayor, sumaban 24 años en total. ¿Cuántos años tiene hoy Eva? Three years ago, the triplets Pablo, Simon and Jose, and their sister Eva, 4 years older, were such that the sum of their ages was 24 years. How old is Eva today? a. 5 c. 9 e. 15 b. 8 d. 12 5. ¿Cuál es el menor número de piezas de rompecabezas, como la que se muestra en la figura, necesarias para formar un cuadrado, sin sobreponerlas? What is the minimum number of puzzle pieces, like the one shown in the figure, required to form a square, without overlapping them?

a. 3 b. 8

c. 9 d. 12

e. 27

6. Si el Dragón Rojo tuviera 6 cabezas más que el Dragón Verde, entre los dos tendrían 34 cabezas. Pero el Dragón Rojo tiene 6 cabezas menos que el Verde. ¿Cuántas cabezas tiene el Dragón Rojo? If the Red Dragon had 6 more heads than the Green Dragon, they would both have 34 heads total. But the Red Dragon has 6 heads less than the Green Dragon. How many heads does the Red Dragon have? a. 6 c. 12 e. 16 b. 8 d. 14

7. En la figura se muestra un cuadrilátero ABCD. Si DC=AB, ¿Cuánto mide el ángulo ABC? The figure shows a quadrilateral ABCD. If DC=AB, what is the measure of angle ABC?

 a. 30  b. 50

 c. 55  d. 65

 e. 70

2


8. El producto de tres dígitos a,b,c es el número de dos dígitos bc y el producto de los dígitos b y c es c. ¿Cuánto vale a si c=2? The product of three digits a, b, c is the two digit number bc and the product of digits b and c is c. What is the value of a if c=2? a. 1 c. 3 e. 6 b. 2 d. 4

9. Ocho cartas numeradas del 1 al 8 se colocan dentro de dos cajas A y B, de tal forma que la suma de los números de las cartas en ambas cajas es la misma. Si solamente hay 3 cartas en la caja A, entonces necesariamente se tiene que: Eight cards numbered from 1 to 8 are placed in boxes A and B in such a way that the sum of numbers in the cards is each box is the same. If there are only 3 cards in box A, then it is necessarily true that: a. Tres cartas en la caja B tienen número impar Three cards in box B are odd-numbered b. Cuatro cartas en la caja B tienen número par Four cards in box B are even-numbered c. La carta con el número tres está en la caja B Card number 3 is in box B d. La carta con el número dos está en la caja B Card number 2 is in box B e. No es posible que la suma de igual en ambas cajas It is not possible that the sum in both boxes is equal

10. Si la longitud x es de 6 dm, ¿cuántos decímetros cuadrados vale el área de la cruz de la figura, formada por cinco cuadrados? If the length of x is 6 dm, how many square decimeters is the area of the cross in the figure, formed by the five squares?

a. 6 b. 12

c. 16 d. 26

e. 36

11. Hay cinco niñas en una clase de tenis. Cada una de las niñas tiene que jugar contra todas las demás en un torneo. ¿Cuántos juegos hay? There are five girls in a tennis class. Each girl must play against all the rest in a tournament. How many games must be played?

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12. Un número de cuatro cifras estaba escrito en la pizarra. Juanita borró los últimos dos dígitos y solamente se ve 8 6 ? ? . El número de cuatro dígitos es divisible por tres, cuatro y cinco. Hallar el número de cuatro dígitos. A four digit number was written on the board. Juanita erased the last two digits of the number and only 8 6 ? ? is visible. The four digit number is divisible by three, four and five. Find the four digit number.

13. Decimos que un número entero mayor o igual que 2 es bueno si puede escribirse como la suma de números naturales, tales que la suma de sus recíprocos sea igual a 1. Por ejemplo el 3 no es bueno ya que 1 1 3 = 1+ 2 y + ≠ 1 1 2 1 1 1 3 = 1+1+1 y + + ≠ 1 1 1 1 ¿Cuáles son los números naturales menores que 10 que son buenos? We say that an integer, greater than or equal to two, is good if it can be written as the sum of natural numbers such that the sum of their reciprocals is equal to one. For example, 3 is not good because 1 1 3 = 1+ 2 y + ≠ 1 1 2 1 1 1 3 = 1+1+1 y + + ≠ 1 1 1 1 Which natural numbesr smaller that 10 are good?

14. Encuentra el menor número natural de tres dígitos tal que su triple sólo tiene dígitos pares. Find the smallest three-digit natural number such that its triple has only even digits.

x2 5 + = 7. 15. Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación 2 y x2 5 + = 7. Find all integer solutions of the equation 2 y

Contesta el mayor número de preguntas que puedas, usa todo el tiempo que tienes. Solve as many problems as you can and use all the time allowed.

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http://www.ompr.comoj.com/web_documents/fase2-intermedia_2010  

http://www.ompr.comoj.com/web_documents/fase2-intermedia_2010.pdf

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