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Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´ atica Campus Santiago

Ejercicios 1. Calcule los siguientes l´ımites: √ √ √ 1 √ n n ( n e + e2 + e3 + · · · + n en ) n→∞ n   1 1 1 1 +√ +√ + ··· + √ (b) lim √ n→∞ n2 + 1 2 n2 + 2 2 n2 + 3 2 n2 + n2 " n  #  1X b−a (c) lim (Asuma f continua) f a+k n→∞ n n k=1 Z sen x √ tan x dx 0 (d) lim Z tan x √ x→0+ sen x dx (a) lim

0

2. Demuestre que si f es una funci´on integrable, entonces: Z a Z a (a) Si f es una funci´ on par, entonces f (x)dx = 2 f (x)dx −a 0 Z a (b) Si f en una funci´ on impar, entonces f (x)dx = 0. −a

Z 3. Sabiendo que f (x) =

xp

1 + t3 dt y que f (2) = 3. Calcular:

0

Z

2

xf (x) dx 0

4. Determine F 0 (x) para: x2

Z (a) F (x) =

p 1 + t2 dt

0

Z (b) F (x) =

x3

x2 cos x

Z

dt 1 + t4

cos(πt2 ) dt

(c) F (x) = sen x

Z 5. Si F (x) =

x

Z

t2

f (t)dt, donde f (t) = 1

1

1 + u4 du, calcula F 00 (2). u Z

6. Determine el intervalo en el cual la gr´afica de la funci´on F (x) = 0

c´oncava hacia arriba. 1

x

1 dt es 1 + t + t2


7. Determine las constantes a y b tal que 1 lim x→0 bx − sen(x)

x

Z

0

t2 dt = 1 a+t

1

Z

g(x)dx = 2. Sea

8. Dada una funci´ on g tal que g(1) = 5 y 0

x

Z

1 f (x) = 2

(x − t)2 g(t)dt

0

Calcule f 00 (1) y f 000 (1) 9. La ecuaci´ on

x2 sen(y)

Z x sen(xy) +

sen(t) dt = 1 t

y

define implicitamente a y como funci´on de x. Calcule

dy . dx

10. Demuestre que si f 00 (x) > 0, ∀ x, se tiene que si x+1

Z

(x − t)f (t)dt

g(x) = x

entonces g 00 (x) no cambia de signo. Z 11. Pruebe que la funci´ on f (x) = 0

de x.

x

dt + 1 + t2

Z 0

1 x

dt es constante, es decir, no depende 1 + t2

12. Si f (t) es una funci´ on continua que satisface la ecuaci´on: Z

13.

14. 15. 16.

1 1 f (t)dt = x18 + x16 8 9

Z

1

t2 f (t)dt + C

x

determine la funci´ on f y la constante C. Z x 1 + sen t Dada la funci´ on f (x) = 3 + dt, determine un polinomio p(x) = ax2 + bx + c 2 + t2 0 tal que p(0) = f (0), p0 (0) = f 0 (0), p00 (0) = f 00 (0). Z x x−t Si f (x) = dt , calcule f 0 ( π2 ) . 3 1 sen t Z 1 1 x Calcule lim (1 + sen 2t) t dt x→0 x 0 Z x ln t Se define para x > 0, f (x) = dt. Calcule f (x) + f ( x1 ). 1 + t 1

2


17. Demuestre que: Z x (x − t)2 000 (x − t)2 00 f (t)dt = f (x) − f (a) − (x − a)f 0 (a) − f (t) 2 2 0 Z

x

18. Sea f (x) = −

ln(cos t)dt. Pruebe que: 0

(a) f (x) = 2(f ( π4 + x2 ) − f ( π4 − x2 )) − x ln 2 π (b) f ( π2 ) = ln 2 2 19. Demuestre que : Z

π

Z ln(5 + 4 cos x)dx = 2

−π

Z 20. Demuestre que In =

ln(25 − 16 sen2 x)dx

0 π 2

0

Z

π 2

sinn (x)dx =

n−1 In−2 . n

e

lnn (x)dx = e − n In−1 .

21. Demuestre que In = 1

Z 22. Demuestre que In = 0

1

(1 − x2 )n dx =

2n In−1 . 2n + 1

dI 23. Una maquinaria industrial genera ingresos a raz´on de = 5.000 − 20t2 , d´olares al dt dG a˜ no. Simultaneamente genera gastos a raz´on de = 2.000 + 10t2 , d´olares al a˜ no. dt Determine la cantidad de a˜ nos que hace que el uso de esta maquinaria sea provechoso para la empresa que la posee. ¿ Cu´ales son las ganancias netas totales generadas por esta maquinaria en esta cantidad de a˜ nos? 24. La empresa Alabama Instruments ha establecido una l´ınea de producci´on para fabricar una calculadora nueva. La tasa de producci´on de esas calculadoras, despu´es de t semanas, es   dx 100 = 5000 1 − dt (t + 10)2 piezas por semana. Determina la cantidad de calculadoras que se produjeron desde el inicio de la tercera semana hasta el fin de la cuarta semana de producci´on. 25. Una curva arranca desde el origen por el primer cuadrante. El ´area bajo la curva desde (0, 0) hasta (x, y) es un tercio del ´area del rectangulo que tiene a esos puntos como v´ertices opuestos. Hallar la ecuaci´on de esa curva.

3


26. Suponiendo que la rapidez de crecimiento de un pa´ıs es proporcional al n´ umero de habitantes existentes y sabiendo que la poblaci´on se duplica cada 50 a˜ nos. En cuanto tiempo se triplicar´ a la poblaci´on? 27. Un term´ ometro se lleva de una habitaci´on en la que la temperatura es de 70◦ F a un congelador en el que la temperatura es de 12◦ F. Despu´es de 30 segundos el term´ometro registra 40◦ F. ¿Qu´e temperatura registrar´a despu´es de 2 minutos?. 28. Un objeto a temperatura inicial de 150◦ C se coloca en el exterior donde la temperatura es de 35◦ C. Sus temperaturas a las 12:15 y 12:20 son respectivamente de 120◦ C y 90◦ C. (a) ¿A qu´e hora fue colocado el objeto en el exterior? (b) ¿Cu´ ando registrar´ a 40◦ C de temperatura? 29. Un objeto se coloca en una habitaci´on en la que la temperatura es de 20◦ C. La temperatura del objeto desciende 5 grados en 4 minutos y 7 grados en 8 minutos. ¿Cu´al era la temperatura del objeto cuando se coloc´o en la habitaci´on?. 30. En un experimento de gen´etica se colocan 50 moscas de la fruta en un bote de cristal que soportar´ a una poblaci´ on m´axima de 1.000 moscas. Si 30 d´ıas despu´es la poblaci´ on ha aumentado a 200 moscas, ¿cu´ando alcanzar´a la poblaci´on de moscas la mitad de la capacidad del bote? 31. Una ciudad A tiene 5 veces m´as poblaci´on que la ciudad B. La primera crece a una tasa del dos por ciento al a˜ no, y la segunda a una tasa del diez por ciento al a˜ no. ¿En cu´ antos a˜ nos tendr´ an la misma poblaci´on?. 32. Calcule las siguientes integrales. Compruebe sus resultados. Z (a) (3x5 − 2x3 )dx Z (b) (2x − 3)2 dx Z √ (c) x(x + 1)dx  Z  √ 1 (d) x− dx x Z 5 (e) dx (x − 2)2 Z 3 √ (f) dx 3 x−6 √ Z 3 x + 3x2 + 2x (g) dx 2x Z 4 x + 2x2 − 1 √ (h) dx x Z (i) (2 sin(x) − 5 cos(x))dx 4


Z

1 − cos(3x) dx 2

Z

ex+15 dx

Z

5x dx

(j) (k) (l)

33. Resuelva las siguientes integrales. Z (a) x3 cos(x4 )dx Z (b) cos2 (x) sin(x)dx Z (c) x sin(x)dx √ Z sin( x) √ dx (d) x Z (e) ex sin(x)dx Z (f) (x2 − 4)2 xdx Z ln(x) dx (g) x Z x e −1 (h) dx ex + 1 Z x3 √ dx (i) 1 − x2 Z (j) x3x dx Z xex dx (k) (x + 1)2 Z dx p (l) dx √ 1+ 1+x Z (m) sin(ln(x))dx Z 2 (n) x3 ex dx Z (o) arctan(x)dx √ Z arcsin( 1 − x) (p) dx (x − 1)2

5


34. Usando una sustituci´ on trigonom´etrica, calcule las siguientes integrales: Z √ 9 − x2 dx (a) x2 Z 1 √ (b) dx 2 x 1 − x2 Z x2 √ dx (c) 4 − x2 Z p (d) x2 + 5 dx Z 1 √ (e) dx 2 1 + x + 2x + 2 Z 1 √ (f) dx 3 x x2 − 9 Z 1 √ (g) dx 2 x − 25 Z p (h) x2 − 2x − 1 dx Z x3 √ dx (i) 1 − x2 Z 1 (j) dx 2 (4x + 9)2 Z ln3 (x) q (k) dx x ln2 (x) − 4 35. Utilizando una descomposici´on en fracciones parciales, demuestre que: 1 + x2 1 dx = x2 − x + 2 ln |1 + x| + C 1+x 2

Z dx 1

x + 3

1 (b) = ln

− +C

3 2 x + 3x 9 x 3x

Z

x + 2

3x + 1 5 7 1

+C (c) dx = − + ln (x2 − 4)2 16(x + 2) 16(x − 2) 32 x − 2

Z 2x4 − 2x + 1 (d) dx 2x5 − x4 Z x (e) dx 3 (x − 1)2

Z

x + 1 1 dx

− − 1 +C (f) = 2 ln

2 2 x (x + 1) x x x+1 Z dx (g) dx 16x4 − 8x2 + 1 Z   3 −24x3 + 30x2 + 52x + 17 1 3 2 2 (x − 1) (h) dx = − ln (3x + 2) − − 4 3 2 9x − 6x − 11x + 4x + 4 3(3x + 2) x − 1 Z

(a)

6


Z (i)

C(x2 + 2x + 2)9 2 x2 − 2x − 3 1

− arctan(x + 1)

dx = ln

5 (x − 1)(x2 + 2x + 2) 10

(x − 1)8

x2 + x dx = ln |x − 1| + arctan(x) + C x3 − x2 + x − 1 Z 4x3 − 7x2 − 15x + 4 1 (k) dx = ln |x − 2| + 2 ln |x + 3| + ln |x2 − 2x + 2| + C 4 x − x3 − 6x2 + 14x − 12 2

Z 3 2

x − 1

−x + 6x + x + 2

− arctan(x) − 1 ln(x2 + 1) + x + C (l) dx = ln

2 2 2 (x − 1)(x + 1) x + 1

2 x2 + 1 Z 5x4 + 10x2 + 5 dx (m) x6 − 2x4 − 7x2 − 4 Z dx (n) x4 + 1 Z

(j)

36. Calcular las siguientea integrales: 1. −

√ x x − 1dx

3. −

Z p 2x − x2 dx

Z

Z 2. −

sen(3x) cos(x)dx Z

π/2

4. − 0

Z 5. −

Z

Z 7. − Z 9. −

x2 − 2 dx x(x2 + 2)

8. −

dx 4x2 + 12x + 5

10. −

Z 11. −

2 sen2 x Z r

13. − 15. −

sen Z

17. −

Z

Z 0

dx + 3 cos2 x

x−1 1 · dx x + 1 x2

Z

dx √ x 1−x

6. −

cos(ln x)dx

Z 12. − Z 14. − Z 16. −

x + 4 dx

Z

1 dx ex +1

18. −

dx sen x + cos x

2

x2

dx + 4x + 8

dx 1 + [x]

x3 arctan(x) dx

x+2 dx 4x − x2

(4x + 4) dx x4 + x3 + 2x2 √

x+1 dx + 2x − 4

x2

37. Hallar el ´ area acotada por el eje x y la curva y = x2 − x3 . √ 38. Hallar el ´ area encerrada por las curvas y = x3 e y = 32 x. 39. Hallar el ´ area acotada por las curvas x = 8 − y 2 y x = y 2 − 8.

7


40. El ´ area entre la curva y = x2 y la recta x = 4 esta dividida en dos partes iguales por la recta x = a. Hallar a. 41. Hallar el ´ area entre la curva y = x3 y su tangente en x = 1. T 42. Sea R = {(x, y) ∈ R2 : x2 ≤ y ≤ 4} {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 3x − 2}. Calcule el ´area de la regi´ on R 43. Calcule el ´ area limitada por las curvas : y = sin(x), y = cos(x), y = 0, x = π. 44. Determine el ´ area de la regi´ on limitada por la par´abola y 2 = 2x − 2 y la recta y = x − 5. 45. Calcule el ´ area de la regi´ on limitada por : y = |x + 1| + |x|, y = 0, x = −2, x = 3. 46. Sea R = {(x, y) ∈ R2 : y = regi´ on R es 1?

e−x , y = 0, x = a}.¿Para que valores de a el ´area de la 2

47. Determine los valores de la constante k de modo que el ´area de la regi´on limitada por las curvas y = x2 + k, y = 2x − 2, x = −1, x = 2 sea 12. 48. Calcule el ´ area de la regi´ on interior de la elipse

x2 y 2 + 2 =1 a2 b

49. Considerar las funciones: 1 g(x) = (x + 1) 2

y

 √  1 − x2 si f (x) = p  4 − (x − 3)2 si

Calcular el ´ area encerrada por estas dos curvas.

8

−1 ≤ x ≤ 1 1≤x≤5


integrales