Page 1

บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

1

บทที่ 2 การหาผลเฉยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations) เนื้อหา 1. 2. 3. 4. 5. 6.

ระเบียบวิธีกราฟ (Graphical Method) ระเบียบวิธีการแบงครึ่งชวง (Bisection Method) ระเบียบวีการวางตัวผิดที่ (False Position Method) กระวนวิธกี ารทําซ้ํา (Simple Fixed-Point Iteration) ระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน (Newton-Raphson Method) ระเบียบวิธีเซแคนท (Secant Method)

ลักษณะของปญหา สมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equation) คือสมการที่มีกําลังสูงสุดไมเทากับหนึ่ง ยกตัวอยาง เชน สมการพหุนาม (Polynomial equation) 1 − 3.5 x + 2.5 x 2 = 0 x 7 + 6 x 5 − 0.14 x + 5 = 0

สมการเชิงอดิสัย (Transcendental equation) ln x 2 − 1 = 0 e − x cos( x + 0.2) = 0 c

v=

− t gm (1 − e m ) c

สมการเหลานีม้ ีรูปเปน f(x) = 0 เชน f ( x) = ln x 2 − 1 = 0 การหารากของสมการไมเปนเชิงเสน กําหนดให สมการไมเปนเชิงเสนอยูในรูปของฟงกชัน f(x) = 0 เชน สมการ ln x 2 − 1 = 0 เขียนให อยูในรูป f ( x) = ln x 2 − 1 = 0 การหารากของสมการไมเปนเชิงเสน คือการหาคา x* ที่ทําให f (x*) = 0 ซึ่งอาจแบงเปนขั้นตอนได ดังนี้ 1. หาลักษณะของราก (nature of root) ก. จํานวนราก ข. หาคารากอยางหยาบ (โดยทั่วไปเราจะใชกราฟ) 322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

2

2. ใชการประมาณสืบเนื่อง หรือ กระบวนวิธีการทําซ้ํา โดยมีการกําหนดคาเริ่มตน x0 มาให และคา x1 , x2 , x3 ,... เปนคาประมาณที่มีความแมนสูงขึ้น เรื่อยๆ ในขณะเดียวกันคา f ( x1 ), f ( x2 ), f ( x3 ) ... ≠ 0 มีขนาดเล็กลงเรือ่ ยๆ 3. มีการกําหนดเงื่อนไขหยุดการทําซ้ําๆ (Stopping Criterion) f ( xi ) < δ เมื่อ δ > 0 ก. กําหนดคาขอบเขตของฟงกชัน x new − xold < ε เมื่อ ε > 0 ข. กําหนดคาขอบเขตคาคลาดเคลื่อน ค. กําหนดคาขอบเขตคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ

x new − xold × 100% < ε s x new

เมื่อ ε s > 0 และเปนเงือ่ นไขในการหยุดการทําซ้ํา และจะหยุดทําซ้ําเมื่อคาคลาดเคลื่อน จากการทําซ้ําแตละครั้ง ε a

=

x new − xold × 100% < ε s x new

ระเบียบวิธีการหารากของสมการที่ไมเปนเชิงเสนทั้ง 6 ระเบียบวิธีไดถกู จําแนกออกเปนสองกลุมดวยกันด กลุมที่หนึ่งเปนระเบียบวิธีปด (close method หรือ bracketing method) ประกอบดวยระเบียบวิธีกราฟ ระเบียบวิธีแบงครึ่งชวง และระเบียบวิธีการวางตัวผิดที่ และกลุมที่สองคือระเบียบวิธีเปด (open method) ประกอบดวยระเบียบวิธีการทําซ้ําแบบจุดเดียว ระเบียบวิธีนิวตันราฟสัน และระเบียบวิธีเซแคนต โดยมีการ จําแนกตามการกําหนดชวงหรือคาที่เริ่มพิจารณา 1 ระเบียบวิธีกราฟ (Graphical Method) มีขั้นตอนการดําเนินการดังนี้ 1. เขียนกราฟ y = f (x ) 2. ตรวจสอบดูวากราฟตัดแกน x ที่จุดใด (จุดตัดแกน x เหลานั้นก็คือรากของสมการนั่นเอง) 3. กําหนดชวงที่มีรากปรากฏอยู แลวพิจารณากราฟเฉพาะในชวง มีหลายกรณีทรี่ ากปรากฏหรือไมปรากฏ ในทางปฏิบัติเมื่อเรามีสมการที่มีรูปแบบซับซอนเราอาจทําไดโดย 1. แยกฟงกชนั f(x) ออกเปน f ( x) = φ1 ( x) − φ 2 ( x)

2. เขียนกราฟ y = φ1 ( x) และ y = φ2 ( x) โดยใชแกน และสเกล (scale) เดียวกัน 3. จุดที่กราฟของทั้งสองฟงกชันตัดกันคือคารากของสมการ f(x) เพื่อความสะดวกและรวดเร็วควร เลือก φ1 ( x) และ φ 2 ( x) เปนฟงกชันที่มีรปู แบบที่งายและพบอยูเสมอ 4. หากตองการความแมนสูง ใหเขียนกราฟเฉพาะบริเวณที่ใกลจุดตัด และขยายสเกล (scale)

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

ตัวอยาง 4.1 หารากของสมการ วิธีทํา 1. ให φ1 ( x) = x 3

3

x3 − x − 2 = 0

φ1 ( x ) = x + 2

นั่นคือ f ( x) = φ1 ( x) − φ2 ( x) = x3 − x − 2 = 0 2. วาดกราฟของ φ1 ( x) และ φ 2 ( x) และพิจารณาจุดตัดดังรูป 2.1

รูป 2.1 ตัวอยาง 4.2 หารากของสมการ e x sin x = 1 วิธีทํา เขียนสมการเสียใหมดงั นี้ sin x = e − x sin x − e − x = 0 φ1 ( x) = sin x และ φ2 ( x) = e− x

ให หรือ f ( x) = φ1 ( x) − φ2 ( x) = 0 เมื่อวาดกราฟของทั้งสองฟงกชันจะไดดังรูป 2.2

รูป 2.2 322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

4

จะเห็นวากราฟทั้งสองเสนมีจุดตัดหลายจุด หากเราระบุชวงลงไป ในการพิจารณาคาราก เชน เมื่อ x ∈ [ 0.4, 0.8] เปนตน จะไดกราฟดังรูป 2.3

รูป 2.3 2 ระเบียบวิธีการแบงครึง่ ชวง (The Bisection Method) ชวงจะถูกแบงทีละครึ่งเสมอ บางครั้งเรียกวา - Interval halving method - Binary chopping method - Bolzano’s method สมมติใหฟงกชันคาจริง f (x) ตอเนื่องบนชวง [a, b] โดยที่ f (a) และ f (b) มีเครื่องหมายตางกัน ( f (a) f (b) < 0) แลวจะไดวาจะมีรากของ f (x) อยางนอยหนึ่งรากที่อยูระหวาง x = a และ x = b ขั้นตอนมีดังนี้ x ∈ [a, b] 1. ให xl = a และ xu = b โดยที่ f ( xl ) f ( xu ) < 0 2. ประมาณคาราก xr โดยใชสูตร xr =

x l + xu 2

3. พิจารณาเครื่องหมายของ f ( xl ) f ( xr ) โดยเปรียบเทียบกับคาศูนย กรณีที่ 1 ถา f ( xl ) f ( xr ) < 0 แลว ให xunew = xr และทําซ้ําขั้นตอนที่ 2 กรณีที่ 2 ถา f ( xl ) f ( xr ) > 0 แลว ให xlnew = xr และ ทําซ้ําขั้นตอนที่ 2 กรณีที่ 3 ถา f ( xl ) f ( xr ) = 0 แลวจะได x = xr เปนรากของสมการและหยุดทําซ้ํา หมายเหตุ ในการทําซ้ําแตละครั้ง ขอบเขตคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ εa หาไดจาก εa =

x rnew − x rold × 100% < ε s x rnew

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

เมื่อมีการกําหนดเงื่อนไขหยุดการทําซ้ํา εs ให ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

5

ตัวอยาง 3 ใชระเบียบวิธีการแบงครึ่งชวง (Bisection Method) หาผลเฉลย (ราก) ของสมการ e x sin x − 1 = 0 โดยกําหนดใหรากอยูบนชวง [0.5, 0.6] โดยกําหนดให εs = 1% (ทําตัวเลข 6 หลัก (6 S.D.)) วิธีทํา f ( x) = e x sin x − 1 = 0 รอบที่ 1 xl = 0.5 xu = 0.6 จะได 0.5 + 0.6 = 0.55 2 f ( xl ) = f (0.5) = e0.5 sin 0.5 − 1 = (1.64872)(0.479425) − 1 = 0.790438 − 1 = −0.209562

xr =

f ( xu ) = f (0.6) = e0.6 sin 0.6 − 1 = (1.82212)(0.564642) − 1 = 1.02884 − 1 = 0.02884 f ( xr ) = f (0.55) = e0.55 sin 0.5 − 1 = (1.73325)(0.522687) − 1 = 0.905947-1 = -0.094053

เปรียบเทียบ f ( xl ) f ( xu ) > 0 ดังนั้น xlnew = xr = 0.55 นั่นคือชวงในการพิจารณาของรอบที่ 2 คือ [0.55 , 0.6] รอบที่ 2 xl = 0.55 , f ( xl ) = −0.094053 f xu = 0.6 , f ( xu ) = 0.02884 0.55 + 0.6 = 0.575 2 f ( xr ) = f (0.575) = e0.575 sin 0.575 − 1 = (1.77713)(0.543835) − 1 = 0.966465-1

xr =

= -0.033535 f ( xl ) f ( xu ) > 0

เปรียบเทียบ ดังนั้น xlnew = xr = 0.575 ∴ ชวงในการพิจารณาของรอบที่ 3 คือ [0.575 , 0.6] คาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ εa =

0.575-0.55 × 100% = 4.35% > ε s = 1% 0.575

รอบที่ 3 xl = 0.575 , f ( xl ) = −0.033535 xu = 0.6 , f ( xu ) = 0.02884 xr = 0.5875, f ( xr ) = -0.002581

เนื่องจาก

f ( xl ) f ( xu ) > 0

จะได

xlnew = xr = 0.5875

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

และ |εa | = 2.13% > εs = 1% ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

6

รอบที่ 4 xl = 0.5875 , f ( xl ) = −0.002581 xu = 0.6 , f ( xu ) = 0.02884 xr = 0.59375, f ( xr ) = 0.01308

เปรียบเทียบ f ( xl ) f ( xu ) < 0 ดังนั้น xunew = xr = 0.59375 ชวงในการพิจารณาคารากสําหรับรอบที่ 5 คือ [0.5875 , 0.59375] และ ε a รอบที่ 5 xl = 0.5875 , f ( xl ) = −0.002581 xu = 0.59375 , f ( xu ) = 0.01308

= 1.05% > ε s = 1%

xr = 0.590625, f ( xr ) = 0.00524

ε a = 0.53% < ε s = 1% ∴

จึงหยุดการทําซ้ํา จะไดวาคารากของสมการ e x sin x − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีการแบงครึ่งชวงมีคาประมาณ 0.590625 โดยมี ขนาดคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธเทากับ 0.53% หรือแสดงคาที่ไดดังตาราง 2.4 รอบที่ xl xu f ( xl ) f ( xu ) f ( xl ) f ( x r ) εa xr f ( xr ) + 0.55 -0.209562 0.02884 -0.094053 0.6 0.5 1 4.35 % + 0.575 -0.094053 0.02884 -0.033535 0.6 0.55 2 2.13% + 0.5875 -0.033535 0.02884 -0.002581 0.575 0.6 3 1.05% 0.59375 -0.002581 0.02884 0.01308 4 0.5875 0.6 0.53% 5 0.5875 0.59375 0.590625 -0.002581 0.01308 0.00524 ตาราง 2.4 3 ระเบียบวิธีการวางตัวผิดที่ (The False-Position method) บางครั้งเรียกวา linear interpolation method วิธีนี้แตกตางจากระเบียบวิธีแบงครึ่งชวง (The bisection method) เพียงเล็กนอย คือเปนการประมาณคารากในตําแหนงที่มีระยะหางจากจุดปลายทัง้ สองตาม สัดสวนของคาฟงกชัน แทนที่จะประมาณคารากตรงจุดกึ่งกลางของชวงในทุกรอบ โดยพิจารณาจากความสัมพันธของสามเหลี่ยมคลาย ดังรูป 2.5 และพิจารณาสัดสวนของดานของสามเหลี่ยม คลาย (สวนที่แรเงา)

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

7

รูป 2.5 − f ( xl ) xr − xl

=

f ( xu ) xu − xr

− f ( xl )( xu − xr ) = f ( xu )( xr − xl ) f ( xl ) xu + f ( xl ) xr = f ( xu ) xr − f ( xu ) xl [ f ( x l ) − f ( xu )]xr = f ( xl ) xu − f ( xu ) xl f ( xl ) xu − f ( xu ) xl xr = f ( xl ) − f ( xu ) =

f ( xl ) xu f ( xu ) xl − f ( xl ) − f ( xu ) f ( xl ) − f ( xu )

=

f ( xl ) xu f ( xu ) xl − xu − + xu f ( xl ) − f ( xa ) f ( xl ) − f ( xu )

=

xu f ( xu ) f ( xu ) xl − + xu f ( xl ) − f ( xu ) f ( xl ) − f ( xu )

จะไดสูตรหาคารากโดยระเบียบวิธีวางตัวผิดที่คือ xr = xu −

f ( xu )( xl − xu ) f ( xl ) − f ( xu )

ขั้นตอนการดําเนินการคลายกับระเบียบวิธกี ารแบงครึ่งชวงดังนี้ 1. กําหนดชวงในการพิจารณาหาคารากของสมการ [ xl , xu ] 2. คํานวณหาคารากจากสูตร

x r = xu −

f ( xu )( xl − xu ) f ( xl ) − f ( x u )

3. พิจารณาเครื่องหมายของ f ( xl ) f ( xr ) โดยเปรียบเทียบกับคาศูนย กรณีที่ 1 ถา f ( xl ) f ( xr ) < 0 แลว ให xunew = xr และทําซ้ําขั้นตอนที่ 2 กรณีที่ 2 ถา f ( xl ) f ( xr ) > 0 แลว ให xlnew = xr และ ทําซ้ําขั้นตอนที่ 2 กรณีที่ 3 ถา f ( xl ) f ( xr ) = 0 แลวจะได x = xr เปนรากของสมการและหยุดทําซ้ํา หมายเหตุ ในการทําซ้ําแตละครั้ง ขอบเขตคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ εa หาไดเชนเดียวกับระเบียบวิธกี ารแบง ครึ่งชวง

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

8

ตัวอยาง 4 กําหนดให f ( x) = e x sin ( x ) − 1, x ∈ [0.5, 0.6], ε s = 1% จงหารากของสมการ e x sin ( x ) − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีการวางตัวผิดที่ และใหทําเลข 6 หลัก (6 S.D.) วิธีทํา รอบที่ 1 xl = 0.5 , f ( xl ) = −0.209562 xu = 0.5 , f ( xu ) = 0.02884 f ( xu )( xl − xu ) f ( xl ) − f ( xu )

x r = xu −

(0.02884)(0.5 − 0.6) 0.002884 = 0 .6 − (−0.209562 − 0.02884) 0.238402 = 0.6 − 0.0120972 = 0.587903 f ( x r ) = −0.00153 = 0 .6 −

เนื่องจาก f ( xl ) f ( xu ) > 0 จะไดวา xlnew = xr = 0.587903 ชวงในการพิจารณาคารากสําหรับรอบใหมคือ [0.587903, 0.6] รอบที่ 2 xl = 0.587903 , f ( xl ) = −0.001573 xu = 0.5 , f ( xu ) = 0.02884 xr = xu −

f ( xu )( xl − xu ) f ( xl ) − f ( xu )

(0.02884)(0.587903 − 0.6) (−0.004573 − 0.02884) = 0.588529

= 0.6 − xr

โดยมีคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ ε a =

0.588529-0.587903 × 100% = 0.11% < ε s = 1% 0.588529

เราหยุดการทําซ้ําในรอบที่ 2 และได x = 0.588529 เปนคารากโดยประมาณของ e x sin x − 1 = 0 4 ระเบียบวิธีการทําซ้ําแบบจุดคงที่ (The Fixed point Iteration method) หลักการของระเบียบวิธีการทําซ้ําแบบจุดคงที่คือใหมีการจัดรูปสมการเสียใหมใหอยูใ นรูป x = g(x) เชน x2 − 2x + 3 = 0 x2 + 3 = g ( x) 2 x = ± 2 x − 3 หรือให g1 ( x ) = 2 x − 3 x=

และ g 2 ( x ) = − หรือ เมื่อได x ในรูปแบบฟงกชนั ของตัวมันเองแลว ตอไปก็ดาํ เนินตามขั้นตอนดังนี้ 322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

2x − 3

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

9

1. กําหนดจุดเริ่มตน x0 2. ใช สูตรการทําซ้ําแบบจุดคงที่ xi+1 = g(xi) เมื่อ i = 0,1, 2,... ซึ่งเปนการคํานวณคาของ x ตัวใหมโดย ฟงกชันของคา x จากรอบการทําซ้ําที่ผานมา 3. คํานวณคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ และเปรียบเทียบกับเงื่อนไขหยุดการทําซ้ํา ε s εa =

xi +1 − xi ×100% < ε s xi +1

ตัวอยาง 5 จงหารากของสมการ e x sin x − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีการทําซ้าํ แบบจุดคงที่ โดยกําหนดให x0 = 0.5 และทําเลข 6 หลัก (6 S.D.) วิธีทํา เขียนสมการ e x sin x − 1 = 0 ใหม จะได x = − ln(sin x ) ดังนั้นสูตรการทําซ้ําแบบจุดคงที่คือ xi +1 = − ln(sin xi )

เมื่อ

i = 0,1, 2,...

เมื่อ

i = 0,1, 2,...

หรือเขียนไดอกี รูปแบบหนึ่งดังนี้ x = sin −1 (e − x )

และสูตรการทําซ้ําแบบจุดคงที่คือ xi +1 = sin −1 (e − xi )

จาก x0 = 0.5 และเลือกสูตรการทําซ้ํา xi +1 = sin −1 (e − x ) รอบที่ 1 x1 = sin −1 (e− x ) = sin −1 (e−0.5 ) = 0.651690 i

0

εa =

รอบที่ 2

xi +1 − xi 0.651690 − 0.5 ×100% = × 100% = 23.28% 0.651690 xi +1

x2 = sin −1 (e − x1 ) = sin −1 (e −0.651690 ) = 0.548215

εa =

xi +1 − xi 0.548214 − 0.651690 ×100% = × 100% = 18.88% 0.548214 xi +1

แสดงคาไดดังตาราง 2.6 |εa|

รอบที่ 0

0.5

1

0.651690

23.28

2

0.548215

18.87

3

0.616252

11.04

4

0.570395

8.04

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

xi

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

10

#

#

#

17

0.588469

0.03

18

0.588575

0.02

19

0.588505

0.01

20

0.588551

0.01

ตาราง 2.6 5 ระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน (The Newton-Raphson Method) สมมติใหคารากของสมการ f(x ) = 0 ที่กําหนดให คือ x = xi เสนสัมผัสเสนโคง f(x ) ที่จุด (xi , f (xi )) มีความชันเทากับ f ′( xi ) เมื่อลากเสนตรงที่มีความชันดังกลาวผานแกน x กําหนดใหตดั แกน x ที่จุด (xi+1,0) และคา x = xi+1 เปนคาที่ไดจากการปรับปรุงคา x ตัวเดิม เมื่อดําเนินการตอไปเรื่อย ๆ คาที่ไดจะเปนคาที่ลู เขาสูคารากจริง ดังรูป 2.7

รูป 2.7 เสนสัมผัสเสนโคง f(x ) ที่จุด (xi , f (xi )) มีความชันเทากับ f ′( xi ) นั่นคือ 0 − f ( xi ) f ′ ( xi ) = xi +1 − xi

xi +1 − xi = −

f ( xi ) f ′ ( xi )

xi +1 = xi −

f ( xi ) f ′ ( xi )

สูตรการทําซ้ําของนิวตัน-ราฟสัน (Newton-Raphson formula) คือ xi +1 = xi −

f ( xi ) , i = 0,1,2,... เมื่อ f ′( xi ) ≠ 0 f ′( xi )

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

11

ตัวอยาง 6 หาราก f ( x) = e x sin x − 1 = 0 โดยกําหนดให x0 = 0.5 และทําเลข 6 หลัก (6 S.D.) หา f ′( x) = e x cos x + e x sin x กําหนดให ε s = 1% วิธีทํา รอบที่ 1 x1 = x0 −

f ( x0 ) f ′( x0 )

(e0.5 sin 0.5 − 1) e0.5 (cos 0.5 + sin 0.5) = 0.593666 โดยมีคาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ ε a = 0.593666 − 0.5 ×100% = 15.78% 0.593666 = 0.5 −

รอบที่ 2 x2 = 0.588550 และ ε a =

x2 − x1 ×100% = 0.87% < ε s = 1% x2

ดังนั้นคารากของสมการ f ( x) = e x sin x − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสันมีคาประมาณ x = 0.588550 2.6 ระเบียบวิธีเซแคนต (The Secant Method) มีบางฟงกชันที่ไมสะดวกในการหาอนุพนั ธ f ′( xi ) เราจึงเปลี่ยนรูปแบบ ผลตางอันตะยอนหลัง (Backward finite divided difference) ดังนี้ f ′( xi ) =

เมื่อแทน

f ′( xi )

f ′( xi ) ใหอยูในรูป

f ( xi ) − f ( xi −1 ) xi − xi −1

ลงในสูตรของนิวตัน-ราฟสัน จะไดวา

xi +1 = xi − = xi −

f ( xi ) f ′( xi ) f ( xi ) ⎛ f ( xi ) − f ( xi −1 ) ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − x x i i −1 ⎝ ⎠

สูตรการทําซ้ําโดยระเบียบวิธีเซแคนตคือ xi +1 = xi −

f ( xi )( xi − xi −1 ) f ( xi ) − f ( xi −1 )

เมื่อ

i = 0,1, 2,...

หมายเหตุ จะตองมีการกําหนดจุดเริ่มตน 2 จุด เสมอ (x0 และ x-1) (จะเห็นวามีลกั ษณะคลายกับระเบียบ วิธีการวางตัวผิดที่

322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร


บทที่ 2 การหาผลเฉลยของสมการที่ไมเปนเชิงเสน (Nonlinear Equations)

12

ตัวอยาง 7 หารากของ f ( x) = e x sin x − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีเซแคนต กําหนด x-1 = 0.5 และ x0 = 0.6และ ทําเลข 6 หลัก เพียง 2 รอบ วิธีทํา รอบที่ 1 กําหนด x-1 = 0.5 และ x0 = 0.6 จะได f ( x−1 ) = f (0.5) = −0.209561 f ( x0 ) = f (0.6) = 0.02884

แทนลงในสูตรของระเบียบวิธีเซแคนต x1 = x0 − f ( x0 )

( x0 − x−1 ) ( f ( x0 ) − f ( x−1 ) )

= 0.6 − ( 0.02884 )

( 0.6 − 0.5)

( 0.02284 + 0.209561)

= 0.6 − 0.0124096 = 0.587590

และ

f ( x1 ) = −0.00235390

รอบที่ 2 x2 = x1 − f ( x1 )

( x1 − x0 ) ( f ( x1 ) − f ( x0 ) )

= 0.587590 − ( −0.00235390 )

( 0.587590 − 0.6 )

( −0.00235390 − 0.02284 )

= 0.587590 + 0.00115948 = 0.588749

ดังนั้นคารากของสมการ f ( x) = e x sin x − 1 = 0 โดยระเบียบวิธีเซแคนตมีคาประมาณ x = 0.588550 และมี คาคลาดเคลื่อนสัมพัทธ

εa =

0.588749 − 0.587590 × 100% = 0.20% 0.588749

สรุป การหารากของสมการที่ไมเปนสมการเชิงเสน 1. เริ่มตนดวยการศึกษาลักษณะของราก หาคารากโดยประมาณ อาจใชวิธีกราฟหรือคุณสมบัติของสมการ ชวยในการพิจารณา 2. ระเบียบวิธีการแบงครึ่งชวงเปนวิธีที่งาย 3. ระเบียบวิธีนิวตัน-ราฟสัน เหมาะกับงานทั่วไปและไดผลดีเมื่อกําหนดคาเริ่มตนใกลเคียงกับราก 4. ระเบียบวิธีเซแคนต นาเลือกมากที่สุด หารากไดดีที่สุด แตยุงยากในการเขียนโปรแกรม 5. ระเบียบวิธีการทําซ้ําแบบจุดคงที่ เราสามารถกําหนดเงื่อนไขการลูเขาได เอกสารอางอิง 1. ศิริพงษ ศรีพิพัฒน, คณิตศาสตรเชิงตัวเลข, มหาวิทยาลัยสงขลานครินทร, 2528. 2. Steven C., Numerical Methods for Engineers, 2nd edition, McGraw-Hill, 1990. 322-202 ระเบียบวิธีเชิงตัวเลข (Numerical Methods)

ศุภวรรณ เลิศไกร

ืnonlinear  

Numerical Analysis

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you