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Bienvenidos!!! 3a Academia Sabatina Virtual, 21/mar/09 Olimpiadas Matemรกticas de Puerto Rico Arturo Portnoy Tengan papel y lรกpiz a la mano, porque van a necesitarlo para trabajar los ejercicios.


Resumen de la 2a Academia Sabatina Virtual Definición de congruencia ●Propiedades algebráicas de la congruencia ●Principio de sustitución ●


Conjuntos de residuos: Zn Operaciones en Zn


Probar que en cualquier colecci贸n de 7 o m谩s enteros siempre hay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.


Escribir tabla de suma y producto para Z2, Z3, Z4, Z5 y Z6. Observar inversos aditivos y multiplicativos.


Sea n un número natural. Entonces, a es un entero primo relativo a n si y solo si existe un entero b tal que ab≥1 (mod n). Es decir, a es primo relativo a n si y solo si a es invertible bajo el producto en Zn.


Muestre que si a y n no son primos relativos, entonces existe b distinto de 0 en Zn tal que ab≥0 (mod n).


Encontrar el inverso multiplicativo de 3 m贸dulo 17.


Encontrar el inverso multiplicativo de 12 m贸dulo 15.


Aparear cada uno de los elementos invertibles bajo el producto de Z12 con sus inversos. Repetir para Z17.


Encontrar, si existen, las soluciones de 4x≡5 (mod 7). Repetir para 4x≡5 (mod 6). Repetir para 4x≡8 (mod 6).


Sea mcd(a,n)=d>1. Si consideramos la congruencia ax≥c (mod n) tenemos que la congruencia es soluble si y solo si d|c.


Demostrar que si d|n y a≥b (mod n), entonces a≥b (mod d), pero el recíproco no es cierto.


Sean n y l enteros positivos y sea m su mínimo común múltiplo. Probar que a≡b (mod n) y a≡b (mod l) implica que a≡b (mod m).


Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas tenĂ­a ayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y que cuando hacĂ­a montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba 1.


Sea n=(p1^e1)(p2^e2)...(pr^er) la factorización prima de n. Entonces a≡b (mod n) si y solo si a≡b (mod p1^e1) y a≡b (mod p2^e2) y ... y a≡b (mod pn^en)


Probar que x^2-7=45y no tiene soluciones enteras.


Probar que no existe ningun entero que al elevarlo al cuadrado, termine en 181.


Resolver el siguiente sistema de congruencias: 2x≡1 (mod 7) x≡1 (mod 5) 2x-3≡29-2x (mod 6) x+3≡5x-3 (mod 2)


Resolver los siguientes sistemas de congruencias: x≡1 (mod 2) x≡0 (mod 2) y x≡1 (mod 2) x≡4 (mod 6)


Teorema Chino del Residuo

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