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Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez Departamento de Ciencias Matemáticas Examen III Mate 3032 - Cálculo II 1 de abril de 2009 Nombre _______________________________ Número de estudiante ______________ Sección _______________ Profesor ________________________ Debe mostrar todo su trabajo. Resuelva todos los problemas. Puede usar calculadora científica pero solo cuando sea indispensable. Parte I 1. (5 puntos ) .Determine si las sucesión siguiente converge o diverge, si converge determine el límite:   3n   a) arcotan    3n+5    lim an = lim arcotan

N →∞

N →∞

3n 3n  π  = arcotan  lim  = arcotan (1) = n →∞ 3n+5 3n+5  4 

b) (5 puntos) Halle el límite de la sucesión {an } donde an está dado por

lim

n →∞

(

(

 ( n 2 + 2n − n 2 − n ) n 2 + 2n + n 2 − n  n + 2n − n − n = lim  n →∞ n 2 + 2n + n 2 − n  2

2

)

{

n 2 + 2n − n 2 − n

)  =3/2    

II. Determine si la serie converge o diverge. Si converge determine la suma:

1  1  ∞ 1 ∞ 1 5 1 3 = 5 - 1 = 9 = 4.5 2  1. ( 5 puntos) ∑ n − n  = 5∑ n - ∑ n =5  2 1− 1  1 - 1 2 3  n=1  2 n=1 2 n=1 3  2 3 ∞

Por tanto la serie converge.

2. (6 puntos )

∑ 4n n =1

2 2

−1

Respuesta: Usando fracciones parciales 2 4n − 1 2

=

2 1 1 (2 puntos) = − (2n + 1)(2n − 1) 2n − 1 2n + 1

Como 1 1 1 1 1 1 Sn = 1 − + − + ... − + − 3 3 5 2 n − 1 2n − 1 2 n + 1

La serie es teléscópica (1 punto) Tenemos Sn = 1 −

1 (1 punto) 2n + 1 ∞

Como lim Sn = 1, la serie converge(1 punto) n→∞

∑ 4n − 1 =1 2

2

n =1

(1 punto)

}


III. Clasifique las siguientes series como convergentes o divergentes, presentando argumentos que justifiquen bien el resultado. (6 puntos cada uno) ∞

a.

n=2

1 n ( ln ( n ) )

2

b.

∑ n =1 ∞

1

∫ x ( ln(x)) 2

t

 −1  u−2 du = lim  ∫ t →∞ t →∞ ln( x)   2 ln(2) t

dx = lim 2

 −1 1  1 = lim  + =  t →∞ ln(t ) ln(2)  ln(2)  La integral converge, por lo tanto, la serie tambien converge.

1 + n + n2 1 + n 2 + n6 1 + n + n2

1 + n 2 + n6 Usar prueba II Comparación: n =1

bn =

n2 n6

n2 1 = 3 = n n 1 + n + n2

2 6 an n + n 2 + n3 = lim 1 + n + n = lim n →∞ b n →∞ n →∞ 1 1 + n2 + n6 n n 3 3 n n = lim = lim 3 = 1 n →∞ n →∞ n n6

lim

ambas series se portan igual, así que ambas son divergentes.

IV.

(7 puntos) Escriba una serie de potencias para la función: x 9 + x2   n   n n 2n ∞  -1 x 2n+1  ( ) x  1 x ∞  -x 2  x ∞  ( -1) x       = = = = ∑  9 ∑  9n  ∑  9n+1  9   -x 2   9 n =0  9  n =0 n=0      1-      9 


V. (8 puntos) Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie:

5 n+1 x n + 1

(n + 9)

a n+1 = lim n→ ∞ an

lim

n→∞

5n x n

(n + 8)  n+8  ∗  1  n+9 

5 x

lim

n→∞

3

= lim

n→∞

3

5 n+1 x n +1

(n + 8)

(n + 9)

5n x n

3

3

=

n+8  = 5 x  lim  = 5 x ∗ (1) < 1  n→∞ n + 9 

3

3

1 1 1 , - <x< 5 5 5 Investigar los extremos : x <

1 x=− , 5 x=

1 , 5

( -1)

n=0

(n + 8)

∑ ∞

∑ n=0

n

1

(n + 8)

3

3

, converge por el Criterio de la serie Alternante

, converge, ya que es serie p, con p > 1.

1 1 ≤x≤ 5 5 1 Radio de convergencia: R = 5

solución: Intervalo de convergencia: -

n =1

5n x n ( n + 8) 3


VI.

(7 puntos cada uno )Determina si las siguientes series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen. Justifica tu respuesta con razonamiento o procedimiento lógico. En particular, escribe el nombre del criterio o teorema utilizado. ∞

a.

n =1

(− 1)n

n +1

b.

n=1

n=1

Primero investigar ∑an = ∑

( -1)

n

n +1

=∑ n=1

1 n +1

Usar Prueba de Comparación II: 1 a n n = lim lim n = lim n +1 = lim =1 n→∞ b n→∞ n→∞ n +1 n→∞ n +1 1 n n ∞ 1 Como c = 1, un número positivo finito, y ∑ es serie p, con n=1 n ∞

p = 1/2 y diverge, la serie ∑an diverge. n=1 ∞

Pero la serie ∑

( −1)

n

es una serie alternante y satisface n + 1 n=1 las dos condiciones del Criterio de serie alternante, así que es condicionalmente convergente.

n =1

n! 10 n

Usar prueba de la razón: a ( n + 1)! ∗ 10n = lim n + 1 = ∞ lim n +1 = lim n →∞ a n →∞ 10 n +1 ( n )! n→∞ 10 n Por lo tanto, la serie es divergente.


 − 2n    ∑ 3 n + 1  n =1  ∞

c.

3n

Usar la Prueba de la Raíz: 1

 −2 n  lim n an = lim n   n →∞ n →∞  3n + 1 

3n

  2 n 3 n  n = lim     = n →∞  3n + 1    

 2 n  3   2  3 8 lim  <1 =   =   n →∞ 27  3n + 1    3 

La serie es absolutamente convergente

VII. a. (7 puntos) Hallar el siguiente límite (NO aplique L’H Ô pital) ∞

∑ ( −1)

n

x2n + 1

n =0

tan

−1

lim

x→0

x3 3

+

( 2n + 1)

= lim

x→0

x3 −

lim

( x) − x

x5 5

-

x→0

x7 7

+

x3 x9 9

- ......

x3

−x

x= lim

x→0

x3 3

+

x5 5

-

x7 7

+

x9 9

- ...........-x

x3

=

1 x2 x4 x6 -1 -1 = lim - + + -........ = + 0 + 0 +0 +..... = x→0 3 5 7 9 3 3

(−1)n x2n+1 Dado que s e n(x) = ∑ n=0 (2n +1)! ∞

VIII.

i. (5 puntos) Halle el desarrollo de

4. senx = ∑ (−1)n −1 n =1

f (x) =sen(x3) como una serie de potencias.

∞ ∞ x (2 n −1) ( x 3 ) 2 n−1 x 6 n −3 , luego sen x3 = ∑ (−1)n −1 = ∑ (−1) n−1 (2n − 1)¡ (2n − 1)¡ n=1 (2n − 1)¡ n =1


ii. ( 7 puntos) Utilice esta serie de potencias para hallar

0.5

0

sen ( x 3 )dx con siete cifras decimales

exactas, es decir, que el tamaño del error sea menor que 0.00000005,

0.5

0

sen x 3dx = ∫

∞  0.5 x 6 n −3  ∞ x 6 n −3 x 6 n−2 dx = dx = = ∑ ∑  ∫0  ∑ (2n − 1)¡  n =1 (6n − 2)(2n − 1)¡ n =1 (2n − 1)¡ n =1 

0.5 ∞

0

0.54 0.510 x4 x10 − = − ≈ 0.0156087 4 (10)(6) 4 60

\


IX. (a) (6 puntos) Aproxime la función f(x) = x ln x con un polinomio de Taylor de grado 3: T3, en a = 1. 1 1 1 2 f '( x) = x + ln x, f '(x)=1, f "(x)= , f "(1) = 1 , f '"(x)=- 2 , f '"(1) = -1,f (4) (x)= 3 . x x x x

Luego el polinomio de Taylor de grado 3 es Tn ( x) = 0 + ( x − 1) +

( x − 1) 2 ( x − 1)3 − 2 6

. Así x ln x ≈ ( x − 1) +

( x − 1) 2 ( x − 1)3 − 2 6

(b) (6 puntos) Use la desigualdad de Taylor para estimar la exactitud de la aproximación cuando 0.5 ≤ x ≤ 1.5 Exactitud de la aproximación en el intervalo dado. M | x − 1|n +1 , donde | f ( n +1) ( x) |≤ M (n + 1)¡ (4) En nuestro caso como f ( x) es decreciente en el intervalo 0.5 ≤ x ≤ 1.5 el valor de M es 16( la cuarta derivada 1 16( ) 1 16 ) = 1 = 0.0416 evaluada en x = 0.5) , | x-1| ≤ , luego sustituyendo en la fórmula | R3 ( x) |≤ 2 24 24 De acuerdo a la desigualdad e Taylor | Rn ( x) |≤

Bono: (6 puntos) Hallar el valor de la suma siguiente :

n=0

3

3n = e5 5n n !

3er Examen parcial m30302 mar2009  

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