Page 1

Universidad de Puerto Rico Recinto Universitario de Mayagüez

OLIMPIADA DE MATEMÁTICAS PUERTO RICO

Universidad de Puerto Rico

Tercera Fase

26 de Marzo de 2011

Nivel Superior

10mo - 12mo grado Nombre: Escuela:

Grado:

Fecha de nacimiento: Correo Electrónico: Instrucciones: Tienes tres horas para trabajar el examen. Resuelve el mayor número de problemas que puedas. Usa todo el tiempo disponible. ½Buena Suerte! Instructions: You have

three hours to work on the exam. Solve as many problems as you can. Use all of the available time. Good luck!

1. Encuentra todas las soluciones enteras de x2 − 7y = 10. Find all integer solutions of x2 − 7y = 10.

2. Un grillo está saltando en un tablero y hace saltos de cualquier longitud y en cualquier sentido. Si el grillo empieza en el cuadro A y salta de cuadro en cuadro recorriendo el tablero y parando en cada cuadro solo una vez, ¾de cuántas maneras diferentes puede hacerlo? A cricket jumps on a borad and can take jumps of any length and in any direction. If the cricket starts in square A and jumps from square to square covering all the board and landing on each square only once, in how many ways can the cricket do this?

A

1


r=1

cm

3. En la siguiente gura, encuentra el área de la región sombreada con las medidas dadas. In the following gure, nd the area of the shaded region based on the given measurements.

4 cm

4. ¾Cuántos años desde el 2011 hasta el 2100 cumplen con la propiedad que la suma de sus dígitos es un cuadrado perfecto? How many years between 2011 and 2100 satisfy the property that the sum of their digits is a perfect square?

2


5. Para escribir todos los enteros del 1 a 1, 000, 000, ¾cuántos ceros se necesitan? To write all numbers between 1 and 1,000,000, how many zeros are needed?

6. Un cuadrado es cortado en 25 cuadrados más pequeños, de los cuales 24 son cuadrados de lado 1 cm. Determina los posibles valores para el área del cuadrado original. A square is cut into 25 smaller squares, of which 24 are squares with sides 1 cm long. Determine all possible values for the area of the original square.

3


7. El último dígito (unidades) del cuadrado de un número es 6. Demuestra que el penúltimo dígito (decenas) es impar. The last digit (units) of the square of a number is 6. Show that the penultimate digit (one before the last, or tens digit) is odd.

8. Tres pirámides con base cuadrada y todas sus aristas iguales se sobreponen como muestra la gura. ¾Cuál es la medida de la altura de la torre formada por las tres pirámides (las longitudes de las aristas se muestran en la gura)? Three pyramids with square base and equal edges are superimposed as shown in the gure. What is the measure of the height of the tower formed by the three pyramids (the lengths of the edges are shown in the gure)?

1 cm

2 cm

4 cm

4


9. Dos jugadores toman turnos poniendo pesetas en una mesa redonda, sin apilar monedas una encima de otra. El jugador que no pueda poner una peseta mås pierde. žTiene alguno de los jugadores una estrategia ganadora? Explica. Two players take turns placing quarters on a round table, without stacking them. The player who cannot place another quarter loses. Do any of the players have a winning strategy? Explain.

5


10. Demuestra que x2 +

2 x

≥ 3 si x > 0. Prove that x2 +

6

2 x

≥ 3 if x > 0.

3a fase superior 2011  

3a fase superior 2011

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you