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Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

OLIMPIADAS DE MATEMÁTICAS DE PUERTO RICO

Universidad de Puerto Rico

EXAMEN DE SELECCIÓN

2010 1. Los círculos de la figura tienen sus centros en C y D y se intersecan en A y en B . Si el ángulo ACB mide 60 , el ángulo ADB mide 90 y DA mide 1, ¿cuánto mide CA ? The circles in the figure have their centers at C and D and intersect at A and B . If the angle ACB measures 60 , the angle ADB measures 90 and DA measures 1, what is the measure of CA ?

2. Se tiene la sucesión de números 1, a2 , a3 ,... que satisface la igualdad 1ia2 ia3 iiian = n 2 , para todo entero

n > 2. Determinar el valor de a3 + a5 . We have a sequence of numbers 1, a2 , a3 ,... which satisfy the equality 1ia2 ia3 iiian = n 2 , for all integers n > 2. Determine the value of a3 + a5 . 3. Cinco niños se dividen en grupos y en cada grupo se toman de la mano formando una rueda para bailar girando. ¿Cuántas ruedas distintas pueden formar los niños, si es válido que haya grupos de 1 a 5 niños, y puede haber cualquier número de grupos? Five children are divided into groups and the members of each group take their hands and form a circle to dance. How many different circles can the children form assuming valid groups can be formed with one to five children and there can be any number of groups? 3 x 2 + 16 xy + 15 y 2 4. Hallar el mayor valor posible en los números reales del término con x 2 + y 2 ≠ 0 . 2 2 x +y 3 x 2 + 16 xy + 15 y 2 Find the largest possible value of the expression over the real numbers, with x2 + y 2 x2 + y 2 ≠ 0 .


5. Encontrar todos los números primos p y q tales que 2 p 2 q + 45 pq 2 es un cuadrado perfecto. Find all prime numbers p and q such that 2 p 2 q + 45 pq 2 is a perfect square. 6. Encontrar todos los valores de r tales que la desigualdad

1 1 1 r (ab + bc + ca ) + (3 − r )  + +  ≥ 9 a b c es cierta para a, b, c reales positivos arbitrarios. Find all values of r such that the inequality

1 1 1 r (ab + bc + ca ) + (3 − r )  + +  ≥ 9 a b c is true for a, b, c real positive arbitrary numbers.

Tiempo para el examen: 4 horas Time for the exam: 4 hours Cada pregunta vale 7 puntos Each problem is worth 7 points

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