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MĂłdulo 2

CĂĄlculo Integral

Função primitiva

1RHVWXGRGDGHULYDGDSULPLWLYDWtQKDPRVXPDIXQomRHREWLYHPRVDSDUWLUGHODXPDRXWUDDTXHFKDPDPRV de derivada1HVWDVHomRIDUHPRVRFDPLQKRLQYHUVRLVWR Ê, dada a derivada, vamos encontrar ou determinar uma IXQomRRULJLQDOTXHFKDPDUHPRVGHSULPLWLYD9RFrGHYH REVHUYDUTXHpLPSRUWDQWHFRQKHFHUEHPDVUHJUDVGH derivação e as derivadas de vårias funçþes, estudadas no Capítulo 5, para determinar as primitivas. O que acabamos GHPHQFLRQDUQRVPRWLYDDVHJXLQWHGHÀQLomR

Nesta unidade, passaremos a nos preocupar com o teorema mais importante do cålculo diferencial, que Ê o Teorema Fundamental do Cålculo. É importante TXHYRFrFRPSUHHQGDHVWD temåtica antes de prosseguir seus estudos. Não esqueça TXHYRFrQmRHVWiVR]LQKR conte com o Sistema de $FRPSDQKDPHQWRSDUD auxiliar-lo nas suas dúvidas.

Uma função F (x) Ê chamada uma primitiva da função f (x) em um intervalo I , se para todo x DI , tem-se F '(x)  f (x) .

Vejamos alguns exemplos. x5 Exemplo 7.1 A função F (x)  Ê uma primitiva da função f (x)  x 4 , 5 pois 4 5x F '(x)   x 4  f (x) , ™x D° 5 x5 x5 Exemplo 7.2 As funçþes T (x) 

9 , H (x)  < 2 tambÊm são 5 5 4 primitivas da função f (x)  x , poisT '(x)  H '(x)  f (x) . 281


Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 7.3 A função F (x)  f (x)  e < 3x , pois

e <3 x Ê uma primitiva da função <3

<3 = e <3x F '(x)   e <3x 1 f (x) , Â&#x2122;x D° . <3 Exemplo 7.4 A função F (x)  x  x 2 ĂŠ uma primitiva da função 1 f (x)  , pois 2 x 1 1 < 1 <1 1 1 1 1 F '(x)  x 2  = x 2 = 1   f (x) , x  0 . 2 2 2 2 x x2 Observação Seja I um intervalo em ° . Se F : I A ° ĂŠ uma primitiva de f : I A ° , entĂŁo para qualquer constante real k , a função G(x) dada por G(x)  F (x) k ĂŠ tambĂŠm uma primitiva de f (x) . Se F ,G : I A ° sĂŁo primitivas de f : I A ° , entĂŁo existe uma constante real k , tal queG(x)  F (x) k , para todo x DI .



Exemplo 7.5 Sabemos que sen x '  cos x . Assim, F (x)  sen x Ê uma primitiva da função f (x)  cos x e toda primitiva da função f (x)  cos x Ê do tipo G(x)  sen x k para k D ° . 3 Assim,G1 (x)  sen x 10 , G2 (x)  sen x < 50 e G3 (x)  sen x < são 4 todas primitivas da função f (x)  cos x , pois G1` (x)  G2` (x)  G3` (x)  cos x  f (x) . Exemplo 7. 6 E n c o n t ra r u m a p r i m it iva F (x) , d a f u n ç ã o f (x)  2x 3 < 4x 2 5x < 1, para todo x D° , que satisfaça a seguinte condição F (1)  4 . Resolução:3HODGH¿QLomRGHIXQomRSULPLWLYDWHPRVF '(x)  f (x) para todo x D ° , assim, F (x) serå uma função cuja derivada serå a função f (x) dada. Logo, 2 x3 x2 F (x)  x 4 < 4 5 < x k , 4 3 2 pois 2 x2 x 3 F '(x)  u 4x < 4 u 3 5 u 2 < 1 0 3 4 2

282


MĂłdulo 2

 2x 3 < 4x 2 5x < 1  f (x) , ou seja, 1 4 x3 x2 x <4 5 <x k. 2 3 2

F (x) 

Como F (x) deve satisfazer a condição F (1)  4 , vamos calcular o valor da constante k , fazendo x  1 na função F (x) , isto Ê, 3





2

1 1 1 4 F (1)  1 < 4 <5 < 1 k  4 3 2 2



e resolvendo temos k  Assim,

10 . 4

F (x) 

1 4 x3 x2 10 x <4 5 <x . 2 3 2 3

F (x) 

1 4 x3 x2 13 x <4 5 <x , 2 3 3 2

Portanto,

Ê uma função primitiva de f (x)  2x 3 < 4x 2 5x < 1, que satisfaz condição F (1)  4 . Exemplo 7.7 Encontrar uma primitiva F (x) , da função f (x) 

1

x 3 +2 , 2 1 x

que satisfaça a seguinte condição F (0)  2 . Resolução: Sabemos que F (x) Ê uma função cuja derivada Ê a função f (x) dada. Conforme visto no Capitulo 5, temos d 1 1 arc tg x  ou arc tg x '  . 2 dx 1 x 1 x2





Logo, F (x)  arc tg x

x4

2x k , 4

pois, 283


Curso de Graduação em Administração a Distância

F '(x) 

ou seja,



£ x4 ¼ v arc tg x ' + ² ´ (2x)' k ' ¤ 4Œ



1 4x 3

2 0 4 1 x2

=

1

x 3 2  f (x) , 2 1 x F (x)  arc tg x

x4

2 x k. 4

Como F (x) deve satisfazer a condição F (0)  2 , com isto vamos calcular o valor da constante k fazendo x  0 na função F (x) , isto Ê, x4 F (x)  arc tg x

2x k 4 04 Â&#x2030; F (0)  arc tg 0 2 u 0 k  2 4 Â&#x2030;0 0 0 k  2 Â&#x2030; k  2 Assim, F (x)  arc tg x

x4

2x 2 . 4

F (x)  arc tg x

x4

2x 2 4

Portanto,

Ê uma função primitiva de f (x) 

1

x 3 +2 2 1 x

que satisfaz a condição F (0)  2 . Exemplo 7.8 Encontrar uma primitiva F (x) , da função f (x)  e <3x x , que satisfaça a condição F (0)  1 . Resolução: Sabemos que F (x) serå uma função cuja derivada 284


MĂłdulo 2

serå a função f (x) dada, logo 3 e <3 x 2 2 F (x)  <

x k, 3 3 pois, ÂŁ 2 3 ÂĽv ÂŁ e <3 x ÂĽ v

F '(x)  ² < x2 ´ 3 k ² ´ <3 x 3e Œ ¤ ¤23 3 Œ <1  <(<3)

u x2 3 2 3 1

 e <3 x x 2  e <3 x x  f (x) , ou seja, 3

e <3 x 2 2 F (x)  <

ux k . 3 3 Como F (x) deve satisfazer a condição F (0)  1 , com isto vamos calcular o valor da constante k fazendo x  0 na função F (x) , isto Ê, 3

e <3 x 2

. x2 k 3 3 3 <3 . 0 e 2 2 Â&#x2030; F (0)  <

.0 k  1 3 3 F (x)  <

1 2 Â&#x2030; < u0 k  1 3 3 1 Â&#x2030;< 0 k 1 . 3 4 1 4 Â&#x2030; k  1  Â&#x2030; k  3 3 3 Assim,

3

F (x)  <

e <3 x 2 2 4

x . 3 3 3 3

Portanto, F (x)  <

e <3 x 2 2 4

x , Ê uma função primitiva de 3 3 3

f (x)  e -3 x x que satisfaz a condição F (0)  1 .

285


Curso de Graduação em Administração a Distância

+PVGITCNKPFGſPKFC Sabemos que a derivada Ê um dos conceitos mais importantes do Cålculo. Outro conceito tambÊm muito importante Ê o de Integral. Existe uma estreita relação entre estas duas idÊias. Assim, nesta seção, serå introduzida a idÊia de integral, mostrando sua relação com a derivada.

Se a função F (x) ĂŠ primitiva da função f (x), a expressĂŁo F (x) C ĂŠ chamada LQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGD da função f (x) e ĂŠ denotada por

0 f (x) dx  F (x) C onde

0

< ĂŠ chamado sinal de integração; f (x) < ĂŠ a função integrando; dx  ²DGLIHUHQFLDOTXHVHUYHSDUDLGHQWLĂ&#x20AC;FDUDYDULiYHOGH integração; C

â&#x20AC;&#x201C; ĂŠ a constante de integração.

/rVH,QWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDGH f (x) em relação a x ou simplesmente integral de f (x) em relação a x . 2 SURFHVVR TXH SHUPLWH HQFRQWUDU D LQWHJUDO LQGHĂ&#x20AC;QLGD GH XPD IXQomRpFKDPDGRintegração. Observação 'DGHĂ&#x20AC;QLomRGHLQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDWHPRVDVVHJXLQWHV observaçþes: (i)

0 f (x) dx  F (x) C

Â&#x2039; F '(x)  f (x) .

(ii) 0 f (x) dx representa uma família de funçþes, isto Ê, a família ou o conjunto de todas as primitivas da função integrando. (iii) 286

d dx

 0 f (x) dx  dxd  F (x) C  dxd F (x)  F '(x)  f (x) .


MĂłdulo 2

Vejamos alguns casos, no exemplo a seguir. Exemplo 7.9 (i) Se

d senx  cos x entĂŁo 0 cos x dx  senx C . dx

(ii) Se

d 4 x  4x 3 entĂŁo 0 4x 3dx  x 4 + C . dx

(iii) Se

d dx

(iv) Se

d tg x  sec 2 x entĂŁo 0 sec 2 x dx  tgx C . dx

(v) Se

d 1 1 arctg x  entĂŁo 0 dx  arctgx C . 2 dx 1 x2 1 x





 x  2 1 x entĂŁo 0 2 1x dx  



x C .

5 2 2 5 d £ 3 3¼ 3 3 3 3 (vi) Se x  x , então 0 x dx  x C . dx ²¤ 5 ´Œ 5

Observação Pelos exemplos acima, temos: d

0 f (x) dx  F (x) C Â&#x2030; dx  0 f (x)dx 

f (x) .

Isto nos permite que obtenhamos fórmulas de integração diretamente das fórmulas para diferenciação.

Propriedades da integral indefinida Sejam f (x) e g(x) IXQo}HVUHDLVGHĂ&#x20AC;QLGDVQRPHVPRGRPtQLRH k uma constante real. EntĂŁo: a)

0 k f (x) dx  k 0 f (x) dx .

b)

0  f (x)

g(x) dx 

0 f (x) dx 0 g(x) dx .

Algumas integrais imediatas Daremos a seguir algumas fĂłrmulas de integrais simples e imediatas. 287


Curso de Graduação em Administração a Distância

(i)

0 dx  x C . n 0 x dx 

(ii)

x n 1

C, n & <1 . x 1

dx  ln x C . x ax (iv) 0 a x dx 

C, a  0, a & 1 . ln a

0

(iii)

(v)

x

0 e dx  e

C .

(vi)

0 sen x dx  < cos x C .

(vii)

0 cos x dx  sen x C .

(viii)

0 tg x dx  ln sec x C .

(ix)

0 cotg x dx  ln sen x C .

(x)

0 sec x du  ln sec x tg x C .

(xi)

0 cosec x dx  ln cosec x < cotg x C .

(xii)

0 sec x tg x dx  sec x C .

(xiii)

0 cosec x cotg x dx  <cosec x C .

(xiv)

0 sec

(xv)

0 cosec x dx  <cotg x C . 0x

(xvii)

0x

(xviii)

0

(xx)

2

x dx  tg x C . 2

(xvi)

(xix)

288

x

0 0

2

dx 1 x  arc tg C . 2 a a

a

2

dx 1 x<a  ln

C, x 2  a 2 . 2 2a x a <a dx 2

x a dx 2

x <a

2

dx 2

a <x

2

2

 ln x x 2 a 2 C .

 ln x x 2 < a 2 C .

 arc sen

x

C, x 2  a 2 . a


MĂłdulo 2

(xxi)

dx

0x

x2 < a2



1 x arc sec C . a a

Observação Apesar de que não estudarmos as funçþes inversas trigonomÊtricas, mas nas integrais (xvi), (xx) e (xxi) as respostas das integrais Ê em termos de funçþes inversas. Estas integrais foram colocadas aqui, apenas para cumprir a tabela. Para conhecimento do leitor: arc tg x  tg <1x , arc sen x  sen <1x e arc sec x  sec <1 x . Usando as propriedades da integral e a tabela de integrais imediatas, vamos calcular, atravÊs de alguns exemplos, a integral de funçþes. Exemplo 7.10 Calcular

0 7x

4

sec 2 x dx .

Resolução: 'DVSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDHGDWDEHODGH integrais imediatas, temos

0 7x

4

sec 2 x dx  7 =7

0x

4

dx

0 sec

2

x dx

x 4 1 x5

C1 tg x C2  7 tg x C1 C2 , 4 1 5

onde C1 e C2 sĂŁo constantes arbitrĂĄrias. Como a soma C1 + C2  p XPD QRYD FRQVWDQWH DUELWUiULD YRFr escreve C1 + C2  C e vem 7

x5 x5

tg x C1 C2  7

tg x C . 5 5

Portanto,

0

7x 4 sec 2 x dx  7

x5

tg x C . 5

Atenção: Sempre que vocĂŞ tiver uma soma de duas ou mais integrais LQGHĂ&#x20AC;QLGDVHVFUHYDDSHQDVuma constante para indicar a soma das vĂĄrias constantes de integração.

289


Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 7.11 Calcular ÂŁ

0 ²¤ 3 e

x

¼ 1 < sen x ´ dx . 4x Œ

Resolução: Das propriedades da integral, vem £

0 ²¤ 3 e

x

¼ 1 1 < sen x ´ dx  0 3e x dx 0 dx < 0 sen x dx 4x 4x Œ  30 e x dx 0 = 30 e x dx

1 dx < sen x dx 4 x 0

1 dx < 0 sen x dx 40 x

1  3e x ln x < (< cos x) C 4 1  3e x ln x cos x C , 4 onde utilizamos os resultados da Tabela (v), (iii) e (vii), respectivamente. Portanto, £ x ¼ 1 1 x 0 ²¤ 3 e 4 x < sen x ´Œ dx = 3e 4 ln x cos x C . Exemplo 7.12 Calcular £

0 ²¤ 4e

x

<

sen x 4ÂĽ

5 ´ dx . 2 cos x x Œ

Resolução: Aplicando as propriedades da integral e como cos 2 x  cos x.cos x , vem £

0 ²¤ 4e

290

x

<

sen x 4ÂĽ

5 ´ dx 2 cos x x Œ

=

04 e

x

dx <

sen x dx

2 x

0 cos

4

0x

5

dx

sen x 1 dx 0 4 = 5 dx = cos x x

= 4 0 e x dx <

0 cos x

= 4 0 e x dx < 0

sen x 1 = dx 4 0 x <5 dx cos x cos x


MĂłdulo 2

= 4 0 e x dx <

0 tg x

= sec x dx 4 0 x <5 dx

= 4 0 e x dx < 0 sec x = tg x dx 4 0 x <5 dx = 4 e x < sec x 4

x <5 1

C <5 1

= 4 e x < sec x 4 = 4e x < sec x

x <4

C <4

x <4

C <1

 4 e x < sec x < x <4 C = 4e x < sec x <

1

C. x4

Portanto, ÂŁ x sen x 4ÂĽ 1 x 0 ²¤ 4 e < cos2 x x5 ´Œ dx = 4 e < sec x < x 4 C . Exemplo 7.13 O custo fixo de produção da empresa â&#x20AC;&#x153;Sorriso e (VSHUDQoDÂľ p 5 2 FXVWR PDUJLQDO p GDGR SHOD IXQomR C '(x)  0,03x 2 0,12x 5. Determinar a função custo total. Resolução: Sabemos que o custo marginal C '(x) ĂŠ a derivada da função custo totalC(x) . Assim, para encontrarmos C(x) devemos FDOFXODUDLQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDGDIXQomRFXVWRPDUJLQDORXVHMD C(x) = 0 C '(x) dx =

0 0,03x

2

0,12x 5 dx

= 0 0,03x 2 dx 0 0,12x dx 0 5 dx = 0,030 x 2 dx 0,12 0 x dx 50 dx =

0,03 3 0,12 2 x

x 5x K . 3 2

Logo, C(x) = 0,01x 3 0,06x 2 5x k . Quando a produção for nula, x  0 RFXVWRĂ&#x20AC;[RVHUi5 ou seja, 3





2



8.000  0,01 0 0,06 0 5 0 k e k  8.000 . 291


Curso de Graduação em Administração a Distância

Portanto, a função custo total ĂŠ C(x)  0,01x 3 0,06x 2 5x 8.000 . Exemplo 7.14 O custo marginal para produção de determinado bem, ĂŠ dado pela funçãoC '(x)  18 x 4  6H R FXVWR Ă&#x20AC;[R p GH 5 escreva a função custo total. Resolução: O custo marginal C '(x) ĂŠ a derivada da função custo totalC(x) . Assim, para encontrarmos C(x) devemos calcular a LQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDGDIXQomRFXVWRPDUJLQDORXVHMD C(x) = 0 C '(x) dx = =

0 18

0 18

x 4 dx

x dx 0 4dx = 18 0 x dx 4 0 dx 1

= 18 0 x 2 dx 4 0 dx 3 2

3

x = 18 u

4x k =12x 2 4x k . 3 2 Logo,

3

C(x)  12x 2 4x k Quando a produção for nula, x  0 RFXVWRĂ&#x20AC;[RVHUi5 ou seja, 3



50  12 u 0

2

4 u 0 k e k  50 .

Portanto, a função custo total Ê 3 2

C(x)  12x 4x 50 .

&RQVHJXLXDFRPSDQKDURFRQWH~GR estudado atĂŠ aqui? Para saber se aprendeu, procure resolver os exercĂ­cios propostos sobre função primitiva e integral. Caso encontre GLĂ&#x20AC;FXOGDGHVEXVTXHDSRLRMXQWRDR 6LVWHPDGH$FRPSDQKDPHQWR 292


MĂłdulo 2

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 1

1)

2)

Determinar a função primitiva F (x) da função f (x) , onde a) f (x)  5x 2 7x 2 . b)

f (x)  x

c)

f (x) 

d)

f (x) 

e)

f (x)  e 4x .

.

1 x

x

.

1 para x  1. x <1

Encontrar uma função primitiva F (x) da função f (x) dada, que satisfaça a condição inicial dada, onde a)

3)

5 4

<

f (x)  2 sen x cos x < <

2 3

x

1 2 / 2 x tal que F ( )  < . 2 4 2

tal que F (1) 

1 . 2

b)

f (x)  x

c)

/ f (x)  sec x = tg x cos x tal que F ( )  2 . 3

d)

f (x)  x

e)

f (x)  cos x < sen x tal que F (0)  0 .

x e x tal que F (0)  2 .

3

Calcular as integrais a)

0

2



2

x < 2 = x 2 dx . x

<

1 3

2

b)

0

c)

1 ÂŁ 5 ÂĽ 2 x

2 x

3 ´ dx . 0 ²² ´ x2 ¤ Œ

d)

0 4 < x < x

i)

0x

3

1 3

x2

dx .

2

dx .

Os exercícios propostos nesta seção, contribuirão para amadurecer os conceitos que acabamos de apresentar. As propriedades apresentadas nesta seção, serão utilizadas durante o curso. Por este motivo, Ê H[WUHPDPHQWHLPSRUWDQWHTXHYRFr WHQKDUHVROYLGRFRUUHWDPHQWHD

dx . 293


Curso de Graduação em Administração a Distância

+PVGITCNFGĹżPKFC Nas Unidades 5 e 6, tratamos da derivada e suas aplicaçþes. A derivada ĂŠ um dos conceitos mais importantes do cĂĄlculo. Outro conceito tambĂŠm muito importante ĂŠ o de integral. Existem dois problemas fundamentais em cĂĄlculo: o primeiro ĂŠ encontrar a inclinação de uma curva em um ponto dado e o segundo ĂŠ HQFRQWUDUDiUHDVREDFXUYD9RFrYLXQD8QLGDGHTXHRFRQFHLWRGH derivada estĂĄ ligado ao problema de traçar Ă  tangente a uma curva. $JRUDYRFrYHUiTXHDLQWHJUDOHVWiOLJDGDDRSUREOHPDGHGHWHUPLQDUDiUHDGHXPDĂ&#x20AC;JXUDSODQDTXDOTXHU$VVLPDGHULYDGDHDLQWHJUDO &DVRWHQKDG~YLGDV sĂŁo as duas noçþes bĂĄsicas em torno das quais se desenvolve anote e esclareça antes todo o cĂĄlculo. 'HVHMDPRVTXHYRFrQHVWDVHomRSRVVD compreender o de prosseguir. FRQFHLWRGHLQWHJUDOGHĂ&#x20AC;QLGD

Conceito de årea Jå sabemos que a integral estå ligada ao problema de determinar a iUHDGHXPD¿JXUDSODQDTXDOTXHU3RULVVRPRWLYDUHPRVRHQWHQGLPHQWR do cålculo de årea usando o mÊtodo do retângulo, de uma região R comSUHHQGLGDHQWUHRJUi¿FRGHXPDIXQomR f (x) com valores positivos, o eixo x , em um intervalo fechado [a,b] FRQIRUPH¿JXUDDEDL[R y

R

0

a

b

x

Figura 7.1

Talvez o primeiro contato que vocĂŞ tenha com o conceito de ĂĄrea, 294


MĂłdulo 2

seja atravÊs da fórmula A  b = h , que då a årea A de um retângulo como o produto da base b pela altura h . Logo a seguir, você tem a årea de um triângulo que Ê igual à metade do produto da base pela altura. Isto decorre do fato de que qualquer triângulo pode ser decomposto em dois triângulos retângulos, e todo triângulo equivale exatamente a meio UHWkQJXORFRQIRUPH¿JXUDDEDL[R

h

b Figura 7.2

1 b = h para a årea de um triângulo, pode2 se, encontrar a årea de qualquer polígono (um subconjunto do plano A razão Ê que, TXDOTXHU¿JXUD GHOLPLWDGRSRUXPD³FXUYD´IHFKDGDFRQVLVWLQGRHPXPQ~PHUR¿QLWR poligonal pode ser de segmentos retilíneos). subdividida em triOs problemas para o cålculo de årea, não apresentam grande diângulos que não se ¿FXOGDGHVHD¿JXUDSODQDIRUXPUHWkQJXORXPSDUDOHORJUDPRRXXP superpþem, e a årea triângulo. do polígono Ê então a soma das åreas $iUHDGHXPD¿JXUDSODQDTXDOTXHUSRGHVHUFDOFXODGDDSUR[Ldesses triângulos. PDQGRD¿JXUDSRUSROtJRQRVFXMDViUHDVSRGHPVHUFDOFXODGDVSHORV Essa abordagem de mÊtodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, årea ,remonta ao o problema de calcular a årea de uma região R do plano, limitada por Egito e à Babilônia duas retas verticais x  a e x  b , pelo eixo x HSHORJUi¿FRGHXPD de muitos milênios atrås. Os antigos função f (x) , limitada e não negativa no intervalo fechado[a,b] , congregos iniciaram a IRUPH¿JXUDDVHJXLU pesquisa de årea de ¿JXUDVFXUYLOtQHDV no quinto e quarto sÊculo a.C. Dada a fórmula A 

295


Curso de Graduação em Administração a Distância

y

R

0

a

b

x

Figura 7.3

Para isso, vamos fazer uma partição P do intervalo [a,b] , isto ĂŠ, vamos dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos, por meio dos pontos x0 , x1 , x2 , ... , xi <1 , xi , ... , xn , HVFROKLGRVDUELWUDULDPHQWHGDVHJXLQWHPDQHLUD a  x0  x1  x2  ...  xi <1  xi < ...  xn  b , YHMDDĂ&#x20AC;JXUDDEDL[R y f(cn) f(x)

f(c3) f(c2) f(c1)

0 a = x0 c1 x1 c2 x2 c3 x3

xnâ&#x2C6;&#x2019;1 cn xn = b x

Figura 7.4

O comprimento do i < ĂŠsimo subintervalo, Â&#x2022;Â&#x2013; xi <1 , xi Â&#x2014;Â&#x2DC; , ĂŠ dado por 6 xi  xi < xi <1 . Vamos construir retângulos de base xi < xi <1 e altura f (ci ) onde ci ĂŠ um ponto do intervalo Â&#x2022;Â&#x2013; xi <1 , xi Â&#x2014;Â&#x2DC; . 'DĂ&#x20AC;JXUDDFLPDWHPRV

296

6x1  x2 < x1

base do primeiro retângulo;

6x2  x3 < x2 ... ;

base do segundo retângulo;


MĂłdulo 2

6xi  xi < xi <1 base do i-Êsimo retângulo; ... ; 6xn  xn < xn <1 base do Q-Êsimo retângulo e f (c1 )

altura do primeiro retângulo;

f (c2 )

altura do segundo retângulo; ... ;

f (ci )

altura do i-Êsimo retângulo; ...;

f (cn )

altura do Q-Êsimo retângulo.

Logo, a årea de cada retângulo serå 6x1 = f (c1 )

årea do primeiro retângulo;

6x2 = f (c2 ) 6xi = f (ci )

årea do segundo retângulo; ...; årea do i-Êsimo retângulo; ... ;

6xn = f (cn )

årea do Q-Êsimo retângulo.

Você jå deve ter percebido que, aumentando o número de retângulos, pode-se obter uma melhor aproximação para a årea A da região R . Assim a soma das åreas dos n retângulos, denotada por Sn , serå: Sn  f (c1 ) = 6x1 f (c2 ) = 6x2 . . . f (cn ) = 6xn n



-

f (ci ) = 6xi

i  1

Essa soma ĂŠ chamada Soma de 5LHPDQQ da função f relativa Ă  partição P . Quando n cresce, ĂŠ â&#x20AC;&#x153;razoĂĄvelâ&#x20AC;? esperar que a soma das ĂĄreas dos retângulos aproxime da ĂĄrea A VREDFXUYD'HVWHPRGRGHÂżQLPRV a medida da ĂĄrea A da regiĂŁo R , como sendo n

A  lim

n A '

-

f (ci ) = 6xi

i  1

se esse limite existir. E entĂŁo se diz que a regiĂŁo R ĂŠ mensurĂĄvel.

A integral A integral estĂĄ associada ao limite apresentado acima. Nesta seomRGDUHPRVDGHĂ&#x20AC;QLomRGDLQWHJUDOTXHQDVFHXFRPDIRUPXODomRGRV problemas de ĂĄreas, e citaremos as suas propriedades. JĂĄ sabemos que a integral e a derivada, estudadas na Unidade 5, sĂŁo as duas noçþes bĂĄsicas 297


Curso de Graduação em Administração a Distância

em torno das quais se desenvolve todo o CĂĄlculo. Conforme terminologia LQWURGX]LGDDQWHULRUPHQWHWHPRVDVHJXLQWHGHĂ&#x20AC;QLomR

Seja f (x) XPDIXQomROLPLWDGDGHĂ&#x20AC;QLGDQRLQWHUYDORIHFKDGR [a,b] e seja P uma partição qualquer de[a,b]. A integral de b

f (x) no intervalo[a,b], denotada por 0 f (x) dx , ĂŠ dada por a

b

n

0 f (x) dx  a

lim

n A '

- f (c ) . 6x , i

i

i  1

desde que o limite do segundo membro exista.

Destacando: b

â&#x20AC;˘ 1DQRWDomR 0 f (x) dx , f (x) pFKDPDGDIXQomRLQWHJUDQGR a

0

pRVtPERORGDLQWHJUDOHRVQ~PHURVa e b sĂŁo chamaGRVOLPLWHVGHLQWHJUDomRRQGH a pROLPLWHLQIHULRUH b ĂŠ ROLPLWHVXSHULRUGDLQWHJUDomR b

â&#x20AC;˘ Se

0 f (x) dx

existe, diz-se que f pLQWHJUiYHOHP [a,b] e

a

JHRPHWULFDPHQWH D LQWHJUDO UHSUHVHQWD D iUHD GD UHJLmR OLPLWDGDSHODIXQomR f (x) , as retas x  a e x  b e o eixo x , desde que f (x) * 0 Â&#x2122;x D Â&#x2022;Â&#x2013; a, b Â&#x2014;Â&#x2DC; . &KDPDPRVDVXDDWHQomRSDUDRIDWRGHTXHDLQWHJUDOQmRVLJQLĂ&#x20AC;FD necessariamente uma ĂĄrea. Dependendo do problema, ela pode representar grandezas, como: volume, quantidade de bactĂŠrias presentes em certo LQVWDQWHWUDEDOKRUHDOL]DGRSRUXPDIRUoDPRPHQWRVHFHQWURGHPDVVD (ponto de equilĂ­brio). $GHĂ&#x20AC;QLomRGHLQWHJUDOSRGHVHUDPSOLDGDGHPRGRDLQFOXLURFDVR em que o limite inferior seja maior do o limite superior, e o caso em que os limites inferior e superior sĂŁo iguais, senĂŁo vejamos,

298


MĂłdulo 2

Se a  b , entĂŁo b

0 a

a

f (x) dx = < 0 f (x) dx , b

se a integral Ă  direita existir.

Se a  b e f (a) existe, entĂŁo a

0 f (x) dx  0 . a

Teorema Se f (x) Ê uma função contínua no intervalo fechado[a,b] , então f (x) Ê integråvel em[a,b] .

$VHJXLUDOJXPDVSURSULHGDGHVIXQGDPHQWDLVGDLQWHJUDOGHĂ&#x20AC;QLGD que usaremos no curso.

Propriedades da integral definida $VSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOGHĂ&#x20AC;QLGDQmRVHUmRGHPRQVWUDGDVSRLV foge do objetivo do nosso curso. P1.

Se a função f (x) Ê integråvel no intervalo fechado [a,b] e se k Ê uma constante real qualquer, então b

0

b

k f (x) dx  k

a

0 f (x) dx . a

P2. Se as funçþes f (x) e g(x) são integråveis em [a,b] , então f (x) ( g(x) Ê integråvel em [a,b] e b

0 a

P3.

f (x) ( g(x) dx 

b

0 a

b

f (x) dx (

0 g(x) dx . a

Se a  c  b e a função f (x) é integrável em [a,c] e em[c,b] , 299


Curso de Graduação em Administração a Distância

entĂŁo, f (x) ĂŠ integrĂĄvel em [a,b] e b

c

0 f (x) dx



a

P4.

b

0 f (x) dx

a

0 f (x) dx . c

Se a função f (x) Ê integråvel e se f (x) * 0 para todo x em[a,b] , então, b

0 f (x) dx

* 0.

a

P5.

Se as funçþes f (x) e g(x) são integråveis em [a,b] e f (x) * g(x) para todo x em[a,b] , então, b

0 f (x) dx

b

*

a

P6.

0 g(x) dx . a

Se f (x) ĂŠ uma função integrĂĄvel em Â&#x2022;Â&#x2013; a, b Â&#x2014;Â&#x2DC; , entĂŁo f (x) ĂŠ integrĂĄvel em Â&#x2022;Â&#x2013; a, b Â&#x2014;Â&#x2DC; e b

0 f (x) dx a

b

)

0

f (x) dx .

a

Observação Calcular uma integral atravĂŠs do limite das Somas de Riemann ĂŠ, geralmente, uma tarefa ĂĄrdua. Por isso nosso prĂłximo objetivo ĂŠ estabelecer o chamado Teorema Fundamental do CĂĄlculo, o qual nos permite calcular muitas integrais de forma surpreendentemente fĂĄcil! Teorema fundamental do cĂĄlculo*: estabelece a importante conexĂŁo entre o CĂĄlculo Diferencial e o CĂĄlculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a ĂĄrea de XPDĂ&#x20AC;JXUDSODQD 300

Teorema Fundamental do Cålculo (TFC) Esta subseção contÊm um dos mais importantes teoremas do cålculo. Este teorema permite calcular a integral de uma função utilizando uma primitiva da mesma, e por isso, Ê a chave para calcular integrais. Ele diz que, conhecendo uma função primitiva de uma função f (x) integråvel no intervalo fechado[a,b] , podemos calcular a sua integral. As consideraçþes acima motivam o teorema a seguir. Teorema Fundamental do Cålculo* - se a função f (x) Ê integråvel no intervalo fechado [a,b] e se F (x) Ê uma função de f (x) neste intervalo, então


MĂłdulo 2

b

0 f (x) dx  F (b) < F (a) . a

b

Costuma-se escrever F (x) a para indicar F (b) < F (a) .

Destacando: O Teorema Fundamental do CĂĄlculo (TFC) nĂŁo sĂł torna o cĂĄlculo de integrais mais simples, como tambĂŠm contĂŠm em si a relação entre a derivada, o limite e a integral. Isto porque o Teorema )XQGDPHQWDODĂ&#x20AC;UPDTXHRYDORUGDLQWHJUDO b

0 f (x) dx , pode ser calculado com o auxílio de uma função a

F , tal que a derivada de F seja igual a f , possibilitando encontrar o valor de uma integral utilizando uma primitiva da função integrando.

Vejamos agora, alguns exemplos aplicando o Teorema Fundamental do CĂĄlculo. Exemplo 7.15 Determinar 2

0 x dx . 0

x2 Resolução: Sabemos que F (x)  Ê uma primitiva da função 2 f (x) , pois, x F '(x)  2 =  x  f (x) . 2 Logo, pelo Teorema Fundamental do Cålculo, vem 2

2

2

x2 0 x dx  F (x)  2  F (2) < F (0) 0 0 0

2

= Portanto,

2 02 4 0 < = < = 2<0 = 2. 2 2 2 2 2

0 x dx  2 . 0

301


Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 7.16 Calcular: 3

0 x

2

4 dx .

1

x3

4x que ĂŠ uma primitiva de 3

Resolução: Aqui, temos F (x)  f (x)  x 2 4 , pois F '(x)  3 =

x2

4 = 1  x 2 4  f (x) . 3

Logo, pelo Teorema Fundamental do CĂĄlculo, vem 3

0 1

£ x3 ¼ 3 x 2 4 dx  ² 4x ´  F (3) < F (1) ¤ 3 Œ 1 £ 33 ¼ £ 13 ¼ 1  ² 4 = 3´ < ² 4 = 1´  9 12 < ( 4) 3 ¤3 Œ ¤3 Œ £ 1 12 ¼ 13 63 < 13 50 = 21 < =21 < ² =  . ´ 3 3 3 ¤ 3 Œ



Portanto,

3

0 x

2

4 dx 

1

50 . 3 3

Observe que podemos calcular a integral

0 x

2

4 dx usando as

1

SURSULHGDGHV3H3GDLQWHJUDOGHÂżQLGDHRWHRUHPDIXQGDPHQWDO do cĂĄlculo, o resultado serĂĄ o mesmo. De fato, 3

0 x 1

2

3

3 2

4 dx  0 x dx 0 4 dx 1 3

1

3

3 x3 3 = 0 x dx 4 0 dx 

4x 1 3 1 1 1 3 3 £3 1 ¼ £ 27 1 ¼ + 4=2 = ² < ´ + 4 = 3<1 = ² < ¤ 3 3 ´Œ ¤ 3 3Œ 2



= Assim,

26 26 + 24 50 +8= = . 3 3 3 3

0 x 1

2

4 dx 

50 . 3

3RUWDQWRXVDQGRSURSULHGDGHVGDLQWHJUDOGHÂżQLGDHR7)&FKH302


MĂłdulo 2

3

gamos ao mesmo valor no cĂĄlculo da integral 50 . VocĂŞ pode usar sempre este fato. 3

0 x

2

4 dx que ĂŠ

1

Exemplo 7.17 Calcular: 4

02

1 x

1

dx .

Resolução: Sabemos que F (x)  x Ê uma primitiva de 1 f (x)  , pois 2 x 1 F '(x)   f (x) . 2 x Logo pelo TFC, temos 4

02

4

1 x

1

dx  x

 F (4) < F (1)

1

= 4 < 1  2 < 1  1. Portanto, 4

02 1

1

dx  1 .

x 4

Exemplo 7.18 Calcular a integral

0 f (x) dx

, onde:

0

¨x 2 , se 0 ) x ) 2 f (x)  Š ÂŤÂŞ2x, se 2  x ) 4 Resolução:3HODSURSULHGDGH3GDLQWHJUDOGHĂ&#x20AC;QLGDWHPRV 4

0

2

f (x) dx 

0

0

4

f (x) dx

0

0 f (x) dx . 2

Como f (x)  x 2 para 0 ) x ) 2 e f (x)  2x para 2  x ) 4 , vem 4

0 f (x) dx 0

2



4

0x

2

0

0 2x dx 2

3 2

x = 3

dx

0

x2

2= 2

4 2

303


Curso de Graduação em Administração a Distância

£ 23 03 ¼ = ² < ´ +2 ¤ 3 3Œ £ 8 0¼ =² < ´ + 2 = ¤ 3 3Œ

£ 42 22 ¼ = ² < ´ 2Œ ¤ 2 £ 16 4 ¼ ²¤ 2 < 2 ´Œ

£8 ¼ = ² < 0´ + 2 8 < 2 ¤3 Œ



8 8 36 44

12   . 3 3 3

= Portanto,

4

44 . 3

0 f (x) dx  0

Exemplo 7.19 O custo C(x) para produzir a x < Êsima TV digital, num 50 programa de produção diåria da fåbrica GL , Ê dado porC(x)  , x x ) 200 . Determinar o custo para produzir as 100 primeiras TVs. Resolução: Vamos considerar C o valor exato do custo total de produção das 100 primeiras TVs, assim C  C(1) C(2) ... C(100) . Esta soma pode ser calculada aplicando o TFC, como segue: 100

C

100

0 C(x)dx = 0

100

= 50 u

0

1 x

0

0 0

50 x

dx 100

dx  50 u

0 0

1 2 100

x  50 u 1 2

0

 50 u 2 u x

1 x

1 2

1 100 2 0

100

dx  50 u

0x

<

1 2

dx

0

 100 u



100 < 0  1000 .

Portanto, o custo C para produzir as 100 primeiras TVs ĂŠ de R$1.000,00. Exemplo 7.20 A mineradora â&#x20AC;&#x153;Natureza Preservadaâ&#x20AC;?, produz 400 toneladas por mĂŞs de certo minĂŠrio. Estima-se que este processo dure 25 anos (300 meses) a partir de hoje, e que o preço por tonelada do minĂŠrio da304


MĂłdulo 2

qui a t meses, em reais, ĂŠ dado pela função f (t)  <0,03t 2 20t 400 Determinar a receita gerada pela mineradora â&#x20AC;&#x153;Natureza Preservadaâ&#x20AC;?, ao longo dos 300 meses. Resolução: Vamos considerar R a receita da mineradora ao longo dos 300 meses, assim R  400 u f (1) 400 u f (2) ... 400 u f (300) . (VWDVRPDSRGHVHUFDOFXODGDDSOLFDQGRR7)&FRPRVHJXH 300

R  400 u

0

300

f (t)dt = 400 u

0

0  <0,03t

20t 400 dt

0

Â&#x2022;  400 u Âł <0,01t 3 10t 2 400t Â&#x2013;





2

300 0

Â&#x2014; Âľ Â&#x2DC;

3 2  400 Â&#x2022;Âł <0,01 300 10 300 400 u 300 Â&#x2013;







3 2 < <0,01 0 10 0 400 u 0 Â&#x2014;Âľ Â&#x2DC;







 400 u <270000 900000 120000

 400 u 750000  300000000,00 . Portanto, a receita R , gerada pela mineradora â&#x20AC;&#x153;Natureza Preservadaâ&#x20AC;?, ao longo dos 300 meses ĂŠ R$300.000.000,00. Exemplo 7.21 O administrador de uma empresa estima que a compra de um certo equipamento irĂĄ resultar em uma economia de custos operacionais. A economia dos custos operacionais dado pela função f (x) unidades monetĂĄrias por ano, quando o equipamento estiver em uso por x anos, e f (x)  4.000x 1.000 para 0 ) x ) 10 . Determinar: D DHFRQRPLDHPFXVWRVRSHUDFLRQDLVSDUDRVFLQFRSULPHLURVDQRV b) apĂłs quantos anos de uso o equipamento estarĂĄ pago por si mesmo, se o preço de compra ĂŠ R$36.000,00. Resolução: A economia obtida nos custos operacionais para os cinFRVSULPHLURVDQRVpDLQWHJUDOGHÂżQLGDGH f (x)  4.000x 1.000

305


Curso de Graduação em Administração a Distância

no intervalo 0 ) x ) 10 , logo, respondendo a letra a), vem 5

0  4.000x 1.000 dx   2.000x 0

2

1.000x

5 0



 2.000 = 25 1000 = 5  55.000. Portanto, a economia nos custos operacionais para os 5 primeiros anos Ê de R$55.000,00. Vamos agora responder a letra b). Como o preço de compra do equipamento Ê R$36.000,00, temos que o número de anos requeridos para o equipamento pagar-se por si mesmo Ê n que serå a integral GH¿QLGDGH f (x)  4.000x 1.000 de 0 atÊ n , ou seja, n

0 f (x)dx  36.000 . 0

Resolvendo a integral acima, vem n

n

0

0

0 f (x)dx  36.000 Â&#x2030; 0  4.000x 1.000 dx  36.000



n

Â&#x2030; 2.000x 2 1.000x  36.000 0 Â&#x2030; 2.000n 2 1.000n  36.000 , Â&#x2030; 2n 2 n < 36  0 . Resolvendo a equação 2n 2 n < 36  0 pela fĂłrmula de Bhaskara , 9 temos n  4 e n  < . 2 Portanto, sĂŁo necessĂĄrios 4 anos de uso para o equipamento pagarse por si mesmo.

&KHJRXDKRUDGHSRUHPSUiWLFD RTXHYRFrDSUHQGHXQHVWDVHomR Resolva os exercicios e tire suas dúvidas com seu tutor. Só prossiga após resolver todos as questþes pois tudo que veremos as seguir depende do ceonceito introduzido nesta seção. 306


MĂłdulo 2

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 2

3

1.

Calcular a integral

0 f (x)dx 0

2.

¨7 < x, se x  2 onde f (x)  © . ªx 3, se x * 2

Determinar o valor das seguintes integrais, aplicando o Teorema Fundamental do CĂĄlculo. / 2

0

a)

1

x cos x dx .

b)

0

3

< 6x 8 dx .

0

/ 4

2

2 0 sec x dx .

c)

0 x

d)

0

0e

x

dx .

0

Integração por substituição

A partir de agora você vai conhecer uma tÊcnica utilizada com RREMHWLYRGHGHVHQYROYHURFiOFXORGHLQWHJUDLVLQGH¿QLGDVGHIXQo}HV que possuem primitivas. A esta tÊcnica, damos o nome de integração por substituição ou mudança de variåvel. Suponha que você tem uma função g(x) e uma outra função f



tal que f g(x)  HVWHMDGHÂżQLGD f e g HVWmR GHÂżQLGDV HPLQWHUYDORV convenientes). VocĂŞ quer calcular uma integral do tipo

0 f  g(x) = g '(x) dx , Logo,

0 f  g(x)



= g '(x) dx  F g(x) C.

)D]HQGRu  g(x) Â&#x2030;

(1)

du  g '(x) Â&#x2030; du  g '(x) dx e substituindo dx

na equação (1), vem

0 f  g(x)

= g ` (x) dx 

0 f (u) du

 F (u) C.

307


Curso de Graduação em Administração a Distância

Vejamos agora alguns exemplos de como determinar a integral LQGHĂ&#x20AC;QLGDGHXPDIXQomRDSOLFDQGRDWpFQLFDGDPXGDQoDGHYDULiYHO ou substituição e usando a tabela acima. Exemplo 7.22 Calcular a integral

0 x

2

3

5 = 2 x dx .

Resolução:)D]HQGRDVXEVWLWXLomRGH x 2 5 por u na integral dada, ou seja, u  x 2 5 , vem du  2 x 0  2 x Â&#x2030; du  2 x dx . dx

u  x2 5 Â&#x2030;



Agora, vamos em 0 x 2 5

3

= 2 x dx , substituĂ­mos x 2 5

por u e 2 x dx por du e temos:

0

x2 5

3

u4

C , 4

= 2 x dx  0 u 3 du 

onde utilizamos a fĂłrmula (ii) da tabela de integrais. Como,



4

x2 5 u4 2 u  x 5 Â&#x2030;

C 

C. 4 4 Portanto,

0 x

2

5

3

.2x

x dx =

2

5 4

4

C.

Exemplo 7.23 Calcular:

0

3 x 2 dx . 1 x3

Resolução:)D]HQGRDVXEVWLWXLomRGH 1 x 3 por u na integral dada, ou u  1 x 3 , vem: du u  1 x3 Â&#x2030;  0 3 x 2  3 x 2 Â&#x2030; du = 3 x 2 dx . dx Agora, vamos em 0

308

3 x 2 dx , substituĂ­mos u  1 x 3 por u e 3 1 x


MĂłdulo 2

3 x 2 dx por du e temos: 3 x 2 dx du 0 1 x3  0 u  ln u C . (Pela fĂłrmula (iii) da tabela de integrais). Como u  1 x 3 Â&#x2030; ln u C  ln 1 x 3 C . Portanto,

0

3 x 2 dx  ln 1 x 3 C . 3 1 x

Exemplo 7.24 Calcular: dx

0 16 9x

2

.

Resolução. Na integral dada temos dx

0 16 9x

2



dx

0 4 +3 x 2

2

2



04

2

dx

(3x)2

aqui a  4 e u  3x . Assim, du 1 u  3x Â&#x2030;  3 Â&#x2030; du  3dx Â&#x2030; dx  du . dx 3 dx Agora, vamos Ă  integral dada 0 , substituĂ­mos 3x por u 16 9x 2 1 e dx por du e temos 3 dx

0 16 9x

2



04

dx 2



3x

2

1 du du 1 3 = 0 2  0 2 2 3 4 u2 4 u 

1 1 u = arc tg C 3 4 4



1 u arc tg

C. 12 4 (Pela fĂłrmula (xvi) da tabela de integrais). 309


Curso de Graduação em Administração a Distância

Como: u  3x Â&#x2030;

1 u 1 3x arctg C  arctg

C . 12 4 12 4

Portanto, dx

0 16 9x

2



1 3x arctg

C . 12 4

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 3

Calcular as seguintes integrais abaixo:

â&#x20AC;˘

4

0

1)

3

dx .

7 < 5x 0 cos 7t < / dt .

3)

0x

5)

dx .

3

2

0x

2

4)

0

x 2 < 2x 4 dx .

7)

dx .

/ 2

6)

0 cos

3

3

x

x sen x dx .

0

4

lnt 5 0 t dt . 1

1

2)

8)

0 0

x2 1

dx .

Integração por partes

Na seção anterior, estudamos como calcular integrais usando o mÊtodo da substituição. Mas, existem algumas integrais, tais como: 0 ln x dx , x

0 x e dx , 0 x

3

cos x dx , etc. , que nĂŁo podem ser resolvidas aplicando o mĂŠ-

todo da substituição. Necessitamos de alguns conhecimentos a mais. Neste caso, iniciaremos apresentando a tÊcnica de LQWHJUDomRSRUSDUWHV. Sejam u(x) e v(x) funçþes diferenciåveis num intervalo (a,b) .

310


MĂłdulo 2

EntĂŁo, podemos escrever: (uv )v  uv v vuv , ou seja, vuv  (uv )v < uv v . Integrando os dois membros da igualdade acima, temos:

0

b

a

vuvdv 

0

b

a

b

(uv )v dx < 0 uv vdx , a

ou,

0

b

a

b

b

vdu  uv a < 0 udv . a

(SDUDDLQWHJUDOLQGHĂ&#x20AC;QLGDWHPVH

0

b

a

b

b

vdu  uv a < 0 udv , a

ou simplesmente,

0 vdu  uv < 0 udv .

(2)

A expressĂŁo (2) ĂŠ conhecida como a fĂłrmula de LQWHJUDomRSRUSDUWHV. Quando aplicarmos esta fĂłrmula para resolver a integral 0 f x dx , devemos



separar o integrando dado em duas partes, uma sendo u e a outra, juntamente com dx , sendo dv . Por essa razĂŁo o cĂĄlculo de integral utilizando a fĂłrmula (2) ĂŠ chamado LQWHJUDomRSRUSDUWHV. Para escolher u e dv , devemos lembrar que: (i) a parte escolhida como dv , deve ser facilmente integrĂĄvel; (ii)

0 v du deve ser mais simples que 0 u dv .

A seguir, apresentaremos alguns exemplos: Exemplo 7.25 Calcular a integral: x

0 x e dx . Resolução: Sejam u  x e dv  e x dx . Assim, teremos du  dx e v  e x . Aplicando a fórmula 0 u dv  uv < 0 v du , obtemos x

0 x e dx  x e

x

< 0 e x dx

 x e x < e x C. 311


Curso de Graduação em Administração a Distância

Exemplo 7.26 Calcular a integral:

0 ln x dx. Resolução: Sejam u  ln x e dv  dx . Assim, teremos du  e v  x. Aplicando a fórmula (2), obtemos:

1 dx x

1

0 ln x dx  x ln x < 0 x x dx  x ln x < x c. Exemplo 7.27 Encontre:

0 arc tg x dx. Resolução: Sejam u  arc tg x e dv  dx. Assim, teremos, dx du  e v  x. Logo, 1 x2 x 0 arc tg x dx  x arc tg x < 0 1 x 2 dx . x dx , utilizamos a substituição 1 x2 t  1 x 2 Â&#x2030; dt  2x dx , entĂŁo,

Para calcular a integral 0

x

0 1 x

2

dx  

1 dt 1  ln t C 20 t 2 1 ln(1 x 2 ) c , pois 1 x 2 ĂŠ sempre positivo. 2

Portanto, 1

0 arc tg x dx  x arc tg x < 2 ln(1 x

2

) C.

Exemplo 7.28 Calcular:

0 x ln x dx.

312

1 Resolução: Sejam u  ln x e dv  x dx. Assim, teremos du  dx x 1 2 e v  x . Logo, 2 1 2 1 0 x ln x dx  2 x ln x < 2 0 x dx 1 1  x 2 ln x < x 2 C. 2 4


MĂłdulo 2

Exemplo 7.29 Calcular:

0e

x

sen x dx.

Resolução: Sejam u  e x e dv  sen x dx. Assim, teremos du  e x dx e v  < cos x. Logo,

0e

x

sen x dx  <e x cos x 0 e x cos x dx.

(3)

Novamente, considerando, u  e x e dv  cos x dx , temos d u  e x dx e v  sen x . De (2), obtemos:

0e

x

cos x dx  e x sen x < 0 e x sen x dx .

(4)

De (3) e (4), segue que: 1

x

0 e sen x dx  2 e

x

(sen x < cos x) C.

Exemplo 7.30 Determine:

0 sec

3

x dx. Resolução: Podemos escrever:

0 sec

3

x dx  0 sec 2 x sec x dx.

)D]HQGR u  sec x , temos du  sec x tg x dx e dv  sec 2 x dx e v  tg x . Aplicando a fĂłrmula (2), obtemos:

0 sec

3

x dx  sec x tg x < 0 sec x tg 2 x dx  sec x tg x < 0 sec x (sec 2 x < 1) dx  sec x tg x < 0 (sec3 x < sec x) dx  sec x tg x < 0 sec3 x dx 0 sec x dx.

6LPSOLĂ&#x20AC;FDQGRREWHPRV 2 0 sec3 x dx  sec x tg x 0 sec x dx . Pela tabela de integração sabemos que

0 sec x dx  ln sec x tg x C . 313


Curso de Graduação em Administração a Distância

Logo,

0 sec

3

x dx 

1 1 sec x tg x ln sec x tg x C. 2 2

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 4

%

Calcular as seguintes integrais usando o mÊtodo de integração por partes: 1)

0 e  x 1

3)

0

5)

0

x

2

dx .

x ln x dx . ln x dx . x

2

2)

0x

4)

0 sen x dx .

6)

0x e

ln x dx . 2

<x

dx .

Integrais imprĂłprias

Sabemos que toda função contínua num intervalo fechado Ê integråvel nesse intervalo, ou seja, se f Ê uma função contínua em [a,b] b

entĂŁo existe 0 f (x)dx . Quando f QmRHVWiGHÂżQLGDQXPGRVH[WUHPRVGR a

0

b

f (x)dx para todo t D(a,b) b SRGHPRVGH¿QLU 0 f (x)dx como sendo o limite lim 0 f (x)dx quana t tAa do este limite existe. Para os outros casos a situação Ê anåloga. Nestes intervalo[a,b] , digamos em a , mas existe

t

b

casos as integrais são conhecidas como LQWHJUDLVLPSUySULDV. A seguir DSUHVHQWDUHPRV D GH¿QLomR H R SURFHGLPHQWR SDUD FDOFXODU LQWHJUDLV impróprias. Analisaremos cada caso em separado. (i) Dado f : (a,b] A ° , se existe GH¿QLPRV 314

0

b

t

f (x)dx para todot D(a,b) ,


MĂłdulo 2

b

0

a

f (x)dx  lim

tAa

b

0

t

f (x)dx , a  t  b ,

quando este limite existe. Caso nĂŁo exista este limite diremos que a integral

0

b

a

f (x)dx nĂŁo existe, ou nĂŁo converge.

*UDÂżFDPHQWH y

y = f(x)

0

a

b

x

Figura 7.5

(ii) Dado f :[a,b) A ° , se existe GH¿QLPRV

0

b

a

f (x)dx  lim< tAb

0

t

a

0

t

a

f (x)dx para todot D(a,b) ,

f (x)dx , a  t  b ,

quando este limite existe. Caso nĂŁo exista este limite diremos b que 0 f (x)dx nĂŁo existe, ou nĂŁo converge. a

*UDĂ&#x20AC;FDPHQWH y

y = f(x)

0

a

b

x

Figura 7.6 315


Curso de Graduação em Administração a Distância

(iii) Dadof : (a,b) A ° , escrevemos:

0

b

a

0

f (x)dx 

c

a

b

f (x)dx 0 f (x)dx , a  c  b , c

quando as duas integrais do 2o membro existem. $VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHĂ&#x20AC;QLGDVHP L H LL  respectivamente. (iv) Quando f :[a,b] A ° ĂŠ descontĂ­nua em algum c D(a,b) e nĂŁo existe algum limite lateral perto de c , entĂŁo escrevemos

0

b

a

0

f (x)dx 

c

a

b

f (x)dx 0 f (x)dx , a  c  b , c

sempre que as integrais do 2o membro existem. $VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHĂ&#x20AC;QLGDVHP LL H L  respectivamente. (v) Dadaf : (<',b] A ° , se existir GHÂżQLPRV

0

b

f (x)dx  lim

<'

tA<'

0

b

t

0

b

t

f (x)dx para todot D(<',b),

f (x)dx , < '  t  b ,

quando este limite existe. Se este limite nĂŁo existir, diremos b que a integral 0 f (x)dx nĂŁo existe ou nĂŁo converge. <'

t

(vi) Dadaf :[a,') A ° , se existir 0 f (x)dx para todot D[a,') , a GH¿QLPRV

0

'

a

f (x)dx  lim tA'

0

t

a

f (x)dx , a  t  ' ,

quando este limite existe. Se este limite nĂŁo existir diremos que a integral

0

'

a

f (x)dx nĂŁo existe ou nĂŁo converge.



(vii) Dada f : <',' A ° , escrevemos,

0

'

<'

f (x)dx 

0

c

<'

'

f (x)dx 0 f (x)dx , < '  c  ' , c

quando as duas integrais do 2o membro existem. 316


MĂłdulo 2

$VLQWHJUDLVGRVHJXQGRPHPEURIRUDPGHĂ&#x20AC;QLGDVHP Y H YL  respectivamente. Quando uma integral imprĂłpria existe, ou seja, o limite envolvido WHPYDORUĂ&#x20AC;QLWRGL]HPRVTXHHODpconvergente. Caso contrĂĄrio dizemos que ela ĂŠ divergente. A seguir apresentaremos alguns exemplos. Exemplo 7.31 Calcular, se existir:

0

dx

1

0

1< x

. dx

Resolução: Observemos que a função f (x) 

nĂŁo estĂĄ de1< x Âżnida no ponto x  1. Neste caso calculamos o limite, usando (ii) lim<

tA1

0

dx

t

0

1 < x2

 lim< tA1

0

t

0

<

1

(1 < x) 2 dx

)D]HQGR u  1 < x Â&#x2030; du  <dx , pelo mĂŠtodo de substituição, vem

0 (1 < x)

<

1 2

dx  < 0 u

<

1 2

du  <2u1/ 2 ,

ou seja, t <1/ 2 1/ 2 0 (1 < x) dx  <2(1 < x) 0

t 0

 <2 Â&#x2022;Â&#x2013;(1 < t)1/ 2 < 1Â&#x2014;Â&#x2DC; . Logo, 

lim<

tA1

0

t

0

dx 1< x

 lim< < 2 Â&#x2022;Â&#x2013;(1 < t)1/ 2 < 1Â&#x2014;Â&#x2DC; tA1

 <2[0 < 1]  2 Portanto, a integral converge e temos 1 dx 00 1 < x  2 . Exemplo 7.32 Calcular, se existir: dx . 0 x2

0

1

317


Curso de Graduação em Administração a Distância

1 QmRHVWiGHÂżQLGD x2 no ponto x  0. Neste caso, calculamos o limite, usando (i)

Resolução: Observemos que a função f (x) 

1

lim 0

tA0

1

t

dx x <1  lim x 2 tA0 <1 t £ 1¼  lim ² <1 ´ tA0 ¤ tŒ  '.

Portanto, a integral

dx diverge ou nĂŁo existe. 0 x2

0

1

Exemplo 7.33 Calcular, se existir: / 2 0

0

cos x 1 < sen x

dx.

Resolução: Observemos que f (x)  em x 



/ 2

1 < sen x

QmRHVWiGHÂżQLGD

/ . Assim, calculamos o limite, usando (i) 2

lim 0

xA

cos x

t

0

cos x 1 < sen x

/



dx  lim 0 2 1 < sen x tA

/ 2

0

<1/ 2

cos x dx

t Â&#x2014; Â&#x2022; 1/ 2 Âľ Âł 1 < sen x Âľ  lim Âł < / Âľ 1 tA Âł 2 Âł Âľ 2 0Â&#x2DC; Â&#x2013; t Â&#x2022; 1/ 2 Â&#x2014;  lim Âł <2 1 < sen x Âľ / 0Â&#x2DC; tA Â&#x2013; 2





 lim Â&#x2022; <2 1 < sen t / Âł tA Â&#x2013;



1/ 2

2

1/ 2 Â&#x2014; Â&#x2022; ÂŁ /ÂĽ  Âł <2 ² 1 < sen ´ 2 Âľ 2ÂŚ ÂľÂ&#x2DC; ÂłÂ&#x2013; ¤  Â&#x2022;Â&#x2013; <2(1 < 1)1/ 2 2 Â&#x2014;Â&#x2DC;  2

Logo, a integral converge e temos / cos x 002 1 < sen x dx  2 . 318



2 1 < sen 0

1/ 2

Â&#x2014; Â&#x2DC;Âľ


MĂłdulo 2

Exemplo 7.34 Determinar, se existir:

0

4

0

dx . x<2

Resolução: Observemos que f (x)  x  2. Assim,

0

4

0

dx  x<2

0

1 nĂŁo ĂŠ contĂ­nua em x<2

4 dx dx

0 , x<2 2 x<2

2

0

se as integrais do segundo membro convergirem. 4 dx dx

lim 0 0 x<2 t x<2 tA2

lim< 0

tA2

t

t

 lim< ln x < 2 lim ln x < 2 0

tA2

tA2



4 t



 lim< ln t < 2 < ln <2 lim ln 2 < ln t < 2 . tA2

tA2

Observamos que calculando o primeiro limite obtemos o resultado ' , logo, podemos concluir que a integral proposta nĂŁo existe, ou seja, a integral ĂŠ divergente. Exemplo 7.35 Determinar, se existir:

0

0

<'

e x dx.

Resolução: Calculamos lim

0

0

tA<' t

0

e x dx  lim e x

t

tA<'



( <'  t  0 )

 lim 1 < e t tA<'

 1. Logo, a integral converge e temos

0

0

<'

e x dx  1.

Exemplo 7.36 Determinar, se existir:

0

'

1

dx x

.

319


Curso de Graduação em Administração a Distância

Resolução: Calculamos t t

dx

tA' 1

x

lim 0

t

1 < 1 2

x x1/ 2  lim tA' tA' 1 1 < 1 2 1 2 1

 lim



(1  t  ' )

 lim 2 t < 2  ' . tA'

Portanto, a integral diverge. Exemplo 7.37 Calcular, se existir:

0

'

<'

dx . 1 x2

Resolução. Escrevemos, ' 0 ' dx dx dx 0<' 1 x 2  0<' 1 x 2 00 1 x 2 , e calculamos os limites: 0 dx t dx lim 0

lim tA<' t 1 x 2 tA' 00 1 x 2 t

0

 lim arc tg x t lim arc tg x 0 tA<'

tA'

£ /¼ /  <²< ´  / ¤ 2Œ 2 Portanto, a integral converge e temos ' dx 0<' 1 x 2  / .

ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 5

%

320

Calcular, se existirem, as seguintes integrais imprĂłprias, indicar se converge ou diverge. 1)

0

3)

0

'

<' 3

0

e

<x

dx .

dx 9 < x2

.

2)

0

4)

0

1

0

x ln x dx .

4dx . <' x 16 '

2

5)

dy . <1 y 2

0

1


MĂłdulo 2

Saiba Mais... Para aprofundar os conteĂşdos abordados neste capĂ­tulo consulte: Â&#x2014; FLEMMING, D. M.; GONĂ&#x2021;ALVES, M. B. CĂĄlculo A: Funçþes, Limite, Derivação, Integração, 5ÂŞ ed. SĂŁo Paulo: Makron Books, 1992. Â&#x2014; MORETTIN, Pedro A.; HAZZAN, Samuel; BUSSAB, Wilton de O. CĂĄlculo funçþes de uma e vĂĄrias variĂĄveis. SĂŁo Paulo: Saraiva, 2005. Â&#x2014; SILVA, SebastiĂŁo Medeiros da; SILVA, Elio Medeiros da; SILVA, Ermes Medeiros da. MatemĂĄtica: para os cursos de HFRQRPLDDGPLQLVWUDomRHFLrQFLDVFRQWiEHLVHG6mR3DXOR Atlas, 1988. Â&#x2014; KWWSSHVVRDOVHUFRPWHOFRPEUPDWHPDWLFDVXSHLRUVXSHULRUKWP Â&#x2014; KWWSZZZFHSDLIXVSEUHFDOFXOR

RESUMO

Nesta Unidade tratamos o conceito de função primitiYDHFRPLVVRFRPSUHHQGHXWDPEpPDGHĂ&#x20AC;QLomRGHLQWHJUDO LQGHĂ&#x20AC;QLGDHVXDVSURSULHGDGHV$SUHQGHXDFDOFXODURYDORU de algumas integrais imediatas, bem como a calcular uma LQWHJUDOGHĂ&#x20AC;QLGDDSOLFDQGRR7HRUHPD)XQGDPHQWDOGR&iOFXOR9RFrWDPEpPDSUHQGHXDOJXPDVWpFQLFDVGHFiOFXORGH integrais e de integrais imprĂłprias.

321


Curso de Graduação em Administração a Distância

RESPOSTAS

â&#x20AC;˘ ExercĂ­cios propostos â&#x20AC;&#x201C; 1

1)

5 7 a) F (x)  x 3 x 2 2x + K . 3 2 <

1 4

<

1 2

b) F (x)  < 4 x c) F (x)  < 2 x

K.

K.

d) F (x)  ln (x < 1) K . e) F (x) 

2)

e4 x

K . 4

a) F (x)  <2cos x sen x < 1 3

b) F (x)  3 x

x3 /3

K e K . 6 384

x2

K e K  <3. 2

c) F (x)  sec x sen x K e K  < 7

3 3 d) F (x)  x e x K e K = 1. 7 e) F (x)  sen x cos x K e K = â&#x20AC;&#x201C;1.

3)

x5 8 a) < x 3 16x C . 5 3 b) ln x 6 x

1 3

C.

x4 4 3 c) < <

C. 3 4 x 2 3x x2 x3 d) 4x < <

C . 2 3 e) < 322

1

C . 2x 2

3 . 2


Módulo 2

• Exercícios propostos – 2

1)

33 . 2

2)

a)

/2

1; 8

b)

21 ; c) 1; 4

d) e 2 < 1 .

• Exercícios propostos – 3

1)

1



5 7 - 5x 3)

5) 7)

C .

2

1 sen 7t < / C . 7



3 x arctg

C . 3 3 2 5 = ln 4 . 2



2)

<1

C . x

4)

<1 1 < 2x 2 6

6)

1 . 4



3 2

C .

10 < 1.

8)

• Exercícios propostos – 4 1)

exx2 ex C .

2)

1 3 x3 x ln x <

C . 3 9

3)

2 3/ 2 4x 3/ 2 x ln x <

C . 3 9

4)

1 x < cos x sen x C . 2 2

5)

1 ln x 2

6)

<x e < x < e < x C .



2

C .

Exercícios propostos – 5 1) 2 .

1 2) < . 4

3)

/ . 2

4) › .

5) ' . 323


unidade6