Issuu on Google+

1. Техническое задание на проект Исходные данные:

С = 1 мкФ J = 0,1 A R1 = 100 Ом; R2 = 100 Ом R3 = 50 Ом; R4 = 150 Ом

Требуется определить зависимости uC (t ), iC (t ) и построить графики. 2. Классический метод решения 2.1. Независимое начальное условие при t = 0.

Схема до начала коммутации t = 0_

Напряжение ёмкости uC (0 _) = J ⋅ R2 = 0,1⋅100 = 10 B По закону коммутации uC (0) = uC (0 _) = 10 В 2.2. Принужденный (установившийся) режим Общее сопротивление цепи R=

( R1 + R2 )( R3 + R4 ) 200 ⋅ 200 100 Ом = = R1 + R2 + R3 + R4 400

Напряжение источника U = J ⋅ R = 0,1⋅100 = 10 В Токи U = 0,05 А 200 Напряжение емкости i1 пр = i2 пр = i3 пр = i4 пр =


uCпр = i2 R2 − i3 R3 = 0,05(100 – 50) = 2,5 В 2.3. Исходные уравнения  J = i1 + i4 i = i + i 1 2 C i3 = iC + i4  i4 R4 = i1 R1 + uC  i2 R2 = uC + i3 R3  duC iC = C dt 

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

2.4. Вывод дифференциального уравнения Из (1) Из (4)

i1 = J − i4 i4 R4 = ( J − i4 ) R1 + uC i4 R4 = JR1 − i4 R1 + uC i4 ( R4 + R1 ) = uC + JR1 u + JR1 i4 = C R1 + R4 u + JR1 JR4 − uC i1 = J − i4 = J − C = R1 + R4 R1 + R4

Из (3) i3 = iC + i4 = iC +

uC + JR1 uC JR1 = iC + + R1 + R4 R1 + R4 R1 + R4

Из (5) u R u R uC R3 JR1 R3 R u  R3  JR1 R3 i2 = C + i3 3 = C + iC 3 + + = iC 3 + C 1 + + R2 R2 R2 R2 ( R1 + R4 ) R2 ( R1 + R4 ) R2 R2 R2  R1 + R4  ( R1 + R4 ) R2 Из (2) i1 = i2 + iC JR4 − uC 1 = { iC R3 ( R1 + R4 ) + uC ( R1 + R4 + R3 ) + JR1 R3 } + iC R1 + R4 R2 ( R1 + R4 ) Преобразуем JR2 R4 − uC R2 = iC { R3 ( R1 + R4 ) + R2 ( R1 + R4 )} + uC ( R1 + R4 + R3 ) + JR1 R3 Подставим du iC = C C dt Искомое дифференциальное уравнение du C ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) C + uC ( R1 + R2 + R3 + R4 ) = J ( R2 R4 − R1 R3 ) dt Подставим числовые значения duC + uC ⋅400= 0,1(100⋅150 – 100⋅50) 10–6⋅(100 + 150)(100 + 50) dt

(*)


0,0375

duC + uC ⋅400 = 1000 dt

duC + 10666uC = 26666,6 dt Проверка: установившееся (принужденное) значение uCy =

J ( R2 R4 − R1 R3 ) 1000 = = 2,5 В проверка выполняется R1 + R2 + R3 + R4 400

2.5. Характеристическое уравнение и его корень Характеристическое уравнение α + 10666,6 = 0 Корень характеристического уравнения α = – 10666,6 Постоянная времени 1 τ = − = 9,375⋅10–5 с α 2.6. Искомые величины Решение дифференциального уравнения (*) ищем в виде uC = uCy + uCсв где uCy = 2,5 В – установившееся (принужденное) значение Свободную составляющую ищем в виде uCсв = Aeα t Определяем постоянную интегрирования А, используя начальные условия uC (0) = uCy + A →

A = uC (0) − uCy = 10 – 2,5 = 7,5 В

Решение имеет вид uC = 2,5 + 7,5eα t В iC = C

duC = C ⋅ A ⋅ α eα t = 10–6⋅7,5(–10666) eα t = – 0,08 eα t А dt


3. Операторный метод решения Начальное условие uC (0) = J ⋅ R2 = 0,1⋅100 = 10 В Операторная схема замещения

Решаем задачу методом контурных токов Направим все контурные токи по часовой стрелке. J Контурный ток J k 3 ( p) известен: J k 3 ( p) = J ( p ) = . p Составим уравнения для контурных токов J k 1 ( p ) и J k 2 ( p ) uC (0) 1 1   J k1 ( p )( R1 + R4 + pC ) − J k 2 ( p ) pC − J k 3 ( p ) R1 = p   − J ( p ) 1 + J ( p )( R + R + 1 ) − J ( p) R = − uC (0) k2 2 3 k3 2  k 1 pC pC p u (0) pC ( R1 + R4 ) + 1 1 J  − J k 2 ( p) = R1 + C  J k1 ( p) pC pC p p   − J ( p ) 1 + J ( p ) pC ( R2 + R3 ) + 1 = J R − uC (0) k2 2  k 1 pC pC p p Определитель pC ( R1 + R4 ) + 1 1 − pC pC 1 D( p) = = 2 2 { [ pC ( R1 + R4 ) + 1] [ pC ( R2 + R3 ) + 1] + 1} = pC ( R2 + R3 ) + 1 p C 1 − pC pC 1 2 2 = 2 2 { p C ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) + pC ( R1 + R2 + R3 + R4 ) + 1 − 1} = pC 1 { pC ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) + R1 + R2 + R3 + R4 } = pC Дополнения JR1 + uC (0) 1 − p pC 1 D1 ( p) = = 2 { [ pC ( R2 + R3 ) + 1][ JR1 + uC (0)] + JR2 − uC (0)} = pC JR2 − uC (0) pC ( R2 + R3 ) + 1 p pC 1 = 2 { pC ( R2 + R3 )[ JR1 + uC (0)] + J ( R1 + R2 )} pC


D2 ( p ) =

pC ( R1 + R4 ) + 1 pC −

=

1 pC

JR1 + uC (0) p 1 = 2 { [ pC ( R1 + R4 ) + 1][ JR2 − uC (0)] + JR1 + uC (0)} = pC JR2 − uC (0) p

1 { pC ( R1 + R4 )[ JR2 − uC (0)] + J ( R1 + R2 )} p 2C

Контурные токи D ( p ) G1 ( p ) D ( p ) G2 ( p ) J k1 ( p) = 1 = = ; J k 2 ( p) = 2 D( p) H ( p) D( p) H ( p) Знаменатель H(p) = p[pC(R1 + R4)(R2 + R3) + R1 + R2 + R3 + R4 = p(p⋅0,0375 + 400) Корни знаменателя 400 = – 10666,7; р2 = 0 0, 0375 1 Постоянная времени τ = − = 9,375⋅10–5 с p1 Производная знаменателя H ′( p) = р⋅0,075 + 400 p1 = −

H ′( p1 ) = – 400; H ′( p2 ) = 400 G3 ( p ) H ( p) Числитель G3 ( p ) = G2 ( p) − G1 ( p ) = pC ( R1 + R4 )[ JR2 − U C (0)] + J ( R1 + R2 ) − − pC ( R2 + R3 )[ JR1 + uC (0)] − J ( R1 + R2 ) = pC{( R1 + R2 )( JR2 − uC (0) − ( R2 + R3 )( JR1 + uC (0)} = = pC{250(10 – 10) – 150(10 +10)} = – pC⋅3000 = – р⋅0,003 Определяем ток J C ( p ) = J k 2 ( p) − J k 1 ( p) =

G1 ( p1 ) = 32 G1 ( p2 ) = 0 Оригинал iC (t ) = I C ( p ) определяем по теореме разложения G (p ) G (p ) 32 p1t iC (t ) = 1 1 e p1t + 1 2 e p2t = e = – 0,08 e p1t H ′( p1 ) H ′( p2 ) 400 Напряжение U (0) I C ( p ) U C (0) G4 ( p ) U C ( p) = C + = + p pC p H ( p) G ( p) G4 ( p) = 3 pC G4 ( p1 ) = – 3000; G4 ( p2 ) = – 3000 uC (t ) = 10 +

−3000 p1t −3000 p2t e + e = 2,5 + 7,5e p1t −400 400

4. Метод переменных состояния Начальное условие


uC (0) = 10 В Исходное уравнение, полученное из решения классическим методом duC R + R2 + R3 + R4 J ( R2 R4 − R1 R3 ) = −uC 1 + dt C ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) C ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) duC = −10667uC + 2666, 6 ⋅ J dt Запись в матричной форме Обозначим неизвестную переменную X = uC Производная duC X& = u& C = dt Начальные условия Х(0) = 10 Матрица В B=

R2 R4 − R1 R3 = 26666 C ( R1 + R4 )( R2 + R3 )

Матрица источника V= J Основная матрица A1 =

R1 + R2 + R3 + R4 C ( R1 + R4 )( R2 + R3 )

Исходное уравнение в матричной форме X& = A ⋅ X + B ⋅ V duC R1 + R2 + R3 + R4 R2 R4 − R1 R3 = ⋅ uC + ⋅ J dt C ( R1 + R4 )( R2 + R3 ) C ( R1 + R4 )( R2 + R3 )

Собственное число основной матрицы


λ=−

R1 + R2 + R3 + R4 = – 10667 C ( R1 + R4 )( R2 + R3 )

Матричная экспоненциальная функция e A1t = α 0 1 Коэффициент α0 −1

α 0 = 1 ⋅ e λt = e λt Отсюда e A1t = eλt 1 = eλt Решение имеет вид

(

)

uC = e λt ⋅ X (0) + eλt − 1 ⋅ A

−1

⋅ B ⋅V

Произведение матриц A

−1

⋅ B ⋅V =

1 ⋅ 26666 ⋅ 0,1 = – 2,5 −10667

Решение имеет вид uC = 10eλt + (e λt − 1)( −2,5) uC = 7,5eλt + 2,5 iC =

duC = −0, 08eλt dt


Расчеты - Теоретические основы электротехники